8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi laskea. Luvu, joka kertoma ei mahdu eää laskime äytölle tavallisessa muodossa, ei tarvitse olla paljokaa toisella kymmeellä. Vaikka laski esittääki tällaiset luvut kymmepotessimuodossa, yli k: lausekkeet saadaa useimmissa tapauksessa iha tavallisea lukua. 60 Esim. 2 = 60! = 386206920. Näppäilyjärjestys laskimella:! 3! 6 0 iv Cr = MÄÄRITELMÄ alkiota sisältävä jouko k:ttai otettu kombiaatio o jouko sellaie osajoukko, jossa o k alkiota.
Jos esimerkiksi 2 oppilaa luokalta valitaa elihekie toimikuta järjestämää vahoje tasseja, ii mikä tahasa oppilasryhmä, jossa o luoka eljä oppilasta, muodostaa tällaise toimikua. Yleisesti kysymys o siitä, että 2 alkio joukosta poimitaa eljä alkiota sisältävä osajoukko. Käytetää myös saotaa; 2 alkioise jouko kombiaatio. LAUSE alkioise jouko k kombiaatioide lukumäärä o k. Tod.: Lausee 6.3 mukaa alkioisella joukolla o k permutaatioita eli k alkoita käsittäviä järjestettyjä osajoukkoja yhteesä kpl. ( k)! Valitaa äistä permutaatioista yksi, siis joukko, jossa o tietyt k alkiota juuri tietyssä järjestyksessä. Jo tiedetää lausee 6.2 perusteella, että tarkasteltavalla osajoukolla o kaikkiaa k! iitä permutaatiota, joissa o täsmällee samat alkiot, joski eri järjestyksessä. Kaikki ämä permutaatiot kuuluvat yhtee ja samaa kombiaatioo. Näi olle alkioise jouko k permutaatioide lukumäärä = jouko k kombiaatioide lukumäärä kerrottua luvulla k!. Jos yt äide k kombiaatioide lukumäärä o x, ii o voimassa yhtälö k! x =, josta x = = ( k)! k! ( k)! k. Esim. 3 Tavallisesta 2 korti pakasta otetaa umpimähkää korttia. Millä todeäköisyydellä a) kaikki ovat herttoja b) kaikki ovat samaa maata. a) Perusjouko E = {xxxxx x o korttipaka kortti} alkioide lukumäärä = se kuika moella eri tavalla 2 alkio joukosta voidaa 2 valita alkio osajoukko = = 298960.
Suotuisia ovat sellaiset korti yhdistelmät, joissa kaikki korttia ovat herttoja. Kortit tulee siis valita hertoista; valitatapoja o yhtä mota kui o 13 alkioisella joukolla alkio osajoukkoja. Siispä saadaa 13 128 33 P( herttaa) = = = = 0.000919... 298960 298960 6660 b) Perusjouko alkioide lukumäärä laskettu edellä. Valitaa samaa maata oleva korti joukko kahdessa vaiheessa: mikä maa? eljä valiamahdollisuutta 13 mitkä kortit tätä maata? valiamahdollisuutta. Kummaki vaihee valiamahdollisuuksie lukumäärä o toisesta riippumato, jote suotuisa tapahtuma sattumisee o mahdollisuuksia = valiamahdollisuuksie tulo ja site P(väri) = 13 18 = = = 0. 00198... 298960 298960 16660 Esim. Tavallisesta 2 korti pakasta otetaa umpimähkää korttia. Millä todeäköisyydellä saadaa pokeripeli täyskäsi eli kolme samaarvoise korti ohella muuarvoie pari (esimerkiksi kolme viitosta ja kaksi yhdeksikköä)? Perusjoukko E sama kui edellä. Suotuisat kortit valitaa eljässä vaiheessa: Mistä silmäluvusta 3 samaarvoista korttia? 13 mahdollisuutta Mitkä 3 korttia tästä silmäluvusta? 3 mahdollisuutta. Mistä silmäluvusta pari? 12 mahdollisuutta. Mitkä kaksi korttia tätä silmälukua? 2 mahdollisuutta.
Valiamahdollisuuksie lukumäärät eri vaiheissa ovat toisistaa riippumattomat, jote P(täyskäsi) = 13 3 12 2 3 6 0 0010 298960 = 298960 = 16 =.... Pokeria pelattaessa täyskäsi lyö väri siitä syystä, että täyde käde todeäköisyys o väri todeäköisyyttä pieempi. Esim. Veikataa yksi lottorivi. Millä todeäköisyydellä siiä o a) kolme oikei b) kuusi ja lisäumero oikei c) ei yhtää oikei? a) Perusjoukko E = {xxxxxxx x o joki kokoaisluku väliltä 1 < x < }. Perusjouko alkioide lukumäärä = kuika moella eri tavalla voidaa umero joukosta valita alkio osajoukko. Tämä o lausee 6. mukaa ja tämä o samalla kaikkie mahdolliste lottorivie lukumäärä. Ku veikataa 3 oikei, täytyy ämä 3 umeroa valita varsiaise umero joukosta ja eljä s. väärää merkkiä taas iide umeroide joukosta, joita EI arvottu varsiaisiksi umeroiksi. Sillä asialla, mitkä umerot o sattuut veikkaamaa oikei, ei ole mitää vaikutusta tai yhteyttä siihe, mitkä väärät umerot valitsee. Tuloperiaattee ojalla o 32 kolme oikeata umeroa sisältäviä lottorivejä 128600 3 = kpl ja P(3 oikei) = 128600 128600 = = 0. 0818... 138093 b) Ku veikataa kuusi ja lisäumero oikei, tulee kuusi oikeata umeroa valita seitsemä varsiaise ja yksi lisäumero kolme lisäumero 3 6 1 21 joukosta. Tällöi o P(6 + 1) = = = 0. 00000136... 138093
c) Ku veikataa lottorivi, jossa ei ole yhtää oikei, täytyy kaikki umerot valita siitä joukosta, joita ei arvota varsiaisiksi umeroiksi. Tällaisia umeroita o 32 kpl ja 32 33686 P(ei yhtää oikei) = = = 0. 2188... 138093 Ku katselet esimerkkiä, ii saatat ajatella, että viide korti jaossa kolmiluvu (kolme samaarvoista ja kaksi keskeää eriarvoista korttia), esimerkiksi kolme kymppiä, ässä ja kuutoe todeäköisyys lasketaa seuraa-vasti: Suotuisat tapaukset valitaa eljässä vaiheessa mistä silmäluvusta 3 korttia? valiamahdollisuuksia 13. mitkä kortit tätä silmälukua? valiamahdollisuuksia 3. esimmäie muuarvoie kortti valiamahdollisuuksia 8 ja toie muuarvoie kortti valiamahdollisuuksia Tuloperiaattee ojalla suotuisat kortit voidaa valita 13 8 10982 3 = eri tavalla, jote P(kolmiluku) = 10982 = 0. 02269... 2 Kolmiluvu oikea todeäköisyys o kuiteki 0.021128... Edellee pokerissa pari (kaksi keskeää samaarvoista korttia ja kaikki muut keskeää eriarvoisia) todeäköisyyde lasku äyttäisi käyvä tyylii P(pari) = 13 8 0 2 6890 = = 2. 3... > 1!!! 298960 298960 Kuiteki pari oikea todeäköisyys o 0.2269... MISSÄ VIKA?????
Jos tuot viimeistää kurssikokeesee meessä itseäisesti laatimasi kirjallise selvitykse em. kahde laskutoimitukse virheistä, saat kurssikokeesee hyvitykseksi kaksi pistettä. Ratkaisu itseäisyys kotrolloidaa.