Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot: (x, y) = (u, v) (x = u y = v).

ja ajatellaan usein primitiivisenä käsitteenä, mutta sille voidaan antaa myös joukko-opillinen määritelmä.

ja ajatellaan usein primitiivisenä käsitteenä, mutta sille voidaan antaa myös joukko-opillinen määritelmä. Seuraava esimerkki osoittaa, että järjestettyä paria (x, y) ei voi kuitenkaan määritellä joukkona {x, y}.

ja ajatellaan usein primitiivisenä käsitteenä, mutta sille voidaan antaa myös joukko-opillinen määritelmä. Seuraava esimerkki osoittaa, että järjestettyä paria (x, y) ei voi kuitenkaan määritellä joukkona {x, y}. Esimerkki. (a) Jos x y, niin {x, y} = {y, x}, mutta (x, y) (y, x). (b) {x, x} = {x}, mutta (x, x) (x), missä oikea puoli tarkoittaa jonoa, jonka ensimmäisellä ja ainoalla paikalla on x.

ja määritellään yleensä seuraavasti: (x, y) = { {x}, {x, y} }.

ja määritellään yleensä seuraavasti: (x, y) = { {x}, {x, y} }. Siis järjestetty pari (x, y) on joukko, jonka alkioina ovat joukot {x} ja {x, y}!

ja määritellään yleensä seuraavasti: (x, y) = { {x}, {x, y} }. Siis järjestetty pari (x, y) on joukko, jonka alkioina ovat joukot {x} ja {x, y}! Osoitetaan seuraavaksi, että tämä järjestetyn parin määritelmä toimii halutulla tavalla. Lause 1. (x, y) = (u, v) (x = u y = v). Todistus. Taululla.

Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on ja A B = { (x, y) x A y B }. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B.

Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on ja A B = { (x, y) x A y B }. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B. Esimerkki. Olkoon A = {1, 2} ja B = {3, 4}. Tällöin Taululla. A B B A.

Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on ja A B = { (x, y) x A y B }. Siis A B koostuu kaikista niistä järjestetyistä pareista (x, y), joilla x A ja y B. Esimerkki. Olkoon A = {1, 2} ja B = {3, 4}. Tällöin A B B A. Taululla. Siis karteesinen tulo ei ole vaihdannainen!

ja Karteesinen tulo ei ole liitännäinenkään: Esimerkki. Olkoot A = {1}, B = {2} ja C = {3}. Tällöin (A B) C = {((1, 2), 3)} ja A (B C) = {(1, (2, 3))}.

ja Karteesinen tulo ei ole liitännäinenkään: Esimerkki. Olkoot A = {1}, B = {2} ja C = {3}. Tällöin (A B) C = {((1, 2), 3)} ja A (B C) = {(1, (2, 3))}. Nämä joukot eivät ole samat, sillä ((1, 2), 3) (1, (2, 3)). (Tämä nähdään kirjoittamalla ((1, 2), 3) ja (1, (2, 3)) auki järjestetyn parin määritelmän mukaan.)

ja Karteesinen tulo voidaan yleistää useammalle joukolle: joukkojen A 1,..., A n tulojoukko eli karteesinen tulo on A 1 A n = { (x 1,..., x n ) x 1 A 1 x n A n }.

ja Karteesinen tulo voidaan yleistää useammalle joukolle: joukkojen A 1,..., A n tulojoukko eli karteesinen tulo on A 1 A n = { (x 1,..., x n ) x 1 A 1 x n A n }. Vastaavasti merkitsemme A n = n kertaa {}}{ A A A.

ja Karteesinen tulo voidaan yleistää useammalle joukolle: joukkojen A 1,..., A n tulojoukko eli karteesinen tulo on A 1 A n = { (x 1,..., x n ) x 1 A 1 x n A n }. Vastaavasti merkitsemme A n = n kertaa {}}{ A A A. Näissä määritelmissä tarvitaan järjestetyn n-jonon (x 1,..., x n ) käsitettä. Se voidaan määritellä usealla eri tavalla.

ja 1. tapa. Määritellään (x 1, x 2, x 3 ) = ((x 1, x 2 ), x 3 ), (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (((x 1, x 2 ), x 3 ), x 4 ) jne. Siis yleisesti (x 1,..., x n+1 ) = ((x 1,..., x n ), x n+1 ).

ja 1. tapa. Määritellään (x 1, x 2, x 3 ) = ((x 1, x 2 ), x 3 ), (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (((x 1, x 2 ), x 3 ), x 4 ) jne. Siis yleisesti (x 1,..., x n+1 ) = ((x 1,..., x n ), x n+1 ). Tällä määritelmällä pätee A 1 A 2 A 3 = (A 1 A 2 ) A 3, ja yleisemmin A 1 A n+1 = (A 1 A n ) A n+1. Vastaavasti A n+1 = A n A.

ja 2. tapa. Määritellään, että (x 1,..., x n ) tarkoittaa funktiota f : {1,..., n} X, jolla pätee ehto: f (i) = x i jokaisella i {1,..., n}. Tässä X on sopivasti valittu perusjoukko, jonka alkioita komponentit x i ovat.

ja Esimerkki. (a) Joukko R 2 on järjestettyjen reaalilukuparien joukko. Sen geometrinen vastine on taso. (b) Joukko R 3 on järjestettyjen reaalilukukolmikoiden joukko. Sen geometrinen vastine on kolmiulotteinen avaruus. (c) Joukko R n on järjestettyjen reaaliluku n-jonojen joukko. Sen vastine on n-ulotteinen avaruus.

ja Esimerkki. (a) Joukko R 2 on järjestettyjen reaalilukuparien joukko. Sen geometrinen vastine on taso. (b) Joukko R 3 on järjestettyjen reaalilukukolmikoiden joukko. Sen geometrinen vastine on kolmiulotteinen avaruus. (c) Joukko R n on järjestettyjen reaaliluku n-jonojen joukko. Sen vastine on n-ulotteinen avaruus. (d) Olkoon A = [a, b] koordinaatiston x-akselilla ja B = [c, d] y-akselilla. Joukon A B geometrinen merkitys on suorakulmio. Taululla.

ja muodostaminen ei siis noudata vaihdantalakia eikä liitäntälakia. Sen sijaan osittelulait yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen suhteen ovat voimassa:

ja muodostaminen ei siis noudata vaihdantalakia eikä liitäntälakia. Sen sijaan osittelulait yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen suhteen ovat voimassa: Lause 2. Olkoot A 1, A 2 ja B joukkoja. (1) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (2) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (3) (A 1 \ A 2 ) B = (A 1 B) \ (A 2 B).

ja muodostaminen ei siis noudata vaihdantalakia eikä liitäntälakia. Sen sijaan osittelulait yhdisteen, leikkauksen ja erotuksen suhteen ovat voimassa: Lause 2. Olkoot A 1, A 2 ja B joukkoja. (1) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (2) (A 1 A 2 ) B = (A 1 B) (A 2 B), (3) (A 1 \ A 2 ) B = (A 1 B) \ (A 2 B). Todistus. Taululla. Vastaavat tulokset ovat voimassa joukolle A (B 1 B 2 ) jne.

ja Jos R X Y (X, Y ), niin sanomme, että R on joukkojen X ja Y alkioiden välillä.

ja Jos R X Y (X, Y ), niin sanomme, että R on joukkojen X ja Y alkioiden välillä. Lyhyemmin: R on joukkojen X ja Y. R on joukosta X joukkoon Y (huomaa sijamuodot).

ja Jos R X Y (X, Y ), niin sanomme, että R on joukkojen X ja Y alkioiden välillä. Lyhyemmin: R on joukkojen X ja Y. R on joukosta X joukkoon Y (huomaa sijamuodot). Joukkoa X sanotaan n R lähtöjoukoksi ja joukkoa Y maalijoukoksi.

ja Merkitsemme xry tarkoittamaan sitä, että (x, y) R. Vastaavasti merkitsemme x Ry tarkoittamaan, että (x, y) R.

ja Merkitsemme xry tarkoittamaan sitä, että (x, y) R. Vastaavasti merkitsemme x Ry tarkoittamaan, että (x, y) R. Siis seuraavat ovat yhtäpitäviä: Alkiot x X ja y Y ovat keskenään ssa R xry (pätee) (x, y) R

ja Merkitsemme xry tarkoittamaan sitä, että (x, y) R. Vastaavasti merkitsemme x Ry tarkoittamaan, että (x, y) R. Siis seuraavat ovat yhtäpitäviä: Alkiot x X ja y Y ovat keskenään ssa R xry (pätee) (x, y) R Huom. Jokaiseen on R voidaan liittää vastaava predikaatti R(x, y), joka on tosi joss (x, y) R. Merkinnän xry sijasta voidaan siis käyttää myös merkintää R(x, y).

ja Myös useampipaikkainen voidaan määritellä (ja myös yksipaikkainen). Yleisesti osajoukko R X 1 X 2 X n on joukkojen X 1, X 2,..., X n ( ) alkioiden välinen.

ja Myös useampipaikkainen voidaan määritellä (ja myös yksipaikkainen). Yleisesti osajoukko R X 1 X 2 X n on joukkojen X 1, X 2,..., X n ( ) alkioiden välinen. Myös useampipaikkaisten iden kohdalla voidaan käyttää vastaavaa predikaattia R(x 1, x 2,..., x n ), joka on tosi joss (x 1, x 2,..., x n ) R.

ja Olkoon R joukosta X joukkoon Y, jolloin X on sen lähtöjoukko ja Y maalijoukko.

ja Olkoon R joukosta X joukkoon Y, jolloin X on sen lähtöjoukko ja Y maalijoukko. R määrittelyjoukko M R on joukon X niiden alkioiden joukko, jotka ovat ssa joukon Y jonkin alkion kanssa eli M R = { x X y Y : xry }.

ja Olkoon R joukosta X joukkoon Y, jolloin X on sen lähtöjoukko ja Y maalijoukko. R määrittelyjoukko M R on joukon X niiden alkioiden joukko, jotka ovat ssa joukon Y jonkin alkion kanssa eli M R = { x X y Y : xry }. Arvojoukko A R on joukon Y niiden alkioiden joukko, jotka ovat ssa joukon X jonkin alkion kanssa eli A R = { y Y x X : xry }.

ja Esimerkki. Kaikkein yksinkertaisimmat t joukkojen X ja Y alkioiden välillä ovat ja X Y. Jälkimmäisessä ssa ovat keskenään kaikki alkiot x ( X ) ja y ( Y ), ja edellisessä eivät mitkään.

ja Jos n R lähtöjoukko ja maalijoukko ovat kumpikin X, niin sanomme, että R on joukossa X määritelty (tai joukon X ).

ja Jos n R lähtöjoukko ja maalijoukko ovat kumpikin X, niin sanomme, että R on joukossa X määritelty (tai joukon X ). Esimerkki. Joukon X identtinen on I X = { (x, x) x X }. Jokainen alkio on identtisessä ssa itsensä kanssa eikä minkään muun kanssa.

ja Esitystapoja: Nuolikuvio Polkukuvio eli digraafi Esitys koordinaatistossa Esitys matriisina