Keskeisliikkeen liikeyhtälö

Samankaltaiset tiedostot
Ratayhtälö ja Keplerin lait

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Tilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

2.7.4 Numeerinen esimerkki

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

Tilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista

1.4. VIRIAALITEOREEMA

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta

5 Kentät ja energia (fields and energy)

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Liike keskeisvoimakentässä

Kertausta: Vapausasteet

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Luento 11: Periodinen liike

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Gaussin lause eli divergenssilause 1

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Luento 3: Käyräviivainen liike

Kertausta: Hamiltonin periaate

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

j = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä

6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) = = 21 tosi

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V

Klassisen mekaniikan historiasta

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

NESTEIDEN ja ja KAASUJEN MEKANIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

Mekaniikka. Hannu Koskinen

ELEC C4210 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Kimmo Silvonen

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Varatun hiukkasen liike

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )

Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

u = 2 u (9.1) x + 2 u

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

Varatun hiukkasen liike

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

F-y. mrmz. - kappaleiden (vetovoima) OVE LI-TJ TT HTAVIA G HÅVITAATI O LAI TA. ltll. kappaleiden massat ovat mr ja mz (kg)

Työ ja kineettinen energia

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

Transkriptio:

Keskeisliikkeen liikeyhtälö L vakio keskeisliikkeessä liike tasossa L Val. L e z liike xy-tasossa naakoodinaatit, joille d dt e d = ϕe ϕ ; dt e ϕ = ϕe = e LY: m = f()e ṙ = ṙe + ϕe ϕ ; = ( ϕ 2 )e +(2ṙ ϕ+ ϕ)e ϕ { m( ϕ 2 ) = f() m(2ṙ ϕ + ϕ) = 0 Integoidaan alemi m 2 ϕ = vakio l L m l2 m 3 = f() F m Kokonaisenegia E = T + U = 1 2 mṙ2 + 1 2m 2 + U = vakio l 2 t t 0 = ϕ ϕ 0 = m 2 0 0 d E U() d l2 2m 2 2 2m l 2 [E U()] 1 2

Efektiivinen otentiaali ja voima E = T + U = 1 2 mṙ2 + U () Efektiivinen otentiaali U () = U() + 2m 2 atatyyit Efektiivinen voima = U = l2 m 3 U U l2 U m = U Ymyäata = a = vakio vain, jos U = 0. =a Ymyäata stabiili, jos kyseessä minimi! Ol. U = k 1+n U = l2 m 3 k(n + 1)n = 0 3+n = (n + 1)mk 2 U 2 = 3 l2 kn(n + 1)n 1 m4 jonka siis itää olla minimikohdassa ositiivinen, jotta ymyäata on stabiili l 2 0 < 3 l2 m kn(n + 1)3+n = 3 l2 m + n l2 m n > 3

Kelein lait Tycho Bahe (1546 16): havainnot t + dt 2 t 2 Johannes Kele (1571 1630): t 1 t + dt 1 K-I Planeettojen adat ellisejä, joiden toisessa olttoisteessä Auinko on. K-II Auingosta laneettaan iietty jana kietää siten, että sen aikayksikössä yyhkäisemä inta-ala on vakio. K-III Kietoaikojen neliöt suhtautuvat kuten isoakselien kuutiot. (esim. T Maa = 1 a, T Ju = 5.20 3/2 a = 11.9 a) K-I ja K-II vuodelta 1609, ja K-III vuodelta 1619 Lait emiiisiä! Kelein lait Newtonin mekaniikka ja ainovoimalaki N-G kahden kaaleen välinen vetovoima on veannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen veannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön: F = GMm 2 e. Tässä G = 6, 6726 10 11 N m 2 kg 2 on gavitaatiovakio. G eätakimmin tunnettu luonnonvakio! (HT: miksi?) F saadaan otentiaalista U() = k/, missä k = GM m.

Pallokuoen otentiaalienegia Renkaan muotoinen kuoen osa: θ θ + θ enkaan säde = a sin θ θ enkaan leveys = a θ Jokainen iste enkaalla s:n etäisyydellä m:stä Kontibuutio otentiaalienegiaan: Gm M U = s z m s θ 00 11a y Renkaan massa (M s ja A s kuoen massa ja inta-ala) M = A (2πa sin θ) (a θ) M s = A s 4πa 2 M s = 1 2 sin θ θ M s U = 1 2 Gm M sin θ θ s s Integoidaan kaikkien enkaiden yli, θ : 0 π: U = 1 2 G m M s π 0 sin θ dθ s(θ) Nyt s 2 = a 2 + 2 2a cos θ 2s ds dθ s ds = 2a sin θ sin θ dθ = a U = G m M s 2a s(π) s(0) ds

Pallokuoen otentiaalienegia: U = G m M s 2a s(π) s(0) ds 1) > a : s(0) = a, s(π) = + a U = G m M s 2a 2a = G m M s Sama tulos kuin jos allokuoen massa olisi oigossa! m z s a θ y 2) < a : s(0) = a, s(π) = a + U = G m M s 2a 2 = G m M s a = vakio z s m a θ Voima F = U e F = G m M s 2 e, a 0 < a y

Homogeenisen allon gavitaatioenegia Massa M tiheys ρ = M a 4π 3 πa3 säde a Pallonkuoi + 0000 1111 0000 1111 0000 1111 m = ρ V = ρ 4π 2 U = G M sis() m ; M sis () = 4π 3 ρ3 U = 16π2 Gρ 2 4 ; integoidaan 3 a U = du = 16π2 Gρ 2 a 4 d 3 0 = 16π2 Gρ 2 3 U on allon gavitaatioenegia. 0 a 5 5 = 3 GM 2 5 a Tämä enegia vaautuu, jos koko avauuteen tasan jakautunut massa M luhistuu a-säteiseksi alloksi. U Auingon enegialähteenä T 20 Ma (!) Maaallo: M 6 10 24 kg, 6.4 10 6 m U Maa 2 10 32 J

Kelein adan lauseke Ratayhtälö määäämättömänä integaalina: ϕ = ϕ d + ; ϕ 2m integoimisvakio 2 [E U()] 1 l 2 2 Muuttujan vaihto = 1/u; N-G: U = k/ = ku ϕ = ϕ du 2m(E + ku) u l 2 2 ( dx ax = 1 2 +bx+c a accos ϕ = ϕ accos u = 1 = mk l 2 ( l 2 u mk 1 1 + 2El2 mk 2 1 + b+2ax b 2 4ac ), joten 1 + 2El2 mk 2 cos(ϕ ϕ ) ) eli = ε = 1 + ε cos θ ; katioleikkaus, θ ϕ ϕ, = l2 mk ε = 0 ymyä 1 + 2El2 mk 2 ; eksentisyys 0 < ε < 1 ellisi ε = 1 aaabeli ε > 1 hyebeli

Katioleikkaukset ellisi aaabeli hyebeli Ellisissä leikkaava taso on ienemmässä kulmassa vaakatasoon nähden kuin kation vaia. Paaabelissa kation vaia ja leikkaava taso ovat samassa kulmassa vaakatasoon nähden. Hyebelissä leikkaava taso on suuemmassa kulmassa vaakatasoon nähden kuin kation vaia ymyä ellisi aaa beli hyebeli

Pakonoeus Millä noeudella kaaleen tulee liikkua, jotta se akenee toisen kaaleen ainovoimakentästä? Tällöin ε = 1 + 2El2 mm 1; missä µ = µk2 m + M eli E 0. Pakenee T + U 0 : 1 2 µv2 e = GMm ; 2GMm v e = µ = 2G(M + m) 2GM Esim. 1 Maan inta v e = 11.2 km/s Auingon inta v e = 618 km/s Esim. 2 Lähtö geostationaaiselta adalta, = 6.6 R E : vauhti aluksi v ϕ0 = 2π/(24 h) = 3.06 km/s; tavitaan yhteensä v e = 11.2 km/s/ 6.6 = 4.36 km/s eli lisäotku liikkeen suuntaan v = v e v ϕ0 = 1.3 km/s

Kelein lait atayhtälöstä K-I Suljettu laneettaata = 1 + ε cos ϕ on ellisi eli sille ε = 1 + 2El2 < 1; mk 2 osoittaa laneetasta toiseen olttoisteeseen. Isoakselin uolikas a; ikkuakselin uolikas b; 2a = 1 ε + 1 + ε = 2 1 ε 2 c = a /(1 + ε) = εa b 2 = a 2 c 2 = a 2 (1 ε 2 ) = a K-II Pienellä aikavälillä dt a c c + = 2a da = 1 2 dϕ Ȧ =1 2 2 ϕ = l 2m = vakio K-III Yllä b 2 a = = l2 al mk b =. mk Ellisin inta-ala A = πab. Toisaalta b ϕ a c A = T 0 A dt = lt 2m = πa al T = 2π mk m k a3/2 Huom. T ei iiu ellisin muodosta vaan ainoastaan isoakselin ituudesta.

Lalace-Runge-Lentz -vektoi R L = L mk ṘL = ṗ L mk v + mk ṙ 2 = F L mk v ϕe ϕ F = (k/ 3 ) ja L = m 2 ϕe z, joten (e e z = e ϕ ) F L = mk ϕ e ϕ = mk v ϕe ϕ ṘL = 0. R L on siis liikevakio. Selvästi R L on atatasossa. Johdetaan vielä yhtälö :lle; lasketaan R L = ( L) mk R L cos ϕ = L ( ) mk = l 2 mk ( 1 + R ) L mk cos ϕ = l2 mk eli jälleen saadaan = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk, ε = R L mk RL 2 = 2 l 2 + m 2 k 2 2 mk ( l2 = m 2 k 2 1 + 2m 2 mv2 k = m 2 k 2 + 2mEl 2 ε = 1 + 2El2 mk 2 ) l 2

R L = L mk R L mk e R L R O L L L mk e R L mk e L

Riiumattomat liikevakiot ja ataelementit :llä 3 komonenttia LY (N-II) on 2. kl. DY 6 integoimisvakiota Löydetyt liikevakiot: L, R L, E, t 0 (yhteensä 8 kl) näistä kaikki eivät voi olla iiumattomia! Riiuvuudet: R L = mkε = mk 1 + 2El2 mk 2 ja L R L = 0 Riiumattomia esim. L, ε, t 0 ja R L :n kulma L:n ymäi. Mek. (, R L ) ϕ = 1 + ε cos ϕ :llä minimi, kun ϕ = 0 R L osoittaa oigosta kohti eiasista (l. eisentiä) Vastakohta (:n maksimi, ϕ = π) aoasis (l. aosenti) Rataelementit (laneettaliike) isoakselin uolikas a eksentisyys ε (tai e) inklinaatio i (tai ι) nousevan solmun ituus Ω (kevättasausisteestä Υ) eihelin agumentti ω; t. eihelin ituus ϖ eiheliaika τ