76639A Aaltoliike ja optiikka Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Kevät 5 Perustuu oppikirjoihin: H. D. Young and R. A. Freedman University Physics, Addison-Wesley th ed., and th ed., 4 F. L. Pedrotti, (L. M. Pedrotti) and L. S. Pedrotti Introduction to Optics, Prentice-Hall, nd ed., 993 and 3rd ed., 7 E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 3rd ed., 998
Sisältö: Peruskäsitteitä........................................... Aaltojen tyypit........................................ Aaltofunktio ja aaltoyhtälö.............................. 5.3 Harmoninen aalto..................................... 9.4 Aallon nopeus........................................ 4.5 Aallon energia........................................ 7 Aaltoliikkeiden yhdistäminen............................... Heijastuminen ja läpäisy................................ Superpositioperiaate................................... 4.3 Seisova aaltoliike..................................... 6.4 Normaalimuodot...................................... 3.5 Fourier-sarjoista...................................... 34 3 Ääni.................................................. 37 3. Pitkittäisen aallon nopeus ja energia...................... 37 3. Äänen nopeus ideaalikaasussa........................... 4 3.3 Ääniaallot........................................... 4 3.4 Äänen intensiteetti..................................... 45 3.5 Seisovat ääniaallot ja normaalimuodot pillissä.............. 48 3.6 Huojunta............................................ 5 3.7 Doppler-ilmiö....................................... 55 3.8 Shokkiaalto......................................... 59 3.9 Resonanssi.......................................... 6 4 Valo.................................................. 65 4. Historiaa lyhyesti..................................... 65 4. Sähkömagneettinen aalto............................... 7 4.3 Energia ja liikemäärä.................................. 75 4.4 Polarisaatio......................................... 8 4.5 Sähkömagneettinen spektri............................. 85 4.6 Radiometria......................................... 89 4.7 Fotometria.......................................... 94 4.8 Mustan kappaleen säteily............................. 4.9 Valon lähteitä..................................... 4 4. Säteilyn ilmaisimia................................. 9 5 Valon eteneminen..................................... 3 5. Heijastuminen ja taittuminen........................... 4 5. Huygensin periaate................................... 7 5.3 Fermat'n periaate...................................... 9 5.4 Kokonaisheijastus................................... 5.5 Polarisaatio.......................................... 3 6 Geometrista optiikkaa................................... 7 6. Heijastuminen tasopeilistä............................... 7 6. Taittuminen tasopinnassa............................... 3 6.3 Heijastuminen pallopeilistä............................. 3 6.4 Taittuminen pallopinnassa.............................. 38 6.5 Ohuet linssit........................................ 4 6.6 Kuvausvirheet...................................... 48 7 Systeemianalyysi matriisimenetelmällä..................... 5 7. Peruspisteet......................................... 5 7. Matriisimenetelmä................................... 57 7.3 Systeemimatriisi..................................... 64 7.4 Peruspisteiden sijainti................................. 67 7.5 Sovellutusesimerkkejä................................ 7 8 Optisia instrumentteja.................................. 75 8. Kaihtimet, pupillit ja ikkunat.......................... 75 8. Prismat........................................... 8 8.3 Kamerat........................................... 88 8.4 Silmä.............................................. 9 8.5 Suurennuslasi ja okulaarit............................. 96 8.6 Mikroskooppi....................................... 8.7 Kaukoputket........................................ 4 9 Valoaaltojen superpositio............................... 9 9. Valoaalto........................................... 9 9. Superpositio........................................ 4 9.3 Samataajuisten aaltojen superpositio..................... 5 9.4 Eritaajuisten aaltojen superpositio....................... 8 Valon interferenssi...................................... 5. Kahden aallon interferenssi............................ 5. Youngin koe........................................ 9.3 Interferenssi virtuaalisilla lähteillä....................... 34.4 Interferenssi ohuessa kalvossa.......................... 37 Interferometria........................................ 47. Michelsonin interferometri............................ 47. Stokesin relaatiot................................... 55.3 Monisädeinterferenssi ohuessa tasapaksussa kalvossa....... 57.4 Fabry-Perot-interferometri............................ 64 Diffraktio............................................. 73. Fraunhoferin diffraktio kapeassa raossa.................. 74. Fraunhoferin diffraktio pyöreässä aukossa................ 8.3 Kahden raon diffraktio............................... 9.4 Monen raon diffraktio................................ 95.5 Diffraktiohila...................................... 3 3 Laserin perusteet...................................... 37 3. Einsteinin säteilyn kvanttiteoria........................ 37 3. Laserin osat........................................ 33 3.3 Laserin toiminta.................................... 36 3.4 Laservalon ominaisuuksia............................. 39-36
PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama (häiriö) etenee systeemissä paikasta toiseen. Tällaisia häiriöitä (aaltoja) ovat esimerkiksi ääniaallot, veden pinnan aaltoilu, maanjäristykset, valo, tv- ja radiolähetykset sekä yleensä sähkömagneettiset aallot. Aaltoja on siis kaikkialla ja niitä joudutaan käsittelemään paljon esimerkiksi fysikaalisissa, teknillisissä ja biologisissa tieteissä. Tämän vuoksi tarvitaan teoreettista aaltoliikeoppia, joka yhtenäistää eri luonnontieteissä esiintyvien aaltoihin liittyvien ilmiöiden kuvausta. Kuvassa (a) väliaineena on jännitetty köysi. Köyttä häiritään heilauttamalla sen toista päätä ylös-alas-suunnassa nopeasti. Syntyy pulssi, joka etenee köyttä pitkin muotonsa säilyttäen. Köyden eri osaset läpikäyvät saman poikkeaman myöhempinä ajanhetkinä kuin köyden pää alussa. Koska osaset poikkevat poikittaissuunnassa (kohtisuorasti, transverse) häiriön etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen aalto (transverse wave). Poikittaiseen aaltoon liittyy aina myös ns. polarisaation käsite. Jos köyden osasten liike tapahtuu yhdessä ainoassa tasossa, niin kysymyksessä on tasopolarisoitu eli lineaarisesti polarisoitu aalto. Huom! Sähkömagneettinen (ei-mekaaninen) aaltoliike on myös poikittaista aaltoliikettä. Siinä sähkö- ja magneettikentät värähtelevät kohtisuorasti aallon etenemissuuntaa vastaan. Tässä ja seuraavassa kappaleessa, tarkastelemme ns. mekaanisia aaltoja, ts. aaltoja, jotka tarvitsevat jonkin konkreettisen väliaineen missä edetä. Esimerkki tällaisesta aallosta on ääniaalto, joka etenee paineen muutoksina ilmassa. Esimerkkinä ei-mekaanisesta aallosta voidaan mainita vaikkapa valoaalto, joka voi edetä myös tyhjiössä.. AALTOJEN TYYPIT Mekaaninen aalto on häiriö, joka etenee jossakin materiaalissa eli ns. väliaineessa (medium). Aallon edetessä väliaineen hiukkaset (osaset, partikkelit) poikkeavat hetkellisesti tasapainoasemistaan. Aallon tyyppi riippuu siitä, mihin suuntaan poikkeaminen tapahtuu. Asiaa valaistaan seuraavan sivun kuvassa. Kuvassa (b) väliaineena on sylinterissä oleva neste tai kaasu. Väliaineeseen aiheutetaan häiriö heilauttamalla mäntää kerran nopeasti edestakaisin. Paineen muutos (pulssi) liikkuu pitkin sylinteriä siten, että väliainehiukkaset poikkeavat tasapainoasemistaan pulssin etenemissuunnassa. Aalto on ns. pitkittäinen aalto (longitudinal wave).
3 Kuvassa (c) väliaineen muodostaa astiassa oleva vesi, johon synnytetään pinta-aalto. Veden pinnalla etenevässä aallossa vesiosaset poikkeavat sekä poikittaisessa että pitkittäisessä suunnassa, joten aallolla on sekä poikittainen että pitkittäinen komponentti. Esimerkin aalloilla (kuten kaikilla) on kolme yhteistä seikkaa: ) Häiriö etenee väliaineessa tietyllä vakionopeudella v, eli ns. aallon etenemisnopeudella (wave speed). On huomattava, että häiriön nopeus ei ole sama kuin väliaineen hiukkasten nopeus niiden värähdellessä tasapainoasemiensa ympäristössä. ) Väliaine itsessään ei etene paikasta toiseen. Se mikä etenee on häiriö (sen muoto). 3) Systeemin poikkeuttaminen tasapainoasemastaan vaatii energiaa. Aaltoliike kuljettaa siis mukanaan energiaa ja liikemäärää. Muita tyyppijakoja: Aaltoliikkeet voidaan luokitella myös sen mukaan, miten monessa dimensiossa (ulottovuudessa) aalto etenee: - -dimensionaalinen aaltoliike esim. aalto jännitetyssä langassa tai kitaran kielessä - -dimensionaalinen aaltoliike esim. värähtelevä levy tai pinta-aallot vedessä - 3-dimensionaalinen aaltoliike esim. ääni- ja valoaallot Lisää käsitteitä: - Pulssi: Jos esimerkiksi vieterin päätä poikkeutetaan vain kerran (kuva), niin jokainen vieterin osanen on levossa, kunnes aalto saapuu sen kohdalle. Aallon ohituksen jälkeen osanen on jälleen levossa. - Pulssijono: Esimerkiksi köyden päätä poikkeutetaan jatkuvasti. - Jaksollinen aalto: Jos köyden pään liikuttelu on jaksollista (periodista), syntyy periodinen aaltojono. Näistä yksinkertaisin on harmoninen aalto (kuva). 4 Voidaan osoittaa (Fourier-analyysi), että mikä tahansa periodinen aalto voidaan esittää harmonisten aaltojen lineaarikombinaationa. Tämän vuoksi harmoniset aallot ovat erityisen tärkeitä ja periaatteessa riittää tarkastella vain niiden teoriaa. - Aaltorintama on 3-ulotteisessa aallossa niiden pisteiden muodostama pinta, jossa aalto on samassa vaiheessa (esim. aaltojen harjojen muodostama pinta). Homogeenisessä ja isotrooppisessa väliaineessa aaltorintama on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. - Säde puolestaan on suora, joka on kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, ts. osoittaa aallon etenemissuuntaan. Pistemäinen lähde synnyttää palloaallon, jonka aaltorintamat ovat pallopintoja (kuva a). Kaukana lähteestä pallopinnat suoristuvat lähes tasoiksi. Kyseessä on tasoaalto (kuva b).
5. AALTOFUNKTIO JA AALTOYHTÄLÖ Aallon ominaisuuksien yksityiskohtaiseen matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan ns. aaltofunktio (wave function). Aaltofunktio on funktio, joka kertoo väliaineen hiukkasten poikkeaman tasapainosta millä tahansa ajanhetkellä. Funktio voi olla aaltofunktio vain, jos se toteuttaa ns. aaltoyhtälön (wave equation). Tarkastellaan esimerkkinä aallon (pulssin) etenemistä jännitetyssä langassa. Asetetaan lanka x- akselin suuntaiseksi ja olkoot langan osasten poikkeamat y- suuntaisia (kuva). Kysymyksessä on poikittainen aalto, jonka aaltofunktio on y= f(,) xt. (..) Aaltofunktio kertoo paikassa x olevan langan osasen poikkeaman y ajanhetkellä t. Kysymyksessä on siis kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan pitkässä kitkattomassa langassa etenevää pulssia. Ajanhetkellä t = langan muoto olkoon y= f( x) (kuva alla). Kun kitkavoimat ovat pieniä, pulssi etenee langassa samanmuotoisena ja vakionopeudella v. Siten ajanhetkellä t langan muoto on 6 y= f( x-v t). (..) Funktio antaa siis saman muodon pisteessä x=v t ajanhetkellä t kuin mikä langalla oli ajanhetkellä t = pisteessä x =. Funktio (..) esittää positiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa. Vastaavasti on helppo päätellä, että negatiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa kuvaa funktio y= f( x+v t). Vuonna 747 Jean Le Rond d'alambert otti matematiikassa käyttöön osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja kirjoitti samana vuonna artikkelin värähtelevistä kielistä, jossa käsite differentiaalinen aaltoyhtälö esiintyy ensimmäisen kerran. Kysymyksessä on lineaarinen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka yksiulotteisen aallon tapauksessa on muotoa y y =. (..3) x v t On helppo todeta, että funktiot y= f( xmv t) toteuttavat tämän aaltoyhtälön. Aaltoyhtälö on yksi fysiikan tärkeimmistä yhtälöistä. Kaikki pulssit, aallot ja etenevät häiriöt, riippumatta siitä ovatko ne sinimuotoisia tai muuten periodisia, toteuttavat aaltoyhtälön. Kun aaltofunktio tunnetaan, siitä voidaan laskea poikkeaman y lisäksi mm. langan osasten nopeudet y v y (,) xt = = f(,) xt, (..4) t t kiihtyvyydet v y ay (,) xt = = f(,) xt (..5) t t ja langan muoto millä ajanhetkenä tahansa.
7 Vielä aallon nopeudesta (vauhdista) v : Kun aallon etenemistä seurataan ajan funktiona, tietyltä aallon vaiheelta (esim. pulssin huippukohdalta) vaaditaan, että poikkeama y säilyy vakiona, ts. on myös oltava j = xmv t = vakio. Kokonaisdifferentiaali æ j ö æ jö dj = ç dx + ç dt = dx mvdt = è x ø è t ø Antaa tuloksen dx dt = ± v Nopeus on ns. vaihenopeus. Esimerkki: Esittääkö funktio y= exp( x-v t) aaltoa? Ratkaisu:. tapa: kyllä esittää, sillä se on muotoa y= f( x-v t). Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Huomaa, että kysymyksessä ei ole periodinen aalto.. tapa: käytetään aaltoyhtälöä y = exp( x- vt) = exp( x- vt) = y x x y =-v exp( x- vt) = v exp( x- vt) = v y t t Kun nämä tulokset sijoitetaan aaltoyhtälöön (..3) Þ y= y, mikä on totta, ts. funktio toteuttaa yhtälön ja esittää siten aaltoa. Esimerkki: Jännitetyssä köydessä etenevän pulssin muotoa ajanhetkellä t = kuvaa SI-yksiköissä funktio y= 3 /(x + ). Mikä funktio kuvaa pulssia ajanhetkellä t, kun pulssi etenee positiivisen x-akselin suuntaan vauhdilla m/s? Hahmottele pulssi koordinaatistoon ajan hetkillä t = ja t = s. 8 Ratkaisu: Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa x-v t. On siis kirjoitettava 3 3 y = =, ( x- vt) + ( x- t) + missä siis v = m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä ja aika t on sekunteina. Jos yksiköt kirjoitetaan näkyviin, niin edellä esitetty tulos on muotoa 3 3 m y =. m ( x- t) + m Ohessa Mathematica-ohjelmalla piirretyt kuvaajat vaadituilla ajanhetkillä t = ja t = s. Kuvaajassa vaaka-akseli (x-akseli) ja pystyakseli (poikkeama- eli y-akseli) ovat metreinä. Kuvaajista nähdään, että yhden sekunnin aikana pulssi on todellakin edennyt metriä ja vielä siten, että sen muoto säilyy. s
9.3 HARMONINEN AALTO Mielenkiintoinen ja tärkeä erikoistapaus aallosta on ns. harmoninen aalto, joka on muotoa = sin [ ( ±v )] tai y Acos [ k( x t) ] y A k x t = ±v. (.3.) Näissä A ja k ovat vakioita, joiden arvoja voidaan muutella aallon silti menettämättä harmonisuuttaan. Nyt sina = cos( a - p / ), joten siniä ja kosinia erottaa toisistaan vain p /:n radiaanin vaihesiirto. Jatkossa riittää siis tarkastella vain jompaa kumpaa näistä harmonisista funktioista. Valitaan sini: [ ] y= Asin k( x±v t). (.3.) Harmoninen aalto on kahden muuttujan (x ja t) funktio. Seuraavassa tarkastelemme kahta tavallisimpaa harmonisen aallon esitystapaa: (a) Olkoon t = vakio Kuvassa l on aallon aallonpituus ja A amplitudi. Pisteissä x ja x + l aallolla on sama poikkeama (siis y), joten [ - v ] = [ + l -v ] = Asin [ k( x- t) + kl] Asin kx ( t) Asin kx ( t) Koska sinin periodi on tunnetusti p, saadaan v. p kl = p Þ k =. (.3.3) l Tässä k on ns. etenemisvakio eli ns. aaltoluku. (b) Olkoon x = vakio Kuvassa T on aallon periodi eli jakson aika ja A on amplitudi. Hetkillä t ja t+ T aallolla on sama poikkeama, joten [ - v ] = [ - v + ] = Asin [ k( x- t) -k T] Asin kx ( t) Asin kx ( ( t T)) v v. Nyt saadaan p p l kvt = p Þ v = = = = l f, (.3.4) kt ( p / l) T T missä f = (.3.5) T on aallon taajuus. Usein taajuutta merkitään myös symbolilla n, jota käytetään varsinkin optiikassa. Kulmataajuus w määritellään yhtälöllä w = p f. (.3.6)
Edellä esille tulleita suureita käyttäen harmoninen aalto voidaan esittää mm. seuraavissa muodoissa: [ ] [ ] y= Asin k( x±v t), y= Asin kx±wt, é æ x t öù y = Asinêpç ± l T ú ë è ø. û Kaikissa tapauksissa sinifunktion argumenttia, joka riippuu siis paikasta ja ajasta, sanotaan aallon vaiheeksi j (vaihekulma). Esimerkiksi j = k( x± v t) = kx± wt. (.3.7) Usein vaiheessa tarvitaan myös vakio-osa, jolloin kirjoitetaan j = kx± wt+ j, (.3.8) missä j on muuttujista x ja t riippumaton ns. vaihevakio. Monesti kokonaisvaihe kirjoitetaan myös järjestyksessä j = wt ± kx + j. (.3.9) Näin voidaan tehdä, mutta on muistettava, että valittua järjestystä ei kannata muuttaa kesken kaiken. Tässä kurssissa käytämme pääasiassa järjestystä (.3.8). Kun x ja t muuttuvat siten, että vaihe j pysyy vakiona, poikkeama y= Asinj säilyy myös vakiona. Vakiovaiheisuus kuvaa aallon tietyn pisteen liikettä; pisteen nopeus on sama kuin aallon nopeus. Aallon tämä ns. vaihenopeus saadaan siis laskemalla (ks. sivu 7) josta dj = k( dx ± v dt) =, dx dt = mv. Esimerkki: Etenevää aaltoa kuvaa SI-yksiköissä funktio ( p p p ) y( x, t) =.35sin 3 x- t+ / 4. Määritä aallon amplitudi, aaltoluku, aallonpituus, kulmataajuus, taajuus ja vauhti sekä etenemissuunta. Laske lisäksi kohdassa x =. m olevan väliainehiukkasen poikkeama ajanhetkellä t =. Ratkaisu: - amplitudi A =,35m (Huom! Yksiköt kirjoitettava näkyviin) - aaltoluku k = 3p (/m) p - aallonpituus l = = m k 3 - kulmataajuus w = p (/s) w - taajuus f = = 5Hz (Huom! /s = Hz = Hertsi) p - vauhti v = l f = m5 = 3.33m/s 3 s - etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Vauhti saadaan myös vaiheesta j = 3p x- pt+ p /4 differentioimalla dj = 3p dx - p dt =, josta dx p v= = =+ 3.33m/s. dt 3p Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Poikkeama paikassa x =. m hetkellä t =. y(.,).35sin( 3p. p p / 4) ( p p ) ( p ) = - +, =.35sin 3 / + / 4 =.35sin / = =+.346m.
Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 3 i( kx-w t) %, y = Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y% = Acos( kx- wt) + iasin( kx-wt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä sini- että kosiniaallon. Erilaisia ilmiöitä tarkasteltaessa on usein laskennollisesti kätevämpää operoida kompleksiesityksellä kuin todellisella sini- tai kosinimuodolla. Monesti kirjoitetaan y x t i( kx-w t) (, ) Re{ Ae } =, jonka reaaliosa siis esittää todellista (reaalista) aaltoa (kosinimuodossa). On myös tavallista, että aallossa reaaliosan ottamista tarkoittava symboli Re jätetään kirjoittamatta. Tällöin on syytä olla varovainen. Jos aaltoon kohdistuvat laskuoperaatiot ovat lineaarisia (yhteenlasku, vakiolla kertominen,...), niin reaaliosa voidaan ottaa vasta lopputuloksesta ja näin saadaan oikea tulos. Mutta, jos laskutoimitukset eivät ole lineaarisia (neliöjuuri, toiseen korottaminen,...) reaaliosa on otettava ennen operaation suorittamista. Tästä on yksi tärkeä poikkeus. Jos lasketaan neliöllisen lausekkeen aikakeskiarvoa, riittää kun reaaliosa otetaan vasta lopputuloksesta. Esimerkki: Kirjoita aallon y( x, t) = Asin( kx- wt+ j ) kompleksiesitys siten, että yxt (,) on kompleksiesityksen reaaliosa. Ratkaisu: ij Koska y( x, t) = Re{ Ae } = Acosj = Asin( j + p / ), kompleksiesityksen on oltava muotoa y% = Ae - + -. i( kx wt j p /) 4.4 AALLON NOPEUS Fysikaaliset suureet, jotka määräävät poikittaisen aallon etenemisnopeuden köydessä ovat köyden jännitysvoima (tension) ja köyden massa pituusyksikköä kohti. Jälkimmäista sanotaan myös lineaariseksi massatiheydeksi. Jännitysvoimalla puolestaan tarkoitetaan sitä voimaa, joka tarvittaisiin pitämään köyden osia edelleen yhdessä, jos köysi leikattaisiin poikki. Jännityksen lisääminen kasvattaa palauttavaa voimaa, joka pyrkii oikaisemaan köyden häiriön edetessä siinä. On helppo kuvitella, että jännityksen lisääminen kasvattaa aallon nopeutta. On myös helppo arvata, että massan kasvattaminen hidastaa nopeutta, koska köyden liikkeet tulevat jähmeämmiksi. Johdetaan seuraavassa aallon nopeudelle kaava, ja katsotaan siitä sattuivatko arvauksemme kohdalleen. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan täysin notkeaa köyttä, jonka massa pituusyksikköä kohti on m (kg/m) ja johon tasapainoasemassa kohdistuu jännitysvoima F. Oletetaan lisäksi, että köysi on painoton, joten se kuvassa (a) on täsmälleen suorassa.
5 Hetkellä t = köyden päähän kohdistetaan lisävoima F y ylöspäin, jolloin köysi lähtee nousemaan. Köysi on painoton, joten noustessaan se muodostaa kuvan (b) mukaisen kolmion, missä piste P erottaa liikkuvan osan vielä liikkumattomasta. Köyden liike on nyt se häiriö (pulssi, aalto), jonka jo aikaisemmin olemme todenneet etenevän vakionopeudella. Nyt siis piste P liikkuu vakionopeudella v. Vakiovoima F y ei tässä tapauksessa johda kiihtyvään liikkeeseen, koska massa, johon voima kohdistuu, kasvaa koko ajan. Siis pisteen P vasemmalla puolella oleva köyden osa liikkuu ylöspäin vakionopeudella v y. Jos liike olisi kiihtyvä, piste P etenisi myös kiihtyvällä nopeudella ja syntyisi ristiriita. Hetkellä t köyden pää on noussut matkan v y t ja piste P edennyt matkan v t (kuvan b tilanne). Voimien ja köyden muodostamista kolmioista voimme kirjoittaa Fy F yt = v Þ v t Fy y = F v v. Seuraavaksi sovellamme mekaniikasta tuttua impulssiteoreemaa. Voiman F y impulssi Ft, y joka on kehittynyt aikavälillä t, menee liikkuvan köydenosan liikemäärän muutokseksi mv y -. Tulee F t = mv. Tässä m= mv t on liikkuvan köydenosan massa. On siis y y v y F t = mvv t y, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan F v =. (.4.) m 6 Intuitiivinen pohdiskelumme alussa johti siis oikeaan tulokseen. Aallon nopeus kasvaa, kun jännitysvoima ( F ) kasvaa ja pienenee, kun massa pituusyksikköä kohti (m ) kasvaa. Kaavan neliöjuurta emme intuitiivisesti keksineet, mutta se paljastuu helposti yksikkötarkastelulla. Tuloksessa (.4.) jännitysvoima F edustaa väliaineen (köyden) kimmoisuutta ja lineaarinen massatiheys m sen hitautta. Yleisesti pätee kaikille systeemeille kimmoisuus v = (.4.) hitaus Esimerkki: Kolme L:n pituista köyttä yhdistetään, jolloin kokonaispituudeksi tulee 3L. Ensimmäisen osan lineaarinen massatiheys on m, toisen m = 4m ja kolmannen m3 = m/4. Yhdistettyyn köyteen kohdistetaan jännitysvoima F. a) Mikä jännitysvoima vaikuttaa osaköysissä? b) Kuinka kauan pulssilta kestää kulkea köyden läpi? Ratkaisu: Huomaa, että jännitysvoima F vaikuttaa köyden molemmissa päissä. Jos se vaikuttaisi vain toisessa, köysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen (muistele mekaniikkaa). a) Jokaisessa osaköydessä vaikuttaa sama jännitysvoima F. Jos esimerkiksi ensimmäisen ja toisen osaköyden liitoskohdassa
7 ensimmäiseen osaan vaikuttaisi jokin muu voima (esim. F /3), niin ensimmäinen osaköysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen, koska sen toisessa päässä vaikuttaa F. b) Pulssin kulkuaika köyden läpi on L L L æ 3 tkok = t + t + t3 = + + = L m m m ö ç + + v v v3 è F F F ø æ ö m 7 m = Lç + + = L. è ø F F.5 AALLON ENERGIA Tarkastellaan taas köydessä positiivisen x-akselin suuntaan etenevää poikittaista aaltoa. Viereisessä kuvassa on esitetty hyvin pieni osa värähtelevästä köydestä pisteen a ympäristöstä. Pisteeseen a kohdistuu jännitysvoima F sekä pystysuorassa suunnassa liikkeen aiheuttava voima F y. Tämä voima F y on juuri se voima, jonka tekemä työ siirtyy köyttä pitkin eteenpäin oikealle. Köyden vasemmassa päässä tämä voima synnytetään käden liikkeellä, ks. kuva sivulla 4. 8 Köyden suunnassa (kulmakerroin y/ x) kokonaisvoima syntyy kahdesta komponentista, kuva (b), ja kuvan perusteella yxt (,) Fy(,) x t =-F, (.5.) x missä negatiivinen merkki on tarpeen, koska suhde Fy / F on negatiivinen silloin kun köyden kulmakerroin (slope) y/ x on positiivinen. Kun piste a liikkuu y-suunnassa, voima F y tekee työtä. Teho on yxt (,) yxt (,) Pxt (,) = Fy(,) xtvy(,) =-F. (.5.) x t Tämä on hetkellinen teho, jolla pisteen a vasemmalla puolella oleva köyden osa siirtää energiaa pisteeseen a. Kaava siis kertoo millä teholla energiaa virtaa köyttä pitkin oikealle. Kaava on voimassa kaikenlaisille köydessä eteneville aalloille. Sinimuotoisten eli harmonisten aaltojen tapauksessa aaltofunktio on y( x, t) = Asin( kx- wt), josta yxt (,) = kacos( kx-wt), x yxt (,) =-wacos( kx-wt), t ja hetkelliseksi tehoksi tulee Kun vielä käytetään relaatioita P( x, t) = FkwA cos ( kx- wt). (.5.3) w =v k ja v = F / m, saadaan P( x, t) = mfw A cos ( kx- wt). (.5.4) Tästä näemme, että energia ei koskaan virtaa aallon etenemissuuntaa vastaan (teho aina positiivinen).
9 Funktion cos ( kx- wt) keskimääräinen arvo on /, joten keskimääräiseksi tehoksi saamme Pav = mfw A. (.5.5) Energian siirtymisnopeus on siis verrannollinen amplitudin neliöön ja taajuuden neliöön. Yleistys: P (hitaus) (kimmoisuus) av = w A (.5.6) - Esimerkki: Köyttä ( m = 5. kg/m) jännitetään 8. N:n voimalla. Millä keskimääräisellä teholla köyteen on syötettävä energiaa, jos siihen halutaan synnyttää harmoninen aalto, jonka taajuus on 6 Hz ja amplitudi 6. cm? Ratkaisu: Sovelletaan tulosta (.5.5) - m = 5. kg/m F = 8. N ( N = kg m/s ) w= p f = p 6 /s - A = 6. m Pav = mfw A = 5.643 kg m» 5W. s s ækg m Nm J ö ç = = = W 3 s s s è ø Esimerkki: Jännitetyssä langassa, jonka lineaarinen massatiheys on.5-3 kg/m, etenee harmoninen aalto éë ùû. y( x, t) =.3mm cos (6.98 m - ) x-(74 s - ) t Millä keskimääräisellä teholla aalto kuljettaa energiaa? Ratkaisu: Keskimääräinen teho yhtälöstä (.5.5) 3 w Pav = mfw A = mv w A = m A, k missä ensin on käytetty tulosta (.4.) F p w w v = ln = =. k p k Aaltofunktiosta luemme: amplitudi -3 A =.3 m kulmataajuus w = 74 s - aaltoluku k = 6.98 m -, ja lineaarinen massatiheys on Lopulta tulee P av =.38798 kgm 3 m ms m =.387 W. = mv ja sitten -3 =.5 kg/m. kg m kgm m Nm J Yksikkötarkastelu: m = = = = W. 3 m s s s s s
AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin ja miten takaisinheijastuminen tapahtuu riippuu rajapinnan ominaisuuksista. Väliaineen reunaa kohti etenevä aalto ja jo aikaisemmin väliaineen reunasta takaisin heijastunut aalto voivat esiintyä yhtä aikaa samassa tilassa. Tästä seuraa ilmiöitä, joita sanotaan interferenssiksi. Se miten kaksi (tai useampi) samanaikaista aaltoa poikkeuttaa väliaineen osasia määräytyy ns. superpositioperiaatteesta. Kun systeemissä on kaksi rajapintaa, kuten esimerkiksi molemmista päistään kiinnitetyssä kitaran kielessä, syntyy toistuvia heijastuksia ja osoittautuu, että systeemissä voi edetä vain tietyn taajuiset aallot. Näitä erityisiä taajuuksia ja niihin liittyviä aaltojen muotoja sanotaan systeemin normaalivärähdysmuodoiksi. Nyt tutkimme edellämainittuja ilmiöitä mekaanisten aaltojen tapauksessa. Interferenssi-ilmiöt ovat tärkeitä myös ei-mekaanisilla aalloilla ja valon tapaukseen palaamme tarkemmin myöhemmin.. HEIJASTUMINEN JA LÄPÄISY Tutkitaan aallon heijastumista kahden väliaineen rajapinnasta käyttäen esimerkkinä köydessä etenevää poikittaista aaltoa. Tarkastellaan kahta erilaista tapausta. Kuvassa vasemmalla köyden pää on kiinnitetty, eikä se pääse liikkumaan aallon osuessa siihen. Kuvassa oikealla köyden pää on vapaa ja se pääsee liikkumaan aallon vaikutuksesta ylös-alas-suunnassa. Se ehto miten köysi on kiinnitetty on ns. rajapintaehto (rajaehto, reunaehto, boundary condition). Köyden rajapintaan (seinään, köyden päähän) saapuva pulssi heijastuu (kimpoaa takaisin). Jos pää on kiinnitetty, pulssi palaa takaisin ylösalaisin kääntyneenä. Tämä johtuu seinän köyteen kohdistamasta reaktiovoimasta, joka on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen kuin saapuvan pulssin seinään kohdistama voima. Pulssin ylösalaisin kääntyminen vastaa vaiheen siirtymistä 8 (puhutaan p :n vaihe-siirrosta). Jos köyden pää on vapaa liikkumaan, siihen ei kohdistu ulkoisia voimia ja heijastunut pulssi ei käänny. Vaihesiirtoa ei siis tapahdu. Kun aalto kohtaa absoluuttisen jäykän seinän, kaikki aallon energia heijastuu takaisin. Yleensä rajapinnat eivät kuitenkaan ole absoluuttisen jäykkiä ja osa aallon energiasta pääsee rajapinnan toiselle puolelle. Osa aallosta siis läpäisee rajapinnan. Viereisessä kuvassa kaksi erivahvuista köyttä on liitetty toisiinsa. Köysien liitoskohta edustaa nyt rajapintaa, jota kohti pulssi saapuu kuvassa (a). Rajapinnassa osa pulssista heijastuu takaisin ja osa menee läpi. Mitä raskaampi jälkimmäinen köysi on sitä vähemmän menee läpi ja
3 äärettömän raskaan köyden tapauksessa tilanne vastaa jo edellisen esimerkin seinää. Periodisen aallon tapauksessa läpäisseen aallon - taajuus f ei muutu (helppo ymmärtää) - nopeus v muuttuu, koska m muuttuu - aallonpituus muuttuu yhtälön l =v / f mukaisesti. Kuvassa (yllä) aalto saapuu "kevyemmästä" väliaineesta "raskaampaan", jolloin heijastuneessa aallossa havaitaan p :n vaihesiirto (vrt. köysi kiinnitetty seinään). Jos aalto saapuu raskaammasta väliaineesta kevyempään, vaihesiirtoa ei havaita. Läpimennyt aalto ei koskaan koe vaihesiirtoa. Esimerkki: Köydessä etenee siniaalto y( x, t) = Asin( kx- wt). Aaltoon aiheutetaan (tavalla tai toisella) yht äkkinen 8 asteen vaihesiirto. Osoita, että aalto kääntyy ylösalaisin. Ratkaisu: Vaihesiirto D f tarkoittaa: y( x, t) = Asin( kx- wt+d f ). Tässä D f = p eli 8 ja koska sin( a + b) = sinacos b + cosasin b saadaan y( x, t) = Asin( kx- wt)cos( p) + Acos( kx- wt)sin( p), mistä y( x, t) =-Asin( kx- wt) eli kääntynyt ylösalaisin alkuperäiseen verrattuna. Kuva piirretty ajanhetkellä t = : 4. SUPERPOSITIOPERIAATE Jos useampia aaltoliikkeitä vaikuttaa samanaikaisesti määrättyyn väliaineen pisteeseen, niin pisteen poikkeama tasapainoasemasta saadaan laskemalla yhteen eri aaltoliikkeiden erikseen aiheuttamat poikkeamat. Resultanttiaalto on siis yksittäisten aaltojen summa ja jos esimerkiksi y( xt,) ja y( xt,) edustavat kahden osa-aallon aaltofunktioita, niin kokonaisaaltofunktio on y (,) xt = y(,) xt + y(,) xt. (..) tot Matemaattisesti summautuvuusominaisuus on seurausta aaltoyhtälön (..3) y y = x v t lineaarisuudesta. Lineaarisuus tässä tarkoittaa juuri sitä, että jos y( xt,) ja y( xt,) ovat aaltoyhtälön ratkaisuja, niin myös niiden summa on ratkaisu. Tämä on helposti osoitettavissa sillä y y = ja x v t ja laskemalla nämä yhteen saadaan y y x v t = y y y y x x v t v t josta ( y + y) = ( y + y). x v t Myös summa siis toteuttaa aaltoyhtälön. + = +
5 Yksi superpositioperiaatteen seurauksista on se, että kahden aallon kohdatessa ne jatkavat kohtaamisen jälkeen matkaansa täysin muuttumattomina aivan kuin mitään ei olisi tapahtunut. Tässä tarkastelimme aaltojen ns. lineaarista superpositiota. Se on voimassa silloin, kun amplitudi on niin pieni, että väliaineen palauttava voima noudattaa Hooken lakia, ts. on lineaarinen poikkeaman funktio. Jos amplitudi kasvaa suureksi, väliaine menettää elastisuutensa ja superpositioperiaate ei enää ole voimassa. Tästä sinänsä seuraa hyvin mielenkiintoisia ilmiöitä. Esimerkiksi voimakkaan laser-valon vuorovaikuttaessa materian kanssa havaitaan erinäisiä epälineaarisia ilmiöitä. Tällainen ns. epälineaarinen optiikka on yksi modernin optiikan tärkeimmistä tutkimusalueista. Esimerkki: Laske kahden aallon ìy( x, t) =.sin( kx-wt) í îy( x, t) =.9sin( kx- wt+.rad) superpositio eli resultantti(summa-)aalto. Ratkaisu: Lasketaan summa y= y+ y =.sin( a) +.9sin( a +.), missä a = kx- wt sisältää paikka- ja aikariippuvuuden. Tunnetusti sin( a + b) = sinacos b + cosasin b, joten y =.sin( a) +.9sin( a)cos(.) +.9cos( a)sin(.) = sin( a)[. +.9cos(.)] + cos( a).9sin(.) = asin( a) + bcos( a), missä a ja b ovat vakioita. Kun merkitään a= Acos( b ) ja b= Asin( b ) voidaan käyttää uudelleen edellä mainittua trigonometristä identiteettiä ja kirjoittaa y= Asin( a + b), missä A= a + b ja b = arctan( b/ a). Tässä a =. +.9cos(.) =.486 ja b =.9sin(.) =.7573, joten A =.668 ja b =.473. Vastaukseksi kirjoitamme: 6 y=.7sin( kx- wt+.47rad).3 SEISOVA AALTOLIIKE Seisova aalto syntyy superpositioperiaatteen seurauksena silloin, kun annettu aalto esiintyy yhtä aikaa sekä eteenpäin menevänä että takaisin palaavana samassa tilassa samanaikaisesti. Tavallisesti tällainen tilanne havaitaan silloin, kun aalto jossakin etenemisensä pisteessä kokee heijastumisen. Tarkastellaan siis kahta vastakkaisiin suuntiin etenevää harmonista aaltoa, joilla on sama amplitudi, taajuus ja aallonpituus: Resultanttiaalloksi tulee y( x, t) = Asin( kx- w t), (.3.) y( x, t) = Asin( kx+ wt). (.3.) yxt (,) = y(,) xt + y(,) xt = A[sin( kx - wt) + sin( kx + wt)]. (.3.3) Kun tässä kirjoitetaan ja sovelletaan identiteettiä saadaan a = kx+ wt ja b = kx-wt sina + sin b = sin ( a + b)cos ( a - b), y( x, t) = (Asin kx)coswt, (.3.4) joka on seisova aalto. Aalto on esitetty kuvassa alla.
7 Suluissa oleva osa (Asin kx ) edustaa aallon ajasta riippumatonta amplitudia, joka riippuu vain paikasta x. Se kertoo, että kaikilla ajanhetkillä köysi muodostaa sinikäyrän, mutta toisin kuin etenevässä aallossa, sinikäyrä pysyy nyt paikoillaan. Se kylläkin värähtelee, hengittää, tekijän cosw t mukaisesti. Kaikki köyden osaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella. +A -A Solmut (N = node) Seisovan aallon amplitudi on nolla, kun sinkx =, ts. kun p kx= x = mp, missä m =, ±, ±, K l eli siis paikoissa x= m l. (.3.5) Näissä paikoissa poikkeama y on nolla kaikilla ajanhetkillä. Paikkoja sanotaan seisovan aallon solmupisteiksi (nodes, N) tai solmukohdiksi. Solmupisteiden välimatka on l /. Solmupisteissä osa-aallot kumoavat aina toisensa. Kuvut (Antinode) Seisovan aallon amplitudilla on maksimi, kun sin( kx ) =±, ts. kun p p kx= x= + mp, missä m =, ±, ±, K l eli paikoissa æ öl x= ç m+. (.3.6) è ø 8 Näissä paikoissa, solmukohtien puolessa välissä l / :n välein, osaaallot vahvistavat toisiaan ja synnyttävät ns. kuvut. Kupu maksimissa Seisovan aallon värähdellessä ajan funktiona sen poikkeama tasapainosta on maksimissaan, kun ajasta riippuva osa cosw t saa maksimiarvonsa, ts. cosw t =±. Näin käy, kun p wt = p ft = t = mp, missä nyt m =,,, L T eli ajanhetkillä T t = m æ ö ç è ø. (.3.7) Köysi suorana Seisova aalto on kaikkialla nolla, kun cosw t =, ts. kun siis kun æ ö wt = ç m+ p, missä m =,,, L è ø Näillä ajanhetkillä köysi on täysin suora. T t = æ ç m+ öæ ç ö è øè ø. (.3.8) Toisin kuin etenevät aallot, seisovat aallot eivät kuljeta energiaa. Tämä on helppo todeta esimerkiksi laskemalla aallon keskimääräinen teho lähtien hetkellisen teho lausekkeesta (.5.3) ja käyttäen aaltofunktiona seisovaa aaltoa (.3.4). Esimerkki: Positiivisen x-akselin suuntaisen köyden toinen pää on kiinnitetty origoon ( x=, y= ). Köydessä etenee negatiivisen x- akselin suuntaan siniaalto nopeudella 84. m/s, amplitudilla.5 mm ja taajuudella Hz. Tämä aalto heijastuu kiinnityspisteestä x =. Heijastuneen ja tulevan aallon superpositiona syntyy seisova aalto.
9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, -nopeudet ja -kiihtyvyydet. Ratkaisu: Alkuperäisen aallon ominaisuudet: -3 A =.5 m, - - w = p f = p s = 754s - p p f w 4ps - k = = = = = 8.98m l v v 84.m/s l v 84.m/s = = =.7m f s - (a) Seisova aalto (.3.4) y( x, t) = (Asin kx)coswt -3 - - = (3. m)sin(8.98m x)cos(754s t) On vielä varmistettava, että tällä on solmu kohdassa x = : -3 - y(, t) = (3. m)sin() cos(754s t) =, ts. solmu on!! (b) Köysi ei liiku solmukohdissa (.3.5) x= m l =,.35m,.7m,.5m,... (c) Köysi liikkuu eniten kupukohdissa (.3.6) æ öl x= ç m+ =.75m,.55m,.875m,... è ø Kupukohdissa sin( kx ) =±, joten y( t) =± Acoswt v y( t) = dy / dt =mawsinwt ay( t) = dvy/ dt =maw coswt Näiden maksimiarvot saadaan, kun cosw t =± ja sinw t =± : - y = A= (pieni) v y ay 3 3. m max = Aw =.6m/s 3 (suuri) max = Aw = 7m/s (valtava, vrt. g) max Lisäpohdintaa: Miten seisovan aallon yhtälö (.3.4) pitäisi kirjoittaa, jos köyden pää olisi kiinnitetty pisteeseen ( x= x, y= )? Vastaus: y( x, t) = [Asin k( x- x)]cosw t..4 NORMAALIMUODOT Edellisessä tarkastelussa vain toinen köyden päistä oli kiinnitetty ja köysi oletettiin (periaatteessa) äärettömän pitkäksi. Tässä tapauksessa systeemiin sinänsä ei rajoittanut syntyvän seisovan aallon aallonpituutta. Olipa tulevan aallon aallonpituus mikä tahansa aina syntyy seisova aalto. Tarkastellaan nyt miten tilanne muuttuu, kun köyden molemmat päät on kiinnitetty. Molemmista päistä kiinnitettyjä köysiä esiintyy paljon musiikki instrumenteissa, esimerkiksi kitarassa. Kun kitaran kieli saatetaan värähtelemään aalto etenee edestakaisin heijastuen kiinnitetyistä päistä. Nytkin muodostuu seisova aalto eri suuntiin etenevien aaltojen superpositiona. Molemmista päistään kiinnitettyyn köyteen syntyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyden molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisovan aallon solmupisteet ovat l /:n päässä toisistaan. Tästä seuraa, että köyden pituuden L täytyy olla l /, tai ( l / ), tai 3( l / ), jne.... Saamme siis ehdon L= n l, ( n =,, 3, K). (.4.)
3 Tämä tarkoittaa sitä, että jos köyden molemmat päät on kiinnitetty, köysi voi värähdellä vain ehdon (.4.) mukaisilla aallonpituuksilla. Aallonpituudet ovat L l n =, ( n =,, 3, K). (.4.) n Neljä ensimmäistä tämän yhtälön mukaista ns. normaalivärähdysmuotoa on esitetty kuvassa alla. Aallonpituuksia l n vastaavat taajuudet saadaan puolestaan yhtälöstä v v fn = = n ( n =,, 3, K). (.4.3) l L n 3 Matalin taajuus f vastaa suurinta aallonpituutta ja se saadaan, kun n =. Tätä taajuutta sanotaan perustaajuudeksi (fundamental frequency). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuuden monikertoja f, 3 f, 4 f,... ja niitä sanotaan harmonisiksi (harmonics) tai musiikkipiireissä yliääniksi (overtones). Perustaajuus f on ensimmäinen harmoninen, taajuus f = f on toinen harmoninen tai ensimmäinen yliääni, f3 = 3 f on kolmas harmoninen tai toinen yliääni, jne. Jos köysi on kiinnitetty pisteissä x = ja x= L, niin sen n: nnen seisovan aallon aaltofunktioksi tulee (katso.3.4) y ( x, t) = A sin( k x)cos( w t), (.4.4) n sw n n missä A sw on seisovan aallon amplitudi ( = A), k n = p / ln ja w = p f. n n Värähtelevän systeemin normaalimuoto (normal mode) on sellainen liike, missä systeemin kaikki hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella siten, että kaikki hiukkaset ohittavat tasapainoasemansa samanaikaisesti ja toisaalta ovat poikkeamansa maksimissa samanaikaisesti. Molemmista päistä kiinnitetty köysi värähtelee siis normaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellisen sivun kuva esittää normaalimuotoja arvoilla n =,, 3 ja 4. Köydessä (esim. kitaran kielessä) eri normaalimuodot värähtelevät tavallisesti yhtäaikaa. Värähtely voi siis olla hyvinkin monimutkaista. Eri normaalimuotojen virittyminen värähtelemään riippuu alkuehdoista, ts. siitä miten kieli alun perin saatetaan värähtelemään.
33 Toisaalta mikä tahansa köyden liikemuoto voidaan esittää normaalimuotojen lineaarikombinaationa. Monimutkaisen värähtelyn purkamista eri normaalimuodoiksi sanotaan Fourieranalyysiksi. Edellisen sivun kuvassa (alakuvassa) L : n pituista kitaran kieltä näpäytetään etäisyydeltä L /4 vasemmasta reunasta. Kieleen syntyvä monimutkainen värähtely voidaan esittää sinimuotoisten normaalimuotojen kombinaationa (yläkuva). Esimerkki: Erään jättiläissellon kielen pituus on 5. m, lineaarinen massatiheys 4. g/m ja perustaajuus. Hz (alin ihmisen kuulema taajuus). Laske a) aallon nopeus kielessä ja kielen jännitys, b) toisen harmonisen taajuus ja aallonpituus ja c) kielen synnyttämän ääniaallon taajuus ja aallonpituus, kun kieli värähtelee perustaajuudellaan ja toisella harmonisellaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Värähtelevästä kielestä on annettu seuraavat tiedot: L = 5.m, -3 m = 4. kg/m ja f =. Hz. a) Kielen pituus on 5. m, joten yhtälön (.4.) l n = L/ n mukaan perustaajuutta ( n = ) vastaava aallonpituus on. m. Nyt aallon nopeus kielessä saadaan laskemalla v= lf=.m.hz = m/s ja jännitys yhtälöstä (.4.) ratkaisemalla -3kg æ mö F = mv = 4. ç = 6N m è s ø b) Toisen harmonisen ( n = ) taajuus on yhtälön (.4.3) mukaan f = v m/s 4.Hz f L =.m = = ja aallonpituus yhtälön (.4.) mukaan 34 l = L / = 5.m. c) Kieli hakkaa ilmaa sillä taajuudella, jolla se värähtelee, joten taajuus ilmassa on sama kuin kielessä. Perusvärähdys f =. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 7.m f =.Hz = Toinen harmoninen f = 4. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 8.6m f = 4.Hz =.5 FOURIER-SARJOISTA Kappaleessa. totesimme, että mikä tahansa jaksollinen aalto (myös ei-harmoniset) voidaan esittää harmonisten sini- ja kosiniaaltojen lineaarikombinaationa. Jaksollisen aallon purkamista sen harmonisiin komponentteihin sanotaan Fourier-analyysiksi. Fourier-sarja: Olkoon y( x-v t) mikä tahansa rajoitettu jaksollinen aalto, jonka aallonpituus on l. Voidaan osoittaa (ei johdeta tässä), että sarja A ì é p ù é p ùü + å íamcos m ( x- t) + Bmsin m ( x- t) ý m= î ê ë l v ú û ê ë l v ú ûþ (.5.)
35 suppenee kohti funktiota y( x-v t) kaikissa pisteissä, joissa funktio on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa sarja suppenee kohti funktion toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Sarjassa harmonisten termien amplitudit A m ja periodin ( x x + l) ulottuvista integraaleista x + l x B m saadaan yli A = y( x) dx l ò, (.5.) x + l æ p ö Am = y( x)cos m x dx l ò ç è L ø, (.5.3) x x + l æ p ö Bm = y( x)sin m x dx l ò ç è L ø. (.5.4) x Näissä yx ( ) = yxt (, = ). Jos siis funktio yx ( ) tunnetaan, amplitudit A, A m ja B m voidaan laskea ja Fourier-analyysi on suoritettu. Esimerkki: Tee Fourier-analyysi suorakaideaallolle ì M ï, kun - l/ < x <-l/ 4 ï yx (,) = í, kun - l/ 4 x + l/ 4 ï, kun + l/ 4 < x<+ l/ ï ïî M 36 Analyysi: Kannattaa valitan x =- l /, jolloin integroimisväliksi tulee - l/ l/, ts. se sijoittuu symmetrisesti origon suhteen. Edelleen, koska yx ( ) on parillinen funktio ja sini-funktio on pariton, integraali (.5.4) on aina nolla. Riittää, kun laskemme integraalit (.5.) ja (.5.3). Siis ensin l/ l/4 l A = y( x) dx dx l ò = l ò = = l -l/ -l/4 ja sitten l/ l/4 æ p ö æ p ö Am = y( x)cosç m x dx = cosç m x dx l è l ø l è l ø ò ò. -l/ Tässä hyödynnettiin tulon y cos... parillisuutta. Edelleen tulee 4 l l/4 æ p ö æ p ö Am = sin ç m x = sin ç m l m p è l ø mp è ø. Ensimmäisille A =, A Am -kertoimille saadaan: = p, A =, A =- 3 3 p, A =, A = 4 5 5 p,... Jaksollinen suorakaideaalto voidan siis esittää harmonisten kosiniaaltojen summana (.5.) æ p ö é ù y( x, t) = + åç sin m cos m ( x- t) m= mp ê v è ø ë p û ú é æp ö æ p ö = + cos ( x t) cos 3 ( x t) p ê ç -v - ç -v ë è l ø 3 è l ø æ p ö æ p ö ù + cosç 5 ( x-vt) - cosç 7 ( x- vt) + L 5 l 7 l ú è ø è ø û
37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa. Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin. 3. PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista. Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa). Johto on täysin analoginen kappaleessa.4 esitetyn johdon kanssa. Nesteen tiheys olkoon r ja sylinterin poikkipinta-ala A. Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p. Hetkellä t = mäntään kohdistetaan voima ( D p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y. Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v. 38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b). Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla. Mäntä on liikkunut matkan v ja piste P matkan v t. y t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( D p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( rvta) v y -, missä ( rv ta) on nesteosan massa. Tulee siis ( D p) At= ( rvta) v y. Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine D p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus of compression eli puristuvuuskerroin) avulla. Aineen tilavuusmoduli B (Pa = N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( D p ), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( D V / V ). Se määritellään yhtälöllä ædv ö D p=-bç è V ø. Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä -( Avyt) vy D p=- B = B At v v. Tulee v y B At = ( rvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v =. (3..) r Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä r.
39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (3..), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v =. (3..) r Kannattaa huomata nopeuskaavojen (.4.), (3..) ja (3..) samankaltaisuus. Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta. Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus. Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen. Kappaleessa.5 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen Pav = mfw A, missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja m massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta). Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla m r ja F B: I B A josta kiinteille aineille korvaamalla B = r w, (3..3) Y: I = ryw A. (3..4) Esimerkki: Laivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja. Laske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä. Veden ( C) tilavuusmoduli on B =.8 9 3 Pa ja tiheys r =. kg/m 3. Ratkaisu: 9.8 N/m Nm 3 3. kg/m kg B v = = = 476.48 = 48m/s r 4 l = v = 476.48 m/s = 5.6354 m = 5.64m f 6 /s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin Hz ja intensiteetti noin 3-6 W/m. Laske äänen nopeus ja amplitudi, 5 kun ilman tilavuusmoduli on.4 Pa ja tiheys. kg/m 3. Ratkaisu: Nopeus: B v = = = = r 5.4 N/m m m 343.996 344 3. kg/m s s Amplitudi yhtälöstä (3..3): I A = rb( p f) -6 Tässä: I = 3 W/m r =. kg/m 3 5 B =.4 N/m f = /s joilla -9 A = 9.8794 m =.9mm!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms = = = = m = m kg N kg kg kg 3 4 m m s ms ms
4 3. ÄÄNEN NOPEUS IDEAALIKAASUSSA / Yhtälö (3..) v = ( B / r) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa. Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa. Tilavuusmodulin B tarkka (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B=- V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta. Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts. lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua. Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termofysiikan kurssilla) pv g = vakio, (3..) missä g = Cp / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde. Derivoimaalla V:n suhteen dp V g pv g - + g =, dv josta g - dp g pv g p =- =-. g dv V V Tilavuusmodulille saamme B = g p ja äänen nopeudeksi tulee Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä m pv = nrt = RT M saamme tiheydelle r = m pm V = RT, g p v =. (3..) r jonka avulla päädytään yhtälöön 4 g RT v =, (3..3) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila. Esimerkki: Laske äänen nopeus ilmassa ( C), kun ilman moolimassa on 8.8 g/mol ja g =.4. Ratkaisu: g RT v = M missä g =.4 R = 8.35 J mol - K - T = 93 K ( C) -3 M = 8.8 kg/mol J tulee v = 344.38 = 344 m/s kg 3.3 ÄÄNIAALLOT Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella. Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus. Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella Hz Hz. Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range). Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic). Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltofunktio muodossa
43 y( x, t) = Asin( kx- w t). (3.3.) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa. Kaavassa (3.3.) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa. Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi. Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin. Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (3.3.) niiden avulla. Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts. kokonaispaine on pa + pxt (,). Sitä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla. Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S. Tasapainotilassa sylinterin pituus on D x. Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y ja oikean pään paikasta x+d x paikkaan y. Sylinterin tilavuus V = SD x muuttuu määrän V D V= Sy ( - y) = [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)], Dx josta D V [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)] =. V Dx Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun D x, saamme dv yx ( +Dxt,)- yxt (,) yxt (,) = lim =. (3.3.) V D x D x x 44 Seuraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B =- dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). Saamme siten dv yxt (,) p(,) x t =- B =-B. (3.3.3) V x Kun tähän sijoitetaan (3.3.) y( x, t) = Asin( kx- w t), tulee Käyttämällä identiteettiä p( x, t) = -BkAcos( kx - w t). sin( a - p / ) =-cosa tulos saadaan muotoon p( x, t) = BkAsin( kx -wt - p / ). (3.3.4) Seuraavassa kuvassa ilmaosasten poikkeamat yxt (,) ja paineen vaihtelut pxt (,) äänessä on piirretty samaan kuvaan (ajan hetki kiinnitetty). Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on /4 aallonpituudesta. Kun poikkeamalla on maksimi, paine on nollassa (tasapainoarvossaan p a ) ja päinvastoin, ts. kun paine on maksimissa, poikkeama on nollassa. Tuloksesta (3.3.4) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax = BkA. (3.3.5) Tämä on ns. paineamplitudi (pressure amplitude).
45 Esimerkki: Sivulla 4 laskimme tavallisen puheäänen amplitudiksi.9 m m. Laske vastaava paineamplitudi. Ratkaisu: 5 Tunnetaan: B =.4 N/m -6 A =.9 m v = 344 m/s f = /s Lasketaan: w pmax = BkA= B A= p BfA v v =.49798 N/m =.5 Pa Korva on herkkä paineen vaihteluille. Vertaa tulosta ilman paineen tasapainoarvoon p a = 3 Pa (.3 bar). 3.4 ÄÄNEN INTENSITEETTI Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s). Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m. Ääniallon intensiteetille ilmassa pätee sama yhtälö (3..3) mikä muillekin kaasuille tai nesteille, ts. I B A missä r on tiheys. Korva havaitsee paineen vaihtelut, joten käyttökelpoisempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin p max avulla. Koska w = v k, A = p /( Bk) ja max v = B / r, intensiteetille (3.4.) saadaan = r w, (3.4.) æ pmax ö B pmax pmax ç I = rb( kv ) = rb =. (3.4.) è Bk ø r B r B 46 Lisäksi voidaan osoittaa, että pistemäisestä äänilähteestä lähtevän äänen intensiteetti on kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Tämä on seurausta energian säilymislaista seuraavasti: Olkoon tasaisesti kaikkiin suuntiin lähettävän pistelähteen ääniteho P. Etäisyydellä r teho on jakautunut kuvitellun r -säteisen pallon pintaalalle 4p r. Intensiteetti etäisyydel- lä r on siten I teho P = =. pinta-ala 4pr Vastaavalla tavalla todetaan, että intensiteetti etäisyydellä r on I = P/(4 p r). Molemmissa tapauksissa teho P on sama, joten Tästä seuraa 4prI= 4prI. I I r =. (3.4.3) r Intensiteetti I millä tahansa etäisyydellä r on kääntäen verrannollinen r :een. Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta - W/m :stä valtavaan yhteen W/m :iin. Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa. Äänen intensiteettitaso b (sound intensity level) määritellään