4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t) Käänteinen ongelma: hiukkasen kiihtyvyys on a(t). Mikä on hiukkasen nopeus v(t) ja paikka s(t)? Tarvitaan derivoinnille vastakkainen laskutoimitus: integroine
s(t) derivoine v(t) derivoine a(t) integroine integroine
Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d dx F(x) = f(x) kertoo minkä suhteen integroidaan f(x)dx=f(x)+ C f(x):n integraalifunkeo integroimisvakio Integroinnin merkki funkeo mikä pitäisi integroida d dx (F(x) + C) = d dx (F(x)) + d dx (C) = d dx F(x) + 0 = d dx F(x)
Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d dx F(x) = f(x) f(x)dx=f(x)+ C d dx (F(x) + C) = d dx (F(x)) + d dx (C) = d dx F(x) + 0 = d dx F(x)
Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d dx F(x) = f(x) kertoo minkä suhteen integroidaan f(x)dx=f(x)+ C f(x):n integraalifunkeo integroimisvakio Integroinnin merkki funkeo mikä pitäisi integroida d dx (F(x) + C) = d dx (F(x)) + d dx (C) = d dx F(x) + 0 = d dx F(x)
Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d dx F(x) = f(x) kertoo minkä suhteen integroidaan f(x)dx=f(x)+ C f(x):n integraalifunkeo integroimisvakio Integroinnin merkki funkeo mikä pitäisi integroida d dx (F(x) + C) = d dx (F(x)) + d dx (C) = d dx F(x) + 0 = d dx F(x)
Sama graafisese Peruskoulutapa ratkaista edellä ollut esimerkki: muisesääntöjen avulla (esim s(t) = 0.5at 2 + v 0 t + s 0 jos a vakio) tai graafisese. Jos hiukkasen nopeus v(t) = v = vakio, niin hiukkasen aikana t kulkema matka s(t) on v t. v(t) v s(t) = v t t t
Entä jos v ei ole vakio? v(t) s(t) = t 0 v(t)dt t t Graafinen integroine
Integroinnin kaksi tulkintaa 2. Määrä6y integraali eli integroin3 sijoitusrajoilla FunkEon f(x) integraali välillä [a,b] on käyrän f(x) ja x- akselin väliin jäävän alueen pinta- ala välillä [a,b]. f(x) Merkitään: a Integroimisrajat b a f(x)dx = a b b F(x) = F(b) F(a) x
Integraali siivujen summana FunkEo f(x):n kuvaaja on käyrä. f(x):n arvo x:n eri pisteissä kuvataan pylväinä oheisessa kuvassa. Integraalin f(x)dx tulkinta: käyrän alle jäävä pinta- ala. Voidaan ajatella e3ä alue jaetaan (ääre3ömän kapeisiin) siivuihin, joiden pinta- ala lasketaan yhteen. Integraalin merkintä ( venyte3y S- kirjain ) tulee tästä integraali on ikään kuin siivujen summa. f(x)dx
Yhteys integraalifunkeon ja määrätyn integraalin välillä x a f(x)dx = F(x) + C x f(x)dx = a F(x) = F(x) F(a)
Yhteys integraalifunkeon ja määrätyn integraalin välillä f(x)dx = F(x) + C x a f(x)dx = a x F(x) = F(x) F(a) Määrä3y integraali C = - F(a). x a f(x)dx on se integraalifunkeo jolla
Integraalin laskeminen Kaikilla funkeoilla ei ole integraalifunkeota tai sellaista ei osata laskea (= esi3ää alkeisfunkeoiden avulla). IntegroinE ei muutenkaan ole yhtä suoraviivaista kuin derivoine. Integroinnissa joutuu usein käy3ämään ja solveltamaan erilaisia strategioita (ja/tai "kikkoja"). Suoraviivaisia lähestymistapoja ovat esim: DerivoinEsääntöjen soveltaminen "väärinpäin" Taulukkokirjat => taulukkointegraalit Matemaa`set ohjelmat, esim MathemaEca Numeerinen integroine (joskus ainoa keino)
IntegroinEkeinoja Monimutkaisempia integroinekeinoja ovat esim: Osi3aisintegroinE Sijoitusmene3ely eli muu3ujan vaihto Trigonometriset palautuskaavat RaEonaalifunkEon integroine Kompleksilaskennan residymenetelmät (ei käsitellä tällä kurssilla)
IntegroinE derivoinesääntöjen ja kaavojen avulla (ks. esim MAOL) Potenssifunk3on integroin3 kun n - 1 d dx xn = nx n 1 d dx ( 1 n +1 xn+1 ) = x n nx n 1 dx = x n + C x n dx = 1 n +1 xn+1 + C Todistus: x n dx = 1 n +1 xn+1 + C koska d dx ( 1 n +1 xn+1 + C) = x n
Esimerkkejä x 2 dx = 1 2 +1 x2+1 + C = 1 3 x3 + C koska d dx (1 3 x3 + C) = x 2 5x -3 dx = 5 x -3 dx = 5 1 3+1 x-3+1 + C = -5 2 x-2 + C koska d dx (-5 2 x-2 + C) = 5x -3
Summa ja vakiolla kertominen ( f (x)+ g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx + C Esim: (x 2 + 3x) dx = x 2 dx + 3x dx + C = 1 3 x3 + 3 2 x2 + C koska d dx (1 3 x3 + 3 2 x2 + C) = x 2 + 3x a f (x) dx = a f (x) dx Esim: 3x dx = 3 x dx = 3 2 x2 + C
Yhdistetyn funk3on derivoin3kaavan soveltaminen väärinpäin d dx g( f (x)) = g'( f (x)) f '(x) g'( f (x)) f '(x) dx = g( f (x)) Voidaan käy3ää kun g (x) osataan integroida. Sovelluksia: FunkEon potenssi, g (x)=x n, jolloin g (f(x)) = (f(x)) n FunkEo sini- tai kosinilausekkeessa, g (x)=sin(x) tai cos(x), jolloin g (f(x)) = sin(f(x)) tai cos(f(x)) FunkEo eksponenessa, g (x)=e x, jolloin g (f(x)) = e f(x) Huom: jo3a integroitava funkeo saadaan täsmälleen muotoon g (f(x)f (x) joudutaan usein kertomaan vakiolla.
Funk3on potenssin integroin3 kun n - 1 Tarkistus: f (x) n f '(x) dx = 1 n +1 f (x)n+1 + C d dx! 1 n +1 f $ (x)n+1 + C " # % & = 1 n +1 (n +1) f (x)n f '(x) = f (x) n f '(x) f'(x) Esim: f(x) 2x(x 2-1) 3 dx = 1 3+1 (x2-1) 3+1 + C = 1 4 (x2 1) 4 + C Tarkistus: d 1 dx 4 (x2 1) 4 = 1 4 4 (x2 1) 3 d dx (x2-1) = 1 (x 2 1) 3 2x = 2x(x 2 1) 3
Esim: f'(x) f(x) (3x + 2) 5 = 1 3 3(3x + 2) 5 = 1 3 1 6 (3x + 2)6 + C = 1 18 (3x + 2)6 + C Tarkistus: d dx ( 1 18 (3x + 2)6 + C) = 1 18 6(3x + 2)5 d dx = 1 18 6(3x + 2)5 3 = (3x + 2) 5 (3x + 2)
Funk3on 1/x integroin3 Koska d dx ln(x) = 1 x 1 dx = ln x + C x Miksi itseisarvomerkit? Vastaus: jo3a funkeon ja sen derivaa3a- tai integraalifunkeon määri3elyjoukot olisivat samat. (Muista: ln(x) ei ole määritelty kun x < 0.) 1 x ln(x)
Sovellus: funk3on f'(x)/f(x) integroin3 f '(x) dx = ln f (x) + C f (x) Koska d dx (ln( f (x)) = f '(x) 1 f (x) Tämäkin kaava saadaan myös kääntämällä yhdistetyn funk<on derivoin<kaava toisinpäin; tässä g (x) = 1/x. Esim: 1 2x +1 dx = 1 2 2 2x +1 dx = 1 2 ln 2x +1 + C
Trigonometristen funk3oiden integroin3 sin(x)dx = -cos(x)+ C D x ( cos(x)) = sin(x) cos(x)dx = sin(x)+ C D x (sin(x)) = cos(x) f '(x)sin f (x) [ ]dx f '(x)cos f (x) [ ]dx = cos f (x) [ ] + C = sin f (x) [ ] + C Esim. sin(5x)dx = 1 5 5sin(5x)dx = 1 5 cos(5x)+ C x sin(x 2 )dx = 1 2 2x sin(x2 )dx = 1 2 cos(x2 )+ C
EksponenQfunk3on integroin3 e x dx = e x + C D x e x = e x f '(x)e f (x) dx = e f (x) + C D x e f (x) = f '(x)e f (x) Esim. (2x + 3)e x2 +3x dx = e x2 +3x + C 5e 3x dx = 5 3 3 e 3x = 5 3 e3x + C Logaritmifunk3on integroin3 ln x dx = x ln x - x + C koska d dx x ln x - x + C!" # $ = d dx (x) ln x + x d dx (ln x ) 1 =1 ln x + x 1 x 1= ln x +1 1= ln x
Määrätyn integraalin laskeminen Esim. 1 Esim 2 π 2 0 cos(x)dx = π /2 0 sin(x) = sin(π / 2) sin(0) =1 0 =1 3 2 3x dx = 2 3 3 2 x2 = 3 2 32 3 2 22 = 7.5 Määrä3y integraali lasketaan kahdessa vaiheessa: Ensin integroidaan Si3en sijoitetaan
Erikoiset integroimisrajat Tapaus 1: x f (x)dx = F(x) F(0) 0 Joskus integroinerajana käytetään integroinemuu3ujaa. Tämä voi olla hämäävää, usein on selkeämpää käy3ää eri muu3ujaa integroinerajan ja itse integraalin x merkinnässä, esim näin: Esim: hiukkasen paikka ja nopeus v(t) = ds(t) dt s(t) = t 0 v(t)dt 0 f (u)du
Tapaus 2: ääretön ja miinus ääretön integroimisrajoina Esim: e -r dr = 0 = Hyödyllisiä limes- tuloksia: 0 - e -r = lim a a 0 - e -a lim % & a e a e 0 ' ( = lim a lim a e a = 0, 1 e a Joskus integraalin arvo voi myös olla ääretön. Tällöin sanotaan e3ä integraali divergoi. % & ' ( =1 0 =1 lim a ae a = 0 Esim: dx = x 1 1 ln(x) = lim a a 1 ln(x) = lim a [ ln(a) ln(1) ] = lim a [ ln(a) ] =
Integraalilaskuja kemiassa, esim 1 Aineen lämpökapasitee` vakiopaineessa C p toteu3aa differeneaaliyhtälön " C p = H % $ ' # T & p missä H on entalpia ja T absoluu`nen lämpöela. Tästä saadaan dh = C p dt. Lämpökapasitee` (yksikkö J K - 1 mol - 1 ) voidaan usein esi3ää lämpöelan kolmen parametrin funkeona: C p a + bt + ct - 2 Typelle (N 2 ) parametrien arvot ovat: a = 28,58 J K - 1 mol - 1, b = 3,77 10-3 J K - 2 mol - 1 ja c = - 0,50 10-5 J K mol - 1 Laske ΔH = H(T 2 )- H(T 1 ), kun kaasua lämmitetään lämpöelasta T 1 = 25 C lämpöelaan T 2 = 100 C.
Ratkaisu: ΔH = H (T 2 ) dh = C p dt H (T 1 ) T 2 T 1 T = 2 (a + bt + c T )dt 2 T 1 = T2 T1 (at + 1 2 bt 2 - c T ) = (at 2 + 1 2 bt 2 2 - c )-(at 1 + 1 T 2 2 bt 2 1 - c ) T 1 Sijoitetaan annetut arvot, ja saadaan ΔH = 2200 J mol - 1 = 2,20 kj mol - 1 Vinkki: tarkista aina derivoimalla enä olet integroinut oikein: antaako integraalifunk<on derivaana alkuperäisen funk<on?
Integraalilaskuja kemiassa, esim 2 Kun kaasu laajenee (ulkoista) paine3a p ex vastaan, se suori3aa laajenemistyön dw = - p ex dv. Johdetaan lauseke laajenemistyölle W kaasun laajetessa Elavuudesta V 1 Elavuuteen V 2 eri tapauksissa. A. Kun paine on vakio, p = p ex dw = -p ex dv V 2 W = -p ex dv = p ex dv = p ex (V ) V 1 = -p ex (V 2 V 1 ) V 2 V 1 V2 V 1
B. Kun kaasu on ideaalikaasu vakiolämpöelassa (T ja n vakioita), jolloin pv = nrt è p = nrt/v dw = -pdv = - nrt V V 2 V 2 dv W = -pdv = nrt V dv = - nrt dv V2 = -nrt ln(v ) V V1 V 1 V 1 = -nrt(ln(v 2 ) ln(v 1 )) = nrt ln( V 2 V 1 ) V 2 V 1
Integraalilaskuja kemiassa, esim 3 HCl molekyylin sidoksen voimavakio on k = 518 N m - 1 ja tasapainosidospituus r e = 0,127 nm. Hooken lain mukaan sidospituuden muutosta vastustava voima on F(Δr) = kδr, missä Δr = (r- r e ) on poikkeama tasapainosidospituudesta. Laske Hooken lain mukainen sidospituuden muu3amiseen tarvi3ava työ W(Δr) kun HCl:n sidos venytetään tasapainosta 0,137 nm:aan. W (Δr) = Δr F(Δr)d(Δr) = k Δr d(δr) = 0 Δr 0 Δr 0 1 2 kδr2 = 1 2 kδr2 1 2 k02 = 1 2 kδr2 Nyt voidaan sijoi3aa arvot: Δr = 0,137 0,127 nm = 0,1 nm, ja W = 2,59 10-18 J.
Integraalilaskuja kemiassa, esim 3 Huom: äsken olisi voitu käy3ää muu3ujana Δr:n sijaan myös r:aa, jolloin olisi integroitu F(r) = k(r- r e ) sijoitusrajoilla r e ja r e + Δr. Lasku olisi ollut hieman pidempi, mu3a merkintä ehkä helpompi ymmärtää: W (r) = r e +Δr F(r)dr = k(r - r e )dr r e r e +Δr r e r e +Δr = k( r dr r e dr) = k( r e = k( (r e + Δr) 2 2 r e +Δr r e = k( r 2 e 2 + 2Δr r e 2 (r e ) 2 2 re+δr r 2 re 2 - re re+δr r r e ) (r e + Δr) r e r e r e ) + Δr2 2 r 2 e 2 r 2 e Δr r e + r 2 e ) = k Δr2 2
Integraalilaskuja kemiassa, esim 4 AlkuElanteessa 5,0 m 3 kaasua on normaali- ilmanpaineessa. Kaasua puristetaan adiabaa`sese kymmenesosaan alkuperäisestä Elavuudestaan. Adiabaa`selle prosessille pv γ = k, missä γ = C p /C v = 1,404 ilmalle ja k on vakio. Laske tehty työ W = pdv. Ratkaisu: AlkuElavuus V 1 = 5,0 m 3, loppuelavuus V 2 = 0,5 m 3 p = V -γ k V 2 W = pdv = V -γ k dv = k V -γ dv = k V 1 V2 1 V1 V 2 V 1 γ +1 V γ+1 = k 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) V 2 V 1
Äsken johde`in W = k 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) Ennenkuin voidaan sijoi3aa arvot, pitää ratkaista k. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi alkuelavuuden V 1 = 5,0 m 3 ja alkupaineen p 1 = 1 atm = 101325 Pa avulla. Saadaan k = p 1 V 1γ. Sijoitetaan kaavaan: W = p V γ 1 1 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) = 101325Pa (5, 0m 3 ) 1,404 1 1, 404 =1925085, 5 J =1, 9 10 6 J ((0, 5m 3 ) 1,404+1 (5, 0m 3 ) 1,404+1 ) Huom: Pa = N m - 2 ; Pa m 3 = N m = J
Integraalilaskuja kemiassa, esim 5 Arrheniuksen yhtälö on k = Ae E a RT a) Osoita e3ä Ratkaisu: d(ln k) dt = E a RT 2 ln k = ln(ae E a RT ) = ln A + ln(e E a RT ) = ln A E a RT d(ln k) dt = d dt (ln A E a RT ) = 0 E a R 1 T 2 = E a RT 2
Arrheniuksen yhtälö on b) Jos k 1 on reakeon nopeusvakio lämpöelassa T 1 ja k 2 on nopeusvakio lämpöelassa T 2, osoita e3ä ln( k 2 k 1 ) = E a R (T 2 T 1 T 2 T 1 ) Ratkaisu: Äsken johde`in d(ln k) = E a RT 2 dt k = Ae E a RT d(ln k) dt = E a RT 2. Tästä saadaan Nyt voidaan integroida molemmat puolet. k:n integroinerajat ovat k 1 ja k 2, T:lle vastaavase T 1 ja T 2. k 2 d(ln k) = k 1 T 2 T 1 E a RT 2 dt
k 2 d(ln k) = k 1 T 2 T 1 E a RT 2 dt k2 k1 ln k = E T2 a R T 1-1 T ln k 2 ln k 1 = E a R ( 1 T 2 1 T 1 ) ln ( k 2 k 1 ) = E a R ( 1 T 1 1 T 2 ) = E a R ( T 2 T 2 T 1 T 1 T 1 T 2 ) ln ( k 2 k 1 ) = E a R (T 2 -T 1 T 1 T 2 )
Integraalilaskuja kemiassa, esim 6 Osoita e3ä ideaalikaasulle kv 1 pdv = nrt ln k V 1 kun T on vakio (isoterminen prosessi) Ratkaisu: pv = nrt è p = nrt/v kv 1 pdv = V 1 kv1 = nrt V1 kv 1 nrtdv = nrt dv V V V 1 kv 1 ln V = nrt (ln kv 1 ln V 1 ) V 1 = nrt ln( kv 1 V 1 ) = nrt ln k
Integraalilaskuja kemiassa, esim 7 SiO 2 :lle C - kvartsimuodossa pätee aiemmin esitelty lämpökapasitee`yhtälö C p a + bt + ct - 2 missä a = 46,0 J K - 1 mol - 1, b = 0,00334 J K - 2 mol - 1 ja c = - 8,9 10-5 J K mol - 1 Laske entalpian ja entropian muutokset kun kvartsi lämmitetään lämpöelasta 298 K lämpöelaan 350 K. Entalpian ja entropian differeneaaleille dh ja ds pätee: dh/dt = C p dh = C p dt ds/dt = C p /T ds = (C p /T)dT Ratkaisu: integroidaan yhtälöiden molemmat puolet.
ΔH = H 2 1 dh = C p dt = H 1 T 2 T 1 T 2 T 1 (a + bt + ct -2 )dt = T2 T1 (at + 1 2 bt 2 - c T ) = a(t 2 -T 1 )+ 1 2 b(t 22 -T 1 2 )- c( 1 T 2-1 T 1 ) Sijoitetaan T 1 = 298 K, T 2 = 350 K ja annetut a:n, b:n ja c:n arvot, saadaan ΔH = 2,400 kj mol - 1.
ΔS = S 2 1 ds = C -2 p T dt = a + bt + ct ( T S 1 T 2 T 1 T 2 T 1 )dt = (at -1 + b + ct -3 )dt = T 2 T 1 T2 T1 (a ln T + bt - 1 2 c T 2 ) = a ln( T 2 T 1 )+ b(t 2 -T 1 )- c 2 ( 1 T 2 2-1 T 1 2 ) Sijoitetaan T 1 = 298 K, T 2 = 350 K ja annetut a:n, b:n ja c:n arvot, saadaan ΔS = 7,6 J mol - 1 K - 1.