0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys

Transkriptio

1 Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden kokonaisluvun osamääränä, esim. 1/7, 3/5, 327/443 IrraFonaaliluvut: luvut, joita ei voida esihää osamäärinä, Esim monet luonnollisten lukujen neliö- ja muut juuret: esim 2, 3, 5 ("algebralliset luvut") Lisäksi ei- algebrallisia lukuja, joita ei voida esihää juurimuodossakaan, esim π, e. Reaaliluvut (R): kaikki rafonaali- ja irrafonaaliluvut Imaginääriluku saadaan kertomalla reaaliluku i:lla, joka on määritelty siten ehä i 2 = 1. Kompleksiluku (c) = reaaliluku + imaginääriluku, a + bi. 1

2 Reaalilukujen peruslaskutoimitukset ovat yhteenlasku (+), vähennyslasku ( ), kertolasku ( tai ) ja jakolasku ( tai /). Miinusmerkkien "kumoutuminen" yhteen- ja kertolaskussa: m + ( n) = m n m ( n) = m + n ( m) (- n) = + (m n) ( m) (+n) = (m n) Osamäärien (murtolukujen) laskusäännöt perustuvat siihen, ehä osoihaja ja nimihäjä voidaan kertoa samalla luvulla, ilman ehä luku muuhuu: Saman luvun lisääminen molemmille puolille ei Fetenkään ole sallihu! m n = a m a n Tämä pätee kaikille a:n arvoille paitsi a=0 (koska nollalla jakaminen ei ole sallihua, ts. tulos ei ole määritelty) Murtolukujen lasku- ja sievennyssääntöjä: m n + p mq + pn = q nq m n p q = mp nq m n / p q = m n q p = mq np Laskujärjestys on sovihu siten, ehä kerto- ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen- ja vähennyslaskuja. Esim = = 14 Usein käytetään sulkeita merkitsemään, mitkä operaafot lasketaan ensin. Esim. (2+4) [(4+9)/17] Käytä sulkeita, jos järjestyksestä on pienintäkään epäselvyyhä! 2

3 1. luvut ja suureet Esim: ainemäärä 0,1 mol on litran vetoisessa asfassa 1 atm paineessa. Mikä on kaasun lämpöfla? Ratkaisu: käytetään ideaalikaasun Flanyhtälöä, sijoitetaan annetut suureet SI- yksiköissä. pv = nrt T = pv/nr V = 1 L = 1 dm 3 = m 3 p = 1 atm = Pa = N m - 2 = kg m - 1 s - 2 R = 8, J K - 1 mol - 1 = 8, kg m 2 s - 2 K - 1 mol - 1 n = 0,1 mol Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 3

4 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 4

5 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 5

6 Sijoitetaan annetut arvot: T = kg m 1 s m 3 0,1 mol 8, kg m 2 s 2 K 1 mol 1 T = 121,18653 K 122 K Mitä laskusta voi oppia? Luonnonvakioiden käyhö, esimerkissä kaasuvakio R (arvot löytyvät taulukkokirjoista). Suureiden ilmaiseminen SI- yksiköissä, esim J = kgm 2 s - 2. Nämäkin löytyvät tarvihaessa taulukkokirjoista. RiippumaHomat muuhujat (laskussa p, V, n), riippuvat muuhujat (laskussa T). Fysiikan & kemian suureissa aina 2 osaa: luku ja yksikkö Joskus yksikön edessä on etuliite ilmaisemassa suuruusluokkaa, esim. 2 kg, 5 nm. Samaan tarkoitukseen käytetään 10 potensseja, esim 1500 nm = m. Vastaus pyöristetään lähtöarvojen mukaiseen tarkkuuteen, välituloksia ei pyöristetä. 6

7 1.1 suureet ja niiden yksiköt Esim. 12 kj mol - 1 Luku Etuliite Yksikkö Suurejärjestelmän perusta on ns. SI- järjestelmä. Perussuureet: Johdetut suureet, esim N = kgm/s 2 = kgms - 2 Pituus Massa Aika Sähkövirta Termodyn. lämpöfla Ainemäärä Valovoima m kg s A K mol Cd Suureet eivät aina ole SI- yksiköissä. Esim energia ilmaistaan usein yksiköissä kcal, kcal/mol, ev, E h (hartree), cm E = hf = hc/λ = hc 1/λ = hc v Esim: Faradayn vakion lukuarvo F = N a q = 6, mol - 1 1, C = 9, C mol - 1 7

8 1.2 Kymmenpotenssit ja etuliiheet Esim. suuri luku, N A = 6, mol - 1 Esim. pieni luku, m e = 9, kg Kymmenpotenssi kuvaa luvun suuruusluokkaa. Se korvataan usein etuliiheellä. Osa näistä on jo arkielämästäkin tuhuja, esim 1 km = 1000 m), osa taas eksoonsempia, esim 1 as ("ahosekunf") = s m = 0, m = 1 pm m = 0, m = 1 nm m = 0, m = 1 μm m = 0,001 m = 1 mm m = 0,01 m = 1 cm m = 0,1 m = 1 dm m = 1 m = 1 m m = 10 m = 1 dam m = 100 m = 1 hm m = 1000 m = 1 km m = m = 1 Mm m = m = 1 Gm m = m = 1 Tm 8

9 Eksponennmerkintä Kymmenen potenssit (10 r ) ovat esimerkki yleisemmästä eksponennmerkinnästä a r. Potenssimerkintä lienee tuhu ainakin jos r on kokonaisluku: a r = a a a a... a r kertaa a = kantaluku, r = eksponenn Kun r on murtoluku, laskua sanotaan juuren ohamiseksi, esim a 1/2 = a a 0 = 1 a - m =1/a m Potenssien laskusäännöt 1 a n = n a m a n = n a m (ab) r = a r b r (a/b) r = a r /b r a r a s = a r+s a r /a s = a r- s ((a) r ) s = a rs n = ( a) m 9

10 Laske E n 2 32π 2 ε n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 10

11 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 11

12 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 12

13 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 = = =10 15 F 2 m 2 J 2 s 2 13

14 n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 = = =10 15 = F 2 m 2 J 2 s 2 kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J n 2 32π 2 ε 2 0 Laske E 1 E 1 = , kg (1, C) 4 32π 2 (8, Fm -1 ) 2 (1, Js) 2 = 2, (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2, J = = =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J 14

15 1.3 Pyöristyssäännöt Kerto- ja jakolaskussa pyöristetään sen luvun mukaan jossa on vähiten merkitseviä numeroita. Yhteenlaskussa pyöristetään sen luvun mukaan, jossa on vähiten desimaalipilkun jälkeisiä numeroita Mitä ovat merkitsevät numerot? 1,20 3 merk. nroa 1200 kg 2 merk. nroa 0,12 2 merk. nroa 1200,0 kg 5 merk. nroa 0,120 3 merk. nroa 12, kg 4 merk.nroa 1,2 2 merk. nroa 1, kg 2 merk.nroa 10,12 4 merk. nroa 1, kg 4 merk.nroa 10, merk. nroa 1, kg 6 merk.nroa Esimerkki: salisylihapon esteröinf ReakFon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakfonopeus, kun k = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1, [metanoli] = 5,0 mol dm - 3 ja [salisylihappo] = 0,45 mol dm - 3. Ratkaisu: v = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1 5,0 mol dm mol dm - 3 = 6, mol dm - 3 s - 1 = 6, mol dm - 3 s - 1x 15

16 Esimerkki: salisylihapon esteröinf ReakFon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakfonopeus, kun k = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1, [metanoli] = 5,0 mol dm - 3 ja [salisylihappo] = 0,45 mol dm - 3. Ratkaisu: v = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1 5,0 mol dm mol dm - 3 = 6, mol dm - 3 s - 1 = 6, mol dm - 3 s - 1x Esimerkki: salisylihapon esteröinf ReakFon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakfonopeus, kun k = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1, [metanoli] = 5,0 mol dm - 3 ja [salisylihappo] = 0,45 mol dm - 3. Ratkaisu: v = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1 5,0 mol dm mol dm - 3 = 6, mol dm - 3 s - 1 = 6, mol dm - 3 s - 1x 16

17 Esimerkki: salisylihapon esteröinf ReakFon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakfonopeus, kun k = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1, [metanoli] = 5,0 mol dm - 3 ja [salisylihappo] = 0,45 mol dm - 3. Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1 5,0 mol dm mol dm - 3 = 6, mol dm - 3 s - 1 = 6, mol dm - 3 s - 1x Esimerkki: salisylihapon esteröinf ReakFon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakfonopeus, kun k = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1, [metanoli] = 5,0 mol dm - 3 ja [salisylihappo] = 0,45 mol dm - 3. Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = 3, (mol dm - 3 ) - 1 s - 1 5,0 mol dm mol dm - 3 = 6, mol dm - 3 s - 1 = 6, mol dm - 3 s - 1x 2 merkitsevää numeroa 17

18 Esimerkki: summan pyöristäminen Orgaanisen kemian harjoitustöissä valmistenin asetyylisalisylihappoa (aspiriini). Ryhmän jäsenet punnitsivat "saaliinsa", ja mihaustulokset olivat: 3,2 g 2,75 g 2,9 g ja 1,17 g Kuinka paljon aspiriinia he valmisfvat yhteensä? Ratkaisu: 3,2 g + 2,75 g + 2,9 g + 1,17 g = 10,02 g = 10,0 g Pilkut ja pisteet Suomessa käytetään desimaalieronmena pilkkua, esim 3,14. Lähes koko muussa maailmassa käytetään pistehä, esim Etenkin englanninkielisessä teksfssä käytetään pilkkua usein suurten numeroiden pilkkomiseen aina 3 numeron välein, esim miljoona voidaan kirjoihaa näin: 1,000,000. Tämä aiheuhaa joskus hämmennystä ja väärinkäsityksiä, esim 20,000 tarkoihaisi suomenkielisessä teksfssä kahtakymmentä muha englanninkielisessä teksfssä kahtakymmentätuhaha. Tämä aiheuhaa joskus ongelmia myös FetojenkäsiHelyssä; esim. kun suomenkielisiä asetuksia käyhävään ohjelmaan ladataan dataa jossa desimaalieronmena toimii piste ( Etsi- korvaa toiminto on tällöin hyödyllinen.) 18