Työ ja kineettinen energia

Transkriptio

1 Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia tarkasteluita ja niitä voidaan soveltaa muillekin fysiikan osa-alueille kuin mekaniikkaan. Energian säilymislaki on fysiikan perusperiaatteita ja sen mukaan energia on suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen, mutta sitä ei voida tuottaa tai tuhota.

2 Työ F F s Vakiovoiman F tekemä työ (work) W liikkuvaan kappaleeseen on W = Fs, (1) missä s on kappaleen siirtymä voiman F suuntaan.

3 F F φ Fcosφ s Jos voima ja siirtymä ovat eri suuntaisia, täytyy em. yhtälö kirjoittaa muotoon W = Fs cos φ, (2) missä φ on siirtymän ja voiman välinen kulma. Koska voima ja siirtymä ovat vektorisuureita, voidaan edellinen yhtälö kirjoittaa yleisessä muodossa W = F s (3) tai W = F x x + F y y + F z z, (4) kun F = F x^i + Fy^j + Fz^k ja s = x^i + y^j + z^k.

4 Huomaa, että työ on skalaarisuure, vaikka voima ja siirtymä ovat vektorisuureita! Työn SI-yksikkö on nimeltään joule (J) ja 1 J = 1 Nm. Voiman kappaleeseen tekemä työ ei siis riipu kappaleen liiketilasta, asennosta eikä kappaleeseen vaikuttavista muista mahdollisista voimista, vaan vektoreista F ja s. Jos F s, niin W = F s = 0. Siksi esim. keskihakuvoima ei tee työtä, vaikka antaa kappaleelle kiihtyvyyden. Jos vektoreiden F ja s välinen kulma on > 90, niin W < 0. Jos työ on negatiivinen, kyseessä on kappaleen tekemä työ.

5 f k s Koska kappaleiden välisille voimille pätee F AB = F BA Newtonin 3. lain mukaan, seuraa myös, että (kappaleeseen tehty työ) = -(kappaleen tekemä työ) W AB = W BA. (5) Liikettä vastustavan kitkavoiman tekemä työ on tyypillinen esimerkki negatiivisesta eli kappaleen tekemästä työstä. Jos F = f k ja φ = 180, W = F s = fk s. Huomaa kuitenkin, ettei kitkan tekemä työ ole aina negatiivinen.

6 Esimerkki 6.1 Traktori vetää rekeä 20 m matkan. Reen ja kuorman yhteispaino on N. Traktorin rekeen kohdistama voima on 5000 N 36.9 kulmassa vaakatasoon nähden ja liikettä vastustava kitkavoima on 3500 N. Laske eri voimien tekemät työt sekä kokonaistyö rekeen.

7

8 Keskeiset parametrit ovat: s = 20 m, w = mg = N, F T = 5000 N, φ = 36.9 ja f k = 3500 N. Työn kaava: W = F s. Maan vetovoima: W w = w s = ws cos( 90 ) = 0. Normaalivoima: W n = N s = Ns cos(+90 ) = 0. Traktorin veto: W T = F T s = F T s cos φ W T Kitkavoima: W fk = f k s = f k s cos(180 ) = f k s W fk = 5000 N 20 m cos 36.9 = Nm = 80 kj. = 3500 N 20 m = J = 70 kj. Kokonaistyö: W tot = kj 70 kj = 10 kj.

9 Työ ja kineettinen energia Tarkastellaan kappaleeseen työtä tekevän voiman vaikutusta kappaleen liiketilaan ensin suoraviivaisessa liikkeessä. Kun vakiovoima F vaikuttaa kappaleeseen, hiukkasen kiihtyvyys on vakio ja F = ma. Oletetaan, että hiukkasen nopeus muuttuu arvosta v 1 arvoon v 2 kun hiukkasen siirtymä on s = x 2 x 1. Tällöin aiemmin esitetystä kaavasta saadaan v 2 2 = v as (6) ja tästä edelleen a = v 2 2 v 2 1 2s. (7)

10 Nyt siis voima F on F = ma = m v 2 2 v 2 1 2s (8) ja työ W W = Fs = m v m v = K 2 K 1, (9) missä kappaleen nopeuden suuruudesta v riippuva skalaarisuure K on K = 1 2 mv 2 (10) kineettinen eli liike-energia (kinetic energy). Kineettisen energian yksiköksi tulee myös joule (J): [K]= kgm 2 /s 2 = kgm/s 2 m= Nm= J.

11 Siis nettovoiman tekemä työ W tot muuttuu kappaleen etenevän liikkeen kineettiseksi energiaksi ja vastaavasti liiketilaansa muuttamalla kappale voi tehdä työtä W tot = K 2 K 1 = K (11) Yo. kaava tunnetaan nimellä työ-energia teoreema ja se on voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa. Huomaa kuitenkin, että W tot ja K 2 K 1 suureiden numeroarvot ovat erisuuret eri koordinaatistoissa.

12 Esimerkki 6.2 Jos esimerkissä 6.1 reen alkunopeus on 2.0 m/s, mikä nopeus on lopussa? Työ-energiateoreemaa sovellettaessa tarvitaan reen massaa, joten lasketaan se ensin: m = w/g = N/9.81 m/s 2 = 1500 kg. Alkuperäinen kineettinen energia K 1 = 1 2 mv 2 1 = kg (2.0 m/s)2 = 3000 J.

13 Työ-energiateoreeman perusteella W tot = K 2 K 1 K 2 = K 1 + W tot K 2 = 3000 J J = J, missä W tot = J laskettiin esimerkissä 6.1. K 2 = 1 2 mv 2 2 v 2 = v 2 = 4.2 m/s. 2K2 m = kg m 2 /s kg

14 Työ ja kineettinen energia muuttuvan voiman tapauksessa Työ-energiateoreema on voimassa yleisesti, ei ainoastaan vakiovoimille ja yksiulotteisessa tapauksessa. Tarkastellaan seuraavaksi yksiulotteista tapausta, jossa voima F on x-akselin suuntainen. Nyt voima voi muuttua paikan funktiona, jolloin innitesimaalisen siirtymän dx aikana tehty työ on dw = F (x)dx. (12) Kun tarkastellaan alkupisteen x 1 ja loppupisteen x 2 välillä tehtyä työtä, täytyy kaikki innitesimaaliset elementit summata, jolloin x 2 W = F (x)dx. (13) x1

15 F F(x) W x 1 x 2 x Graasesti voiman tekemä työ on voimaa esittävän käyrän pinta-ala alku- ja loppupisteiden välillä. Tarkastellaan seuraavaksi jousta. Kun jousta venytetään matka x, tarvitaan ulkoinen voima F jousen molempiin päihin. Jos venymä ei ole liian suuri, on ulkoinen voima F suoraan verronnollinen venymään x, F (x) = kx, (14) missä k on vakio, joka tunnetaan nimellä jousivakio (spring constant, force constant).

16 Edellinen kaava on nimeltään Hooken laki. Se esitetään usein muodossa F (x) = kx, missä F on nyt jousen kappaleeseen kohdistama voima! Kun venytämme jousta, teemme työtä. Jos jousen toinen pää on kiinnitetty seinään ja venytämme jousta toisesta päästä normaalipituudesta (origo) matkan X, teemme työn W = X F (x)dx = X kxdx = 1 2 kx 2. (15) 0 0 Sama tulos voidaan saada graasesti:

17 F kx F= kx W= 1/2 kx 2 X x Huom. Nyt jousen kappaleeseen tekemä työ on W = 1 2 kx 2. Jos jousi on jo alkutilanteessa venynyt matkan x 1 ja sitä venytetään lisää, niin että lopullinen venymä on x 2, on tehty työ W = x 2 F (x)dx = x 2 kxdx = 1 2 kx kx 2 1. (16) x1 x1 Jos jousta puristetaan kasaan, sekä F että dx tulevat negatiivisiksi, jolloin yo. kaava on jälleen voimassa.

18 Esimerkki 6.3 Nainen, jonka paino on 600 N astuu vaa'alle, jonka jousi puristuu 1.0 cm verran kokoon. Mikä on jousivakio ja jouseen tehty työ? Valitaan kuvan mukainen koordinaatisto, ts. x = 1.0 cm = m ja F x = 600 N. k = F x x = 600 N m = N/m.

19 Jouseen tehdyn työn laskemisessa käytetään alku- ja lopputilanteen x-koordinaatteja x 1 = 0 ja x 2 = m: W = 1 2 kx kx 2 1 W = 1 2 ( N/m)( m) 2 0 = 3.0 J.

20 Esimerkki 6.4 Yllä olevan kuvan kaltaisessa järjestelmässä on ilmaradan päällä kelkka, jonka massa on m = kg. Kelkka on yhdistetty jouseen, jonka jousivakio k = 20.0 N/m. Aluksi jousi on jännittymätön ja kelkan nopeus on v 1 = 1.50 m/s oikealle. Määritä maksimimatka, jonka kelkka liukuu oikealle kun a) ilmarata on päällä, ja kitkaa ei ole b) ilmarata on sammutettu ja liikekitkakerroin µ k = 0.47.

21 a) Tarkastellaan nyt kitkatonta tapausta, vapaakappalekuva yllä. x 1 = 0, x 2 = d, kelkka tekee siis jouseen työn W = (1/2)kd 2 (1/2)k(0) 2 = (1/2)kd 2. Jousen kelkalle tekemä työ puolestaan on (1/2)kd 2.

22 Kun kelkka pysähtyy, sen liike-energia on nolla. Työ-energiateoreemasta saadaan 1 2 kd 2 = mv 2 1. Tästä voidaan ratkaista kelkan kulkema matka d: d = v 1 m k = (1.50 m/s) kg 20.0 N/m d = m = 10.6 cm.

23 Kitkallisessa tapauksessa kitkan kelkalle tekemä työ voidaan kirjoittaa W fric = f k d cos 180 = f k d = µ k mgd. Kun tähän lisätään jousen tekemä työ, niin työ-energiateoreemasta saadaan µ k mgd 1 2 kd 2 = mv 2 1

24 Eli 1 kd 2 + µ k mgd 1 mv 2 1 = Joka on toisen asteen yhtälö d:lle. Sen ratkaisut ovat µ kmg k ± (µk mg k ) 2 + mv 2 1 k Sijoittamalla numeroarvot saadaan d = ( m) ± ( m) m 2, eli joko m tai m. Koska d on positiivinen siirtymä lähtöasemaan nähden, niin fysikaalisesti mielekäs ratkaisu on d = m = 8.6 cm

25 Työenergia -teoreema käyräviivaiselle liikkeelle F P 2 F P 1 φ dl F Kun hiukkanen liikkuu pisteestä P 1 pisteeseen P 2 käyrää pitkin, voidaan käyrä jakaa innitesimaalisen pieniin siirtymiin d l. Kukin elementti on tällöin käyrän tangentin suuntainen tarkasteltavassa pisteessä. Kun voiman F ja siirtymän d l välinen kulma on φ on voiman tekemä työ siirtymän d l aikana dw = F cos φdl = F dl = F d l, (17)

26 missä F = F cos φ on voiman F komponentti siirtymän d l suuntaan. Kokonaistyö, kun hiukkanen siirtyy pisteestä P 1 pisteeseen P 2, on tällöin P2 P2 P2 W = F cos φdl = F dl = F d l. (18) P1 Kaavassa esiintyvää integraalia sanotaan viivaintegraaliksi. Kaavasta nähdään myös, että ainoastaan hiukkasen radan suuntainen voiman komponentti tekee työtä hiukkaseen ja muuttaa sen liike-energiaa. Sen sijaan voiman kohtisuora komponentti F = F sin φ muuttaa ainoastaan hiukkasen nopeuden suuntaa. P1 P1

27 Esimerkki 6.5 Joudut keinuttamaan sietämätöntä serkkuasi Sigismund-Aatamia (keksitty nimi, Väestörekisterikeskus ei tunne yhtään tällä etunimellä varustettua), paino w, keinussa jonka ketjujen pituus on R. Tehdäksesi tämän kohdistat keinuun vaakasuoraan vaikuttavan voiman F, jonka suuruutta kasvatat hyvin hitaasti kunnes keinu saavuttaa kulman θ pystysuuntaan nähden, liikkuu tasaisesti ja on lähes tasapainossa koko ajan. Mikä on kaikkien voimien Siggelle tekemä työ? Mikä on kahleiden jännitysvoiman tekemä työ? Entä keinuttajan tekemä työ?

28 Tunnetaan w(= mg), R, θ. Työ W = F d l W tot = K

29 Nyt tarkasteltavassa, kieltämättä hieman idealisoidussa systeemissä, Sigge on siis koko ajan tasapainossa, joten nettovoima on nolla, samoin edellisessä integraalissa laskettu kokonaistyö. Kahleiden jännitys on koko ajan kohtisuorassa liikettä vastaan, ts. työn laskussa käytettävässä integraalissa oleva pistetulo on nolla, eli kahleiden jännitysvoima ei tee työtä! Lasketaan nyt keinuttajan voiman F tekemä työ. Nettovoiman komponenteista saadaan ΣF x = F T sin θ = 0 F = T sin θ ΣF y = T cos θ w = 0 T = w/ cos θ. Eliminoimalla edellisistä T saadaan F = w sin θ cos θ = w tan θ. Tämä on siis voima F kulman θ funktiona.

30 Piste, johon voima F kohdistetaan, liikkuu pitkin kaarta s (kuva). Kun kulma ilmaistaan radiaaneissa, tämän kaaren pituus s = Rθ. Tällöin työn kaavassa esiintyvä pieni siirtymä d l, joka vastaa pientä muutosta kulmassa dθ on suuruudeltaan dl = ds = Rdθ. Voiman F tekemä työ on nyt W = F d l = F cos θds.

31 Ilmaistaan tämä nyt funktiona kulmalle θ, jota kasvatetaan arvosta 0 arvoon θ 0 : W = θ0 0 w tan θ cos θrdθ = wr θ0 0 sin θdθ = wr(1 cos θ 0 ). Pienellä trigonometrisellä pähkäilyllä huomaamme, että tässä lausekkeessa esiintyvä termi R(1 cos θ 0 ) on sama kuin muutos keinujan korkeudessa maanpinnasta kun muutos kulmassa on θ 0. Eli wr(1 cos θ 0 ) = mgh. Tämä vastaa muutosta potentiaalienergiassa, johon tutustutaan paremmin seuraavassa luvussa.

32 Teho Työn määrän tai suuruuden lisäksi on usein merkitystä sillä kuinka kauan työn tekeminen kestää, kuinka "tehokasta"se on. Keskimääräinen teho P av on tehty työ W aikayksikössä t P av = W t (19) ja hetkellinen teho (instantaneous power) saadaan, kun tarkasteltava aikaväli lähenee nollaa, P = W lim t 0 t = dw dt. (20)

33 Tehon SI-yksikkö on watti (W) ja 1 W = 1 J/s= 1 Nm/s. Edelleen laajalti käytetty tehon yksikkö on hevosvoima (hp = horse power) ja 1 hp = 746 W = kw. Jos voima F vaikuttaa kappaleeseen, joka liikkuu vauhdilla v, voidaan aiemmin esitettyjen kaavojen avulla kirjoittaa P = dw dt = F dl dt = F v. (21) Hetkellinen teho P voidaan ilmaista myös hetkellisen voiman F ja nopeuden v avulla P = F v. (22)

34 Esimerkki 6.6 Juoksija (massa 50.0 kg) juoksee portaita pitkin 443 m korkeaan pilvenpiirtäjään. Aikaa hänellä kuluu tähän 15 minuuttia. Mikä on hänen keskimääräinen tehonsa? Ratkaistaan tehtävä nyt jakamalla tehty työ käytetyllä ajalla. Käytetään nyt hyväksi esimerkin 6.5 tietoja: W = mgh = 50.0kg 9.81 m/s m = J. P av = W t = J s = 241 W. (23)