Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee sähkövirta, varastoi magneettista energiaa. Tämä voidaan päätellä seuraavalla tavalla. a) I(t) L b) I 1 (t) L 1 L I (t) U(t) U 1 (t) U (t) Kuva 11.1: Kelojen varastoima magneettinen energia. Tarkastellaan kuvan 11.1 a mukaista piiriä, joka koostuu kelasta ja säädettävästä jännitelähteestä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että piirin resistanssi on nolla, jolloin piiri ei kuluta Joulen tehoa (jos resitanssi huomioitaisiin, kaavat tulisivat monimutkaisemmiksi, mutta periaate olisi kuitenkin sama). Kun jännitettä aletaan kasvattaa nollasta, virta rupeaa kulkemaan ja kelaan indusoituu jännite LdI/. Koska virta kasvaa, on di/ >. Aikavälillä δt piirin läpi kulkee varaus δq. Koska indusoitunut jännite vastustaa virran kasvua, on varauksen δq ylitettävä positiivinen potentiaaliero LdI/. Näinollen jännitelähteen on tehtävä työ δw = δql di = Lδq δi = LIδI. (11.1) δt Aikavälillä (, t) tehty työ on kaikkien tällaisten töiden summa, eli c Tuomo Nygrén, 1 W = L I(t) IdI = 1 LI (t). (11.) 131
13 LUKU 11. MAGNEETTINEN ENERGIA Koska piirissä ei ole resistanssia, joka voisi tuottaa lämpöä, kelan on täytynyt kyetä varastoimaan energiaa. Tätä energiaa sanotaan magneettiseksi energiaksi. Myöhemmin nähdään, että energian voidaan tulkita varastoituvan magneettikenttään samalla tavalla kuin sähköstaattisen energian voidaan tulkita varastoituvan sähkökenttään. Jos jännitelähde irrotetaan jollakin hetkellä kelasta ja käämin päiden välille kytketään vastus, induktiojännite kytkeytyy vastuksen päiden välille ja vastuksen läpi kulkee virta. oidaan osoittaa, että tämä virta vaimenee ja sen tuottama lämpöenergia vastuksessa on yhtä suuri kuin kelan varastoima magneettinen energia kytekentähetkellä. Siis energia oli todellakin varastoituneena kelaan, koska sen suuruinen energia voidaan muuttaa vastuksessa lämmöksi. Kuvassa 11.1 b on kaksi kelaa, joiden välillä on magneettinen kytkentä, jota edustaa keskinäisinduktanssi M. Kun jännitteitä U 1 ja U ruvetaan kasvattamaan nollasta lähtien, kasvavat myös piireissä kulkevat virrat I 1 ja I lähtien nollasta. Aikavälillä δt kulkee piirin 1 lävitse varaus δq 1 ja piirin lävitse varaus δq. Samalla periaatteella kuin edellä nähdään, että jännitelähteet joutuvat tekemään työt ( di 1 δw 1 = δq 1 L 1 + M di ) ( δw = δq M di ) 1 + L di Näiden summa on jännitelähteiden yhteensä tekemä työ =L 1 δq 1 δt δi 1 + M δq 1 δt δi =L 1 I 1 δi 1 + MI 1 δi (11.3) =M δq δt δi 1 + L δq δt δi =MI δi 1 + L I δi. (11.4) δw = δw 1 + δw = L 1 I 1 δi 1 + L I δi + MI 1 δi + MI δi 1 = L 1 I 1 δi 1 + L I δi + Mδ(I 1 I ). (11.5) Jännitelähteet tekevät siis aikavälillä (, t) yhteensä työn W = L 1 I 1 (t) I 1 di 1 + L I (t) I di + M I 1 (t)i (t) d(i 1 I ) = 1 L 1I 1(t) + 1 L I (t) + MI 1 (t)i (t). (11.6) Tämä on magneettinen energia, jonka kelat ovat varastoineet. Samalla periaatteella voidaan tarkastella useampia keloja, joiden välillä on magneettinen kytkentä. Yhtälö (11.6) voidaan myös kirjoittaa muotoon W = 1 (L 1I 1 + MI )I 1 + 1 (L I + MI 1 )I. (11.7) Yhtälöiden (1.5) ja (1.6) perusteella käämien läpi kulkevat magneettivuot ovat Φ B1 = L 1 I 1 + MI (11.8) Φ B = L I + MI 1, (11.9)
11.. KELAN LATAAMINEN JA PURKAMINEN 133 joten magneettinen energia voidaan esittää myös muodossa W = 1 Φ B1I 1 + 1 Φ BI. (11.1) Tulokset (11.6) ja (11.1) ovat yleistettävissä useammasta käämistä muodostuvalle systeemille. Kun kelojen resistanssit ovat nollia, virtojen voimakkuudet lähestyvät lopulta ääretöntä. aikka induktanssit viivyttävät virtojen rajua kasvua, ne eivät kykene sitä estämään. Näinollen jännitelähteet menevät oikosulkuun mikäli jännitteitä ei riittävän nopeasti pienennetä takaisin nollaan. Todellisuudessa virtapiirien resistanssit rajoittavat virtoja, ja mikäli jännitteet asetetaan vakioarvoihin, myös virrat saavat lopulta äärelliset vakioarvot jotka määräytyvät resistansseista ja jännitteistä Ohmin lain mukaisesti. 11. Kelan lataaminen ja purkaminen Energian varastoitumista kelaan voidaan tarkastella kuvan 11. mukaisen kytkennän avulla. Tässä kelan induktanssi on L ja sisäinen resistanssi R. Hetkellä t = kytkin käännetään asentoon 1, jolloin kela kytkeytyy paristoon. Piirin jännitteiden summan täytyy olla sama kuin jännitehäviö vastuksessa. Koska indusoitunut jännite pyrkii rajoittamaan virran kasvua, on sen oltava pariston jännitteen suhteen vastakkaismerkkinen. Siis U L di = IR, (11.11) josta Ajassa T paristo tekee työn W (T ) = T T UI = L U = L di I di T + + IR. (11.1) RI = 1 LI (T ) + T RI. (11.13) Jälkimmäinen termeistä on vastuksessa lämmöksi muuttunut energia. Yhtälön (11.) perusteella termi LI (T )/ on kelan magneettikenttään varastoitunut magneettinen U 1 L R Kuva 11.: Kelan lataaminen ja purkaminen.
134 LUKU 11. MAGNEETTINEN ENERGIA energia. Tämä voidaan varmistaa osoittamalla, että kääntämällä kytkin asentoon syntyy oikosulkupiirissä virta, joka aiheuttaa vastuksessa lämpöhäviön LI (T )/. Asennossa on voimassa yhtälö L di + RI = di I R L ln I R L t + ln K I = Ke Rt/L. (11.14) Alkuehtona on, että hetkellä t = T virta on I(T ). Tällöin Siis yksityisratkaisu on I(T ) = Ke RT/L josta K = I(T ) e RT/L. (11.15) I = I(T ) e R(t T )/L, (11.16) joten virta pienenee eksponentiaalisesti. Lämpöhäviö vastuksessa on T RI = RI (T ) e R(t T )/L T ( = RI (T )e RT/L L ) / R T e Rt/L = 1 LI (T ). (11.17) Yhtälön (11.13) avulla nähtiin, että vain osa pariston tekemästä työstä kului vastuksessa. Yhtälö (11.17) osoittaa, että jäljelle jäänyt osa oli varastoituna kelan magneettikenttään, ja se voitiin muuttaa lämpöenergiaksi vastuksessa kääntämällä kytkin asentoon. Tämä tulos osoittaa, että kela on todellakin laite, joka varastoi magneettista energiaa induktanssinsa avulla samaan tapaan kuin kondensaattori varastoi sähköstaattista energiaa kapasitanssinsa avulla. 11.3 Magneettikentän energiatiheys Edellä nähtiin, että kelan virran kasvattamiseen tarvitaan energiaa, jonka kela kykenee varastoimaan. Samalla tavalla minkä tahansa virtajärjestelmän luomiseen tarvitaan energiaa, joka varastoituu systeemiin. Sähköstatiikassa havaittiin, että varaussysteemin potentiaalienergia voitiin tulkita sähkökentän energiatiheyden w E = E D/ avulla. Tässä kappaleessa osoitetaan, että virtajärjestelmän varastoima energia voidaan tulkita magneettikentän energiatiheyden avulla. Kappaleessa 11.1 nähtiin, että kelaan kytketty jännitelähde joutuu tekemään työtä indusoitunutta jännitettä vastaan saadakseen virran kulkemaan. Yleisessä tapauksessa (kun virta jakautuu kaikkialle avaruuteen) kokonaissähkökenttä muodostuu kentästä E c, joka varsinaisesti virran aiheuttaa, ja indusoituneesta kentästä E i, joka pyrkii vastustamaan virran muutoksia. Joulen lain differentiaalimuodon (9.3) mukaan sähkökenttä, joka saa aikaan vapaan virran, aiheuttaa tehotiheyden j f E c. Tämä pistetulo on positiivinen, kun virta ja sähkökenttä ovat samansuuntaisia. Jos virran kasvattamiseksi on tehtävä työtä indusoitunutta sähkökenttää E i vastaan,
11.3. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 135 on tähän liittyvän tehotiheyden siis oltava j f E i. Tämän perusteella kaikkialla avaruudessa kulkevien virtojen kasvattamiseksi on tehtävä työtä teholla j f E i dτ, (11.18) missä integrointi periaatteessa suoritetaan koko avaruuden yli. Integroidaan kuitenkin aluksi R-säteisen pallon yli ja annetaan lopuksi pallon säteen lähestyä ääretöntä. Ampèren lain H = j f avulla yhtälö (11.18) saadaan muotoon Käytetään seuraavaksi kaavaa josta E i ( H) dτ. (11.19) (E i H) = H E i E i H, (11.) E i H = H E i (E i H). (11.1) Tämän avulla yhtälön (11.19) oikealla puolella oleva integraali jakautuu kahteen osaan, joten H E i dτ + (E i H) dτ H E i dτ + S (E i H) ds. (11.) Tässä on toisessa vaiheessa sovellettu Gaussin lausetta (divergenssilausetta). Pallon S pinta-ala on suoraan verrannollinen R:n toiseen potenssiin. Etäisyyden virroista kasvaessa E i ja H pienenevät vähintään kääntäen verrannollisina R:n toiseen potenssiin. Näinollen yhtälön (11.) viimeisen integraalin integrandi pienenee vähintään kääntäen verrannollisena R:n neljänteen potenssiin. Tästä seuraa, että viimeinen integraali lähenee nollaa, kun R lähenee ääretöntä, joten H E i dτ = H B dτ, (11.3) missä tilavuusintegraali lasketaan koko avaruuden yli. Tässä on toisessa vaiheessa sovellettu Faradayn lakia E i B/. Lineaarisessa (ei-ferromagneettisessa) väliaineessa (B H) = B H + H B = µµ H H + H B = H (µµ H) + H B = H B + H B = H B, (11.4)
136 LUKU 11. MAGNEETTINEN ENERGIA joten H B = 1 (B H). (11.5) Sijoittamalla tämä yhtälöön (11.3) saadaan ( ) 1 = B H dτ = d 1 B H dτ, (11.6) Tämä tulos voidaan tulkita siten, että virtojen synnyttämiseen käytetty työ on varastoitunut magneettikenttään, jolla on energiatiheys w B = 1 B H. (11.7)