Matemaattisesta mallintamisesta

Samankaltaiset tiedostot
Matemaattisesta mallintamisesta

Mat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

järjestelmät Luento 8

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.

Erityisiä mallinnustekniikoita

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

W el = W = 1 2 kx2 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

DEE Sähkötekniikan perusteet

Hydrostaattinen tehonsiirto. Toimivat syrjäytysperiaatteella, eli energia muunnetaan syrjäytyselimien staattisten voimavaikutusten avulla.

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Magneettinen energia

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE Sähkötekniikan perusteet

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2

Mat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Identifiointiprosessi

Luento 9: Potentiaalienergia

PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)

Chapter 1. Preliminary concepts

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

SMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO. Ilmavirtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Esim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).

Tilayhtälötekniikasta

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

Dissipatiiviset voimat

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Parametristen mallien identifiointiprosessi

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

Energia-alan keskeisiä termejä. 1. Energiatase (energy balance)

Parametristen mallien identifiointiprosessi

Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Kon Hydraulijärjestelmien mallintaminen ja simulointi L (3 op)

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe , malliratkaisut

DEE Sähkötekniikan perusteet

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

Luento 3: Käyräviivainen liike

6. Yhteenvetoa kurssista

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Harjoitus 5: Simulink

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

SaSun VK1-tenttikysymyksiä 2019 Enso Ikonen, Älykkäät koneet ja järjestelmät (IMS),

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

PROSESSISUUNNITTELUN SEMINAARI. Luento vaihe

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.


Luento 16: Fluidien mekaniikka

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.

KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Transkriptio:

Matemaattisesta mallintamisesta Mallintaminen vaatii mallinnustaitoa tietoa mallintamisesta tietoa sovellusalueesta tervettä järkeä Verta, hikeä, kyyneleitä, tiedettä, taidetta Tehtävä kirkkaana mielessä mallin käyttötarkoitus tärkeässä roolissa! Seuraavassa eräs lähestymistapa dynaamisten systeemien mallintamiseen pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät kuitenkin laajemminkin: kemia, biologia, talous,...

Mallinnusprosessin vaiheet: 1. Ongelman strukturointi - rajaus, käyttötarkoitus, ositus, karkea rakenne 2. Perusyhtälöiden muotoilu - miten mallin muuttujat kytkeytyvät toisiinsa osamalleissa - miten osamallit kytkeytyvät toisiinsa 3. Tilayhtälömallin muotoilu - tilamuuttujien valinta, tilayhtälöt (4. VVA verifiointi: kuvaako malli haluttua asiaa validointi: kuvaako malli asian oikein akkreditointi: mallin käyttöönotto 5. Simulointimallin luominen = koodaus 6. Mallin käyttö ja ylläpito; goto 1,2,3)

1. Ongelman strukturointi: rajaus Mikä on mallin käyttötarkoitus Mitä mallinnetaan, mitä ei: horisontaalinen rajaus: mitä osakokonaisuuksia malliin sisällytetään vertikaalinen rajaus: yksinkertaistukset päätä jotain, käytännössä tähän on palattava vielä Piirrä kuva

1. Ongelman strukturointi: ositus Jaa systeemi mahdollisuuksien mukaan alisysteemeihin Etsi systeemin sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Kussakin alisysteemissä valitse tärkeät suureet: muuttujat, vakiot, sisäänmenot, ulostulot, häiriöt hahmota suureiden syy-seuraussuhteet Piirrä lohkokaavio Huom. suurissa mallinnustehtävissä saatetaan joutua tekemään alustavia kokeita aikavakioiden ja suureiden vuorovaikutusten selvittämiseksi

2. Perusyhtälöiden muotoilu Lohkokaaviomalli matemaattiseen muotoon: rakennetaan yhteys mallin muuttujien välille Käytetään luonnonlakeja kokeellisia tuloksia approksimaatioita Systeemi- ja alariippuva vaihe

Fysikaalis-tekniset systeemit Fysikaalisten suureiden yhteyksiä kuvaavat relaatiot voidaan jakaa 1. tase- ja 2. konstitutiivisiin yhtälöihin 1. Taseyhtälöt liittävät toisiinsa samoja yksiköitä; esim. 1. Energiakertymä aikayksikössä = teho sisään teho ulos 2. Tilavuuskertymä aikayksikössä = virtaus sisään virtaus ulos 3. Massakertymä aikayksikössä = massavirta sisään- massavirta ulos 4. Virtojen summa = 0 (Kirchhoff) jne. Taustalla säilymislait

...Fysikaalis-tekniset systeemit 2. Konstitutiiviset yhtälöt kuvaavat yhteyksiä erilaisten suureiden välillä, esim. Ohmin laki (liittää virran ja jännitteen) Venttiilin ominaiskäyrä (liittää paineen, virran ja asennon) Taustalla luonnonlait & systeemin ominaisuudet Eli; kullekin alisysteemille: muodosta taseyhtälöt, käytä konstitutiivisia yhtälöitä tarkista että yksiköt täsmäävät!

3. Tilayhtälömallin muotoilu Vaiheen 2 jäljiltä malli on usein sekava ja jäsentymätön Analyysin ja simuloinnin kannalta on parempi saattaa malli standardimuotoon 1. Valitse tilamuuttujat 2. Ilmaise niiden aikaderivaatta - tilamuuttujien - sisäänmenojen, häiriöiden - parametrien avulla 3. Ilmaise ulostulot tilamuuttujien avulla 4. (Mene kohtaan 1)

Miten valita tilamuuttujat? Fysikaalisissa systeemeissä tilalla on usein tulkinta Simuloinnin kannalta tila edustaa systeemin muistia Kaikki muuttujat jotka edustavat jonkin kertymistä ovat potentiaalisia tilamuuttujia: - pistemassan paikka (pot. energia) ja nopeus (kin. energia) - kondensaattorin jännite (sähkökentän energia) - säiliön pinnankorkeus (kertynyt tilavuus) Peukalosääntö: muuttujat joiden derivaatta esiintyy vaiheen 2 yhtälöissä, ovat sopivia tilamuuttujiksi Lohkokaavioiden alimallit voidaan pitää erillään! Tilamuuttujien oikea määrä?

Yksinkertaistukset Mallin on aina yksinkertaistus Mikä on sopiva yksinkertaistuksen taso? käyttötarkoitus ymmärrys: mallintajan on käsitettävä mallinsa käsiteltävyys: simulointiajat, tulosten tulkinta lisäpiirteiden lisäarvo? Käsitellään kolmea eri yksinkertaistussuuntaa 1. Pienten vaikutusten huomiotta jättäminen 2. Aikavakioiden separointi 3. Tilojen yhdistäminen

1. Pienten vaikutusten huomiotta jättö Tyypillisiä esimerkkejä: oletetaan jäykkä kappale kokoonpuristumaton neste ideaalinen kaasu laminaarinen virtaus jne. Mihin vedetään raja? esim. hydrauliikkaöljyn kokoonpuristuvuus tyypillisesti 10 % => värähtelyjä systeemissä! Lisämallintaminen vaatii lisätyötä, joka voi olla huomattavaa

2. Aikavakioiden separointi Samassa systeemissä useita aikaskaaloja, ollaan kiinnostuneita vain jostakin usean aikaskaalan diff.yhtälöt hitaita simuloida (kankeus) Keskitetään mallin konstruointi niihin aikavakioihin, jotka ovat tärkeitä Nopeiden osasysteemien dynamiikka korvataan algebrallisella yhteydellä Hitaiden osasysteemien dynamiikka korvataan vakioilla Mallin kertaluku pienenee, kankeus häviää Mikäli useat aikaskaalat kiinnostavia => useita malleja

3. Tilojen yhdistäminen Yhdistetään useita samantyyppisiä tilamuuttujia yhdeksi tilamuuttujaksi Yhdistetty tila edustaa keski- tai kokonaisarvoa alkuperäinen tulkinta saatetaan menettää Usein käytetty keino jakautuneiden parametrien järjestelmien mallintamiseen diskretoidaan jokin alue, jossa ilmiötä kuvaa ODY kirjoitetaan DY jokaisessa hilakopissa vastaa ODY:n spatiaalista diskretointia

Fysikaaliset analogiat Edellä sivuttiin joitakin samankaltaisuuksia fysiikan eri osaalueiden välillä taseet, konstitutiiviset yhtälöt, kertyminen Vallitsisiko tällainen laajemminkin? Kyllä! fysikaaliset analogiat => analyyttinen systeemidynamiikka bond-graafit matemaattisena mallina differentiaalis-algebralliset yhtälösysteemit Tarjoaa loistavan abstraktiomallin esim. multifysiikan olioorientoituneeseen simulointiin mallioliot + tapa kytkeä niitä toisiinsa + numeerinen ratkaisumenetelmä = simulointiohjelmisto Tarkastellaan seuraavassa neljän fysiikan osa-alueen analogioita: 1. sähköpiirit 2. mekaniikka 3. virtaukset 4. lämpösysteemit

1. Sähköpiirit Perussuureet jännite u (intensiteettimuuttuja) ja virta i (virtamuuttuja) Ideaalinen kela (intensiteetin kerääjä): u(t)=l d/dt i(t) kääntäen i( t) = u( s) ds L 0 energia(kertymä) T(t)=1/2 Li 2 (t) Ideaalinen kondensaattori (virran kerääjä): i(t)=c d/dt u(t) kääntäenu( t) = i( s) ds L 0 energia(kertymä) T(t)=1/2Cu 2 (t) 1 1 t t Vastus (staattinen yhteys): u(t)=h 1 i(t) (tai i(t)=h 2 (u(t)) Teho (teho): P(t)=u(t)i(t) Muuntaja (muuntaja): u 1 i 1 =u 2 i 2, u 1 =α u 2, i 1 =1/α i 2 Kytkennät (Kirchoff) : Σ i k (t)=0 (virtausmuuttujien summa=0), Σ u k (t)=0 (intensiteettimuuttujien summa=0)

2. Mekaniikka Perussuureet voima F ja nopeus v Massa: F(t)=m d/dt v(t) kääntäenv( t) = F( s) ds m 0 energia(kertymä) T(t)=1/2 mv 2 (t) Elastiset kappaleet: 1 t F( t) = H( v( s) ds) 0 energia esim. lineaariselle jouselle T(t)=1/(2k) F 2 (t) t Kitka, vastusvoima: F(t)=h(v(t)) Teho: P(t)=F(t)v(t) Vipu, vintturi ja väkipyörä: F 1 v 1 =F 2 v 2, F 1 =αf 2, v 1 =1/αv 2 Tasaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavien voimien summa = 0 Rotaatiot: F->M, v->w, m->j

3. Virtaukset Perussuureet paine p ja virta Q Tilavuusvirta putkessa: p(t)=a d/dt Q(t) kääntäen Qt () = p( s) ds Lf 0 energia(kertymä) T(t)=1/2 L f Q 2 (t) Tilavuusvirta tankkiin: energia: T(t)=1/2 C f p 2 (t) 1 t p( t) = Q( s) ds) Virtausvastus: p(t)=h 1 (Q(t)) (kuristin) Teho: P(t)=p(t)Q(t) tilavuustase => virtausten summa risteyksissä = 0 paineiden summa = 0 Hydraulimuuntaja H( t 0

4. Lämpösysteemit Perussuureet lämpötila T ja lämpövirta q Kappale lämpenee: q(t)=c d/dt T(t) kääntäen 1 T( t) = C t 0 q( s) ds Lämpövirta lämpötilaerolla T(t): q(t)=wt(t) (lämpösilta) Energiatase => lämpövirtojen summa risteyksissä = 0

Yhteenveto Intensiteett imuuttuja virtamuuttuja Intensiteetin kerääjä virran kerääjä staattinen yhteys engl/määr. effort e flow f f=inv(a)int( e) e=inv(b)int (f) e=h(f) sähkö jännite u virta i kela kondensaattori vastus translaatio voima F nopeus v kappale jousi kitka rotaatio momentti M kulmanopeus ω akseli vääntöjousi kitka nestevirta paine p virtaus Q putki säiliö kuristin lämpösysteemit lämpötila T lämpövirta q - lämpenevä kappale lämpösilta

Mitä iloa analogioista? Esim. Bond-graafit Fysikaalista dyynaamista systeemiä kuvaava suunnattu graafi Tehon ja informaation (kausaliteetti) virrat Intensiteetti- ja virtamuuttujat, niitä keräävät komponentit, niiden lähteet Resistiiviset elementit (muuttujien staattinen yhteys) Solmupisteet: intensiteettien summa = 0, virtausten summa = 0 Muuntajat, gyraattorit (esim. eri sovellusaloihin liittyvien syysteemien yhdistäminen) Keino varmistua mallin oikeellisuudesta Tarjoaa erään lähestymistavan tilayhtälöiden automatisoituun muodostamiseen