ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Riikka Kangaslampi Marh 22, 216
2
Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 luentomoniste. Kurssi käsittelee avaruusintegraaleja ja vektorikenttiä. Esitietoina oletetaan, että opiskelija osaa laskea kaksiulotteisia integraaleja ja derivoida usean muuttujan funktioita. Moniste perustuu osin aiemman kurssin Matematiikan peruskurssi 2 luentomonisteeseen, jota olivat koonneet lisäkseni Matias ahl ja Aappo Pulkkinen. Pallokoordinaatiston yksikkövektoreita käsittelevä alaluku on peräisin Pekka Alestalon luentomuistiinpanoista, kiitos siitä. uurin osa materiaalista on kuitenkin uutta, tätä kurssia varten laatimaani. Kuvat ovat minun piirtämiäni, suurin osa käsin, loput Mathematialla. Moniste on tarkoitettu luentojen tueksi, ei itseopiskeluun, sillä se on paikoin hyvin lyhytsanainen. Luentomonisteen rinnalla on tarkoitus lukea kirjaa Adams-Essex: Calulus, A Complete Course, joka avaa asioita laajemmin. Tähdellä merkityt luvut ovat lisämateriaalia, joihin voi perehtyä, mikäli aikaa ja kiinnostusta on. Tervetuloa avaruuksiin ja vektorikentille! Otaniemessä, 22. maaliskuuta 216, Riikka Kangaslampi 3
Esipuhe 4
isältö Esipuhe 3 isältö 5 1. Usean muuttujan funktioiden integrointi 7 1.1 Avaruusintegraali......................... 7 1.2 ylinterikoordinaatisto...................... 13 1.3 Pallokoordinaatisto........................ 15 1.4 Pinnan ala *............................ 19 1.5 Massat ja momentit *....................... 21 2. Vektorikentät 25 2.1 Vektorikentät ja kenttäviivat.................. 25 2.2 Vektorikenttä napakoordinaateissa............... 28 2.3 Konservatiiviset kentät...................... 3 2.4 Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät................ 32 2.5 Lähde, nielu ja dipoli....................... 33 3. Viiva- ja pintaintegraalit 37 3.1 Käyrät............................... 37 3.2 Funktion viivaintegraali..................... 4 3.3 Vektorikentän viivaintegraali.................. 42 3.4 Parametrisoidut pinnat...................... 46 3.5 Funktion pintaintegraali..................... 49 3.6 uunnistetut pinnat....................... 51 3.7 Vektorikentän pintaintegraali eli vuointegraali........ 54 4. Vektorianalyysi 59 4.1 Gradientti, divergenssi ja roottori................ 59 4.2 Laskusääntöjä gradientille, divergenssille ja roottorille... 65 5
isältö 4.3 Gaussin lause........................... 68 4.4 Greenin lause........................... 72 4.5 tokesin lause........................... 77 4.6 Maxwellin yhtälöt *........................ 79 4.7 Käyräviivaiset koordinaatistot................. 85 4.8, ja ortog. käyräviivaisissa koordinaatistoissa... 89 Hakemisto 93 6
1. Usean muuttujan funktioiden integrointi 1.1 Avaruusintegraali Olkoon R 3 kappale ja f : R funktio. Halutaan määritellä f(x, y, z)dv = avaruusintegraali kappaleen yli. Idea: Tasointegraali osataan jo laskea, joten lisätään vain yksi dimensio mukaan samalla tavalla kuin edelliset. Vaihe 1: Oletetaan, että on suorakulmainen särmiö = {(x, y, z) R 3 x [x 1, x 2 ], y [y 1, y 2 ], z [z 1, z 2 ]} = [x 1, x 2 ] [y 1, y 2 ] [z 1, z 2 ]. Jaetaan :n kaikki särmät tasavälisesti n osaan, jolloin jakautuu n 3 suorakulmaiseen särmiöön. Tällöin integraali saadaan raja-arvona f(x, y, z)dv = lim f(x n i, yi, zi ) V i, missä (x i, y i, z i ) in i:nnen suorakulmaisen särmiön keskipiste ja V i on i:nnen särmiön tilavuus. Vaihe 2: Jos R 3 on rajoitettu (mutta ei suorakulmainen särmiö), niin määritellään n 3 i=1 f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv, 7
Usean muuttujan funktioiden integrointi missä on suorakulmainen särmiö ja ja f(x, y, z), kun (x, y, z) f(x, y, z) =, muulloin. Huom. Vastaavasti kuin yksi- ja kaksiulotteisessa tapauksessa (kun R 3 on rajoitettu) 1 dv = :n tilavuus. Huom. Jos f(x), niin b a f(x) = käyrän y = f(x) ja x-akselin rajoittama pinta-ala välillä [a, b]. Jos f(x), niin f(x, y)da on pinnan z = f(x, y) ja (x, y)-tason alueen rajoittama tilavuus. amoin f(x, y, z)dv on sen neliulotteisen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa hyperpinta w = f(x, y, z) ja kolmiulotteinen pohja. Käytännöllisempiä tulkintoja seuraa kuitenkin sovelluksista. Esim. 1. Jos f(x, y, z) on kappaleen massajakauma (paikallinen tiheys, yksikkönä kg/m 3 ) jossakin kappaleessa, niin f(x, y, z)dv on :n kokonaismassa. Huom. Avaruusintegraalille pätee samat laskukaavat kuin tasointegraalille, esim. Cf(x, y, z)dv = C f(x, y, z)dv, kun C on vakio. Huom. Avaruusintegraali voidaan laskea myös iteroituna integraalina! 8
Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2. Olkoon = {(x, y, z) R 3 x [, a], y [, b], z [, ]} ja f : R funktio. Tällöin f(x, y, z)dv = a b f(x, y, z) dz dy dx = a b f(x, y, z) dy dx dz =... Integroinnin voi suorittaa 3! = 6 eri järjestyksessä. Integroimisjärjestyksellä ei ole lopputuloksen kannalta väliä, mutta laskujen vaikeuteen se voi vaikuttaa ratkaisevastikin. Huom. Iteroituna integraalina voidaan laskea tätäkin korkeampiulotteiset integraalit... f(x 1, x 2,..., x n )dx 1 dx 2... dx n vastaavalla tavalla, muuttuja kerrallaan edeten. Esim. 3. Lasketaan pintojen z =, x 2 + y 2 = 1 ja z = y rajoittaman kappaleen tilavuus. Kappale koostuu kahdesta samanmuotoisesta kiilasta, joten riittää laskea näistä toisen tilavuus ja kertoa kahdella. Toisen kiilan pohja on z = tasossa alue {(x, y) R 2 x [ 1, 1], y [, 1 x 2 ]} 9
Usean muuttujan funktioiden integrointi ja katto on pinta z = y. Kiila on siis kappale = {(x, y, z) R 3 x [ 1, 1], y [, 1 x 2, z [, y]}. Koko kappaleen tilavuus on siten 2 1 y 1 dv = 2 1 1 dz dy dx 1 x 2 1 = 2 1 ( y)dy dx = 2 1 x 2 1 1 = 2 1 1 1 1 x 2( 1 2 y2 ) dx 2 (1 x2 ) dx = 2 1 1 1 2 (x 1 3 x3 ) = 4 3. Esim. 4. Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jota rajaavat pinnat z = x 2 + 3y 2 ja z = 8 x 2 y 2. Kappale näyttää tältä: itä rajaavat ala- ja yläpinnat: Etsitään ensin integrointirajat. Pinnat leikkaavat toisensa, kun x 2 + 3y 2 = 8 x 2 y 2 x 2 + 2y 2 = 4 x2 4 + y2 2 = 1. Leikkauskäyrän projektio (x, y) -tasoon on siis ellipsi ja koko kappaleen 1
Usean muuttujan funktioiden integrointi projektio (x, y)-tasoon on tämän ellipsin sisäpuoli R = {(x, y) R 2 x 2 + 2y 2 4} = {(x, y) R 2 x [ 2, 2], y [ 2 x 2 /2, 2 x 2 /2]}. Tämä R on siten alue, jonka yli integroidaan muuttujien x ja y suhteen. Jokaisessa pisteessä (x, y) R kappale ulottuu nyt siis pinnalta z = x 2 + 3y 2 pinnalle z = 8 x 2 y 2 ja siten kappaleen tilavuus on = V = 2 2 = 1 dz dy dx = 2 2 2 x 2 /2 2 x 2 /2 2 x 2 /2 (8 2x 2 4y 2 )dy dx = 2 x 2 /2 2 2 2 = 2 8 x 2 y 2 2 x 2 +3y 2 2 2 x 2 /2 2 x 2 /2 1 dz dy dx (2(8 2x 2 ) 2 x 2 /2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx (8(2 x 2 /2) 3/2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx = 2 (8y 2x 2 y 43 y3 ) dx 2 4 2 3 (4 x2 ) 3/2 dx. Tehdään nyt muuttujanvaihto x = 2 sin(u), jolloin dx = 2 os(u)du ja integrointirajat muuttuvat x = 2 u = π/2 ja x = 2 u = π/2. Tällöin V = 4 2 3 π/2 pi/2 = 4 2 3 43/2 2 (4 4 sin 2 (u)) 3/2 2 os(u)du π/2 π/2 (1 sin 2 (u)) 3/2 os(u)du = 64 2 2 Nyt kaksinkertaisen kulman kaavalla saadaan os 4 (u) = 1 2 2 (1 + os(2u))2 = 1 4 (1 + 2 os(2u) + os2 (2u)) ja siten π/2 π/2 os 4 (u)du. = 1 4 (1 + 2 os(2u) + 1 2 (1 + os(4u))) = 1 (3 + 4 os(2u) + os(4u)) 8 V = 8 2 3 π/2 π/2 (3 + 4 os(2u) + os(4u))du = 8 2 3 3 π = 8 2π. Muuttujanvaihto avaruusintegraaleissa Muuttujanvaihto yleistyy tasointegraaleista suoraan avaruusintegraaleihin ja vielä korkeampiulotteisiin integraaleihinkin. Olkoon, R 3 kappaleita ja T : bijektio. 11
Usean muuttujan funktioiden integrointi Merkitään T (u, v, w) = x(u, v, w)i+y(u, v, w)j+z(u, v, w)k. Jos f on funktio R, niin muuttujanvaihtokaava avaruusintegraalille on f(x, y, z)dv = f T (u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw. Merkintä f T (u, v, w) tarkoittaa yksinkertaisesti funktiota kirjoitettuna uusilla muuttujilla, ja muunnoksen suurennussuhde (x,y,z) saadaan Jaobin determinantin avulla. (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w (u,v,w) Esim. 5. Lasketaan integraali 3 4 y/2+1 y/2 ( 2x y 2 + z 3 ) dxdydz. Integraali voitaisiin toki laskea suoraankin, mutta muutetaan se harjoituksen vuoksi vielä yksinkertaisempaan muotoon: tehdään muuttujanvaihto u = 2x y 2, v = y 2 ja w = z 3. Nyt (x, y, z)-avaruuden integrointialue on = {(x, y, z) R 3 x [y/2, y/2 + 1], y [, 4], z [, 3]}. Uusi integrointialue saadaan tästä: x = y 2 2x y = u = x = y 2 + 1 2x y 2 y = v = y = 4 v = 2 z = w = z = 3 w = 1. ja siten uusi integrointialue on = 1 u = 1 = {(u, v, w) R 3 u [, 1], v [, 2], w [, 1]}. Muuttujanvaihdon Jaobin determinantti on 1 1 (x, y, z) (u, v, w) = 2 = 6. 3 12
Usean muuttujan funktioiden integrointi iten haluttu integraali on 3 4 y/2+1 y/2 ( 2x y + z 2 3 = 6 ) dxdydz = 1 2 1 2 1 (u + w)6dudvdw ( 1 1 2 + w)dvdw = 6 2( 1 + w)dw = 12. 2 1.2 ylinterikoordinaatisto Kolmiulotteisessa sylinterikoordinaatistossa koordinaatit ovat r = pisteen etäisyys z-akselista = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen etäisyys origosta. φ = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen ja x -akselin välinen kulma. z = korkeus = etäisyys (x, y) -tasosta. ylinterikoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys: x = r os(φ) y = r sin(φ) z = z r = x 2 + y 2, r [, ) φ = artan (y/x), φ [, 2π) z = z, z R. Huom. Pinnat z = vakio ovat tasoja, jotka ovat (x, y)-tason suuntaisia tasoja. Pinnat r = vakio ovat sylintereitä z-akselin ympärillä. Pinnat φ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin. 13
Usean muuttujan funktioiden integrointi Lasketaan Jaobin determinantti sylinterikoordinaateille: (x, y, z) (r, φ, z) = x r y r z r x φ y φ z φ x z y z z z = Esim. 6. Lasketaan sylinterin tilavuus. os(φ) r sin(φ) = sin(φ) r os(φ) 1 os(φ) r sin(φ) sin(φ) r os(φ) = r(os2 (φ) + sin 2 (φ)) = r. ylinterikoordinaateissa :n esitys on = {(r, φ, z) R 3 r [, R], φ [, 2π], z [, h]}. Kappaleen tilavuus on siten V = 1 dv = h 2π R 1 r dr dφ dz = πhr 2. Yhteenveto: Integraali f(x, y, z)dv muunnetaan sylinterikoordinaatteihin seuraavasti: 1. Esitä f ja sylinterikoordinaateissa. 2. Korvaa dxdydz r drdφdz. 3. Aseta integroimisrajat (=:n esitys sylinterikoordinaateissa). Esim. 7. Pyörähdyskappale. Olkoon f : [, h] R funktio ja f(z). Tällöin f määrää pyörähdyskappaleen, joka saadaan kun käyrä y = f(z) pyörähtää z-akselin ympäri. Lasketaan seuraavaksi syntyvän kappaleen tilavuus. 14
Usean muuttujan funktioiden integrointi Kappaleen esitys sylinterikoordinaateissa on {(r, φ, z) R 3 r [, f(z)], φ [, 2π], z [, h]}. Tilavuus on tällöin V = 1dV = h 2π f(z) rdrdφdz = h 2π 1 2 f(z)2 dφdz = π Esim. 8. Jos tarkastellaan pyörähdyskappaletta, kun f(z) = 1 z ja h = 1, saadaan ympyräkartio. h f(z) 2 dz. en tilavuus on V = π 1 (1 z) 2 dz = π 1 (z z2 + 1 3 z3 ) = π 3. (Muistetaan, että ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr2 h, joten oikein meni.) Harjoitus 9. Paraabelin y = 1 z 2 ja z-akselin rajoittama alue pyörähtää z-akselin ympäri. Mikä on näin syntyvän kappaleen tilavuus? (Vast. 16 15 π.) 1.3 Pallokoordinaatisto Pallokoordinaateissa koordinaatit ovat ρ = etäisyys origosta. (ρ = rho) φ = pisteen paikkavektorin ja positiivisen z -akselin välinen kulma. (φ = phi) θ = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen paikkavektorin ja positiivisen x - akselin välinen kulma. (θ = theta) 15
Usean muuttujan funktioiden integrointi Pallokoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys saadaan kahdesta kuvan suorakulmaisesta kolmiosta: sin(φ) = r ρ sin(θ) = y r ja os(φ) = z ρ os(θ) = x r. aadaan siis missä x = r os(θ) = ρ sin(φ) os(θ) y = r sin(θ) = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ os(φ), ρ [, ) φ [, π) θ [, 2π). Huom. Pallokoordinaateissa pinnat ρ = vakio ovat origokeskisiä pallonkuoria. Pinnat φ = vakio ovat äärettömien kartioiden kuoria. Pinnat θ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin: 16
Usean muuttujan funktioiden integrointi Huom. Jaobin determinantti pallokoordinaateille on x x ρ φ (x, y, z) (ρ, φ, θ) = y y ρ φ z z ρ φ ρ os(φ) os(θ) = os(φ) ρ os(φ) sin(θ) x θ y θ z θ sin(φ) os(θ) ρ os(φ) os(θ) ρ sin(φ) sin(θ) = sin(φ) sin(θ) ρ os(φ) sin(θ) ρ sin(φ) os(θ) os(φ) ρ sin(φ) ρ sin(φ) sin(θ) sin(φ) os(θ) ρ sin(φ) sin(θ) +ρ sin(φ) ρ sin(φ) os(θ) sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) os(θ) = os(φ) ( ρ 2 sin(φ) os(φ) ) + ρ sin(φ) ( ρ sin 2 (φ) ) = ρ 2 sin(φ). aatiin siten (x, y, z) (r, φ, θ) = ρ2 sin(φ), sillä φ [, π) ja siten sin(φ). Tilavuuden muunnossuhteen voi toki selvittää myös geometrisesti tarkastelemalla, millaisen tilavuuden muutoksen muuttujien ρ, θ ja ϕ muutokset saavat aikaan. Huom. Käytetään jatkossa säteelle ρ:n sijaan kirjainta r. Esim. 1. Lasketaan onton kuulan = {(x, y, z) R 3 a x 2 + y 2 + z 2 b} tilavuus. Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on = {(r, φ, θ) R 3 r [a, b], φ [, π), θ [, 2π)}. Kappaleen tilavuus on siten = 2π 1 dv = 2π π b π 1 dθ sin(φ) dφ a b a 1 r 2 sin(φ) dr dφ dθ ( r 2 π ) ( dr = 2π ( os(φ) b a 1 3 r3 ) = 4π 3 (b3 a 3 ). Huomataan, että tulokseksi saadaan tietysti b säteisen pallon tilavuus 4 3 πb3, josta on vähennetty a säteisen pallon tilavuus 4 3 πa3. Yhteenveto: Integraali f(x, y, z)dv muunnetaan pallokoordinaatteihin seuraavasti: 17
Usean muuttujan funktioiden integrointi 1. Esitä f ja pallokoordinaateilla. 2. Korvaa dv = r 2 sin(φ)dr dφ dθ. 3. Aseta integroimisrajat (= :n esitys pallokoordinaateissa). Esim. 11. Lasketaan jäätelötötterön tilavuus. Tarkastellaan kappaletta, jonka kartio ϕ = π 3 leikkaa pallosta r = 1. Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on = {(r, φ, θ) R 3 r [, 1], φ [, π ], θ [, 2π)} 3 ja siten kappaleen tilavuus on 1 dv = 2π π/3 1 r 2 sin(φ) dr dφ dθ = = 2π 1 3 π/3 2π π/3 1 sin(φ) dφ dθ 3 ( os(φ)) = 2π 3 (1 1 2 ) = π 3. Pallokoordinaatiston yksikkövektorit * Pallokoordinaatiston yksikkövektoreiksi halutaan kussakin pisteessä kolme vektoria e r, e θ ja e ϕ, jotka kukin osoittavat kyseisen muuttujan kasvusuuntaan. Projisoimalla xy-tasoon voidaan päätellä, että e θ = sin θi + os θj. Yksikkövektorin e r täytyy osoittaa suoraan poispäin origosta, joten e r = sin ϕ os θi + sin ϕ sin θj + os ϕk. Näiden vektoritulona saadaan kolmas yksikkövektori: e ϕ = e θ e r = os ϕ os θi + os ϕ sin θj sin ϕk. Nyt (e r, e ϕ, e θ ) on jokaisessa joukon R 3 \{} pisteessä ortonormaali kanta. Lisäksi tässä järjestyksessä lueteltuna kanta on oikeakätinen. 18
Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 12. Helsinkin sijaitsee noin leveyspiirillä 6 ja pituuspiirillä 25, joten jos origo sijoitetaan maan keskipisteeseen, z-akseli napojen välille ja y = -taso Greenwihin läpi, saadaan Helsingin pallokoordinaattikulmiksi ϕ = 9 6 = 3 θ = 25. Jos nyt otetaan yksikkövektorin e θ suunta suoraan itään, milloin ollaan päiväntasaajalla? Idea: Kuljetaan Maan pinnalla pitkin isoympyrää, jonka normaali on e r e θ = e ϕ. Muodostetaan tason yhtälö normaalin avulla ja lasketaan tason ja päiväntasaajan (ϕ = π/2) leikkauspisteen θ-koordinaatti. Lasketaan siis ensin isoympyrän tason normaali e r e θ = e ϕ = os(3 ) os(25 )i + os(3 ) sin(25 )j sin(3 )k =, 785i +, 366j, 5k aadaan tasolle yhtälö, 785x +, 366y, 5z =. Päiväntasaajalla z =, joten y = 2, 145x, eli θ = artan y x + 18 115. Päiväntasaajalle saavutaan siis Borneossa. (Vastauksen voi myös päätellä: ymmetrian nojalla θ = θ + 9 = 115, sillä Helsinki on isoympyrän korkein kohta, joten päiväntasaaja leikataan neljänneskierroksen päässä.) 1.4 Pinnan ala * Olkoon R 2 alue ja f : R funktio. Tällöin f määrää pinnan F = {(x, y, z) R 3 (x, y), z = f(x, y)}. Mikä on pinnan F ala? Oletetaan ensin, että on pieni suorakulmio. 19
Usean muuttujan funktioiden integrointi Arvioidaan pinta-alaa vektorien p ja q avulla: p = ((x + x)i + yj + f(x + x)k) (xi + yj + f(x, y)k) ( = xi + (f(x + x, y) f(x, y)) k x i + f ) (x, y)k. x Vastaavasti saadaan ( q y j + f ) (x, y)k. y Arvio pinta-alalle saadaan näiden vektorien virittämän suunnikkaan pinta-alana: i j k p q = det f x x x f y y y = ( f x y)i ( f x y)j + x yk x y = 1 + ( ) f 2 + x ( ) f 2 x y y Jos siis on pieni suorakulmio jonka pinta-ala on x y, niin pinnan z = f(x, y) pinta-ala alueen yläpuolella on ( ) f 2 ( ) f 2 = 1 + + x y. x y Arvio pinta-alalle yleisellä alueella saadaan jakamalla pieniin suorakulmioihin, soveltamalla y.o. kaavaa ja laskemalla nämä pienet pinta-alat yhteen, jolloin n 1 + i=1 ( ) f 2 ( ) f 2 x (x i, y i ) + y (x i, y i ) x y, missä pisteet (x i, y i ) ovat pienien suorakulmioiden kulmapisteitä ja summauksessa siis summataan kaikkia pieniä suorakulmioita vastaavat pintaalat yhteen. Kun x ja y, niin x y dxdy ja summauksesta pinta-alaelementtien yli tulee integraali. Tällöin siis ( ) f 2 ( ) f 2 = d = 1 + (x, y) + (x, y) dxdy. x y 2
Pinta-alan differentiaali on siis d = joka on infinitesimaalisen pinnan ala. 1 + Usean muuttujan funktioiden integrointi ( f x (x, y) ) 2 + ( f y (x, y) ) 2dxdy, Esim. 13. Jos f(x, y) = C = vakio, niin pinnan ala on 1 + + dxdy = :n ala. Esim. 14. Pinnoilla Z = f(x, y) ja z = f(x, y) + C on sama pinta-ala. (Eli sillä, millä korkeudelle pinta on, ei tietenkään ole merkitystä pintaalaan.) Esim. 15. Lasketaan pinnan {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = x 2 + y 2 } pinta-ala. Pohjana on siis kiekko = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} ja pintana paraboloidi z = f(x, y) = x 2 + y 2. Pinta-ala on siten = 1 + f x + f y da = 1 + (2x) 2 + (2y) 2 da = 1 + 4(x 2 + y 2 )dxdy. Tehdään nyt muuttujanvaihto napakoordinaatteihin, jolloin x 2 + y 2 = r 2 ja integroitava alue on napakoordinaateissa {(r, φ) R 2 r [, 1], φ [, 2π)} ja da = rdrdφ. iten = 2π 1 1 + 4r 2 rdrdφ = 2π 1 2 24 (1 + 4r2 ) 3/2 = π 6 (53/2 1). 1.5 Massat ja momentit * Olkoon kappaleen R 3 paikallinen tiheys ρ(x, y, z). Lasketaan kappaleen kokonaismassa. Ajatellaan, että kappale koostuu n kappaleesta pieniä kuutioita, joiden massat ovat m k. Tällöin m k ρ(x k, y k, z k ) V k, missä (x k, y k, z k ) on k:nnen kuution keskipiste ja V k sen tilavuus. Koko kappaleen massa on 21
Usean muuttujan funktioiden integrointi tällöin n n M = m k = ρ(x k, y k, z k ) V k k=1 k=1 ρ(x, y, z)dv, kun n. Momentit Massaelementillä m k = ρ(x k, y k, z k ) V k on tasojen x = x, y = y ja z = z suhteen momentit (x k x ) m k, (y k y ) m k ja (z k z ) m k. koko kappaleen momentit näiden tasojen suhteen ovat M x=x = (x x )ρ(x, y, z)dv = M x= x M M y=y = (y y )ρ(x, y, z)dv = M y= y M M z=z = (z z )ρ(x, y, z)dv = M z= z M, missä M = ρ(x, y, z)dv on kappaleen kokonaismassa. Kappaleen massakeskipiste on se piste P = (x, y, z), jossa kaikki momentit M x=x, M y=y ja M z=z ovat nollia. Massakeskipisteen koordinaatit ovat siten x = M x= M y = M y= M z = M z= M = 1 M = 1 M = 1 M xρ(x, y, z)dv yρ(x, y, z)dv zρ(x, y, z)dv. Esim. 16. Etsitään massakeskipiste kuution muotoiselle kappaleelle, x, y, z a, jonka tiheysfunktio on ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Kappaleen kokonaismassa on M = a a a (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = = a Momentti tason x = suhteen on a M x= = xρ(x, y, z)dv = = a = a x a a ( 1 3 a3 + y 2 a + z 2 a)dydz ( 1 3 a4 + 1 3 a4 + z 2 a 2 )dz = 1 3 (a5 + a 5 + a 5 ) = a 5. a a a x(x 2 + y 2 + z 2 )dydzdx (x 2 a + 1 3 a3 + z 2 a)dzdx x(x 2 a 2 + 1 3 a4 + 1 3 a4 )dx = 1 4 a6 + 1 6 a6 + 1 6 a6 = 7 12 a6. 22
Usean muuttujan funktioiden integrointi Massakeskipisteen x-koordinaatti on siten x = M x= M = 7 12 a. ymmetrian nojalla saadaan myös y = 7 12 a ja z = 7 12a. Massakeskipiste on siis piste ( 7 12 a, 7 12 a, 7 12a). (Huom. Jos massa olisi tasaisesti jakautunut, olisi massakeskipiste kuution keskipiste (a/2, a/2, a/2). Nyt kappaleen tiheys on suurempi kauempana origosta, joten massakeskipiste on myös kauempana origosta.) Hitausmomentti Etäisyydellä r k pyörimisakselista olevan pistemäisen massan m k hitausmomentti on J = m k rk 2. Koko kappaleen hitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massaalkiot kappaleen yli J = lim n k=1 n rk 2 m k = lim n k=1 n rk 2 ρ(x k, y k, z k ) V k = r(x, y, z) 2 ρ(x, y, z)dv, missä r(x, y, z) on pisteen (x, y, z) etäisyys pyörimisakselista ja ρ(x, y, z) kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z). Esim. 17. Hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen ovat J x = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J y = (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J z = (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z)dv. Huom. Mitä suurempi on kappaleen hitausmomentti, sitä suurempi momentti tarvitaan, jotta kappale saataisiin pyörimään halutulla kulmakiihtyvyydellä. Esim. 18. Lasketaan vakiotiheyttä olevan ρ = 1 olevan kappaleen {(x, y, z) R 3 x [ a/2, a/2], y [ b/2, b/2], z [ /2, /2]} hitausmomentit koor- 23
Usean muuttujan funktioiden integrointi dinaattiakselien suhteen: J x = = 4a /2 b/2 a/2 = 8 /2 b/2 a/2 /2 b/2 a/2 /2 ( 1 3 (y 2 + z 2 )dxdydz (y 2 + z 2 )dxdydz = 4a /2 b/2 (y 2 + z 2 )dydz b 3 8 +z2 b 2 )dz = 4a( 1 48 b3 + 1 48 3 b) = ab 12 (b2 + 2 ) = M 12 (b2 + 2 ), missä M = ab on kappaleen kokonaismassa. Vastaavasti saadaan J y = M 12 (a2 + 2 ) ja J z = M 12 (a2 + b 2 ). Esim. 19. Jos edellisen esimerkin kappaleelle halutaan antaa kulmakiihtyvyys ω x-akselin ympäri, täytyy siihen kohdistaa momentti M = J x ω. Tässä momentti M = F r, jos kappaleeseen kohdistetaan voima F kohtisuorasti x -akselia vastaan etäisyydellä r akselista. Jos siis kappaletta pyöritetään x-akselin ympäri siitä päästä missä y = ja z = /2, on r = /2, jolloin kulmakiihtyvyyden ω aikaansaamiseksi x-akselin ympäri täytyy kappaletta pyörittää voimalla F = 2 J xω = ab 6 kokoajan x-akselia vastaan kohtisuorasti. Hitaussäde b 2 + 2 ω = ab 6 (b2 + 2 ) Kappaleen hitaussäde on r g = J M, missä J on kappaleen hitausmomentti ja M on kappaleen massa. Hitaussäde kertoo millä etäisyydellä pyörimisakselista olevaa pistemäistä kappaletta kyseinen kappale vastaa. Esim. 2. Lasketaan putken (tiheys = ρ = vakio) {(x, y, z) a 2 x 2 + y 2 b 2, z [, z]} hitausmomentti ja hitaussäde z-akselin suhteen. kuva ylinterikoordinaateissa putki on {(r, φ, z) r [a, b], φ [, 2π), z [, ]}. Hitausmomentti on siten J z = 2π b a r 2 ρrdrdφdz = ρ2π 1 4 (b4 a 4 ) = πρ 2 (b4 a 4 ). Kappaleen hitaussäde on siten πρ(b r g = 4 a 4 )/2 1 ρπ(b 2 a 2 = ) 2 (b2 + a 2 ). 24
2. Vektorikentät 2.1 Vektorikentät ja kenttäviivat Vektorikenttä on funktio, joka liittää määrittelyalueensa jokaiseen pisteeseen vektorin: Olkoon R 3. Tällöin F : R 3 on vektorikenttä :ssä. Vastaavasti, jos R 2, on tällöin F : R 2 vektorikenttä :ssä. Vertaa: 1) f : R R yhden muuttujan funktio 2) f : R 2 R useamman muuttujan funktio (eli skalaarikenttä) 3) : R R 2 käyrä 4) F : R 2 R 2 vektorikenttä. Jos F : R 3 on vektorikenttä, niin merkitään F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k, missä funktiot F 1, F 2 ja F 3 ovat F:n komponenttifunktiot. (Huom. Tässä alaindeksillä ei tarkoiteta derivaattaa!) Esim. 1. Olkoon f : R 3 R funktio. Tällöin sen gradientti määrää vektorikentän. f = f x i + f y j + f z k Esim. 2. (Gravitaatiokenttä) Tarkastellaan systeemiä, johon kuuluu origossa sijaitseva massa M ja massa m pisteessä r = xi + yj + zk. Tällöin massat vetävät toisiaan puoleensa voimalla, joka on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. iten massa M vetää massaa m puoleensa voimalla, joka on F(r) = kmm r r 3, 25
Vektorikentät missä k > on gravitaatiovakio. Kyseessä on vektorikenttä F : R 3 R 3. (Huom. F() ei ole määritelty, sillä m ja M eivät voi olla samassa pisteessä.) Puhutaan myös kappaleen aiheuttamasta gravitaatiokentästä, jolla tarkoitetaan kappaleen aiheuttamaa putoamiskiihtyvyyttä. Massan M aiheuttama gravitaatiokenttä on siis g(r) = km r r 3. Esim. 3. (ähkökenttä) Coulombin lain mukaan kahden pistemäisen varauksen välillä vaikuttaa voima, joka on verrannollinen varauksien suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Varaus Q vetää siten varausta q puoleensa voimalla, joka on F(r) = 1 4πɛ Qqr r 3. Varauksen Q aiheuttama sähkökenttä on taas E = 1 4πɛ Qr r 3. Esim. 4. (Pyörivä levy) Tarkastellaan levyä, joka pyörii kulmanopeudella Ω (yksikkönä rad/s) vastapäivään. Olkoon (x, y) = (r os(φ), r sin(φ)) piste levyllä. Tällöin pisteen rata on josta saadaan r(t) = r os(ωt + φ)i + r sin(ωt + φ)j, r (t) = Ωr sin(ωt + φ)i + Ωr os(ωt + φ)j. iten pisteen (x, y) nopeusvektori on r () = Ωrsin(φ)i + Ωr os(φ)j = Ω( yi + xj) = Ωk r. Funktio F(x, y) = Ωk r määrää siten vektorikentän F : R 2, joka kuvaa pisteessä (x, y) olevan pisteen nopeusvektoria. 26
Vektorikentät Esim. 5. Muita vektorikenttiä ovat mm. magneettikenttä, nesteen/kaasun nopeuskenttä. Vektorikentän kenttäviivat Olkoon F : R 3 vektorikenttä, missä R 3. Tällöin käyrä r : (a, b) on kenttäviiva, jos r (t) = λ(t)f(r(t)), kun t (a, b), jollain funktiolla λ : (a, b) R, jolle λ(t) >, kun t (a, b). Huom. Tämä siis tarkoittaa sitä, että jokaisessa käyrän r(t) pisteessä sen tangentti r on samansuuntainen kuin vektorikenttä F siinä samassa pisteessä. Kenttäviivat siis kuvaavat vektorikentän mukaisesti kulkevien pisteiden ratoja. Esim. 6. Jos vektorikenttä tässä on esimerkiksi nesteen nopeuskenttä, niin kenttäviiva r(t) kuvaa pienen hiukkasen rataa nesteessä. Kysymys: Miten lasketaan kenttäviivat vektorikentälle? Merkitään F = F 1 i + F 2 j + F 3 k ja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Jos r(t) tällöin kenttäviiva, niin r (t) = λ(t)f(r(t)) ja siten dx dt (t) = λ(t)f 1(x(t), y(t), z(t)), dy dt (t) = λ(t)f 2(x(t), y(t), z(t)), dz dt (t) = λ(t)f 3(x(t), y(t), z(t)). aadaan siis kolme kappaletta ensimmäisen kertaluvun (epälineaarisia) differentiaaliyhtälöita dx dt (t) F 1 (x(t), y(t), z(t) = dy dt (t) F 2 (x(t), y(t), z(t) = dz dt (t) F 3 (x(t), y(t), z(t). 27
Vektorikentät Yhtälöt voidaan formaalisti kertoa puolittain termillä dt, jolloin saadaan Adamsin käyttämä muoto dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). Tämä muoto on kätevä, jos yhtälöt voidaan separoida (kts. Adams 7.9), missä tapauksessa yhtälöt saadaan sopivalla funktiolla kertomalla muotoon P (x)dx = Q(y)dy = R(z)dz. Tällöin yhtälöt voidaan ratkaista yksinkertaisesti integroimalla. Tämä on mahdollista seuraavassa esimerkissä. Esim. 7. (Pyörivä levy) Lasketaan vektorikentän F(x, y) = Ω( yi + xj) kenttäviivat, Ω >. Yhtälö kenttäviivojen komponenteille on dx Ωy = dy xdx = ydy ( x)dx = Ωx joten saadaan ydy, 1 2 x2 = 1 2 y2 C x 2 + y 2 = 2C, jollakin C >. Kenttäviivat ovat siis ympyröitä. Harjoitus 8. Etsi kentän F(x, y) = i + os(x)j kenttäviivat. (Vast. y = sin(x) + C) 2.2 Vektorikenttä napakoordinaateissa Tason vektorikenttä F : R 2 R 2 voidaan esittää napakoordinaateissa F = F(r, φ) = F r (r, φ) r + F φ (r, φ) φ. Tässä F r (r, φ) = radiaalinen komponentti. F φ (r, φ) = kohtisuora komponentti. 28
Vektorikentät r = paikkavektorin suuntainen yksikkövektori, eli r = os(φ)i + sin(φ)j. φ = on kulman suuntainen yksikkövektori, eli paikkavektoria kohtisuorassa oleva yksikkövektori, eli φ = sin(φ)i + os(φ)j. (Huom. Nyt pätee φ r =.) Huom. pätee Nyt kummatkin kantavektorit r ja φ riippuvat kulmasta φ ja d r dφ = φ. Jos on annettu käyrä napakoordinaattimuodossa r = r(φ), se voidaan esittää vektorimuodossa r(φ) = r(φ) r = r(φ) os(φ)i + r(φ) sin(φ)j. Tämä käyrä on vektorikentän F kenttäviiva, mikäli sen tangenttivektori dr dr d r (φ) = (φ) r + r(φ) dφ dφ dφ = dr (φ) r + r(φ) φ dφ on yhdensuuntainen kenttävektorin F(r, φ) kanssa jokaisessa käyrän pisteessä. Tästä saadaan dr dφ (φ) = λ(φ)f r(r, φ), r(φ) = λ(φ)f φ (r, φ), dr dφ (φ) F r (r, φ) = r(φ) F φ (r, φ) Myös tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa dr F r (r, φ) = rdφ F φ (r, φ), joka on hyödyllinen muoto jos yhtälöt voidaan separoida. dr dφ (φ) r(φ) = F r(r, φ) F φ (r, φ). illä d dx ln(x) = 1/x, saadaan tästä käyttämällä ketjusääntöä differentiaaliyhtälö myös muotoon d dφ ln(r(φ)) = F r(r, φ) F φ (r, φ). Esim. 9. Tarkastellaan vektorikenttää F(r, φ) = r+r φ. Tällöin siis F r = 1 ja F φ = r, josta saadaan kenttäviivoille yhtälö Tästä nähdään, että dr(φ) dφ r(φ) = 1 r(φ). dr(φ) dφ = 1 r(φ) = φ + C. 29
Vektorikentät Kenttäviivat ovat siis spiraaleita, jotka voidaan esittää napakoordinaattimuodossa yhtälöllä r = φ + C. 2.3 Konservatiiviset kentät Nyt siis tiedetään, että jos f : R on funktio ja R 3, niin f on vektorikenttä f : R 3. Päteekö tämä toisin päin? Jos F : R 3 on annettu vektorikenttä, niin voidaanko F esittää muodossa jollakin funktiolla Φ : R? F = Φ, Jos F voidaan esittää muodossa F = Φ, niin F on konservatiivinen vektorikenttä ja Φ on F:n skalaaripotentiaali. Esim. 1. Kenttä F(x, y) = 2xi + 2e 2y j on konservatiivinen, sillä F = Φ, kun Φ(x, y) = x 2 + e 2y. Esim. 11. (Gravitaatiokenttä) Origossa oleva massa M aiheuttaa gravitaatiokentän (putoamiskiihtyvyyden), joka on g(r) = km r r 3. Kenttä on konservatiivinen, sillä asettamalla Φ(r) = km 1 r, pätee Huom. Φ(r) = km 1 1 r r = km r 2 r 2 r = g(r). Gradienttia laskettaessa voidaan käyttää ketjusääntöä niinkuin muissakin derivaatoissa. Eli jos g(r) = f( r ), niin g = f ( r ) r, missä r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = 1 2x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 i + 1 2y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 j + 1 2z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 k xi + yj + zk = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = r r. 3
Vektorikentät Huom. Jos funktio Φ on vektorikentän F skalaaripotentiaali, niin funktio CΦ on vektorikentän CF skalaaripotentiaali. Huom. Edellisen esimerkin fysikaalinen potentiaali on V (r) = Φ(r) = km 1 r, joka siis kasvaa kun loitotaan origosta. Laskettaessa kappaleen potentiaalienergiaa (voiman tekemä työ siirryttäessä jostakin referenssipisteestä toisaalle) maan pinnan tuntumassa, on putoamiskiihtyvyys suunnilleen vakio g(r) g r (missä g 9.81m/s 2 ) ja tällöin kappaleeseen (massa m) vaikuttava voima F(r) mg r. Kappaleen (massa m) potentiaalienergia korkeudella h maan pinnasta on siten E(h) = R+h R F(s r) ds mg R+h R ds = mgh. Esim. 12. Vektorikenttä F = Ω( yi + xj), (x, y) R 2, Ω >, ei ole konservatiivinen. Mikäli olisi olemassa Φ : R 2 R, jolle F = Φ, niin Φ x = Ωy, Φ y = Ωx, 2 Φ y x = Ω, 2 Φ x y = Ω. Koska F on sileä vektorikenttä, myös sen potentiaalifunktion pitää olla sileä. Erityisesti siis Φ on kahdesti derivoituva. Tästä kuitenkin seuraa, että ristiderivaattojen pitää olla samat, eli Ω = Ω, jolloin Ω =. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa ja siten potentiaalifunktiota Φ ei voi olla olemassa, eli F ei ole konservatiivinen. Yleisesti pätee: Olkoon F : R 3 vektorikenttä F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k. Jos F on konservatiivinen, niin F = Φ, jollakin Φ : R. Tällöin Φ x = F 1 ja Φ y = F 2 ja Φ z = F 3, jolloin F 1 y F 2 z F 3 x = 2 Φ y x = 2 Φ x y = F 2 x, = 2 Φ z y = 2 Φ y z = F 3 y, = 2 Φ x z = 2 Φ z x = F 1 z. aatiin siis: Jos vektorikenttä F : R 3 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x, F 2 z = F 3 y, F 3 x = F 1 z. 31
Vektorikentät Vastaavasti tasossa: Jos R 2 ja F : R 2 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x. Esim. 13. Tutkitaan, onko F : R 2 R 2, F(x, y) = yi + sin(x)j konservatiivinen. Koska ei kenttä ole konservatiivinen. F 1 y = 1 os(x) = F 2 x, (x, y) R2, Huom. erivaattaehdot F i x j = F j x i ovat siis välttämättömät, mutta eivät riittävät ehdot konservatiivisuudelle. euraava pätee yleisesti: Jos ehdot F i x j = F j x i toteutuvat yhdesti yhtenäisessä alueessa R n, niin vektorikentällä F on olemassa skalaaripotentiaali Φ : R. (Alue on yhdesti yhtenäinen, jos jokainen silmukka :ssä voidaan jatkuvalla tavalla kutistaa :n sisällä pisteeksi.) 2.4 Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät Jos Φ(x, y, z) on vektorikentän F : R 3 skalaaripotentiaali, niin pinnat Φ(x, y, z) = C = vakio ovat F:n tasapotentiaalipintoja. Koska F = Φ on kohtisuorassa näitä pintoja vastaan, tasapotentiaalipinnat ja kenttäviivat leikkaavat aina suorassa kulmassa. Kaksiulotteisessa tapauksessa F : R 2 yhtälö Φ(x, y) = C = vakio määrää tasapotentiaalikäyrän. Esim. 14. Edellä todettiin gravitaatiokenttä g(r) = km r konservatiiviseksi ja sen kenttäviivat ovat origon kautta kulkevia suoria. r 3 Tasapotentiaalikäyrät ovat tällöin origokeskisiä ympyröitä. Esim. 15. Olkoon = {(x, y) R 2 x, y > } ja vektorikenttä F : R 2 annettu muodossa F(x, y) = xi + yj x 2 + y 2, jolloin F 1 = x/(x 2 + y 2 ) ja F 2 = y/(x 2 + y 2 ). Tällöin F 1 y = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = F 2 x, 32
Vektorikentät joten vektorikenttä F voi olla konservatiivinen. Jos nyt F = Φ, niin Tästä saadaan, että ja siten Φ x = x x 2 + y 2 ja Φ y = y x 2 + y 2. Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + C 1 (y) Φ y (x, y) = y x 2 + y 2 + C 1(y) = y x 2 + y 2. iten C 1 (y) = ja saadaan C 1(y) = C = vakio. Tämä vakio ei millään tavalla vaikuta siihen, onko Φ skalaaripotentiaali ja voidaan valita C =, jolloin Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ). Löydettiin siis koko alueessa määritelty skalaaripotentiaali, joten F todella on konservatiivinen. Tasapotentiaalikäyrät ovat nyt käyriä 1 2 ln(x2 + y 2 ) = C x 2 + y 2 = e 2C, eli ympyröiden neljänneksiä, onhan tarkastelualue vain eikä koko taso. (Origo olisikin tuottanut ongelman: vektorikenttä itse sen paremmin kuin potentiaalifunktiokaan eivät ole määriteltyjä origossa.) 2.5 Lähde, nielu ja dipoli Lähde Ajatellaan seuraavaa tilannetta: - Koko avaruus R 3 on täytetty kokoonpuristumattomalla nesteellä. - Origosta ilmestyy nestettä nopeudella dv dt = 4πm, missä m > on lähteen voimakkuus. (Nestettä siis ilmestyy esim. 4πm kuutiota sekunnissa.) - Neste leviää symmetrisesti ja tasaisesti ulospäin origosta. Nyt haluttaisiin tietää millä nopeudella neste liikkuu etäisyydellä r origosta? Olkoon r(t) pienen nestehiukkasen etäisyys origosta ajan funktiona. Nesteen tilavuus r(t) säteisen pallon sisäpuolella on V (t) = 4πr(t)3 3 33
Vektorikentät ja koska neste leviää tasaisesti eikä puristu kokoon, on tämän r(t) säteisen pallon sisäpuolelle jäävän nestemäärän muutosnopeus 4πm. iten dv dt (t) = 4πr(t)2 r (t) = 4πm r (t) = m r(t) 2. Nesteen nopeuskenttä on siten Huom. v(r) = m r 2 r r = m r r 3. Näin saatu kenttä on samaa muotoa kuin gravitaatiokenttä, joten nähdään, että myös lähteen nopeuskenttä on konservatiivinen: v(r) = Φ(r), kun Φ(r) = m r. Nielu Nyt käsitellään samaa tilannetta, mutta origossa on pumppu, joka imee nestettä nopeudella missä m on nielun voimakkuus. Nielun nopeuskenttä on tällöin ja se on konservatiivinen. dv dt = 4πm, v(r) = m r r 3 ipoli ipoli koostuu lähteestä ja nielusta, joiden kummankin voimakkuus on m >. Esim. magneetin vuoviivat: Kun lähteen ja nielun välinen etäisyys on l, dipolimomentti on µ = ml. Ideaalidipolissa lähteen ja nielun voimakkuus kasvaa m ja etäisyys pienenee l siten, että dipolimomentti µ pysyy vakiona. Esim. 16. Olkoon dipolin dipolimomentti µ, akseli z-akseli (eli nielu ja lähde ovat molemmat z-akselilla) ja olkoon sen keskipiste origossa. Lasketaan dipolin aiheuttama nopeuskenttä v(x, y, z). 34
Vektorikentät Kun lähde, jonka voimakkuus on m, sijaitsee pisteessä (,, l/2) ja nielu, voimakkuus m, pisteessä (,, l/2), saadaan potentiaaliksi ( ) 1 Φ(r) = m r 1 2 lk 1 r + 1 2 lk. Kun l ja ml = µ, saadaan tästä raja-arvona ideaalidipolille Φ id (r) =... = µz r 3. Nopeuskenttä saadaan gradienttina v(r) = Φ id (r) =... = µ r 5 (3xzi + 3yzj + (2z2 x 2 y 2 )k). 35
Vektorikentät 36
3. Viiva- ja pintaintegraalit Tavoitteena on integroida funktio/vektorikenttä annetun käyrän/pinnan yli. Olkoon r : [a, b] R 3 käyrän parametrisointi ja R 3 pinta. Jos f : R 3 R ja F : R 3 R 3, niin laskettavia integraaleja on tällöin: 1.) I = f ds = funktion viivaintegraali :n yli. 2.) I = F dr = vektorikentän viivaintegraali :n yli. 3.) I = f d = funktion pintaintegraali pinnan yli. 4.) I = F d = vektorikentän pintaintegraali pinnan yli. Esim. 1. Esimerkkejä edellisistä: 1.) f = ρ = langan tiheys, jolloin I = langan kokonaismassa. 2.) F = kappaleeseen kohdistuva voima, jolloin I = voiman tekemä työ. 3.) f = ρ = pinnan tiheys, jolloin I = pinnan kokonaismassa. 4.) F = nesteen nopeuskenttä, jolloin I = nesteen vuo pinnan läpi (= pinnan läpi virtaavan nesteen määrä/aikayksikkö). 3.1 Käyrät Avaruuskäyrän määrittelevät koordinaattifunktiot missä parametri t [a, b] tai t R. x = x(t), y = y(t), z = z(t), Käyrän paikkavektori on r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. 37
Viiva- ja pintaintegraalit anotaan: funktio r(t) on vektoriarvoinen funktio. Jos z(t) =, niin käyrä on tasokäyrä. Esim. 2. Tarkastellaan tasokäyrää x = os(t) y = sin(t), t R. Tiedetään, että sin 2 (t) + os 2 (t) = 1, joten käyrän pisteiden koordinaateille pätee x 2 + y 2 = 1. Kyseessä on siis (x, y) -tason yksikköympyrä. Kun t kasvaa, pyöritään yksikköympyrällä vastapäivään. Esim. 3. Tarkastellaan käyrää x = 2 + t 2 y = 3t, t R. Eliminoidaan parametri t: ratkaistaan t = y/3 ja sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön, jolloin x = 2 + t 2 = 2 + y 2 /9. Kyseessä on siis oikealle aukeava paraabeli. Olkoon r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k käyrän paikkavektori. Tällöin r:n derivaatta on anotaan, että dr dt dr dt (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. on käyrän nopeusvektori. Vauhti on dr dt. Harjoitus 4. Taso x + y + z = 1 leikkaa pinnan z = x 2 pitkin erästä avaruuden paraabelia. Parametrisoi tämä paraabeli. (Vast. esim. r(t) = ti + (1 t t 2 )j + t 2 k, t R) Esim. 5. Tarkastellaan nousevaa spiraalia x = os(ωt) y = sin(ωt), t R. z = t, 38
Viiva- ja pintaintegraalit missä ω > on kulmanopeus ja > on nousunopeus. Käyrän paikkavektori on r(t) = os(ωt)i + sin(ωt)j + tk ja nopeusvektori on v(t) = ω sin(ωt)i + ω os(ωt)j + k. Vauhti on v(t) = ω 2 sin 2 (ωt) + ω 2 os 2 (ωt) + 2 = ω 2 + 2 (= vakio) ja kiihtyvyys on a(t) = dv dt (t) = ω2 os(ωt)i ω 2 sin(ωt)j = ω 2 (x(t)i + y(t)j). Jos kappaleen massa on m ja se liikkuu edellä mainitulla spiraaliradalla sen paikkavektorin ollessa r(t), niin Newtonin II lain mukaan siihen kohdistuu voima F (t) = ma(t) = ω 2 m(x(t)i + y(t)j) (= keskeisvoima). Huom. Olkoon u(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ja v(t) = X(t)i + Y (t)j + Z(t)k vektoriarvoisia funktioita ja f : R R reaaliarvoinen funktio. Tällöin pätee 1.) 2.) 3.) 4.) Yllä siis esimerkiksi funktio du dt d du (u + v) = dt dt + dv dt d dt (fu) = f u + f du dt d du (u v) = dt dt v + u dv dt d du (u v) = dt dt v + u dv dt. v pisteessä t on ( du du v)(t) = dt dt (t) v(t) = (x (t)i + y (t)j + z (t)k) (X(t)i + Y (t)j + Z(t)k) = x (t)x(t) + y (t)y (t) + z (t)z(t). 39
Viiva- ja pintaintegraalit 3.2 Funktion viivaintegraali Olkoon R 3 (tai R 2 ) ja f : R funktio. Olkoon käyrä ja r : [a, b] käyrän parametrisointi siten, että dr dt, kaikilla t [a, b]. Tällöin funktion f viivaintegraali käyrän yli on f ds = b a f(r(t)) dr dt (t) dt. Esim. 6. Olkoon käyrä r : [a, b] R 3. Tällöin b 1 ds = 1 dr dt (t) dt = käyrän pituus. Esim. 7. Lasketaan tasokäyrän x = e t os(t), y = e t sin(t), kaarenpituus. a t [, τ], t [, τ], Käyrän paikkavektori on ja nopeusvektori on siten r(t) = e t os(t)i + e t sin(t)j dr dt (t) = ( e t os(t) e t sin(t))i + ( e t sin(t) + e t os(t))j Täten dr dt (t) 2 = e t (sin(t) + os(t))i + e t (os(t) sin(t))j. = e 2t (sin 2 (t)+2 sin(t) os(t)+os 2 (t))+e 2t (os 2 (t) 2 sin(t) os(t)+sin 2 (t)) = 2e 2t. Näin ollen kaarenpituus on τ s = 2e t dt = 2 τ e t = 2(1 e τ ). Huomataan myös, että s 2, kun τ. 4
Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 8. Jos on ohut lanka R 3 :ssa, joka voidaan parametrisoida funktiolla r : [a, b] R 3, ja f(r(t)) on langan massatiheys (kg/m) pisteessä r(t), niin f ds on langan kokonaismassa. Perustellaan tämä seuraavaksi. Jos f on vakio, niin f ds = f ds = f langan kokonaispituus = langan kokonaismassa. Jos f ei ole vakio, niin jaetaan pieniin pätkiin 1, 2,..., n. Kussakin näistä lyhyistä pätkistä f on likimain vakio f f i. Tällöin f ds = n i=1 i f ds n f i ds = :n kokonaismassa, i i=1 sillä f i i ds on i:nnen pätkän kokonaismassa. Kun langan jakovälien pituus lähestyy nollaa, niin tilalle saadaan = merkki. Esim. 9. Lasketaan I = f ds, kun käyrä on yksikköympyrä, jonka parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) = os(t)i + sin(t)j, t [, 2π] ja f(x, y, z) = x 2. Tällöin dr dt (t) = sin(t)i + os(t)j ja siten dr dt (t) = 1. Nyt f(r(t)) = (os(t)) 2 ja siten määritelmän mukaan 2π I = f(r(t)) dr dt (t) 2π dt = os 2 (t)dt = Esim. 1. Lasketaan funktion 2π 1 (1 + os(2t))dt = π. 2 f(x, y, z) = x 3y 2 + z viivaintegraali yli janan, jonka päätepisteet ovat origo ja (2, 1, 2). Janan parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) = 2ti + tj + 2tk, t [, 1]. Tällöin dr dt (t) = 2i + j + 2k, joten dr dt = 4 + 1 + 4 = 3, ja f(r(t)) = 2t 3t 2 + 2t = 4t 3t 2. iten 1 f ds = (4t 3t 2 ) 3dt = 3 1 (2t2 t 3 ) = 3(2 1) = 3. Esim. 11. Lasketaan saman funktion viivaintegraali yli murtojanan, joka koostuu janasta 1 = OP 1 ja 2 = P 1 P 2, missä P 1 = (2, 1, ) ja P 2 = (2, 1, 2). Murtoviivalla on siis sama alkupiste (origo) ja sama päätepiste (piste (2, 1, 2)) kuin edellisessä tehtävässä. 41
Viiva- ja pintaintegraalit Janan 1 parametrisoinniksi voidaan ottaa r 1 (t) = 2ti + tj, t [, 1] ja janan 2 parametrisoinniksi Tällöin dr 1 dt = 2i + j = 5 ja f ds = f ds + 1 f ds = 2 = 5 1 (2t 3t 2 )dt + 2 r 2 (t) = 2i + j + 2tk, t [, 1]. 1 dr 2 dt 1 = 2k = 2 ja siten f(2t, t, ) 5dt + aatiin siis eri tulos kuin edellisessä esimerkissä. Huom. 1 f(2, 1, 2t) 2dt (2 3 + 2t)dt = 5 1 (t2 t 3 ) + 2 1 ( t + t2 ) = 5(1 1) + 2( 1 + 1) =. Vaikka funktio olisi sama ja integroimispolun päätepisteet samat, voi integraalin tulos riippua käytetystä polusta. 3.3 Vektorikentän viivaintegraali Esim. 12. (Gravitaatiokenttä) Kun massa m putoaa matkan h lähellä maan pintaa, niin maapallon aiheuttama putoamiskiihtyvyys on likimain vakio ja siten kappaleeseen kohdistuva voima on F = mgk. Gravitaatiokentän tekemä työ on siten W = hmg = F r, missä r = hk on massan siirtymää vastaava vektori. Jos massa m ei putoakaan suoraan alas vaan liukuu matkan h kaltevaa tasoa pitkin, niin gravitaatiokentän tekemä työ on W = os(α) h mg = F r, missä r on massan siirtymää vastaava vektori. 42
Viiva- ja pintaintegraalit Mikä on yleisesti vektorikentän F tekemä työ, kun massa m liikkuu käyrää pitkin? Tarkastellaan tilannetta pienessä mittakaavassa. Olkoon r : [a, b] R 3 käyrän parametrisointi, jolloin voiman F tekemä työ matkalla dr on dw = F dr = F dr dt dt. Integroimalla välin [a, b] yli saadaan kokonaistyöksi W = b a F(r(t)) dr (t) dt dt Otetaan tämä vektorikentän viivaintegraalin määritelmäksi: Olkoon F : R 3 vektorikenttä, R 3, ja käyrä r : [a, b], jolle dr dt, kaikilla t [a, b]. Tällöin Huom. F dr = b a F(r(t)) dr dt (t)dt Jos on suljettu, eli r(a) = r(b), niin merkitään myös F dr = F dr. 43
Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 13. (Gravitaatiokenttä) Jos kappaletta liikutetaan gravitaatiokentässä siten, että etäisyys maan pinnasta kasvaa huomattavasti, ei maapallon aiheuttama gravitaatiokenttä enää ole vakio vaan vektorikenttä g(r) = km r r 3. Tällöin massan m liikkuessa pitkin käyrää, jonka parametrisointi on r : [a, b] R 3, gravitaatiokenttä tekee työn W = b r(t) F(r) dr = m g(r) dr = kmm a r(t) 3 dr dt (t)dt. Harjoitus 14. Integroi F(x, y) = os(x)i yj origosta pisteeseen (π, ) pitkin käyrää y = sin(x). (Vast. ) Esim. 15. Lasketaan vektorikentän F(x, y, z) = (y x 2 )i + (z y 2 )j + (x z 2 )k tekemä työ yli käyrän r(t) = ti + t 2 j + t 3 k, t [, 1]. Nyt ja vektorikenttä käyrällä on dr dt (t) = i + 2tj + 3t2 k F(r(t)) = F(t, t 2, t 3 ) = (t 2 t 2 )i + (t 3 t 4 )j + (t t 6 )k = (t 3 t 4 )j + (t t 6 )k, joten F(r(t)) dr dt (t) = 2t(t3 t 4 ) + 3t 2 (t t 6 ) = 3t 3 + 2t 4 2t 5 3t 8. Kentän tekemä työ on siten W = Huom. 1 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = (3t 3 + 2t 4 2t 5 3t 8 )dt = 1 (3 4 t4 + 2 5 t5 2 6 t6 3 9 t9 ) = 3 4 + 2 5 1 3 1 3 = 29 6. Tarkastellaan konservatiivista vektorikenttää F : R 3. Tällöin siis F = Φ, jollakin funktiolla Φ : R. Jos r : [a, b] on käyrä r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, 44
Viiva- ja pintaintegraalit niin d Φ Φ(r(t)) = dt x (r(t))x (t) + Φ y (r(t))y (t) + Φ y (r(t))y (t) Integroimalla välin [a, b] yli saadaan b a F(r(t)) dr = b a = ( Φ)(r(t)) dr dr (t) = F(r(t)) dt dt (t). d Φ(r(t))dt = Φ(r(b)) Φ(r(a)). dt aatiin siis: Jos F = Φ on konservatiivinen vektorikenttä F : R 3 ja on käyrä r : [a, b], jolle dr (t), dt kaikilla t [a, b], niin F dr = Φ(r(b)) Φ(r(a)). Huom. Vertaa yksiulotteiseen tapaukseen: Jos f = F, missä f : R R ja F : R R, niin b a f(x)dx = F (b) F (a). Huom. 1. seuraus: Jos F on konservatiivinen vektorikenttä, niin F dr riippuu ainoastaa käyrän päätepisteistä. Huom. 2. seuraus: Jos F on konservatiivinen ja on suljettu, niin F dr =. Esim. 16. Olkoon F : R 2 R 2 funktio F(x, y) = yi + xj. Lasketaan I = F dr, kun on käyrä r(t) = ti + t k j, t [, 1], missä parametri k (, ) määrää käyrän muodon. 45
Viiva- ja pintaintegraalit Tapa 1. Huomataan, että F = Φ, kun Φ(x, y) = xy. Tällöin F dr = Φ(r(1)) Φ(r()) = 1 1 = 1. Tapa 2. Koska F(r(t)) = t k i + tj ja dr dt = i + ktk 1 j, saadaan määritelmän mukaan F dr = 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = 1 t k + t kt k 1 dt = 1 (1 + k)t k = 1. Huomataan, että integraalin arvo ei riipu parametrista k, koska F on konservatiivinen. 3.4 Parametrisoidut pinnat Mikä on pinta? Esim. 17. Pinta on kaksiulottainen objekti, ja pinnalla olevat pisteet voidaan paikantaa kahden koordinaatin avulla. (Vrt. Käyrän pisteet voidaan esittää yhdellä koordinaatilla eli parametrilla.) Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v). Tällöin joukko r() = {r(u, v) R 3 (u, v) } on parametrisoitu pinta, mikäli vektorit r u (u, v) ja r (u, v) v ovat lineaarisesti riippumattomat kaikilla (u, v). (Tähän ehtoon palataan kohta.) 46
Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 18. Pinta on r(u, v) = ui + u os(v)j + u sin(v)k, (u, v) R 2 on x- akselin suuntaan avautuva kartio. Tämä nähdään vaikkapa siitä, että parametrisointi x = u, y = u sin(v), z = u os(v) toteuttaa kartion yhtälön y 2 + z 2 = x 2. Esim. 19. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = R 3. Tällöin r(r 2 ) = {} R 3 eli koko taso R 2 kuvataan origoon. Tällöin r r u = ja v = ovat lineaarisesti riippuvia ja r(r 2 ) ei täten ole parametrisoitu pinta. Esim. 2. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = vk. Tällöin Vektorit r u r(r 2 ) = {r(u, v) (u, v) R 2 } = {vk v R} = z-akseli. parametrisoitu pinta. = ja r v = k ovat lineaarisesti riippuvia, joten r(r2 ) ei ole Esim. 21. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = ui + vj + (u 2 + v 2 )k. Nyt r(r 2 ) on parametrisoitu pinta, sillä vektorit r u = i + 2uk ja r v = j + 2vk, ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla (u, v) R 2. Huom. Vektorit r r u (u, v) ja v (u, v) ovat parametrisoidun pinnan tangenttivektorit pisteessä r(u, v) (kts. Adams 12.3). iten ehto vektoreille r u ja r v takaa, että parametrisoidulla pinnalla on joka pisteessä 2-ulotteinen tangenttitaso. Huom. Oletetaan, että r : R 3, r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k 47
Viiva- ja pintaintegraalit määrää parametrisoidun pinnan. Asetetaan n : R 3, n(u, v) = r r (u, v) (u, v). u v Tällöin n(u, v) on kohtisuorassa vektoreihin r r u (u, v) ja v (u, v) nähden, joten se on kohtisuorassa pisteessä r(u, v) olevaa tangenttitasoa vastaan. Vektori n(u, v) on siis pinnan normaalivektori. Lauseke normaalivektorille n Koska saadaan r u = x u i + y u j + z u k ja r v = x v i + y v j + z v k, n(u, v) = r u r v = = y u y v i j k x u x v z u z v y u y v i z u z v x u x v z u z v = j + x u x v y u y v k (y, z) (x, z) (x, y) i j + (u, v) (u, v) (u, v) k. Funktion kuvaaja parametrisoituna pintana Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus muotoa jollain funktiolla f : R. r(u, v) = ui + vj + f(u, v)k Tällöin r() on aina parametrisoitu pinta: r u = i + f u k ja r v = j + f v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Pinnan normaalivektori on n(u, v) = r u r v =... = f u i f v j + k. 48
Viiva- ja pintaintegraalit Yleinen pinta Yleinen pinta saadaan liimaamalla yhteen äärellisen monta parametrisoitua pintaa. Esim. 22. Pallo ja kuutio ovat yleisiä pintoja: Huom. Pinnalla voi olla myös reuna. Jos pinnalla ei ole reunaa, niin pinta on suljettu. Edellisen esimerkin pallo ja kuutio ovat suljettuja pintoja. 3.5 Funktion pintaintegraali Oletetaan, että r : R 3, R 2, r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k määrää parametrisoidun pinnan = r(). Oletetaan, että g : R on pinnan massatiheys (yksikkönä kg/m 2 ). Otetaan tehtäväksi laskea pinnan massa. Määritellään p = r(u + du, v) r(u, v) = r u du q = r(u, v + dv) r(u, v) = r v dv d = p q = r u r v du dv = n du dv. Kaarevan suorakulmion massa on tällöin noin g(r(u, v))d = g(r(u, v)) n(u, v) du dv, 49
Viiva- ja pintaintegraalit joten pinnan kokonaismassa saadaan integroimalla = g(r(u, v)) n(u, v) du dv ( ) (y, z) 2 g(r(u, v)) + (u, v) ( ) (x, z) 2 + (u, v) ( ) (x, y) 2 da =: (u, v) g d. Tässä viimeinen yhtäsuuruus tarkoittaa määritelmää/merkintätapaa integraalille g d. anotaan, että g d on funktion g pintaintegraali pinnan yli. Huom. (Funktion kuvaaja) Jos r : R 3 on muotoa r(u, v) = ui + vj + f(u, v)k, jollain funktiolla f : R, niin pinnan normaalivektori on n(u, v) = f u i f v j + k. Tällöin g d = g(r(u, v)) n(u, v) da = ( f ) 2 g(r(u, v)) + u ( ) f 2 + 1 da. v Huom. Jos g 1, niin 1 d = ( f ) 2 + u ( ) f 2 + 1 da = :n ala. v Tulos pätee myös yleisesti pinnoille, eli 1 d = :n ala. Esim. 23. Lasketaan kokonaisvaraus pinnalla r(u, v) = e u os(v)i + e u sin(v)j + uk, u [, 1], v [, π], kun varaustiheys on δ(u, v) = 1 + e 2u. 5
Viiva- ja pintaintegraalit Nyt siis x(u, v) = e u os(v), y(u, v) = e u sin(v) ja z(u, v) = u, joten (y, z) (u, v) = e u sin(v) e u os(v) 1 = eu os(v) (x, z) (u, v) = e u os(v) e u sin(v) 1 = eu sin(v) (x, y) (u, v) = e u os(v) e u sin(v) e u sin(v) e u os(v) = e2u. Pintaelementti d saa siis muodon ( ) (y, z) 2 ( ) (x, z) 2 d = + + (u, v) (u, v) = Kokonaisvaraus on tällöin Huom. δ d = π 1 ( ) (x, y) 2 da (u, v) e 2u os 2 (u) + e 2u sin 2 (u) + e 4u da = e u 1 + e 2u da. 1 + e 2u e u 1 + e 2u du dv = π π 1 (e u + e 3u )dudv (e 1 + 1 3 e3 1 3 )dv = π(e + 1 3 e3 4 3 ). Esimerkin normaalivektori voidaan laskea myös suoraan määritelmästä n(u, v) = r i j k r (u, v) u v = e u os(v) e u sin(v) 1 =... e u sin(v) e u os(v) jollon d = n(u, v) da. Riippuu siis täysin omasta mielihalusta kumpaa lauseketta haluaa käyttää. 3.6 uunnistetut pinnat Mikä on nesteen vuo pinnan läpi? Miten kiinnitetään positiivinen kulkusuunta pinnan läpi? Määritelmä 3.6.1. Pinta R 3 on suunnistuva jos löytyy jatkuva vektorikenttä N : R 3 siten, että kaikilla r pätee 51
Viiva- ja pintaintegraalit 1.) N(r) on pinnan normaali pisteessä r, 2.) N(r) = 1. Tällöin N on suunnistus pinnalle. Huom. Jos N on suunnistus, niin myös N on suunnistus. Muita suunnistuksia ei ole. Huom. uunnistuvalla pinnalla on kaksi puolta. Parametrisoidun pinnan suunnistukset Olkoon = r() parametrisoitu pinta, R 2, ja r : R 3. Tällöin n(u, v) = r u r = pinnan normaali ja n, v joten pinnan mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n r n = ± r u r v u r v. Funktion kuvaajan suunnistukset Olkoon pinta = {(x, y, f(x, y) R 3 (x, y) }, missä R 2 ja f : R on funktio. Aiemmin laskettiin pinnan normaalivektoriksi n = f x i f y j + k, joten pinnan mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n n = ± f ( f x x i f y j + k ) 2 ( ). 2 + f y + 1 52
Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 24. (Möbiuksen nauha) 1.) Leikkaa paperiliuska:. 2.) Käännä liuskaa puoli kierrosta:. 3.) Liimaa liuskan päädyt yhteen (nuolet vastakkain). Näin syntyy pinta, jolla on vain yksi puoli ja pinta ei täten ole suunnistuva. Piirretty Mathematialla: ParametriPlot3[{Cos[t](3+r Cos[t/2]), in[t](3+r Cos[t/2]), r in[t/2]},{r,-1,1},{t,,2 Pi}] Reunan suunnistus Olkoon pinta, jolla on suunnistus N. Jos on suljettu reunakäyrä pinnalle, niin suunnistetaan (eli kiinnitetään :n positiivinen kiertosuunta) säännöllä: Pinnan reunakäyrän positiivinen kiertosuunta on kiertosuunta, jossa jää vasemmalle puolelle, kun ollaan pinnan positiivisella puolella. Esim. 25. Esim. 26. Huom. uunnistettuja reunallisia pintoja voi liimata yhteen, kunhan liittymäkohdan suunnistukset menevät kohdakkain. 53