Ylioppilastutitolautauta S tudetexamesämde MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5.9. HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastauste piirteide ja sisältöje luoehdita ei sido ylioppilastutitolautaua arvostelua. Lopullisessa arvostelussa äytettävistä riteereistä päättää tutitoaiee sesoriuta. Hyvästä suoritusesta äyy, mite vastausee o päädytty. Rataisussa o oltava tarvittavat lasut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioiissa iiitetää huomiota ooaisuutee ja rataisu pyritää arvioimaa olmiosaisesti: alu, välivaiheet ja lopputulos. Lasuvirheet, jota eivät oleaisesti muuta tehtävä luoetta, eivät alea pistemäärää merittävästi. Se sijaa tehtävä luoetta muuttavat lasu- ja malliusvirheet saattavat aletaa pistemäärää huomattavasti. Lasi o oee apuvälie, joa rooli arvioidaa tehtäväohtaisesti. Jos rataisussa o äytetty symbolista lasita, se o äytävä ilmi suoritusesta. Aalysoitia vaativie tehtävie rataisemisessa pelä lasimella saatu vastaus ei riitä ilma muita perusteluja. Se sijaa lasimesta saatu tulos yleesä riittää rutiiitehtävissä ja laajempie tehtävie rutiiiosissa. Tällaisia ovat esimerisi lauseeide muoaamie, yhtälöide rataisemie seä futioide derivoiti ja itegroiti. Tehtävä a) b) 6 ± 6 6 x + 6x= x + 9 x 6x + 9= x = =. + x x = ( + x)( + x ) = ( x)( x ) x + x x + x + x+ = x x x+ xx ( + ) = x= x =. c) Nollaohdat saadaa yhtälöstä jote 9 ± 5 x 9x+ = x= x = x = 7, x 9x+ = ( x )( x 7). Tehtävä a) P( x) = x x + x P ( x) = x x +. Saadaa yhtälö x (x ) = x = x = x= x =. x x + = Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.
b) (x + cos( x)) dx = x + si( x) + C. c) Luu a o 5 % pieempi ui b, jote a=, 75. b b = =,. Luu b o oi % suurempi ui a. a, 75b b Luuje suhde o Tehtävä a) Oloo ysytty ulma ϕ. Kosa a = + = 5, b = 9 + = ja a b = =, ii a b cosϕ = = ab 5,, josta ϕ 8, 9. s= b) a c c = a jollai R si + ( s) j = i j s = Sijoittamalla = s alempaa yhtälöö saadaa s= s s =. Tehtävä Jos =, ii äyrät ovat samat, jote tagetit eivät ole ohtisuorassa. Ku, ii leiauspistee x-oordiaatti saadaa yhtälöstä x = ( x ) x =± x = x = x =. Derivaata avulla tagettie ulmaertoimisi leiauspisteessä saadaa ja. Kohtisuoruusehto o ( ) = = =±. Tehtävä 5 Suutavetorit ja iide pituudet ovat a = i j +, a = + + =, ja b = i, b = 9 + 6 = 5. Lähtöpistee paiavetori o OA = i j. Kosa a =, ii esimmäie siirtymävetori o a. Kosa = 5, o. b Täte OC = OA + a + b = ( i j) + ( i j + ) + (i ) = i 7 j, jote C = (, 7, ). b ii toie siirtymävetori Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.
Tehtävä 6 Kulmapuolittajalausee ojalla saadaa CA = x ja CB =. x Oloo α puolet ulmasta BCA. Kosiilausee ojalla = ( x) + 6 x 6cosα = ( x) + 6 x 6cos α. = x 6 x = x =±. Vai = AC = x = 8 ja BC = x = 6. Kerrotaa ylempi yhtälö :lla ja alempi : llä ja lasetaa puolittai yhtee. Näi saadaa x elpaa, jote Tehtävä 7 Kosa x x= xx ( + )( x ), ii lauseee ollaohdat ovat, ja, jote se meri vaihtuu välillä [, ] vai ohdassa x =. Meritutimus osoittaa, että x x, u x, ja x x, u x. Tällöi x x dx = ( x + x) dx + ( x x) dx = / + + / ( ) ( ) x x x x =. Tehtävä 8 Jos molempia päiviä osallistui x ritaria, ii vai esimmäiseä päivää osallistui x ritaria ja vai toisea päivää 85 x ritaria. Osallistujia oli yhteesä 9, jote ( x) + x+ (85 x) = 9 x = 58, jote ysytty todeäöisyys o 58 78 %. 9 Tehtävä 9 x x Käyrie leiausohdat saadaa yhtälöstä e = xe x = x =±. Jaa pituus o ( ) x x f x = e xe, josta x x x f '( x) = e xe + x e x = e ( x x ). Kosa x e >, ii f '( x) = x x = x =±, joista x =+ ei ole välillä,. f ± =, ii suuri mahdollie pituus o Kosa väli päätepisteissä ( ) ( ) ( ) ( ) f = e = e,. Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.
Tehtävä Oloo palloje säde r. Niide esipisteet ovat sääöllise tetraedri ärjissä. Tetraedri särmä pituus o r, jote joaie taho o tasasivuie olmio, joa oreus o r. Tetraedri oreusjaa leiaa pohjaolmio mediaaie leiauspisteessä, joa etäisyys pohjaolmio ärjestä o. r Pythagoraa lausee ojalla tetraedri oreus h toteut- taa yhtälö 8 h + r = ( r) h = r. 8 Raeelma oreus o h+ r = + r. Tehtävä Puolisuuiassääö ojalla 5( 5 5 5 5 ) ( 5si 5si 5si 5si si) f( x) dx f() + f( ) + f( ) + f( ) + f( ) + f () = + + + + +, 95. 5 5 5 5 5 Tehtävä a) 9x Rx ( ) = x 5x x 5 x x 9 9 = =, u x. b) 9x (x+ )(x ) Rx ( ) = = x 5x (x+ )( x ) x = x 6 7, u x. Tehtävä Vastaoletus: Q m, Z: = m, joa o supistetussa muodossa. Tällöi m = m =. Kosa o parillie, myös m o parillie. Tällöi myös m o parillie, jote Z: m= m = 8. Sijoittamalla yllä olevaa yhtälöö saadaa 8 = = o parillie o parillie. Tämä o ristiriita, osa m oletettii supistetusi, vastaoletus o väärä. Väite o tosi. Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.
Tehtävä a) Leiauspisteet y-aselilla saadaa asettamalla x = y + y = y= y =. Leiauspisteet x-aselilla saadaa asettamalla y= x x = x= x =. Leiauspisteet ovat (, ), (, ), (, ) ja (, ). b) Leiauspisteet sijaitsevat symmetrisesti suora y= x suhtee. Jos leiauspisteet sijaitsevat ympyrä ehällä, ii symmetria perusteella esipiste o tällä suoralla. Kesipiste ( x, x ) o yhtä auaa pisteistä (, ) ja (, ), jote ( x ) + ( x ) = ( x ) + ( x ). Rataisusi saadaa x =. Piste (, ) o yhtä etäällä aiista eljästä leiauspisteestä, jote pisteet ovat ympyrä ehällä. Kesipiste o siis (, ) ja säteelle r o voimassa r = ( ) ( ) + =. Ympyrä yhtälö o ( ) ( ) x + y+ = x + y x+ y =. c) Suora o y= x. Sijoittamalla y= x äyrä yhtälöö saadaa ± x + x + x x x = 7x x = x =. 7 + + Leiauspisteet ovat, ja,. 7 7 7 7 d) Jos äyrä olisi ympyrä, se yhtälö o sama ui b-ohdassa. c-ohdassa lasetut äyrä pisteet eivät toteuta ympyrä yhtälöä, jote aluperäie äyrä ei ole ympyrä. Tehtävä 5 a) Esitetty futioide f ( x) = si x, f( x) = si( x), f ( x) = si( x) uvaajat välillä π x π. b) Kosa π si( x ), u x, ii jasollisuude ojalla π π π = = f ( x) dx f ( x) dx si( x) dx = cos( ) Kysytyt itegraalit ovat, ja.. /π x = Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.
c) d) π A = f ( x) dx = = = A = ( ( ) + ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) =, u. =. Matematiia oe, pitä oppimäärä 5.9.