TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03
Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA: Sarjoje suppeemisesta Pro gradu -tutkielma, s. 40 Matematiikka Huhtikuu 03 Tässä tutkielmassa käsitellää reaalitermisiä lukujooja ja reaalitermisiä sarjoja. Aluksi esitetää lukujoo määritelmä sekä lukujoo perusomiaisuuksia. Käydää läpi Cauchy lukujoot ja osoitetaa, että lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o Cauchy lukujoo. Osoitetaa myös mootoise lukujoo suppeemiselle välttämätö ehto. Lukujoo termie yhteelaskua kutsutaa sarjaksi. Tämä tutkielma pääpaio o juuri sarjoissa. Tutkielmassa esitellää sarja määritelmiee ja tiettyie omiaisuuksiee. Käsitellää sarja suppeemie ja hajaatumie sekä sarja itseie suppeemie. Todistetaa, että itseisesti suppeeva sarja o suppeeva. Tutkielmassa esitellää useita suppeemistestejä sarjoille. Joihiki suppeemistesteihi tarvitaa sarjoja, joide suppeemisomiaisuudet ovat tuettuja. Tämä vuoksi käsitellää teleskooppiset sarjat, geometrie sarja ja p-sarjat. Tässä tutkielmassa käsitellää vertailutesti ja se raja-arvomuoto, osamäärätesti, juuritesti, Kummeri testi, Raabe testi, Gaussi testi ja Dirichlet testi. Lähdekirjallisuutea o pääasiassa käytetty Tom Apostoli teosta Mathematical Aalysis, Watso Fulksi teosta Advaced Calculus ja Walter Rudii teosta Priciples of Mathematical Aalysis.
Sisältö Johdato Lukujoot 3. Lukujooje perusomiaisuuksia................. 3. Cauchy lukujoot........................ 4.3 Lukujoo ylä- ja alaraja-arvo.................. 6.4 Lukujooje mootoisuus.................... 7 Sarjat 9. Sarjoje perusomiaisuuksia................... 9. Vuorottelevat sarjat........................ 4.3 Itseisesti ja ehdollisesti suppeemie.............. 5.4 Esimerkkisarjoja......................... 7.4. Teleskooppiset sarjat................... 7.4. Geometrie sarja.................... 8.4.3 P-sarjat.......................... 9 3 Suppeemistestejä sarjoille 0 3. Vertailutesti............................ 0 3. Itegraalitesti........................... 3.3 Osamäärätesti........................... 5 3.4 Juuritesti............................. 7 3.5 Kummeri testi.......................... 9 3.6 Raabe testi............................ 3 3.7 Gaussi testi........................... 34 3.8 Dirichelet testi......................... 36 Viitteet 40 i
Johdato Tässä tutkielmassa käsitellää reaalitermisiä lukujooja ja reaalitermisiä sarjoja. Luvussa yksi käsitellää lukujooje perusomiaisuuksia sekä lukujooje suppeemista ja hajaatumista. Kyseisessä luvussa esitellää myös Cauchy lukujoot ja tullaa todistamaa, että lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o Cauchy lukujoo. Luvussa yksi käsitellää myös mootoiset lukujoot ja lukujoo ylä- ja alaraja-arvot. Lukujooja tarvitaa muodostettaessa sarjoja, joissa tämä tutkielma pääpaio o. Sarjateoria o aalyysi osa-alue, joka käytäöllisistä sovelluksista voidaa maiita sarjakehitelmii pohjautuvat likiarvo määritelmät. Tässä tutkielmassa ei kuitekaa perehdytä likiarvoihi, vaa keskitytää tutkimaa sarjoje suppeemista ja erityisesti suppeemistestejä sarjoille. Tutkielma toisessa luvussa esitetää sarja määritelmä ja käydää läpi sarja yleisiä omiaisuuksia, esitellää muu muassa Cauchy ehto sarjoille. Luvussa kaksi käydää läpi myös vuorottelevat sarjat, joita jatkossa hyödyetää esimerkeissä ja lauseide todistuksissa.tässä luvussa tutustutaa suppeevii ja hajaatuvii sarjoihi sekä itseisesti suppeevii sarjoihi. Sarja suppeemiselle esitetää riittävä ja välttämätö ehto. Sarja itseisellä suppeemisella tarkoitetaa, että sarja termie itseisarvoista muodostettu sarja o suppeeva. Osoitetaa, että jokaie itseisesti suppeeva sarja o suppeeva. Luvussa kaksi käydää läpi myös teleskooppiset sarjat, geometrie sarja ja p-sarjat suppeemisomiaisuuksiee. Luvussa kolme käydää läpi yleisimpiä testejä sarjoje suppeemiselle, kute vertailutesti ja se raja-arvomuoto, juuritesti ja osamäärätesti. Näide lisäksi käydää läpi harvemmi käytetyt Kummeri, Raabe ja Gaussi testit. Näillä testeillä voidaa ratkaista tapauksia, joissa osamäärätesti ei aa tulosta. Luvussa kolme esitetää myös Dirichlet testi, jolla voidaa osoittaa sarja ehdollie suppeemie. Lukijalta odotetaa aalyysi tutemusta, kute itegroii ja rajaarvo hallitaa. Oletetaa, että lukija tutee käsittee rajoitettu lukujoo sekä o osaa käyttää kolmioepäyhtälöä. Tutkielmassa esitellää ylä- ja alarajaarvot, mutta ei iide omiaisuuksia. Lukija oletetaa osaava toimia mää-
ritelmä puitteissa, ku kyseiset raja-arvot tulevat myöhemmi käyttöö suppeemistestie yhteydessä. Lähdekirjallisuutea o pääasiassa käytetty Tom Apostoli teosta Mathematical Aalysis, Watso Fulksi teosta Advaced Calculus ja Walter Rudii teosta Priciples of Mathematical Aalysis.
Luku Lukujoot Tarkastelu aloitetaa lukujooista, joista päästää sarjoihi luvussa kaksi. Lukujooja tarvitaa, jotta voidaa määritellä sarjat. Tutkielmassa käsitellää reaalitermisiä lukujooja.. Lukujooje perusomiaisuuksia Pykälässä. määritellää lukujoo, lukujoo osajoo sekä lukujoo suppeemie ja hajaatumie. Todetaa myös, että jokaisella rajoitetulla lukujoolla o suppeeva osajoo. Tämä pykälä määritelmissä o käytetty lähteiä Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivuja 30, 3 ja 6. Määritelmä.. Lukujoolla tarkoitetaa fuktiota f, joka määrittelyjoukko o positiiviste kokoaislukuje joukko {,, 3,...}. Tällöi lukujoo arvojoukko o {F (), F (), F (3),...}. Arvojoukko voidaa myös kirjoittaa {F, F, F 3,...}, jolloi fuktio arvoa F kutsutaa lukujoo :eksi termiksi. Merkiä {F } tilalla voidaa käyttää lyhyempää merkitää F. Olkoo s = {s } päättymätö lukujoo ja k fuktio, joka määrittelyjoukko o positiiviset kokoaisluvut ja arvojoukko positiiviste kokoaislukuje osajoukko. Oletetaa, että k(m) < k(), jos m <. Yhdistetty fuktio s k o määritelty kaikilla kokoaisluvuill, ku. Jokaiselle tällaiselle luvulle pätee (s k)() = s k(). Yhdistettyä fuktiota s k kutsutaa lukujoo s osajooksi. Merkiä s k() tilalla voidaa käyttää merkitää s k, joka tarkoittaa lukujoo {s } osajooa, jok:s termi o s k(). 3
Seuraavaksi määritellää lukujoo raja-arvo. Määritelmä.. Kirjoitetaa lim = a tarkoittamaa, että jokaiselle ε > 0 o olemassa kokoaisluku N site, että kaikill > N. a < ε Määritelmä.3. Lukujoo { } saotaa oleva suppeeva, jos o olemassa piste a R site, että raja-arvo lim = a. Saotaa, että lukujoo suppeee kohti pistettä a. Jos lukujoo ei ole suppeeva, saotaa se oleva hajaatuva. Lause.. Jokaisella rajoitetulla lukujoolla o suppeeva osajoo. Todistus. Ks. [5, s. 39].. Cauchy lukujoot Pykälässä. määritetää Cauchy ehto lukujooille. Todistetaa, että lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o Cauchy lukujoo. Tämä lausee avulla voidaa osoittaa lukujoo suppeemie, vaikka ei tiedettäisi rajaarvoa, jota kohti kyseie lukujoo suppeee. Cauchy ehtoo lukujooille o käytetty lähteeä Walter Rudii teokse Priciples of Mathematical Aalysis sivua 39. Määritelmä.4 (Cauchy ehto lukujooille). Lukujoo {s } saotaa oleva Cauchy lukujoo, jos jokaiselle ε > 0 o olemassa kokoaisluku N site, että s s m < ε kaikill > N ja m > N. Cauchy ehto lukujooille voidaa muotoilla myös toisella tavalla, joka o yhtäpitävä esimmäise muotoilu kassa. Lukujoo {s } saotaa oleva Cauchy lukujoo, jos jokaiselle ε > 0 o olemassa kokoaisluku N site, että s s +p < ε kaikill > N ja p =,, 3... 4
Lause.. Lukujoo o supppeeva, jos ja vai jos se o Cauchy lukujoo. Todistus (ks. [5, s. 39]). Oletetaa, että lim s = s. Valitaa ε > 0, jolloi myös ε > 0. Tällöi o olemassa kokoaisluku N site, että kaikill N. Näi olle s s < ε, s s m s s + s s m ε + ε ε kaikill N ja m N. Suppeeva lukujoo {s } o siis Cauchy lukujoo. Oletetaa yt, että lukujoo {s } o Cauchy lukujoo. Todistetaa esi, että lukujoo {s } o rajoitettu. Ku ε = Cauchy lukujoo määritelmässä, voidaa valita kokoaisluku N site, että kaikill N ja m N. Erityisesti kaikill N. Valitaa Tällöi s s m s s N M = max( s,..., s N ). s M + kaikill =,, 3,... Nyt o osoitettu, että lukujoo {s } o rajoitettu. Lausee. mukaa rajoitetulla lukujoolla o suppeeva osajoo. Merkitää kyseistä osajooyt merkiällä {s k }. Merkitää raja-arvoa (.) s = lim s k. Olkoo ε > 0. Koska {s } o Cauchy lukujoo ii o olemassa kokoaisluku N site, että (.) s s m ε kaikill N ja m N. Kohda (.) raja-arvo mukaa o olemassa sellaie kokoaisluku N, että s p s ε, 5
ku p N. Valitaa m = p epäyhtälöö (.), jolloi saadaa kaikill N, eli s s s s kp + s kp s ε lim s = s. Siis Cauchy lukujoo o suppeeva. Näi olle lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o Cauchy lukujoo. Todistukse perusteella saadaa tulos, joka o syytä esittää omaa lauseeaa. Lause.3. Jokaie suppeeva lukujoo o rajoitettu..3 Lukujoo ylä- ja alaraja-arvo Pykälässä määritellää lukujoo ylä- ja alaraja-arvo. Lähteeä o käytetty Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivuja 353 355. Määritelmä.5. Olkoo { } reaalitermie lukujoo. Olkoo U reaaliluku, joka täyttää seuraavat ehdot. (i) Jokaista positiivilukua ε kohti o olemassa kokoaisluku N site, että kaikill > N. < U + ε (ii) Kaikilla ε > 0 ja kaikilla m > 0 o olemassa positiivie kokoaisluku site, että > U ε, ku > m. Tällöi reaalilukua U kutsutaa lukujoo { } yläraja-arvoksi. Merkitää U = lim sup. Ehdosta (i) seuraa, että joukko {a, a,...} o ylhäältä rajoitettu. Jos kyseie joukko ei ole ylhäältä rajoitettu, määritellää, että lim sup =. 6
Jos joukko {a, a,...} o rajoitettu ylhäältä, mutta ei alhaalta, ja lukujoolla { } ei ole äärellistä yläraja-arvoa, ii määritellää lim sup =. Lukujoo alaraja-arvo lim if määritellää lim if missä b =, ku =,, 3,... = lim sup b, Määritelmä.5 kohta (i) kertoo, että kaikki sarja termit sijaitsevat luvu U + ε vasemmalla puolella. Kohta (ii) taas kertoo, että äärettömä mota termiä sijaitsee luvu U ε oikealla puolella. Selvästi o olemassa tarkallee yksi luku U, joka täyttää ehdot (i) ja (ii). Jos lukujoo { } o suppeeva, ii lukujoolla { } o olemassa rajaarvo. Tällöi kyseise lukujoo ylä- ja alaraja-arvo yhtyvät lukujoo rajaarvoksi. Siis lim = lim sup = lim if. Esimerkki. (ks. [, s. 355]). Tarkastellaa lukujooa { }, jossa = ( ). Lukujoo termi saa parillisill: arvoilla arvoksee ja parittomilla arvoksee. Lukujoo arvojoukko o siis {, }. Näi olle alaraja-arvo ja yläraja-arvo lim if = lim sup =..4 Lukujooje mootoisuus Pykälässä.4 määritellää mootoie lukujoo. Tullaa myös todistamaa, että mootoie lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o rajoitettu. Mootoise lukujoo määritelmä o kirjoitettu Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivu 355 pohjalta. Määritelmä.6. Olkoo { } reaalitermie lukujoo. Lukujoo saotaa oleva kasvava, jos + kaikill =,, 3,... Lukujoo saotaa oleva väheevä, jos + kaikill =,, 3,... Lukujooa kutsutaa mootoiseksi, jos se o joko kasvava tai väheevä. 7
Lause.4. Mootoie lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o rajoitettu. Todistus. Ks. [5, s. 4] 8
Luku Sarjat Luvussa kaksi käydää läpi sarja määritelmä sekä joitai perusomiaisuuksia. Tässä luvussa määritellää myös sarja suppeemie ja sarja itseisesti suppeemie. Luvussa kaksi esitetää myös teleskooppiset sarjat, geometrie sarja ja p-sarjat suppeemisomiaisuuksiee.. Sarjoje perusomiaisuuksia Tässä pykälässä määritellää sarja sekä esitetää riittävä ja välttämätö ehto sarja suppeemiselle. Lause. käsittelee sarja aritmeettisia operaatioita. Lause.3 esittää Cauchy ehdo sarjoille. Tämä pykälä määritelmä lähteeä o käytetty Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivuja 355 356. Sarjoilla tarkoitetaa lukujoo termie yhteelaskua. Sarja tarkka määritelmä o esitetty alla. Määritelmä.. Olkoo { } lukujoo. Muodostetaa lukujoo {s } site, että (.) s = a + a + + = a k ( =,, 3,...). Tällä tavalla muodostettua lukujooa {s } kutsutaa (äärettömäksi) sarjaksi. Lukua s kutsutaa sarja :eksi osasummaksi ja termiä kutsutaa sarja :eksi termiksi. Sarja saotaa oleva hajaatuva, jos lukujoo {s } o hajaatuva. Sarja saotaa oleva suppeeva, jos lukujoo {s } o suppeeva. Myös merkiöillä a + a + + +, a + a + a 3 + ja a k. 9
tarkoitetaa kohdassa (.) määriteltyä sarjaa. Kirjaita k käytetää ideksiä merkiässä a k. Ideksi k tilalle voidaa kirjoittaa myös joki muu sopiva kirjai. Jos p o kokoaisluku site, että p, merkitä =p b tarkoittaa samaa kui merkitä, missä b = p+. Jos ei ole vääriymmärrykse mahdollisutta, voidaa käyttää merkitää b merkiä =p b tilalla. Jos kohdassa (.) määritelty sarja {s } suppeee kohti lukua s, kutsutaa lukua s sarja summaksi. Nyt voidaa kirjoittaa s = a k. Suppeevalle sarjalle yllä olevaa merkitää voidaa käyttää tarkoittamaa sekä sarjaa, että se summaa. Sarja saotaa oleva positiivitermie sarja, jos sarja kaikki termit ovat positiivisia. Lause.. Oletetaa, että sarja suppeee kohti lukua a ja sarja b kohti lukua b. Tällöi sarja (α + βb ) suppeee kohti lukua αa + βb, jokaiselle parille vakioita α ja β, jolloi siis (α + βb ) = α + β b. Todistus (ks. [, s. 356]). Oletukse mukaa sarja suppeee kohti lukua a ja sarja b kohti lukua b, jote Tällöi lim lim a k = a ja lim (αa k + βb k ) = lim = α lim b k = b. αa k + lim = αa + βb. βb k a k + β lim b k Tämä todistaa, että sarja (α + βb ) suppeee kohti lukua αa + βb. 0
Lause.. Oletetaa, että sarja o positiivitermie eli kaikki sarja a termit 0, ku =,, 3... Tällöi sarja o suppeeva, jos ja vai jos se osasummie muodostama lukujoo o ylhäältä rajoitettu. Todistus (ks. [4, s. 34]). Osasummie muodostama lukujoo o kasvava, jolloi kyseie lukujoo o mootoie. Lausee.4 mukaa mootoie lukujoo o suppeeva, jos ja vai jos se o rajoitettu. Jotta kasvava lukujoo olisi rajoitettu, täytyy se imeomaa olla ylhäältä rajoitettu. Luvussa yksi esitettii Cauchy ehto lukujooille. Tästä ehdosta saadaa suoraa johdettua Cauchy ehto sarjoille, joka esitetää seuraavaa. Lause.3 (Cauchy ehto sarjoille). Sarja suppeee, jos ja vai jos jokaiselle ε > 0 o olemassa kokoaisluku N site, että (.) + +... + +p < ε kaikill > N ja p =,, 3,... Todistus (ks. [, s. 356]). Jos sarja o suppeeva, ii se osasummie muodostama lukujoo o myös suppeeva. Olkoo s = a k. Nyt voidaa kirjoittaa kahde osasumma erotus s +p s = + + + +p. Tähä kahde osasumma erotuksee voidaa soveltaa Cauchy ehtoa lukujooille (lause.), jolloi todetaa osasummie lukujoo oleva todella Cauchy lukujoo, mistä sarja suppeevuus seuraa. Valitaa p = epäyhtälössä (.). Tällöi saadaa tulos, joka o syytä kirjata omaksi lauseeksee. Lause.4. Ehto lim = 0 o välttämätö sarja suppeemiselle. Lausee.4 atama ehto suppeemiselle ei kuitekaa ole riittävä. Tämä osoittaa seuraava esimerkki.
Esimerkki. (ks. [, s. 357]). Tarkastellaa sarjaa = Raja-arvo lim = 0. Valitaa = m ja p = m, jolloi + + + +p =. m + + + m + m m m + = m. Huomataa, että Cauchy ehto sarjoille (lause.3) ei toteudu, ku ε. Täte sarja hajaatuu. Kyseistä sarjaa kutsutaa harmoiseksi sarjaksi. Seuraavaksi esitettävää tulosta hyödyetää pykälässä.4, ku tutustutaa p-sarjoihi. Lause.5. Oletetaa, että a a a 3 0. Tällöi sarja o suppeeva, jos ja vai jos sarja o suppeeva. k a k = a + a + 4a 4 + 8a 8 + k=0 Todistus (ks. [5, s. 46]). Lausee. mukaa sarja k a k o suppeeva, jos ja vai jos se osasummie muodostama lukujoo o ylhäältä rajoitettu. Tutkitaa siis sarja osasummie s ja t k rajoittueisuutta. Olkoo Kaikill < k pätee, että s = a + a + +, t k = a + a + + k a k. s a + (a + a 3 ) + + (a k + + a k+ ) a + a + + k a k = t k.
Näi olle (.3) s t k. Toisaalta, jos > k, ii Tällöi s a + a + (a 3 + a 4 ) + + (a k + + + a k) a + a + a 4 + + k a k = t k. (.4) s t k. Ehdo (.3) mukaa lukujoo {s } o rajoitettu, jos lukujoo {t k } o rajoitettu. Toisaalta ehdo (.4) mukaa lukujoo {t k } o rajoitettu, jos lukujoo {s } o rajoitettu. Kummatki lukujoot {s } ja {t k } ovat joko rajoitettuja ja suppeevia tai rajoittamattomia ja hajaatuvia. Näi olle sarja o suppeeva, jos ja vai jos sarja k a k o suppeeva. Esimerkki.. Tutkitaa sarja log = suppeemista. Kyseiselle sarjalle pätee a a a 3 0, jote voidaa käyttää lausetta.5. Tutkitaa yt siis sarja k a k suppeemista. Saadaa k k (log k ) = k log = log Kyseie sarja o hajaatuva harmoisea sarjaa esimerki. ojalla. Siis lausee.5 perusteella myös sarja log o hajaatuva. = 3 k=0 k.
. Vuorottelevat sarjat Tässä pykälässä määritellää vuorottelevat sarjat ja todistetaa ehto iide suppeemiselle. Vuorotteleva sarja määritelmä (.) o kirjoitettu Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivu 358 pohjalta. Sarjaa kutsutaa vuorottelevaksi (alteroivaksi), jos se saa vuorotelle positiivisia jegatiivisia arvoja. Vuorotteleva sarja määritelmä o esitetty seuraavaa. Määritelmä.. Jos > 0 kaikilla positiivisilla kokoaisluvuille, ii sarjaa ( ) + kutsutaa vuorottelevaksi sarjaksi. Lause.6. Oletetaa lukujoo { } oleva väheevä ja suppeeva kohti lukuolla. Tällöi vuorotteleva sarja ( ) + suppeee. Jos s o vuorotteleva sarja summa ja s sarja :s osasumma, ii (.5) 0 < ( ) (s s ) < +, ku =,, 3... Todistus (ks. [, s. 358]). Muodostetaa osasumma Toisaalta s = a (a a 3 ) ( ) < a. s + s = + + > 0. Näi olle lukujoo {s } o rajoitettu ja kasvava. Tällaie lukujoo {s } o lausee.4 mukaa suppeeva. Samate lukujoo {s }, joka o rajoitettu ja väheevä, o lausee.4 mukaa myös suppeeva. Nämä kaksi sarjaa suppeevat kohti samaa arvoa, sillä s + s = + ja lim = 0. Nyt jokaista luku kohti o olemassa luku m site, että s m s s m+. Lukujoo {s } o siis suppeeva. 4
Epäyhtälö (.5) o seuraus epäyhtälöistä ( ) (s s ) = ( ) k+ +k = (+k +k ) > 0 ja ( ) (s s ) = + (+k +k+ ) < +. Ku lauseessa (.6) sarja summaa s arvioidaa osasummalla s, tehty virhe o merkiltää sama kui esimmäie huomiotta jätetty termi, ja suuruudeltaa pieempi kui kyseie termi epäyhtälö.5 mukaa..3 Itseisesti ja ehdollisesti suppeemie Sarjoje suppeemie määriteltii pykälässä.. Tässä pykälässä määritellää ehdollisesti ja itseisesti suppeeva sarja. Tullaa myös todistamaa, että itseisesti suppeeva sarja o suppeeva. Itseisesti suppeeva sarja määritelmä o kirjoitettu Tom Apostoli teokse Mathematical Aalysis sivu 359 perusteella. Määritelmä.3. Sarjaa kutsutaa itseisesti suppeevaksi, jos sarja suppeee. Kyseistä sarjaa kutsutaa ehdollisesti suppeevaksi, jos sarja o suppeeva, mutta sarja o hajaatuva. Lause.7. Itseisesti suppeeva sarja o suppeeva. Todistus (ks. [, s. 359]). Koska sarja suppeee itseisesti, ii sarja suppeee. Valitaa ε > 0. Tällöi o olemassa kokoaisluku N site, että + +... + a p+ = + +... + +p < ε, ku N ja p =,, 3,... Nyt kolmioepäyhtälö perusteella + +... + +p + +... + +p < ε, ku N ja p =,, 3,... Sarja täyttää siis Cauchy ehdo (lause.3). Näi olle sarja o suppeeva. Tarkastellaa ehdollista suppeemista esimerki avulla. 5
Esimerkki.3 (ks. [, s. 359]). Tarkastellaa sarjaa = ( ) +. Lukujoo {/} o väheevä ja raja-arvo lim = 0. Nyt kyseie vuorotteleva sarja suppeee lausee.6 mukaa. Sarja ( ) + = + + 3 + + + o hajaatuva esimerki. ojalla. Tarkasteltu sarja siis suppeee, mutta ei suppee itseisesti. Sarja o siis ehdollisesti suppeeva. Lause.8. Sarjalle määritellää (.6) p = + Tällöi ja q =, ku =,, 3,... (i) sarjat p ja q ovat hajaatuvia, jos sarja o ehdollisesti suppeeva, (ii) sarjat p ja q ovat suppeevia ja = jos sarja o suppeeva. p q, Todistus (ks. [, s. 359 360]). Yhtälöide (.6) mukaa = p q ja = p + q. Kohda (i) todistusta varte oletetaa, että sarja o ehdollisesti suppeeva, jolloi sarja o hajaatuva. Jos sarja q o suppeeva, ii myös sarja p o suppeeva lausee. mukaa, koska p = + q. Samate, jos sarja p o suppeeva, ii myös sarja q o suppeeva. Näi olle, jos jompikumpi sarjoista p tai q o suppeeva, ii kummatki sarjat ovat suppeevia. Jos kummatki sarjat ovat suppeevia, ii 6
myös sarja o suppeeva, sillä = p + q. Tästä seuraa ristiriita alkuperäise oletukse kassa, jote ehto (i) pätee. Todistetaa yt lausee (.8) ehto (ii). Jos sarja o suppeeva, ii myös sarja o suppeeva lausee.7 mukaa. Kahdesta suppeevasta sarjasta yhteelaskulla saatava sarja o suppeeva lausee. mukaa. Näi olle sarjat p ja q ovat suppeevia lausee (.) mukaa. Todistetaa vielä kohda (ii) toie osa p q = = = = + + ( a a ) +. + ( a + Yllä esitetty yhtälöketju pitää paikkasa lausee. ojalla. Tämä todistaa lausee. ).4 Esimerkkisarjoja Tässä pykälässä määritellää teleskooppiset sarjat, geometrie sarja ja p- sarjat suppeemisomiaisuuksiee..4. Teleskooppiset sarjat Lause.9 (Teleskooppiset sarjat). Oletetaa, että { } ja {b } ovat kaksi lukujooa site, että = b + b kaikille positiivisille kokoaisluvuille. Tällöi sarja suppeee, jos ja vai jos raja-arvo lim b o olemassa, jolloi = lim b b. Todistus (ks. [, s. 4] ja [, s. 356]). Tarkastellaa sarja :ttä 7
osasummaa s = a k = (b k+ b k ) = (b b ) + (b 3 b ) + + (b + b ) Siis = b + (b b ) + + (b b ) + b + = b + b. lim s = lim b + b = lim b b. Näi olle joko kummatki lukujoot {b } ja {s } ovat suppeevia tai kummatki ovat hajaatuvia..4. Geometrie sarja Lause.0 (Geometrie sarja). Sarjaa, joka perättäiste termie osamäärä pysyy vakioa, kutsutaa geometriseksi sarjaksi. Sarja voidaa merkitä x k = + x + x + k=0 (i) Jos x <, ii geometrie sarja o suppeeva ja sarja summa o /( x). (ii) Jos x, ii geometrie sarja o hajaatuva. Todistus (ks. [, s. 36]). Muodostetaa geometrise sarja :s osasumma Jos x, ii s = + x + x + + x. ( x)s = ( x) x k = k=0 (x k x k+ ) = x +. k=0 Viimeie yhtäsuuruus saadaa vastaavasti kui lauseessa 3.3. Jaetaa yhtälö puolittai termillä x, jolloi s = x+ x = x x+, ku x. x 8
Ku x <, ii sarja yleise termi raja-arvo lim x = 0, jolloi sarja suppeee kohti summaa ( ) lim s = lim x x+ x = x. Tämä todistaa kohda (i). Ku x >, geometrie sarja hajaatuu lausee.4 ojalla, sillä rajaarvo lim x = 0. Jos x =, ii sarja jokaie termi o, jolloi s, ku. Kummassaki tapauksessa geometrie sarja hajaatuu lausee. mukaa. Tämä todistaa kohda (ii)..4.3 P-sarjat Lause.. Sarjaa kutsutaa p-sarjaksi. P-sarja o suppeeva, jos p p >. Jos p, kyseie sarja o hajaatuva. Todistus (ks. [5, s. 47]). Jos p 0, ii lim p 0 o suppe- ja sarja o hajaatuva lausee.4 mukaa. p Jos p > 0, sovelletaa lausetta.5, joka mukaa sarja eva, jos ja vai jos sarja k = ( p)k kp o suppeeva. Nyt k=0 k=0 p <, jos ja vai jos p < 0 eli p >. p Tällöi sarja k=0 (( p) ) k suppeee geometriseä sarjaa lausee 3.4 mukaa. Siis p-sarjat ovat suppeevia vai, jos p >. Näi olle p-sarjat ovat hajaatuvia jos p. Esimerkissä. esitetty harmoie sarja o erityistapaus p-sarjoista. Harmoiselle sarjalle p =. Kute esimerkissä. jo huomattii, harmoie sarja o hajaatuva. Tämä voitaisii yt todeta suoraa lausee 3.5 perusteella. 9
Luku 3 Suppeemistestejä sarjoille Tässä luvussa esitetää erilaisia suppeemistestejä sarjoille. 3. Vertailutesti Pykälässä 3. esitetää vertailutesti ja se raja-arvomuoto. Testeihi tutustutaa myös esimerkkie avulla. Lause 3. (Vertailutesti). Oletetaa, että > 0 ja b > 0 kaikilla positiivisilla kokoaisluvuill. Jos o olemassa positiiviset vakiot c ja N site, että < cb kaikill N, ii sarja o suppeeva, jos sarja b o suppeeva. Todistus (ks. [, s. 360]). Sarja osasummie muodostama joo o rajoitettu, jos sarja b osasummie joo o rajoitettu. Sarja b osasummie joo o rajoitettu lausee. mukaa, koska kyseie sarja o suppeeva. Sama lausee mukaa sarja o suppeeva, koska se osasummie muodostama lukujoo o rajoitettu. Esimerkki 3. (ks. [4, s. 343]). Tutkitaa sarja = ( ) suppeemista vertailutesti avulla. Ku >, ii ( ) > =. 0
Tästä voidaa ottaa puolittai eliöjuuret, jolloi saadaa ( ) >, ku >. Harmoie sarja o esimerki. perusteella hajaatuva. Näi olle sarja ( ) o hajaatuva vertailutesti perusteella. Lause 3. (Vertailutesti raja-arvomuoto). Oletetaa, että > 0 ja b > 0 kaikille =,, 3,... Jos 0 < lim <, b ii kummatki sarjat ja b suppeevat tai kummatki sarjat hajaatuvat. Todistus (ks. [4, s. 343]). Jos raja-arvo lim = A, b missä A > 0, ii o olemassa kokoaisluku N site, että A b < A, jos > N. Tällöi josta saadaa Eli b < A < b A < A, A < b < 3 A < A. ( ) ja < (A)b kaikill > N. A Nyt vertailutesti mukaa sarja o suppeeva, jos ja vai jos sarja b o suppeeva. Näi olle toie sarjoista o suppeeva, jos toieki sarjoista o. Toie sarjoista hajaatuu siis vai silloi, ku toieki sarjoista hajaatuu.
Seuraavaksi esitetää esimerkki, jossa p-sarjoja hyödyetää vertailutesti raja-arvomuodo kassa. Esimerkki 3.. Tarkastellaa sarja 3 ( + 8) suppeemista.vertailusarjaa käytetää sarjaa, joka o suppeeva p- sarja lausee. mukaa. Muodostetaa raja-arvo lim 3 ( + 8) : = lim 3 ( + 8) = lim + 8 =. Koska raja-arvo o olemassa ja se o suurempi kui olla, ii tutkittu sarja suppeee vertailutesti raja-arvomuodo perusteella. 3. Itegraalitesti Tässä pykälässä käydää läpi itegraalitesti todistuksiee. Itegraalitesti avulla tutustutaa Euleri vakioo esimerkissä 3.3. Lause 3.3 (Itegraalitesti). Oletetaa fuktio f oleva positiivie ja väheevä fuktio, joka määrittelyjoukko o [, [. Oletetaa myös, että fuktio f(x) raja-arvo lim f(x) = 0. x Olkoo s = f(k), t = kaikille positiivisille kokoaisluvuille. Tällöi f(x) ja d = s t (i) 0 < f( + ) d + d f(), kaikill =,, 3,..., (ii) raja-arvo lim d o olemassa, (iii) sarja f() o suppeeva, jos ja vai jos lukojoo {t } o suppeeva (iv) 0 d k lim d f(k), kaikill =,, 3,...
Todistus (ks. [, s. 36-36]). Kohda (i) todistusta varte, kirjoitetaa Tästä seuraa, että t + = + f(x) dx = k+ f(k) dx = k+ f(x) dx f(k) = s. f( + ) = s + s s + t t+ = d +. Yllä oleva epäyhtälö sekä tiedo, että fuktio f(x) o positiivie ja väheevä raja-arvoaa lim x f(x) = 0 perusteella saadaa, että (3.) 0 < f( + ) d +. Toisaalta pätee (3.) d d + = t + t (s + s ) = + + f(x) dx f( + ) f( + ) dx f( + ) = ( + )f( + ) f( + ) f( + ) = 0. Tällöi (3.3) d + d d = f(). Lausee esimmäie kohta o todistettu yt epäyhtälöide (3.) ja (3.3) avulla. Itegraalitesti kohdasta (i) seuraa kohta (ii). Kohta (iii) seuraa taas kohdasta (ii). Seuraavaksi todistetaa lausee kohta (iv). Arvioidaa vastaavasti kui epäyhtälössä (3.), jolloi Nyt 0 d d + + =k =k f() dx f( + ) = f() f( + ). 0 (d d + ) (f() f( + )), jos k. 3
Huomataa, että kyseiset sarjat ovat teleskooppisia. Nyt voidaa käyttää lausetta.9, jolloi saadaa 0 lim d + d k lim f() + f(k) ja edellee Tämä todistaa kohda (iv). 0 d k lim d f(k). Merkitää D = lim d, jolloi lausee 3.6 kohdasta (i) seuraa, että 0 D f(). Toisaalta kyseise lausee kohda (iv) mukaa (3.4) 0 f(k) f(x)dx D f(). Kyseie epäyhtälö o hyödyllie arvioitaessa tiettyjä äärellisiä summia itegroimalla. Määritelmä 3.. Oletetaa, että { } ja {b } ovat lukujooja site, että b 0 kaikille positiivisille kokoaisluvuille. Merkitää = O(b ), jos o olemassa vakio M > 0 site, että Mb kaikille positiivisille kokoaisluvuille. Merkitää yt jos lim /b = 0. Yhtälöstä = o(b ), ku, = c + O(b ) seuraa, että c = O(b ). Samate yhtälöstä = c + o(b ) seuraa, että c = o(b ). Näide merkitöje avulla tiettyjä epäyhtälöitä voidaa korvata yhtälöillä. Esimerkiksi epäyhtälö (3.4) saadaa muotoo (3.5) f(k) = f(x) dx + D + O(f()). 4
Esimerkki 3.3 (ks. [, s. 363]). Tarkastellaa tapausta, missä f(x) = x. Selvästi f(x) o positiivie ja väheevä kaikilla positiivisilla muuttuja x arvoilla. Huomataa, että raja-arvo lim x x = 0. Nyt voidaa soveltaa itegraalitestiä, sillä se asettamat ehdot täyttyvät. Tällöi t = dx = log. x Raja-arvo lim log =, jote lukujoo {t } o hajaatuva. Näi olle sarja o hajaatuva itegraalitesti ojalla. Harmoise sarja hajaatumie osoitettii Cauchy ehtoo perustue jo esimerkissä.. Tapauksesta tulee kuiteki kiiostava, ku muodostetaa lausee 3.3 kohda (ii) mukaie raja-arvo ( ) lim k log. Kyseistä raja-arvoa kutsutaa Euleri vakioksi ja sitä merkitää kirjaimella C (tai γ). Nyt yhtälö (3.5) mukaa harmoise sarja osasummia voidaa laskea yhtälö avulla. 3.3 Osamäärätesti k = log + C + O ( ) Tässä pykälässä käsitellää osamäärätesti. Osamäärätesti o yksi yleisimmistä testeistä tutkittaessa sarjoje suppeemista. Osamäärätestiä kutsutaa myös d Alemberti osamäärätestiksi, julkaisijasa Jea le Rod d Alemberti mukaa. Lause 3.4 (Osamäärätesti). Oletetaa, että sarja termit ovat erisuuria kui olla. Merkitää r = lim if + ja R = lim sup + Tällöi 5
(a) sarja suppeee itseisesti, jos R <, (b) sarja hajaatuu, jos r >, (c) testi ei aa tulosta, jos r R. Todistus (ks. [, s. 363]). Olkoo R <. Valitaa x site, että R < x <. Luvu R määritelmä mukaa o olemassa kokoaisluku N site, että Koska x = x + /x, saadaa Täte + / < x, jos N. + x + x a N, jos N. xn cx, jos N, missä c = a N x N. Vertailutesti mukaa tästä seuraa lausee 3.4 ehto (a) eli sarja o suppeeva. Kohda (b) todistusta varte todetaa, että ku r > ii + > kaikille N. Nyt ei voi olla, että lim = 0, joka o välttämätö ehto sarja suppeemiselle. Näi olle sarja o hajaatuva. Tämä todistaa kohda (b). Kohda (c) todistusta varte tarkastellaa vastaesimerkkiä sarjoja ja. Kummassaki tapauksessa r = R =. Sarja o hajaatuva esimerki. perusteella. Sarja taas o suppeeva p-sarja lausee. mukaa. Huomataa, että jos lim + = lim if + = lim sup ii osamäärätesti ei aa tulosta tarkallee silloi, ku lim + =. + Tarkastellaa vielä osamäärätesti käyttöä esimerki avulla., 6
Esimerkki 3.4 (ks. [4, s. 350]). Tarkastellaa sarja ( ) suppeemista osamäärätesti avulla. Sarja ( ) =. Muodostetaa yt kahde peräkkäise termi osamäärä itseisarvo ylärajaarvo ( lim sup + + + = lim sup = lim sup = lim sup + ) = +. Koska kyseie yläraja-arvo o <, ii sarja ( ) o itseisesti suppeeva osamäärätesti perusteella. 3.4 Juuritesti Pykälässä 3.5 käsitellää juuritesti, jota kutsutaa myös Cauchy juuritestiksi. Lause 3.5 (Juuritesti). Olkoo sarja, jolle merkitää Tällöi p = lim sup a. (a) sarja o itseisesti suppeeva, jos p <, (b) sarja o hajaatuva, jos p >, (c) testi ei aa tulosta, jos p =. Todistus (ks. [, s. 364]). Oletetaa, että p <. Valitaa luku x site, että p < x <. Raja-arvo p määritelmästä seuraa, että o olemassa sellaie kokoaisluku N site, että < x, ku N. Näi olle sarja o suppeeva vertailutesti ojalla. Tämä todistaa kohda (a). 7
Jos p >, ii > äärettömä usei, jote raja-arvo lim 0. Koska raja-arvo ei ole olla, sarja o hajaatuva. Kohta (b) o äi todistettu. Kohta (c) voidaa todistaa käyttäe samoja sarjoja esimerkkeiä kui osamäärätesti todistuksessa. Tarkastellaa seuraavaksi osamäärätesti käyttöä esimerki avulla. Esimerkki 3.5 (ks. [5, s. 5]). Tarkastellaa sarja + 3 + + 3 + 3 + 3 3 + 4 + 3 4 + suppeemista. Sovelletaa esi osamäärätestiä. Määritetää sarja perättäiste termie osamäärä alaraja-arvo ( ) ( ) lim if + = lim if 3 = lim if = 0. 3 Määritetää myös kyseise tapaukse yläraja-arvo ( ) lim sup + = lim sup 3 Nyt lim if lim sup + lim sup a = lim sup = lim sup + ( ) 3 =. jote osamäärätesti ei aa tulosta. Sovelletaa seuraavaksi juuritestiä. Muodostetaa yläraja-arvo + = lim sup = lim sup =. + +/ Koska lim sup <, ii sarja o suppeeva juuritesti perusteella. Juuritestillä saatii siis ratkaistua sarja suppeemie, vaikka osamäärätestillä sitä ei saatukaa selville. 8,
3.5 Kummeri testi Seuraavaksi esitellää Kummeri testi. Kummeri testi o kehitelty, jotta voitaisii tutkia tapauksia, joissa lim + / =. Lause 3.6 (Kummeri testi). Olkoo positiivitermie sarja. (a) Jos o olemassa positiivie lukujoo {b }, positiivie vakio α ja kokoaisluku N, joille c = ii sarja o suppeeva. + b b + α kaikill N, (b) Jos o olemassa positiivie lukujoo {b } ja kokoaisluku N site, että c = b b + 0 kaikill N, + ii sarja o hajaatuva, jos sarja b o hajaatuva. Kohdat (a) ja (b) voidaa esittää myös ylä- ja alaraja-arvo avulla. (a) Sarja o suppeeva, jos lim if c > 0. (b) Sarja o hajaatuva, jos lim sup < 0 ja sarja /b o hajaatuva. Todistus (ks. [4, s. 353]). Oletetaa, että o olemassa positiivie lukujoo {b }, positiivie vakio α ja luku N site, että Kummeri testi kohta (a) toteutuu. Koska + > 0, ii b b + + α+, jos N. Siis b N a N b N+ a N+ αa N+, b N+ a N+ b N+ a N+ αa N+, b N+p a N+p b N+p a N+p αa N+p, missä p o positiivie kokoaisluku. Laskemalla epäyhtälöt yhtee saadaa b N a N b N+p a N+p α(a N+ + + a N+p ). Nyt sarja osasummille s saadaa s N+p s N α (b Na N b N+p a N+p ) α b Na N. 9.
Siis s N+p s N + α b Na N. Näi olle lukujoo {s N+p } o ylhäältä rajoitettu. Tällöi myös osasummie muodostama lukujoo {s } o rajoitettu eli sarja o suppeeva. Tämä todistaa kohda (a). Todistetaa yt kohta (b). Oletetaa, että o olemassa sellaie positiivie kokoaisluku N, että c 0, ku N. Oletetaa myös sarja /b oleva suppeeva. Tällöi b b + + 0 kaikill N. Näi olle lukujoo { b } o ei-väheevä. Tällöi b b b N a N kaikill N. Tästä seuraa, että b N a N /b. Vertailuperiaattee mukaa sarja hajaatuu, koska sarja /b hajaatuu. Tämä todistaa kohda (b). Kummeri testiä käytettäessä täytyy siis aia löytää sopiva lukujoo b ja vakio α. Seuraavaksi tutustutaa Kummeri testi käyttöö esimerki avulla. Esimerkki 3.6. Tarkastellaa sarja = + 3 4 + 3 5 4 6 3 5 ( ) + + 3 4 6 () + suppeemista. Muodostetaa kahde peräkkäise termi osamäärä rajaarvo + lim 3 5 ( )( + ) = lim 4 6 ()( + ) + ( + ) = lim ( + )( + ) = lim + / + 4/ + / =. 4 6 () 3 5 ( ) Osamäärätesti ei siis aa tulosta. Sovelletaa siis Kummeri testiä. Nyt = + + + + ( = + ) ( ) +. + 30
Tällöi ( ( + ) = + + + ) ( + = ( + ) ( + ) + + + = + +. Koska lukujoo { + } o väheevä ja raja-arvo + ii lim + + =, + ( + ) > 0. ) ( + ) Näi olle o olemassa Kummeri testi mukaie positiivie lukujoo {b } = {}, ku o positiivie kokoaisluku. O myös olemassa positiivie vakio α =. Sarja o siis suppeeva Kummeri testi mukaa. 3.6 Raabe testi Tässä pykälässä käsitellää Raabe testi, joka o johdaaie Kummeri testistä. Raabe testissä Kummeri testi lukujooksi {b } o valittu lukujoo {}. Lause 3.7 (Raabe testi). Olkoo positiivitermie sarja. Oletetaa raja-arvo ( ) lim a = r + oleva olemassa. Tällöi (a) sarja o suppeeva, jos r >, (b) sarja o hajaatuva, jos r <, (c) jos r =, testi ei aa tulosta. Todistus (ks. [3, s. 3]). Oletaa, että raja-arvo ( ) lim a = r + 3
o olemassa. Nyt o olemassa ε > 0, jolle o olemassa positiivie kokoaisluku N site, että ( ) a r ε < < r + ε + kaikilla positiiivisilla kokoaisluvuill N. Näi olle (3.6) + ( + ) < (r ) + ε ja (3.7) + ( + ) > (r ) ε kaikill N. Jos r >, valitaa ε = r > 0. Nyt epäyhtälöstä (3.7) saadaa, että ( + ) > (r ) ε = r + kaikill N. Huomataa, että kyseessä o Kummeri testi tapaus (a), jossa b = ja α = r. Sarja o siis suppeeva Kummeri testi ojalla, ku r >. Jos r <, ii valitaa ε = r > 0. Nyt epäyhtälöstä (3.6) saadaa, että ( + ) < (r ) + ε = r + kaikilla kokoaisluvuill N. Huomataa, että kyseessä o Kummeri testi tapaus (b). Nyt > 0 < 0 α = r < 0, jolloi c < 0. Sarja b =, jote sarja /b = /. Sarja / o hajaatuva esimerki. perusteella harmoisea sarjaa. Näi olle sarja o hajaatuva Kummeri testi perusteella, ku r <. Jos r =, ii sarja voi olla suppeeva tai hajaatuva. Tämä voidaa osoittaa käyttäe esimerkkejä (ks. [3, s. 3 4]). 3
Esimerkki 3.7 (ks. [3, s. 8]). Tarkastellaa sarjaa = 3 5 ( ). ( + )! Olkoo positiivie kokoaisluku. Sovelletaa esi osamäärätestiä. Muodostetaa kahde peräkkäise termi osamäärä itseisarvo yläraja-arvo lim sup + = lim sup = lim sup =. + ( + )! 3 5 (( + ) ) + ( + ) 3 5 ( ) ( + )! Huomataa, että osamäärätesti ei aa tulosta. Sovelletaa Raabe testiä. Muodostetaa kahde peräkkäise termi osamäärä Näi olle Siis raja-arvo + = = 3 5 ( ) ( + )! ( + ) + = + 3 +. + ( + )! 3 5 (( + ) ) ( ) ( a = + 3 ) + + = 3 +. ( ) a 3 lim = lim + + = 3. Koska yllä esitetty raja-arvo o suurempi kui yksi, ii sarja o suppeeva Raabe testi ojalla. 33
3.7 Gaussi testi Tässä pykälässä esitetää Gaussi testi, joka myös o johdaaie Kummeri testistä. Gaussi testiä voidaa käyttää Raabe testi asemasta, sillä se voi ataa tulokse tapauksissa, joissa Raabe testi ei sitä aa. Käytetää Raabe testi mukaisesta raja-arvosta merkitää lim ( a + ) = r. Lause 3.8 (Gaussi testi). Olkoo positiivitermie sarja. Oletetaa, että o olemassa rajoitettu lukujoo {A }, mielivaltaie reaaliluku r ja positiivie kokoaisluku N site, että + = + r + A, kaikilla positiivisilla kokoaisluvuill > N. Tällöi (a) sarja o suppeeva, jos r >, (b) sarja o hajaatuva, jos r. Todistus (ks. [6, s. 09]). Osoitetaa esi, että Gaussi testi o erikoistapaus Raabeli testistä. Nyt Siis jote + = + r + A. ( ) a = r + A +, ( ) ( lim a = lim r + A ) = r. + Huomataa, että Gaussi testi tosiaa o erikoistapaus Raabe testistä. Nyt tapaukset r > ja r < seuraavat suoraa Raabe testistä. Täytyy siis vai tarkastella tapausta r =. Oletetaa, että + = + + x, missä lukujoo {x } o rajoitettu. Tämä tapaukse todistamista varte käytetää Kummeri testiä. Valitaa b = log. Nyt saadaa Kummeri testi osa c = b b + + 34
muotoo log ( + ) log( + ) + ( = log + + x ) ( + ) log( + ). Tutkitaa yt yllä oleva termi yläraja-arvoa. Oletetaa, että raja-arvot [ ( log lim = 0 ja lim ( + ) log + )] = ovat tuettuja. Nyt [ ( lim log + + x ) ] ( + ) log( + ) [ = lim log + log + log x ( + ) log ( + ) log [ ( log = lim x ( + ) log + )] = 0 x =. Nyt Täytyy vielä tutkia sarja lim sup c = lim c = < 0, = b = = log ( + )] hajaatumista. Kyseie sarja o hajaatuva esimerki. ojalla. Koska c < 0 ja sarja /b o hajaatuva, ii sarja o hajaatuva Kummeri testi perusteella, ku r =. Näi olle Gaussi testi o todistettu. Esimerkki 3.8 (ks. [4, s. 354]). Tarkastellaa sarjaa = + 3 4 + 3 5 3 5 ( ) + + + 4 6 4 6 () 35
Sovelletaa esi osamäärätestiä. Muodosteta kahde peräkkäise termi osamäärä itseisarvo yläraja-arvo lim + = lim 3 5 ( )( + ) 4 6 () 4 6 ()( + ) 3 5 ( ) = lim + + = lim + / + / =. Sovelletaa Gaussi testiä. Muodostetaa kahde peräkkäise termi osamäärä = + + + = + ( + ) = + ( + ). Peräkkäiste termie osamäärä o yt Gaussi testi muodossa. Nyt r = Lukujoo {A } o väheevä ja raja-arvo ja A = ( + ). lim A = 4. Lukujoo {A } o siis rajoitettu. Tällöi Gaussi testi mukaa sarja o hajaatuva, koska r <. 3.8 Dirichelet testi Tässä pykälässä käsitellää Dirichlet testiä. Aluksi esitetää lause, jota tarvitaa Dirichlet testi todistamisessa. Dirichlet testillä voidaa määrittää sarja suppeemie, vaikka sarja ei olisikaa itseisesti suppeeva. Lause 3.9. Oletetaa, että { } ja {b } ovat kaksi lukujooa, joille määritellää A = a + a + +. 36
Tällöi (3.8) a k b k = A b + A k (b k+ b k ). Näi olle sarja a kb k o suppeeva, jos sarja A k(b k+ b k ) ja lukujoo {A b + } ovat kummatki suppeevia. Todistus (ks. [, s. 365]). Ku kirjoitetaa A 0 = 0, ii a k b k = = = (A k A k )b k A k b k A k b k = A b + A k b k A k b k+ + A b + A k (b k+ b k ). Yllä oleva yhtälöketju ojalla ( lim a k b k = lim A b + ) A k (b k+ b k ). Näi olle sarja a k b k o suppeeva, jos sarja A k (b k+ b k ) ja lukujoo {A b + } ovat suppeevia ja yhtälö (3.8) pätee. Seuraavaksi käydää läpi Dirichlet testi. Lause 3.0 (Dirichlet testi). Oletetaa, että sarja osasummat muodostavat rajoitetu lukujoo. Oletetaa myös, että lukujoo {b } o väheevä ja suppeee kohti lukuolla. Tällöi sarja b o suppeeva. Todistus (ks. [, s. 365]). Olkoo A = a + a + +. Oletetaa, että o olemassa luku M site, että A M kaikille luvuille. Tällöi lim A b + = 0, 37
jote lukujoo {A b + } o suppeeva. Näi olle sarja b suppeemise osoittamiseksi täytyy osoittaa vielä sarja A k (b k+ +b k ) suppeemie. Koska lukujoo {b } o väheevä, ii A k (b k+ b k ) M(b k b k+ ) kaikilla positiivisilla ideksi k arvoilla. Sarja (b k+ b k ) o suppeeva teleskooppisea sarjaa, koska lim (b k+ b k ) = 0. Näi olle sarja A k (b k+ b k ) o vertailuperiaattee mukaa itseisesti suppeeva. Koska sarja A k (b k+ b k ) ja lukujoo {A b + } ovat suppeevia, ii sarja b o suppeeva lausee 3.8 mukaa. Seuraavaksi tarkastellaa Dirichlet testiä esimerki avulla. Esimerkki 3.9. Tarkastellaa sarja si suppeemista Dirichlet testi avulla. Valitaa = si ja {b } =. Lukujoo {b } o väheevä ja raja-arvo lim b = 0. Lukujoo {b } täyttää siis Dirichlet testi ehdot. Tarkastellaa yt, oko olemassa sellaista positiivistä lukua M, että N si M kaikille kokoaisluvuille N. Koska cos x cos y = si x + y 38 si x + y,
missä ii saadaa N x = + ja y =, si si N ( ( = cos ) ( cos + )) = cos cos 3 + cos 3 cos 5 ( + + cos ) = cos ( cos N + ). ( cos + ) Nyt cos cos (N + ), koska cos N. Näi olle N si si, N si si /, N si si / kaikille positiivisille kokoaisluvuille N. Näi olle osasumma si o rajoitettu. Siis myös kyseie sarja toteuttaa Dirichlet testi asettamat ehdot. Täte sarja si b = o suppeeva Dirichlet testi mukaa. 39
Viitteet [] Tom M. Apostol, Calculus Volume, Itroductio with vectors ad aalytical geometry, Blaisdell Publishig Compay, New York,96, fifth pritig 965 [] Tom M. Apostol, Mathematical Aalysis, A Moder approach to advaced Calculus, Addiso-Wesley Publishig Compay Readig Massaschusetts, 957, fifth pritig 97 [3] Ng Tze Beg, My Calculus Web, Place to lear ad to explore, Chapter 3 Special test for Covergece,[Verkkodokumetti], URL http://www.math.us.edu.sg/ matgtb/calculus/ma30/ Chapter%03%0Special%0Test%0 for%0covergece.pdf, [viitattu 9.4.03] [4] Watso Fulks, Advaced Calculus, A Itroductio to Aalysis, Joh Wiley & Sos Ic New York, 96, sixht pritig 965 [5] Walter Rudi, Priciples of Mathematical Aalysis, McGraw-Hill Book Compay, Ic., New York, 953 [6] Bria S. Thomso, Judith B. Brucker, Adrew M. Brucker, Elemetary Real Aalysis Volume, Pretice Hall, Pearso, 00, secod editio 008 40