Derivaatan sovelluksia
|
|
- Timo-Pekka Pääkkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä 8 litraa minuutissa (monisteen esimerkissä on lieriö) Olkoon astian korkeus H = 20 cm ja olkoon kartion R r r R h pohjan (eli läpinnan) säde R = 20 cm Kstään vedenpinnan nousunopeutta sillä hetkellä, jolloin astia tätt Olkoon t aika Oletetaan, että hetkellä t = 0 astia on thjä Olkoon h = h(t) nestepinnan korkeus hetkellä t Vedenpinnan sen hetkinen säde on r = hr/h kuvion mukaan Merkitään w = 8 l/min (veden tulonopeus) Kstt nousunopeus on dh dt sillä hetkellä, jolloin astia tätt Mielivaltaisella hetkellä t veden tilavuus on toisaalta wt (sisään virranneen veden määrä) ja toisaalta se on πr2 h (veden muodostaman kartion tilavuus) Tästä saadaan htälö ja kun sijoitetaan r = hr/h, niin wt = πr2 h, H Ratkaistaan h: Derivoidaan: wt = π h = ( hr H ) 2h = πr 2 H 2 h H 2 w πr 2 t/ dh H dt = 2 w πr 2 H t 2/ = 2 w 9πR 2 t 2/ Hetkellä, jolloin astia tätt, on wt = πr2 H, josta t = πr2 H/w Kun tämä sijoitetaan, saadaan dh H dt = 2 w w 9πR 2 πr 2 H 2 = w π R 6 = w πr 2 Kun sijoitetaan arvot (ja pannaan kiinnostuksella merkille, etteihän tulos riipukaan H:sta!), saadaan dh dt = 8000 cm /min π 20 2 cm 2 6,66 cm/min
2 Selvästi helpommalla olisi päässt, jos olisi huomannut derivoida h:n implisiittisesti t:n suhteen htälöstä wt = πr2 H 2 h, siis muistaen että h on t:n funktio, h = h(t): w = πr2 H 2 h2 h = πr2 H 2 h2 h, ja kun tähän sijoittaa h = H (astian tättminen), seuraa w = πr 2 h, josta saadaan, että h = w/(πr 2 ) astian tättmishetkellä Huomautus Vielä helpommalla olisi tehtävässä päässt, jos olisi ollut kllin ovela huomatakseen seuraavan: Jos tarkastellaan astian tättmishetkellä aivan pientä aikaväliä t ja merkitään vastaavaa vedenpinnan nousua h:lla, niin aikavälillä t veden tilavuuden lisäs on toisaalta w t ja toisaalta noin πr 2 h (matalan lieriön tilavuus) Seuraa että likimain w t = πr 2 h, josta h/ t = w/(πr 2 ) Kun aikavälin t annetaan lähestä nollaa, niin rajalla osamäärä h/ t lähest derivaattaa dh dt ja htälön likimääräisskin poistuu, ja saadaan lopputulos dh dt = w/(πr2 ) kätännöllisesti katsoen ilman laskuja Tällainen päättel menee kuitenkin tähän kurssiin nähden ehkä liian pitkälle, joskin se saattaisi sopia peruskurssi B:lle Lokaaliset ääriarvot Monisteessa määritellään sivulla 85 funktion f() (lokaaliset eli paikalliset) minimit ja maksimit Yhteisellä nimellä niitä sanotaan lokaalisiksi eli paikallisiksi ääriarvoiksi Sivulla 86 todetaan, että ilmeisesti ne lötvät pisteistä, joissa f () = 0 tai joissa f () ei ole olemassa Esitetään tässä muodollinen todistus Lause Olkoon funktio f() määritelt ainakin välillä ( 0 r, 0 + r) missä r > 0 Oletetaan, että 0 on f:n lokaalinen ääriarvokohta Silloin joko f ( 0 ) ei ole olemassa tai f ( 0 ) = 0 Todistus Tarkastellaan tapausta, jossa 0 on lokaalinen maksimikohta; minimin tapaus käsiteltäisiin vastaavasti Siis on väli ( 0 ϵ, 0 +ϵ), jossa aina f() f( 0 ) Oletetaan, että f ( 0 ) on olemassa Siis raja-arvo f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0 0 2
3 on olemassa Katsomalla vasemmanpuolista raja-arvoa saadaan f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0, 0 0 koska tässä raja-arvon otossa (siis kun 0 ϵ < < 0 ) osoittaja f() f( 0 ) on koko ajan 0 ja nimittäjä 0 on < 0 Siis f ( 0 ) 0 Katsomalla taas oikeanpuolista raja-arvoa nähdään samoin, että f ( 0 ) 0 Näin ollen väkisinkin f ( 0 ) = 0 a) Funktiolla f() = 2 4+ = ( 2) 2 on lokaalinen minikohta = 2, jossa f (2) = 0, ja lokaalinen minimiarvo f(2) = = f() 2 b) Funktiolla g() = on lokaalinen minikohta = 0, jossa g (0) ei ole olemassa, ja lokaalinen minimiarvo g(0) = 0 = Huomautus Jos kstään funktion f() lokaalisia ääriarvokohtia, niin tarkoitus on lötää ko :n arvot, mutta jos kstäänkin lokaalisia ääriarvoja, niin kuuluu antaa funktion ko arvotkin Olkoon f() = Etsi lokaaliset ääriarvot Koska f () on olemassa kaikkialla (kseessä on polnomi), niin lokaaliset ääriarvokohdat ovat niiden pisteiden joukossa, joissa f () = 0 Tästä ehdosta saadaan f () = 2 = 0 = ± Ovatko nämä todella lokaalisia ääriarvokohtia? Voisivathan ne olla esimerkiksi ns terassipisteitä; katso monisteen sivun 87 lintä kuvaa Seuraavaa vaihetta sanotaan ääriarvojen laadun tutkimiseksi Tehdään f ():n merkkitarkastelu Siitä nähdään milloin f() on vähenevä ja milloin kasvava (vrt s 87) f () + + f() kasvava vähenevä kasvava Näin ollen = / on maksimikohta ja = / on minimikohta
4 Vastaus Funktiolla on lokaalinen minimi f(/ ) = 2/( ) ja lokaalinen maksimi f( / ) = 2/( ) Etsi funktion f() = 2 Derivaatalla lokaaliset ääriarvot f () = 2 = 2 ei ole nollakohtia Tästä ei seuraa, ettei funktiolla olisi lokaalisia ääriarvoja, koska on ksi piste = 0, jossa derivaatta ei ole olemassa Se tät tutkia erikseen Derivaatan merkki vaihtuu kun = 0: f () < 0 kun < 0, ja f () > 0 kun > 0 Siis f() on vähenevä negatiivisilla :n arvoilla ja kasvava positiivisilla :n arvoilla Siispä = 0 on lokaalinen minimikohta, ja f:llä on lokaalinen minimi f(0) = 0 Kuvaaja on seuraava = 2/ Globaaliset ääriarvot eli suurin ja pienin arvo Edellä on tarkasteltu lokaalisia ääriarvoja Usein kstään funktion suurinta ja pienintä arvoa jossakin alueessa Tätä koskee lause 24 s 68, joka eritisesti sanoo, että suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on ko välillä suurin ja pienin arvo M = f() m a 2 b Esimerkiksi kuvion tilanteessa funktion suurin ja pienin arvo välillä [a, b] ovat M ja m ja ne saavutetaan pisteissä ja 2 On ilmeistä, että jos suurin arvo M saavutetaan pisteessä, siis jos f( ) = M, niin joko on välin päätepiste tai on lokaalinen maksimikohta Sama koskee pienintä arvoa Siispä suurimman ja pienimmän arvon etsiminen välillä [a, b] etenee leensä seuraavasti: 4
5 ) Etsitään potentiaaliset lokaaliset ääriarvot f( ),, f( n ) etsimällä ne kohdat (a, b), joissa f () = 0 tai f () ei ole olemassa 2) Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä, siis f(a) ja f(b) ) Verrataan mikä arvoista f( ),, f( n ), f(a), f(b) on suurin ja mikä pienin 58 Olkoon f() = 2 a) Etsitään f():n lokaaliset ääriarvot koko R:ssä Derivaatta on f () = 2 = 2 ( 0), josta nähdään sekä ainoa nollakohta = (2/) = 8/27 että merkinvaihtelu; huomaa, että merkki vaihtuu mös kohdassa = 0, jossa f () ei ole olemassa f () + + Näin ollen funktiolla on lokaalinen maksimi f(0) = 0 ja lokaalinen minimi f(8/27) = 8 27 ( ) 8 2/ 27 = = 4 27 b) Etsitään nt f():n suurin ja pienin arvo välillä [, 2] Listataan funktion arvot lödetissä lokaalisissa ääriarvokohdissa sekä päätepisteissä: f(0) = 0, f( 8 27 ) = ,5, f( ) = 2, f(2) = ,4 Valitaan pienin ja suurin: Funktion pienin arvo välillä [, 2] on f( ) = 2 ja suurin arvo on f(2) = Tässä tapauksessa ne siis lödettiin välin päätepisteistä Monisteen sivulla 88 on kuvio tilanteesta Huomautus Edellä oli puhetta vain suljetusta äärellisestä välistä [a, b] Jos tutkitaan muunlaisia välejä, niin suurinta tai pienintä arvoa ei välttämättä ole olemassa edes jatkuvalla funktiolla 5
6 Mitkä ovat funktion f() = 2 suurin ja pienin arvo välillä (0, )? Edellisen esimerkin laskuista ja funktion kuvaajasta s 88 nähdään vastaus: Pienin arvo on f( 8 27 ) = 4 27 ja suurinta arvoa ei ole Tarkemmin: suurinta arvoa ei ole, koska f() = ( ) 2 kun, joten f() saa mielivaltaisen suuria arvoja Differentiaali Johdatteleva esimerkki Ajatellaan, että meidän on laskettava lauseke f() = 2 ja olemme jostain saaneet :lle epävarman arvon = 0,5 Laskemme f(0,5) = ( 2 )2 = =, = 0, Montako desimaalia kannattaa ottaa? Miten suuri virhe aiheutuu :n mahdollisesta väärästä arvosta? Ajatellaan, että olemme saaneet :n mukana virhearvion = 0,5 ± 0, Toisin sanoen :n virheellä on arvio 0, Lasketaan derivaatta f () = 2 Kirjoitetaan f:n virheelle arvio (selits seuraa jäljempänä): f f ( 2 ) = f ( 2 ) 2 ( 2 )2 0, = = 0 =, = 0, ,06, 2 0, 2 josta nähdään, ettei kannata ottaa enempää kuin kaksi desimaalia, ja f(0,5) = 0,87 ± 0,06 Miksi tämä derivaattatemppu toimii? Toimiiko se? Kllä vain, ja kohta selitetään leisesti, mistä kaava f f () tulee (siis selitetään tarkemmin f:n differentiaali) Tehdään nt tässä esimerkissä vielä tarkistus laskemalla f:lle virhearvio toisin Koska on arvioitu 0,4 0,6, niin f(0,6) f(0,5) f(0,4) (huomaa että f() on vähenevä kun 0,5), josta 0,80 f(0,5) 0,92 6
7 Ei saatu aivan samaa tulosta kuin derivaattakonstilla, joka antoi 0,8 f(0,5) 0,9, mutta se johtuu osittain siitä, että otettiin vain kaksi desimaalia Derivaatta antoi oikein hvän virhearvion Aivan tarkkaan tulokseen ei edes kannata prkiä, koska :nkin virhe oli vain arvio Arvoidessa virhe derivaatan avulla (differentiaalin avulla) saadaan helpolla laskulla kätännössä riittävän hvä tulos Tosin tässä ksinkertaisessa tapauksessa menetelmän helpommuus ei tullut esiin Mutkikkaammilla funktioilla se näkisi paremmin, ja peruskurssi B:ssä menetelmä kehitetään useamman muuttujan funktioihin, joissa sen hödlliss on kiistatta selvä Differentiaali Olkoon f() derivoituva funktio An- netaan argumentille pieni muutos Silloin f():n vastaava muutos on = f() f = f( + ) f() Erotusosamäärä pisteessä on f( + ) f() ( + ) = f, f( + ) f() f + joka on kuviossa olevan jänteen kulmakerroin Toisaalta tangentin kulmakerroin on f (); siis f f () kun 0 = f() f } f tangentti, kk=f () Seuraa f f () kun 0 (Monisteessa s 89 tämä on johdettu paremmin) Määritelmä 50 Funktion f() differentiaali (arvoilla ja ) on df = f () 7
8 (Monisteessa merkitään mös d) Nt voimme kirjoittaa f df = f () Geometrinen merkits on seuraavassa kuviossa = f() f } df Yhteenveto: df = f () (f:n differentiaali), df = :n muutos liikuttaessa tangenttia pitkin, f = f():n todellinen muutos, f df joten df:ää voi kättää f:n approksimaationa Perinteisesti usein merkitään d:llä Monisteen esimerkissä 5 on selits tämän luvallisuudelle: funktiolla f() = saadaan df =, siis d = Silloin differentiaalin lauseke leiselle funktiolle f saa muodon df = f ()d Noudatamme tätä jatkossa, mutta kätämme f:n todelliselle muutokselle edelleen merkintää f (Poikkeuksena on siis että merkitsemme = d) Huomautus Differentiaalin antamaa approksimaatiota sanotaan ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi Tämä viittaa siihen, että lausekkeessa f f ()d esiint d ensimmäisessä potenssissa, toisin sanoen se on d:n suhteen lineaarinen lauseke Peruskurssi B:ssä opitaan korkeamman kertaluvun approksimaatioista Talorin polnomien ja sarjojen htedessä 52 Kädään tässä läpi esimerkki 52, koska monisteessa on siinä puute 8
9 Piirretään paperille harpilla mprä Halutaan tietää sen pinta-ala A Mitataan sitä varten säde r (Saadaan ehkä 5 cm tai jotain muuta, mutta tätä tietoa ei nt tarvita) Arvioidaan suhteelliseksi mittausvirheeksi 2% Tämä tarkoittaa, että jos merkitään r:n todellista virhettä dr:llä, niin dr r 2% Mitatusta r:n arvosta lasketaan A = πr 2 (Saadaan siis A = π 5 2 cm 2 tai jotain muuta) Haluamme nt tietää, kuinka tarkka A:n arvo saatiin Suhteellinen virhe on A A, missä A on todellinen virhe Koska A = A(r) = πr 2, niin differentiaalista saadaan approksimaatio A da = A (r)dr = 2πr dr Siis A A da A = A (r)dr A = 2πr dr πr 2 = 2 dr r 2 2% = 4% Jostain materiaalista, jonka tihes on ρ, valmistetaan umpinainen kuutio, joka sitten punnitaan Massaksi saadaan m Oletetaan, että mittauksen suhteellinen virhe on dm m,5% Massasta lasketaan kuution särmä s kaavasta s = m/ρ (koska m = ρs ) Kuinka suuri on s:n suhteellinen virhe? Arvioidaan differentiaalin avulla: s s ds s = s (m)dm s s = m dm s = dm m,5% = 0,5% Derivaatta laskettiin näin: koska s(m) = ρ m /, niin s (m) = ρ m 2/ = m / ρ m = s m = s m Koska leisesti f f ()d kun d 0, missä (f) = f( + d) f(), niin f( + d) f() + f ()d kun d 0 Esimerkiksi eksponenttifunktiolle f() = e saadaan e +d e + e d kun d 0 Valitsemalla = 0 ja merkitsemällä d:n paikalle tästä tulee e + kun 0 9
10 Tämä siis on e :n ensimmäisen kertaluvun approksimaatio kohdan = 0 lähellä Geometrisesti tämä merkitsee vain sitä, että kuvaajalla = e on kohdassa = 0 tangenttina suora = + = e = + Kärän parametriesits Tämä osa on johdantoa parametrimuodossa annettujen funktioiden derivointiin, mikä asia kuuluu osattavaksi tentissä Sen sijaan parametrimuotoisia käriä ei kstä tentissä, mutta lienevät mielenkiintoista lukemista, ja niiden mmärtäminen on varmasti eduksi (mprä) Ymprän = r 2 eräs parametriesits on { = r cos t (0 t < 2π) = r sin t Tämä tarkoittaa, että aina kun parametrille t valitaan jokin arvo, niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) on mprällä = r 2, ja kun t kä välin [0, 2π), niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) kä koko mprän Esimerkiksi, kun t:lle annetaan arvot 0, π/4, π/2, 2π/, π ja π/2, saadaan seuraavat pisteet t (, ) 0 (r, 0) π/4 ( 2 r, 2 r) t = 2π/ t = π/2 t = π/4 π/2 (0, r) 2π/ ( 2 r, 2 r) t = π r t = 0 π ( r, 0) π/2 (0, r) t = π/2 (ellipsi) Ellipsillä on parametriesits { = a cos t = b sin t 2 a b 2 = b a (0 t < 2π) 0
11 Nimittäin, kun (, ) = (a cos t, b sin t), niin (, ) toteuttaa ellipsin htälön, sillä 2 a (a cos t)2 (b sin t)2 = b2 a 2 + b 2 = cos 2 t + sin 2 t =, ja on helppo todeta, että kun t kä koko välin [0, 2π), niin (, ) kä koko ellipsin (hperbeli) Monisteessa on huomautuksessa 250 (s 54) annettu hperbelille 2 2 = 2 2 = parametriesits { = cosh t = sinh t (t R), joka itse asiassa antaakin vain hperbelin oikean haaran Se, että piste (, ) = (cosh t, sinh t) on tällä hperbelillä, johtuu identiteetistä cosh 2 t sinh 2 t = Huomaamalla, että (, ) = (cosh t, sinh t) = ( 2 (e + e ), 2 (e e ) ) ja merkitsemällä 2 e = u, saadaan hperbelille toinenkin mukavan näköinen parametriesits, { = u + u = u u (u R), ja kun tässä annetaan u:n kädä koko R, niin saadaankin hperbelin molemmat haarat Parametrimuodossa voidaan esittää helposti monia sovelluksissa esiintviä käriä, joille ei saada helppoa htälömuotoista esitstä Tässä kaksi esimerkkiä
12 Kardioidi { = 2 cos t cos 2t = 2 sin t sin 2t (0 t < 2π) Eräs Lissajous n kärä { = cos t (0 t < 2π) = sin 4t Parametrimuotoiset funktiot Funktioista ja käristä Tunnetusti funktion f() kuvaaja on kärä = f() Kääntäen, annettu kärä ei välttämättä ole minkään funktion kuvaaja Esimerkiksi alla oikeanpuoleisessa kuviossa on kärä, joka ei ole minkään funktion kuvaaja jo siitä sstä, että esimerkiksi :n arvolla saataisiin funktiolle kaksi eri arvoa = f() = Kätännössä leensä kuitenkin rajoittumalla kärän kllin pieneen osaan siitä saadaan funktion kuvaaja Esimerkiksi mprän = voi ajatella koostuvan kahden eri funktion kuvaajista, nimittäin funktioiden f : [, ] R, f () = 2, f 2 : [, ] R, f 2 () = = = 2 = 2 2
13 Funktion parametriesits Jos funktion f() kuvaajalla = f() (joka siis on kärä) on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin sitä sanotaan funktion f() parametriesitkseksi (Tässä (t) ja (t) ovat joitain t:n funktioita) nä tarkastellaan funktiota f() = 2 Sen kuvaaja on siis o mprän läpuolisko Koska tällä kärällä on parametriesits { = cos t (0 t π) = sin t niin tämä on funktion f() = 2 : [, ] R eräs parametriesits Parametrimuotoisen funktion derivointi Monisteen lopussa oleva esimerkki 54 koskee tärkeää asiaa, josta usein tulee tenttiin tehtävä Jos funktiolla f() on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin funktion derivaatan saa kaavasta f () = (t) (t), tai jos merkitään = f() kuten monisteessa, niin d d = (t) (t) Huomaa, että vasemmalla on derivaatta :n suhteen ja oikealla derivaatat t:n suhteen Kaavaa ei meillä todisteta, mutta muistisäännön saa seuraavasta: Huomautus (t) (t) = d/dt d/dt = d d Tässä htedessä noudatettu perinteinen kätäntö on varmasti hiukan sekoittava Merkitään () ja merkitään (t), ja nämä ovat eri funktioita Nt pitää ajatella niin, että kun kirjoitetaan (), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta, ja kun kirjoitetaan (t), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta t Niinpä, jos o kaava kirjoitetaan () = (t) (t),
14 niin vasemmalla () ja oikealla (t) ovat aivan eri derivaattoja Esimerkiksi parametriesitksessä { = t = t 2 on siis (t) = t 2, mutta kun eliminoidaan htälöistä t, niin saadaan :n -riippuvuudeksi () = 2/ Siis (t) = 2t mutta () = 2 / Tämä kätäntö on oikeastaan ristiriidassa normaalikätännön kanssa; tavallisestihan mmärretään, että jos esimerkiksi (t) = t 2, niin silloin () = 2 ja vaikkapa (p) = p 2 ja niin edelleen Asiahtedestä on vain mmärrettävä, mitä merkinnöillä kulloinkin tarkoitetaan Olkoon funktiolla f() parametriesits { = t = t 2 (t R) Lasketaan f (8) Piste = 8 saadaan kun t = 2 Siis f (8) = (t) (t) t=2 = 2t t 2 t=2 = 2 t t=2 = Aivan sama tehtävä voitaisiin lausua: Kun kärällä on parametriesits { = t = t 2 (t R) niin on laskettava sen tangentin kulmakerroin kohdassa (8, 4) Kuvio on seuraava = f() (8, 4) t = 2 Kätimme kaavaa f () = (t)/ (t) Tämän tehtävän olisi voinut ratkaista toisinkin Nimittäin kärän parametriesitksestä on helppo eliminoida t jolloin saadaan = 2/ Tämä on funktion lauseke tavallisessa muodossa, f() = 2/ Derivoinnin olisi voinut tehdä tästä lausekkeestakin: f () = 2 /, josta f (8) = 2 = = Silloinkin, kun parametrin pst eliminoimaan, kuten äsken, niin sitä ei kannata tehdä, jos parametrimuoto on helppoa muotoa Johdetaan esimerkkinä ellipsin 2 a b 2 = 4
15 pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Saman tehtävän ratkaisimme aikaisemmin implisiittisellä derivoinnilla, mutta kätetään nt ellipsin parametriesitstä b ( 0, 0 ) t 0 a { = a cos t = b sin t (0 t < 2π) Piste ( 0, 0 ) saadaan sellaisella parametrin arvolla t 0, että { a cos t0 = 0, b sin t 0 = 0 Tangentin kulmakerroin on joten pisteessä ( 0, 0 ) se on d d = (t) (t) = b cos t a sin t, b cos t 0 a sin t 0 = b2 a 2 a cos t 0 b sin t 0 = b2 a Saman saimme aikoinaan implisiittisellä derivoinnilla, ja laskun loppu menee samoin kuin silloin Edellä oli erään Lissajous n kärän { = cos t = sin 4t (0 t < 2π) kuva Mikä on tangentin kulmakerroin origossa? Lasketaan ensin parametrin arvo: = 0 cos t = 0 t = π 2 + nπ t = π 6 + n π, = 0 sin 4t = 0 4t = nπ t = n π 4 Sijoittamalla ratkaisut ksikkömprään nähdään, että hteisiä ratkaisuja välillä 0 t < 2π on kaksi: t = π 2 ja t = π 2 Derivaatta on d d = (t) (t) = 4 cos 4t sin t Kun t = π 2 saadaan d d = 4, ja kun t = π 2 d niin d = 4 5
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotOsittaisderivaatat. Huomautus 4.15 (Geometrinen tulkinta)
Osittaisderivaatat Monisteessa määritellään sivulla 31 osittaisderivaatat: useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat saadaan derivoimalla aina hden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina.
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotMIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA
MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotYLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotUsean muuttujan funktiot
Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotMonisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotMAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1
Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotHuippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot