Erityisiä mallinnustekniikoita

Transkriptio

1 Erityisiä mallinnustekniikoita Suppea katsaus Bond-graafeihin Lagrangen differentiaalis-algebrallisiin yhtälöihin (Lagrangian DAEs) Taustalla analyyttinen systeemidynamiikka: Paynter 1961: Analysis and Design of Engineering Systems Layton, 1998: Principles of Analytic System Dynamics Palmroth & Piché (TTKK) 20sim-ohjelmisto (university of Twente)

2 Bond-graafit Suunnattuja graafeja, jotka kuvaavat tehon ja informaation virtoja teho = informaatio = Intensiteettimuuttujan kerääntyminen (esim. kondensaattoriin kertyvä jännite) e(t)= 1/β f(τ)dτ (lineaarinen): e C : β f Virtamuuttujan kerääntyminen, f(t)=1/α e(τ)dτ e f I : α

3 Bond-graafit Resistiiviset elementit, e(t)=h(f(t)): Lähteet: S e e f Yhdistäminen: solmupisteet Sarjaankytkentä = s-solmu: virtaukset samoja, intensiteettien summa = 0 merkintänä myös 1 huom. merkkisopimukset Rinnankytkentä = p-solmu: intesiteetit samoja, virtausten summa =0 Merkintänä myös 0 S f e f e f R : e=h(f)

4 Bond-graafit: muuntajat ja gyraattorit Muuntaja huom. eri puolilla voi olla eri sovellusala e1 f1 TR r Gyraattori: laite jossa intensiteetit ja virrat riippuvat toisistaan ristikkäin: e2=rf1, f2=1/r e1 esim. sähkömoottori: sähköenergian muuttuminen pyörimisenergiaksi e2 f2 e1 f1 GY r e2 f2

5 Kausaliteetti Tarkastellaan kahta osasysteemiä: e A B f On päätettävä, kumpi muuttujista e ja f aiheuttaa toisen jos e on A:n ulostulo ja B:n sisäänmeno, aiheuttaa se f:n jos taas toisinpäin, f aiheuttaa e:n On päätettävä muuttujien kausaliteetti Merkintä: e aiheuttaa f:n (ja on B:n input) A => lähteiden kausaalisuus on selvä: S e e f e f B S f f aiheuttaa e:n (ja on B:n input) A e f e f B

6 ...Kausaalisuus Kerääntymisen kausaalisuus: intensiteettimuuttujan kerääntyessä sisäänmeno on intensiteettimuuttuja virtamuuttujan kerääntyessä päinvastoin Resistiivisille elementeille yhdentekevä Sarjakytkentäsolmu: n-1 intensiteettiä määrittelevät yhden intensiteetin n-1 kausaalisuusmerkkiä solmussa Rinnankytkentäsolmu: 1 virta määrittelee muut virrat 1 kausaalisuusmerkki solmussa Muuntajat ja gyraattorit: konsistentti valinta

7 Algoritmi kausaalisuuden määrittämiseen 1. Valitse jokin lähde ja merkitse sen kausaalisuus 2. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 3. Toista 1-2 kaikille lähteille 4. Valitse I- tai C-elementti ja merkitse sen kausaliteetti 5. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 6. Toista kaikille I- ja C-elementeille 7. Valitse R-elementti, jolla ei ole vielä kausaliteettia ja kiinnitä kausaliteetti sopivasti 8. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 9. Toista 7-8 kaikille R-elementeille

8 Miksi tämä kaikki? Keino varmistua mallin oikeellisuudesta Keino muodostaa tilayhtälöt automaattisesti mallintamisen automatisointi 1. Tilojen valinta: - intensiteettiä keräävissä elementeissä (C) virta x=f, dx/dt=e - virtaa keräävissä elementeissä (I) intensiteetti x=e, dx/dt=f 2. Tilayhtälöiden muodostaminen - ilmaistava C-elementtien virrat ja I-elementtien intensiteetit tilojen ja sisäänmenojen funktioina - Koska I-elementtien virrat ja C-elementtien intesiteetit tunnetaan, voidaan niitä pitää virta- ja intensiteettilähteinä! - kausaliteetit ilmaisevat mallin oikeellisuuden ja sen mitkä ovat lähteiden sisäänmenoja ja ulostuloja

9 Lisähuomioita Tässä esitetty teorian perusteet esim. vain suureiden kertymiset kytkeneet vain 2 muuttujaa kerrallaan Sähköisille ja mekaanisille systeemeille olemassa systemaattinen bond-graafimallinnustapa (app. 6.12) Graafien suureet voivat olla vektoriarvoisia Yksinkertaisia lämpöopillisia ongelmia voidaan käsitellä pitämällä muuttujina lämpövirtaa ja tilaa yleisesti virtausmuuttujana on pidettävä entropiamuutosta

10 Lagrangen DAEt Esimerkki: heiluri Liikeyhtälöt ilman lankaa: Rajoitus: x 2 +y 2 =l 2 => liikeyhtälöt x& = v y& = mv& mv& x y v x y = 0 = mg x& = y& = mv& mv& x 2 x y + v v x y + 2xλ = + 2yλ = y 2 = l 2 0 mg g y θ l m Differentiaalisalgebrallinen yhtälö (DAE) x

11 Mitä tapahtui? Newtonin mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat eksplisiittisesti mukana Lagrangen mekaniikka: valitse (vapausasteiden määräämät) yleistetyt koordinaatit Kirjoita Lagrangen funktion Eulerin yhtälö, lisää virtuaalinen työ => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat häviävät Modifioitu Lagrangen mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa rajoitteet mukaan Lagrangen funktioon Lagrangen kertoimilla Eulerin yhtälö => tilayhtälöt (DAE) tukivoimat = Lagrangen kertoimet

12 ... Lagrangen mekaniikassa rajoitutaan implisiittisesti vapausasteiden määräämälle monistolle luonnolliset koodinaatit lasketaan takaperin Modifioidussa Lagrangen mekaniikassa monisto ja liike sillä ilmaistaan eksplisiittisesti rajoittein ASD: Yleistyy myös muuhun kuin mekaniikkaan myös virtausrajoituksiin tukivoiman tulkinta saatetaan menettää

13 LDAE Mallinnuskehikko DAE solution methods Lagrangian formalism System Dynamics (Domain unification) Analytical Dynamics (Classical results) ASD Modular modeling

14 ASD-muuttujat Effort e Flow f Displacement q Momentum p force F velocity v position x lin. momentun p torque τ ang.vel ω angle θ ang. momentum H voltage e current i charge q flux linkage λ pressure p volume rate Q volume V pressure momentum pp temperature T entropy rate ds/dt entropy S -

15 Muuttujaparit Tehomuuttujat: intensiteetti e, virta f, e x f = teho käsitelty Energiamuuttujat liikemäärä p, paikka q d/dt p = e Newton (dp/dt = F), Euler (dh/dt = τ) Faraday (dλ/dt = e) d/dt q = f virta on paikan aikaderivaatta

16 Energian muuntuminen lever Electromagnetic thermoelectric, losses Thermal Electrical transformer bimetallic, losses piezoelectric, magn.strictive motor, generator electrohydraulic, magn.hydraulic Translational hydr. cylinder rack -pinion cam -follower pump, turbine Rotational losses gear fluid boiler, losses Thermal fluid transformer

17 Rajoitteet paikkarajoitteet: φ(q,t)=0 esim. heiluri Virtarajoitteet Ψ(f,q,t)=0 (oletetaan lineaarisiksi f:n suhteen) esim. virtapiirien tai hydrauliikan kytkennät

18 Deskriptorimuoto Mf& + Φ T q ( q, t) κ γ = intensiteetit (input): ulkoiset voimat kitkavoimat yms. + Ψ T f ( q, Ψ( q& f, t) µ = = γ Φ( q, t) = f, q, t) = f, 0, 0, dim M = inertiainformaatio, nxn matriisi κ ja µ Lagrangen kerroinvektorit Φ q ja Ψ q rajoitteiden Jacobin matriisit (nxm 1,nxm 2 ) 2n+m 1 +m 2 tuntematonta kullakin t, 2n+m 1 +m 2 yhtälöä => ok Systemaattinen tapa tuottaa malli sovellusalasta riippumatta n m m 1 2 ; = n

19 Modulaarinen mallintaminen Deskriptorimuoto voidaan ilmaista muodossa M(q,f)=0 Systeemin sisäiset muuttujat kätketty Mallinnusidea: mallinnetaan komponentit erikseen: M i (q i,f i )=0 Kytketään komponentit malliksi rajoitteilla M 1 (q 1,f 1 )=0 Φ(q 1,q 2 )=0 Ψ(q 1,q 2,f 1,f 2 )=0 M 2 (q 2,f 2 )=0 M i (q i,f i )=0...

20 Differentiaalis-algebralliset yhtälöt Muotoa F(x,x,t)=0, df/dx singulaarinen semieksplisiittinen: x =f(x,t); g(x,t)=0 Hessenberg index-3: x =f(x,y,z,t);y =g(x,y,t);h(t,y)=0 Useita eroja dy:ihin verrattuna: vapausasteet: m yhtälöä, 0<=l<=m vapausastetta alkutilan konsistenssi: mielivaltainen alkutila ei toteuta DAEa (usein ei-triviaali ongelma) kätketyt rajoitteet: jos g(x(t))=0 kaikilla t, on oltava myös dg/dt=0, d 2 g/dt 2 =0,...

21 DAE:n indeksi Tärkeä käsite DAE:n ja ratkaisumenetelmien luokittelussa Useita yhtäpitäviä määritelmiä, yksinkertaisin: montako kertaa DAEa pitää derivoida, että kaikkien muuttujien aikaderivaatta saadaan laskettua Esim. mekaniikassa algebrallisia muuttujia ovat Lagrangen kertoimet: paikkarajoituksia on derivoitava 3 kertaa => index 3-DAE /DAE indeksiä 3 DY:t ovat indeksiä 0 (algebralliset yhtälöt indeksiä 1) Indeksi on indikaatio ratkaisemisen helppoudesta yli 3:n indeksi teennäinen indeksin pienentäminen, esim. Gear-Gupta-Leimkuhler

22 Ratkaisumenetelmistä Kaksi lähestymistapaa 1. eliminoidaan algebralliset muuttujat => DYS + invariantti 2. Ratkaistaan DAE sellaisenaan (suorat menetelmät) 1. Algebrallisten muuttujien eliminointi tarkastellaan Hessenberg index-2 DAEa derivoidaan rajoitteet ajan suhteen kunnes saadaan eliminoitua algebralliset yhtälöt => saadaan DYS + invariantti invariantti = alkup.rajoitus + sen aikaderivaatat jos alkutila on konsistentti, invariantti pysyy teoriassa vakiona Käytännössä ei toimi, numeeriseen virheen takia ajautuu ulos monistolta (nopeasti) Tarvitaan stabilointi

23 ODE:n stabilointi Baumgarten (1972) stabilointi: lisätään eliminoituun muotoon termit jotka tekevät niistä asymptoottisesti stabiilin periaatteessa toimiva, käytännössä jotenkuten Jälkistabilointi (post-stabilization, esim. Ascher & Petzold 1998): integroidaan eliminoitua muotoa ja projisoidaan ratkaisu invariantille

24 2. Suorat ratkaisumenetelmät Implisiittinen integrointi; implisiittinen Euler: F(y,y,t)=0 => Ratkaistaan y n yhtälöstä F(y n,(y n -y n-1 )/h,t n )=0 epälineaarinen yhtälöryhmä joka askelella Korkeamman kertaluvun Runge-Kutta- ja moniaskelmenetelmät eivät toimi kaikille ongelmille Lupaava lähestymistapa semi-implisiittiset Runge-Kutta - menetelmät: ratkaistaan linearisoitu yhtälöryhmä joka askelella