3.3 3. Desibeli Tasoaallon vaimenemisen häviöllisessä väliaineessa voi laskea aaltoluvusta β. Aaltoluvun imaginaariosa on mitta vaimenemiselle, ja usein puhutaankin β i :stä yksiköissä neperiä/metri eikä pelkästään l/metri. Neperi on laaduton luku kuten radiaanikin, ja se korostaa eksponentiaalisen vaimenemisen kantalukua e. Radiotekniikassa ja akustiikassa, elektroniikassa ylipäätään on ehkä kuitenkin yleisempänä yksikkönä neperin sijaan desibeli, ja nämä kaksi mittaa ovat hyvin yksinkertaisessa yhteydessä toisiinsa. Desibelissä käytetään logaritmisena kantalukuna lukua. Määritelmä on seuraava: Jos sähkökentän amplitudi on vaimentunut arvoon, on vaimennus desibeleinä (db lg, (3.4 missä lg tarkoittaa kymmenkantaista (Briggsin logaritmia. Miinusmerkki tässä lausekkeessa esiintyy sen takia, että on pienempi kuin, jolloin logaritmista tulee negatiivinen luku. β i lge β i lge 8. 686β i. (3.5 Siis neperit saa desibeleiksi kertomalla luvulla 8,686. uomataan, että db:n vaimennus tarkoittaa, että kentänvoimakkuus on pudonnut kymmenenteen osaansa alkuperäisestä arvostaan. Koska tehotiheys on verrannollinen kentän neliöön, tarkoittaa tämä sitä, että teho on pudonnut sadanteen osaan. Siksi, kun tehoja lasketaan desibeleissä, on muistettava käyttää kerrointa logaritmin edessä: lauseketta (3.4 teholle P soveltaen saadaan P lg. (3.6 P On tärkeätä muistaa, että tehosta desibeleissä puhuttaessa käytetään kerrointa ja kentänvoimakkuuden yhteydessä kerrointa. dellä esitetyn merivesitapauksen tulokset voi ilmoittaa myös desibeleissä. Suurilla taajuuksilla tunkeutumissyvyyden ollessa mm on vaimennus 73 db/m. 5 :n taajuudella tunkeutumissyvyys on noin 36 m ja vaimennus.4 db/m. 3. Sähkömagneettisen säteilyn turvarajat Poyntingin vektorin avulla voidaan laskea sähkömagneettisen aallon kuljettamaa tehoa. äviöllisessä aineessa kulkevan aallon energiaa muuttuu lämmöksi. Myös kaikki ihmisen ympäristössä vaikuttava sähkömagneettinen säteily osaltaan absorboituu ihmisen sisään. Kansanterveydellisesti katsoen ei väestön voi sallia altistuvan suurille sähkömagneettisille säteilylähteille. Sosiaali- ja terveysministeriö on antanut vuonna 99 päätöksen n:o 474 ionisoimattoman säteilyn altistusrajoista. Tämän päätöksen tiedot on koottu seuraavaan taulukkoon. Radioaktiivinen säteily on ionisoivaa. Päätös ei koske sitä, vaan sellaista sähkömagneettista säteilyä, jonka kvanttien
3.33 energia on tarpeeksi pieni. Ionisoivan ja ionisoimattoman säteilyn raja kulkee jossain pehmeän röntgensäteilyn ja ultraviolettisäteilyn rajamailla, noin nm:n aallonpituuden tuntumassa. VALVOTUISSA OLOISSA SÄTILYLL ALTISTUVIIN NKILÖIIN SOVLLTTAVAT KNTÄNVOIMAKKUUDN NIMMÄISARVOT f/m teh /V/m S /W/m teh /A/m S /W/m.... 64.6/f /f... 64/f /f.6/f /f... 4 6.6 4... 3f ½ f/4.8f ½ f/4... 3 37 5.36 5 S /η, S η, η 377 Ω, f ilmoitetaan yhtälöissä Megahertseinä. VÄSTÖÄ KOSKVAT KNTÄNVOIMAKKUUDN NIMMÄISARVOT f/m teh /V/m S /W/m teh /A/m S /W/m.... 87.3/f ½ /f... 87/f ½ /f.3/f ½ /f... 4 7.5.73 4....38f ½ f/.37f ½ f/... 3 6.6 S /η, S η, η 377 Ω, f ilmoitetaan yhtälöissä Megahertseinä. Sallitut säteilyvoimakkuudet on esitetty sekä tehotiheyksinä että efektiivisinä sähkö- ja magneettikentän voimakkuuksina. On huomattava, että suosituksessa käytetään tehollisarvoa. Sähkökentän teh avulla laskettu tehotiheys on tällöin S teh /η, missä η 377Ω. Nimittäjästä puuttuu kerroin, joka siellä huippuarvoilla laskiessa olisi. Tehotiheysrajat vaihtelevat taajuuden funktioina. Ihmisen mitoista ja geometriasta sekä kudoksien sähköisistä parametreistä johtuen tietyn aallonpituinen säteily absorboituu paremmin ihmiseen kuin jokin toinen, jolloin rajoja tiukennetaan herkillä kaistoilla. sim. G:n taajuudella sallitaan väestölle 6 V/m efektiivinen kentänvoimakkuus. Tämä vastaa W/m :n tehotiheyttä. Valvotuissa olosuhteissa säteilylle altistuviin henkilöihin sovellettava tehotiheysraja on tällä taajuudella viisinkertainen. Ihmiseen lämmöksi absorboitunut säteilyannos, jonka suuruus on 4W/kg, aiheuttaa kudoksissa havaintojen mukaan jatkuvana altistuksena yhden asteen lämmönnousun. Lukemaa pienennetään kymmenenteen osaan, kun on määritetty valvotuissa olosuhteissa säteilylle altistuvien henkilöiden saamien kentänvoimakkuuksien enimmäisarvoja. Koska laajassa väestössä on lapsia, vanhuksia ja sairaita, joiden kehon lämmönsäätelykyky on heikompi kuin keskimääräisen aikuisen, pienennetään väestön kentänvoimakkuuden enimmäisarvoja edelleen viidenteen osaan. Väestönarvot perustuvat sallittuun ominaisabsorptionopeuteen,8w/kg. Nykyisin huolestuttava stratosfäärin otsonitiheyden pienentyminen on johtanut myös ultraviolettisäteilyn tehotiheystasojen tarkkailuun. Kysymyksessä on erityisesti n. 5 nm:n aallonpituusalue sillä, vaikka lyhytaaltoisempi UV-säteily onkin kvanttienergialtaan voimakkaampaa, se ei etene ilmassa niin hyvin kuin tuo juuri näkyvän valon alueen rajalla oleva spektrin osa. Myös pienitaajuisten sähkö- ja magneettikenttien biologisia vaikutuksia yritetään näinä aikoina tutkia. Joissain epidemiologisissa tutkimuksissa on havaittu mm. leukemian ja eräiden
3.34 muiden syövän muotojen lisääntymistä verkkotaajuisten magneettikenttien yhteydessä jo mikroteslatasolla. Voimajohtojen ja muuntajien läheisyydessä asuvia ihmisiä voisi yrittää rauhoittaa tosin sillä, että näitä heikosti indikatiivisia tuloksia ei ole kunnolla pystytty toistamaan eikä esimerkiksi eläinkokeilla vahvistamaan. 3. Tasoaallon heijastuminen kohtisuorasta hyvin johtavasta pinnasta. Olemme tarkastelleet tasoaallon käyttäytymistä homogeenisessa - häviöttömässä ja häviöllisessä - materiaalissa. Tarkastellaan käytännössä tilanteita, missä esim. radioaalto kohtaa rajapintoja ja reunoja. eijastus, läpäisy ja sironta voidaan laskea etsimällä ratkaisu eri alueissa tasoaaltojen kombinaationa ja käyttämällä hyväksi rajapintareunaehtoja. Tutkitaan aluksi johdeseinän vaikutusta. Jätetään häviöt huomiotta tarkastelun yksinkertaistamiseksi. xy-tason rajoittama puoliavaruus on erittäin hyvin johtavaa materiaalia. Tasoaalto saapuu rajapinnalle alueesta <. Käytännössä tilanne syntyy y-tasoon asetetulla hyvin johtavalla metalliseinällä, sillä tunkeutumissyvyys metalliin on varsin pieni, eikä seinän takana oleva materiaali vaikuta lopputulokseen. Kuva 3.6 esittää järjestelyä. x σ y Kuva 3.6 Sähkömagneettinen aalto saapuu tyhjön ja johtavan seinän rajalle. Reunaehtona voimme todeta, että johtavalla rajapinnalla täytyy kokonaissähkökentänvoimakkuuden olla nolla, sillä johtava pinta muodostaa oikosulun jännitteelle. Olkoon tuleva, -suuntaan etenevä tasoaalto lineaarisesti polarisoitu. Sähkökentänvoimakkuusvektori on x-akselin suuntainen ja amplitudiltaan m. Tällöin magneettikentän vektorisuunta on y, ja sen amplitudi saadaan sähkökentän amplitudista jakamalla aaltoimpedanssilla η µ / ε. Materiaaliparametrit µ ja ε ilmoitetaan aineelle, joka täyttää homogeenisesti puoliavaruuden <. Sähkö- ja magneettikenttäfunktiot ovat
3.35 ( e j β r i, (3.7 m ( r j m e j β. (3.8 η Materiaaliparametrit ja taajuus määräävät aaltoluvun β ω µε. Tämä aalto kuljettaa tehoa suuntaan. Maxwellin yhtälöt antavat kaksi aaltoratkaisua. Toinen ratkaisu on -suuntaan etenevä aalto. Sen paikkariippuvuus on muotoa e jβ. Tämän aallon amplitudi on m r i e j β (3.9 ( m Palaavan aallon magneettikenttäfunktio saadaan Maxwellin yhtälöstä: ( r ( r k i jβ m jβ e m j e jβ. (3. jωµ jωµ η Palaavan aallon magneettikenttä on y-suuntainen vektori, päinvastoin kuin etenevällä aallolla. Tämä on välttämätöntä, sillä tehonkuljetus tulevalla ja palaavalla aallolla tapahtuu päinvastaisiin suuntiin. Poyntingin vektori on vaihtanut merkkinsä. Kokonaissähkökenttä alueessa < on, lineaarisuuden perusteella r r r i. (3. jβ jβ ( ( ( ( me me Kenttäamplitudeille saadaan ehto, joka seuraa siitä, että johdepinnalla sähkökentän tangentiaalikomponentin on oltava äärettömän hyvin johtavalla pinnalla nolla (johdepinta edustaa oikosulkua sähkökentänvoimakkuudelle: n r. (3. ( n on pinnan yksikkönormaalivektori, tässä tapauksessa n k. Koska koko kenttä on tangentiaalinen, saadaan ehdoksi, että y-tasolla on koko kentän oltava nolla, ja koska tässä i m, saadaan kohdassa ( kenttä on yhtälön (3. mukaan ( m, l.. (3.3 m m m m Nyt voidaan kirjoittaa sähkökenttäfunktio kaikkialla:. (3.4 jβ j ( ( e e j sin( β r i i β Tarkastellaan kentän aikariippuvaa lauseketta m j ωt { e } i sin( β sin( ωt m ( r t Re ( r m,, (3.5
3.36 jossa on oletettu m reaaliseksi. Lauseke ei ole etenevää aaltomuotoa cos(ωt - β vaan ns. seisova aalto, jossa paikan suhteen kentän amplitudi on sinimuotoinen käyrä, jonka amplitudi keikkuu ajan funktiona niinikään sinimuotoisesti kuin hyppynaru. Puolen aallon välein β nπ esiintyy solmupisteitä, joissa sähkökenttä on koko ajan nolla. Yksi näistä pisteistä osuu metalliseinän kohdalle, kuva 3.7. x y y x Kuva 3.7 Sähkökentän ja magneettikentän heijastuminen metalliseinämästä, seisovat aallot Koska palaavan aallon sähkökenttä on heijastuskohdassa yhtä suuri ja vastakkaismerkkinen tulevan aallon sähkökenttään nähden, voidaan sanoa, että sähkökentän heijastuskerroin on R. Nyt on matemaattisesti osoitettu sama, mikä esitettiin kvalitatiivisesti kohdassa 3.. Magneettikenttä voidaan laskea soveltamalla Maxwellin yhtälöä kokonaissähkökenttään, tai huomaamalla, että yhtälöiden (3.8-(3. mukaan voidaan magneettikenttäkin kirjoittaa kahden komponentin summana (3.6 m ( r j cos( β η Tästä edelleen aikariippuva magneettikenttä on muotoa ( r, t Re ( r (3.7 jωt m { e } j cos( β cos( ωt η Magneettikenttäkin on seisova aalto sekä ajan että paikan suhteen ja 9 :een vaihesiirrossa sähkökenttään nähden. Paikkariippuvuudesta näkee, että magneettikenttä on maksimissaan juuri johdeseinällä, koska etenevän ja heijastuneen aallon magneettikenttäkomponentit ovat siinä kohdassa samansuuntaiset. Magneettikentän heijastuskerroin on R. eijastuskertoimista puhuttaessa yleensä tarkoitetaan sähkökentän heijastuskerrointa, joten jos tekstissä ei esiinny mitään erityisiä tarkennuksia kertoimelle, on johdeseinän heijastuskerroin R. Lasketaan kokonaisaallon Poyntingin vektori S.
3.37 m S ( r ½( r *( r k j sin( β cos( β. (3.8 η Tämä on puhtaasti imaginaarinen lauseke. Siis etenevä tehotiheys, joka on yhtä suuri kuin Poyntingin vektorin reaaliosa, on nolla, eli tämä seisova aalto ei kuljeta tehoa. Teho, mikä etenevässä aallossa kulkee -suuntaan, palaa kokonaisuudessaan heijastuneessa aallossa. Seinä ei läpäise nettoenergiaa. Tässä tapauksessa heijastuneen aallon polarisaatio on sama kuin tulevan aallon; molemmat ovat lineaarisesti -suuntaan polarisoituneita. Polarisaatio säilyy kohtisuorassa heijastuksessa. Myös ympyräpolarisaatio säilyy heijastuksessa. Pyörimissuunta säilyy samana, mutta koska aallon etenemissuunta kääntyy, vaihtuu ympyräpolarisaation kätisyys. Tämä polarisaation säilymisominaisuus liittyy vain kohtisuoraan tuloon. Vinolla heijastuksella on oltava tarkkana ominaispolarisaatioiden kanssa. 3.4 Kohtisuora heijastuminen eristeestä Tarkastellaan tasoaallon ja eristerajapinnan vuorovaikutusta. risteen permittiivisyys ja permeabiilisuus ovat mielivaltaiset. Aalto etenee kohtisuorasti -akselin suuntaan. Alueen < materiaaliparametrit ovat ε, µ ja alueen > parametrit ε, µ. Alueessa on tuleva aalto (indeksi ja palaava ( aalto. Rajapinnan läpi pääsee tunkeutumaan läpäissyt aalto (, joka etenee -suuntaan kohti äärettömyyttä. Koska alue on homogeeninen, ei siellä enää ole rajapintoja, joista heijastuisi uusia palaavia aaltoja, ja siksi aaltotyyppiä ei tarvitse ottaa laskuihin mukaan. tenevän aallon kenttien eksponentissa on etumerkkinä ja palaavan aallon eksponentissa, kuva 3.8. ε, µ ε, µ x y
3.38 Kuva 3.8 Aallon heijastuminen häviöttömästä eristeestä. Tasoaaltojen parametrit, aaltoluku β,i ω µ iεi ja aaltoimpedanssi η i µ i / εi määräytyvät aineparametreista, jotka ovat erilaiset eri puolilla rajapintaa, i ( < ja i ( >. Kokonaiskentät voidaan kirjoittaa eri alueissa etenemissuuntaisen muuttujan funktioina., (3.9 i. (3. jβ, jβ, ( ime ime jβ, ( e m x-suuntaan lineaarisesti polarisoituneeksi kirjoitetun tulevan aallon amplitudi on siis m. eijastunut amplitudi on m ja läpäissyt amplitudi m. Kun huomataan, että magneettikenttä on polarisoitunut y-suuntaisesti, voidaan esittää magneettikenttäfunktiot m jβ, m jβ, ( j e j e, (3. η η m jβ, ( j e. (3. η,, k muodostavat uomaa miinusmerkki heijastuneen aallon amplitudin edessä. ( ( oikean käden vektorikolmikon, samoin kuin palaavan aallon vektorit ( (,, k. Tulevan aallon kenttäamplitudi tunnetaan, ja tehtävässä on kaksi tuntematonta: heijastuneen ja läpäisseen aallon amplitudit. Ne voidaan ratkaista kahdesta rajapintaehdosta. Nämä ehdot ovat tangentiaalisen sähkökentän ja tangentiaalisen magneettikentän jatkuvuudet rajapinnan yli. Koska sekä sähkö- että magneettikenttä ovat rajapinnan suuntaisia sen molemmilla puolin, on kokonaiskenttien oltava jatkuvat: ( (, (3.3 ( (. (3.4 η η η Näistä saadaan heijastuneen ja läpäisseen aallon voimakkuudet. eijastuskerroin R määritellään η η R η η. (3.5 eijastuskerroin R on määritelty heijastuneen aallon (kompleksisen amplitudin suhteeksi tulevan aallon amplitudiin. Vastaavasti määritellään läpäisykerroin T läpäisseen aallon suhteena tulevaan aaltoon η T. (3.6 η η Koska aaltoimpedanssit voivat olla kompleksisia, heijastus- ja läpäisykertoimet voivat myös olla kompleksisia. Kertoimille pätee selvästi T R.
3.39 Kohtisuora heijastuskerroin kahden materiaalin rajapinnan välillä riippuu vain väliaineiden aaltoimpedanssien suhteesta. Mitä tarkemmin impedanssit ovat samansuuruiset, sitä heikompi heijastus syntyy. Tutkassa näkymätön materiaali olisi sellainen, jonka aaltoimpedanssi on η η µ / ε π Ω. Suhteellisen permittiivisyyden ja permeabiilisuuden avulla esitettynä tämä ehto on µ r ε r. Tyhjöllä tämä toteutuu µ r ε r. Luonnossa tämän ehdon täyttävää materiaalia ei liene. Muista, että johtavan materiaalin permittiivisyys on kompleksinen. Pelkkä dielektrinen materiaali ei täytä kyseistä ehtoa. Tarpeen mukaista materiaalia voisi yrittää saada toteutetuksi komposiittisella materiaalilla, jossa magneettisia komponentteja, esimerkiksi pieniä ferriittipalloja on sekoitettu dielektriseen perusaineeseen, kuten vaikkapa hartsiin. 3.5 eijastus häviöllisestä rajapinnasta dellä oletettiin häviöttömät väliaineet, eli ε ja µ olivat reaalisia. Usein kuitenkin käytännössä joudutaan laskemaan tilanteita, joissa aalto heijastuu häviöllisestä rajapinnasta, eli heijastava aine ei ole puhdas eriste tai ideaalinen johde. Analyysi pysyy samankaltaisena häviöllisenkin väliaineen tapauksessa. Laskettaessa etenevää tehoa häviöllisessä aineessa on oltava huolellinen Poyntingin vektorin reaaliosan kanssa, sillä aaltoimpedanssi ei ole nyt reaalinen. Laskettaessa vaikkapa ilmasta häviölliseen materiaaliin saapuvaa tasoaaltoa, on yksinkertaisinta laskea läpäissyt teho energiatasapainoehdosta: Tuleva teho eijastunut teho Läpäissyt teho. Koska tuleva ja heijastunut aalto ovat samassa häviöttömässä aineessa, on heijastuneen aallon tehotiheys S - suhteessa tulevan aallon tehotiheyteen S S R S. (3.7 Nyt käytetään heijastuskertoimen itseisarvoa, sillä kerroin on nyt kompleksiluku. Rajapinnan läpäisseen aallon teho on R kertaa tulevan aallon teho. SIMRKKI Kehon ja ilman välinen dielektrinen kontrasti on suuri. Jos tasoaalto osuu ihmiseen, ei kaikki tasoaallon teho tunkeudu häneen, vaan osa heijastuu. Arvioidaan tilannetta matkapuhelintaajuudella 9 M. Tällä taajuudella väestölle sallittu tehotiheys on 4.5 W/m, ihmisen poikkipinta-alalla sallitaan siis mikroaaltotehoa pari wattia. Ihmisen kudosten suhteelliseksi permittiivisyydeksi arvioidaan tällä taajuudella noin 33 j, joten tunkeutumissyvyys on 3 senttimetriä. Suurin piirtein kaikki ihmisen sisään pääsevä teho absorboituu, koska ihmisen läpimitta on monta kertaa suurempi kuin tämä tunkeutumissyvyys. Koska ihmisen permeabiliteetti on likimäärin ykkönen ( ηihminen / ε r, saadaan heijastuskerroin yhtälön (3.5 mukaan R ( εr / ( εr. Tämän itseisarvo on noin R.73 eli tehosta heijastuu noin 54 %. Vain alle puolet tunkeutuu ihmiseen. Kuinka hyvä peili tasometallipinta on? Ideaalijohteen heijastuskertoimen huomattiin edellä olevan R, mutta käytännössä metallin johtavuus ei ole äärettömän suuri. Tarkka analyysi sisällyttää aaltoimpedanssiin johtavuustermin. Tällöin johteen suhteellinen kompleksinen permittiivisyys on käytännössä puhtaasti imaginaarinen ja itseisarvoltaan suuri:
3.4 σ ε r j >>. (3.8 ωε Nyt saadaan kohtisuoraksi heijastuskertoimeksi ilmasta metallipintaan tulevalle aallolle delleen j σ ωε R j. (3.9 σ ωε ωε R ωε ( j jσ σ. (3.3 Tehoheijastuksen voi nyt laskea ωε σ R. (3.3 li tehosta osa ωε muuttuu lämmöksi heijastuksessa. simerkiksi kuparipinnalle G:n σ taajuudella tämä on noin.3 promillea. SIMRKKI Yhden gigahertsin taajuinen x-polarisoitunut TM-aalto kulkee ilmassa -suuntaan ja törmää paksuun kuparilevyyn xy-tasossa,. Tulevan aallon kentänvoimakkuuden amplitudi on mv/m. Kuparille µ ε ja σ 58 MS/m. r r 9 ω π rad/s π rad Ilmassa aaltoluku β, ja aaltoimpedanssiη 8 ilma η c 3 m/s 3m gigahertsin taajuudella kupari on hyvä johde, sillä ε ' ε' ilma σ 58MS/m 9 ωε ε π rad/s ' 9 9 r ( / 36π As/Vm Ominaisimpedanssi kuparissa likimäärin >> 377Ω. Yhden η Cu µ ε µ jσ ω µ ω jσ µ ω j σ µ ω σ ( j 8.5( jmω. Tämä on pieni verrattuna tyhjön aaltoimpedanssiin, joten heijastuskerroin on
3.4 η R η Cu Cu η η ilma ilma.85(.85( j 377 j 377 Sähkökentänvoimakkuus siis kaksinkertaistuu heijastuksessa. Yhtälön (3.5 mukaan j ωt { e } i sin( β sin( ωt m ( t Re (,, (, t π 9 mv i 4sin sin π t 3m s m Aikariippuva magneettikenttä on vastaavasti (3.7:n mukaan muotoa ( r, t Re ( r (, t jωt { e } j cos( β cos( ωt η m π 9 µa j63.6 cos cos π t 3m s m, josta kentänvoimakkuudeksi saadaan ωt 3π/ (,t 4 mv/m ωt ωt π ωt π/ (,t -4 mv/m johde 64 µa/m ωt π/ ωt -64 µa/m 3.6 Monikerrosrajapintojen heijastusten käsittely siirtojohtoanalogialla Siirtojohtojen analyysissä saadaan heijastus- ja läpäisykertoimia R ja T vastaavat analogiset kertoimet. Vastaavuus on täsmällinen, kun aallon sähkökenttä korvataan piiriteorian jännitteellä, magneettikenttä virralla ja aaltoimpedanssi siirtojohdon ominaisimpedanssilla. Siirtojohtoteoriassa puhutaan tosin vain skalaaritehtävistä. Tasoaaltoprobleeman mallina voidaan käyttää vektorisiirtojohtoa. Siirtojohtoanalogiaa kannattaa kuitenkin käyttää. Siitä on apua esimerkiksi tasoaallon heijastumisen käsittelyssä monikerrosrajapinnoilla. Näiden laskemisessa korvataan monikerrosrakenne siirtojohtoyhdistelmällä, jossa etenemissuuntaiset dimensiot pysyvät ennallaan, siirtojohdon etenemiskertoimeksi β i asetetaan etenemiskerroin β i kussakin eri alueessa i, ja impedansseiksi eri alueiden aaltoimpedanssit η i. Smithin karttaa voidaan käyttää laskettaessa heijastuneita ja läpäisseitä energioita eri taajuuksilla, kun kerrosten sähköinen paksuus (siirtojohdonpätkien sähköinen pituus muuttuu.
3.4 simerkkinä tarkastellaan materiaalin tasopinnan päällystämistä. Materiaalien aaltoimpedanssit järjestyksessä ovat η,η,η 3. Aalto tulee aineesta, etenee 3-aineeseen ja välikerros on materiaalia. Siirtojohtoteorian mukaan kuormaimpedanssi Z L näkyy l:n paksuisen siirtojohdonpätkän, jonka impedanssi on Z o, läpi impedanssina Z L jz o tan βl Z( l Z o, (3.3 Z o jz L tan β missä β on luonnollisesti etenemiskerroin kyseisessä siirtojohdonpätkässä, kuva 3.9. Analogian avulla voidaan kirjoittaa tasoaallon näkemälle impedanssille päällystyskerroksen pinnassa η3 jη tan β d ηk. (3.33 η jη tan β d 3 d on päällystyskerroksen paksuus ja impedanssi η on päällystyskerroksen impedanssi. η η, β η 3 Z o, β Z L η k d pinnoite Z(l l Kuva 3.5 Siirtojohtoanalogian soveltaminen heijastumiseen monikerrosrajapinnasta. eijastuskerroin kerrostetusta rakenteesta η η k R k (3.34 ηk η ja on selvästi erisuuri kuin heijastus kerrostamattomasta pinnasta η η 3 R k. (3.35 η3 η
θ 3.43 Nämä kaksi yksinkertaistuvat samaksi lausekkeeksi, kun kerros häviää, eli d. 3.7 Tasoaallon vino heijastus rajapinnasta Olemme tarkastelleet tapauksia, joissa heijastus tapahtuu kohtisuorasti. Rajapintaehdot ovat selkeät, koska ehdot sitovat yhteen suoraan kenttien koko amplitudit eivätkä vain tiettyjä komponentteja. Kun aalto kohtaa vinon rajapinnan, jonka normaali ei ole yhdensuuntainen aaltovektorin kanssa, tämä ei päde. Vinossa heijastuksessa heijastuskertoimet poikkeavat kohtisuoran heijastuksen tapauksesta. Tarkastelu jätetään tässä lyhyeksi. Kohtisuorassa tapauksessa edellä aalto eteni -akselin suuntaisesti, eli tasoaallon aaltovektori oli - suuntainen, ja heijastuneen aallon tapauksessa -suuntainen. Yleisen tulosuunnan tapauksessa on tapana esittää tasoaallon paikkariippuvuus vektorimuodossa aaltovektorin κ avulla. Aaltovektori määritellään aaltoluvun β ja aallon etenemissuunnan mukaisen yksikkövektorin u avulla κ ω εµ u. (3.36 jκ r sim. aalto Ε ( r Ε ο e kuljettaa energiaa vektorin κ suuntaan. Aaltovektorin avulla saadaan κ Ε myös magneettikentänvoimakkuus nopeasti esiin ( ( r Η r., ja κ muodostavat oikean ωµ käden ortogonaalisen kolmikon. Aallon käyttäytymisen paikkariippuvuus ilmaistaan siis muodossa jκ r jk x jk y x y jk e e e e. (3.37 Karteesisessa koordinaatistossa aallon etenemisen määrittävä aaltovektori on κ ik x jk y kk ja paikkavektori r ix jy k. κ θ θ ' n y ε, µ x ε, µ Kuva 3. Vino heijastus rajapinnasta. Tulevan aallon aaltovektori κ ja heijastavan pinnan normaali n määrittävät tulotason tässä x-tasoksi
3.44 Määritellään tulotason käsite, kuva 3.. Tulotaso on rajapinnan normaalin ja tulevan aallon aaltovektorin määrittämä taso. Tulokulma on tulevan aallon aaltovektorin ja pinnan normaalin välinen kulma. Sijoitetaan koordinaatisto jälleen siten, että kahden väliaineen rajapinta on y-taso, kohdassa. Tuleva aalto saapuu vinosti alueesta < ja tätä aluetta merkitään indeksillä, ja rajapinnan toisella puolen olevaa aluetta merkitään indeksillä. Tulotasona on siis x-taso, ja tulevan aallon aaltovektori on muotoa ( k θ i β. (3.38 κ sin Aaltovektorin amplitudi määräytyy siis materiaaliparametrien perusteella (yhtälö 3.36. Vastaavasti heijastuneelle aallolle ( θ ' k sin ' i κ β cos θ. (3.39 Läpäisseen aallon aaltovektorin itseisarvo määräytyy materiaalista ja aaltovektori on ( θ κ β k sin i. (3.4 Nyt saadaan tulevan heijastuvan ja läpäisevän aallon sähkökenttien täydelliset vektorifunktiot tuleva aalto: ( heijastunut aalto: ( läpäissyt aalto: ( r r me jκ. (3.4 r r me jκ. (3.4 r r me jκ. (3.43 avaitaan, että argumenttina ei esiinny enää pelkästään, koska vaihe riippuu nyt sekä :sta että x:stä. eijastuksessa on tarkasteltava kokonaiskenttiä: -materiaalissa tulevan ja heijastuneen aallon summaa ja -materiaalissa läpäissyttä kenttää. Kokonaiskenttien tangentiaalikomponentin jatkuvuus vaatii tasolla, että ( ( ( ( k r r k r, kun. (3.44 Rajapinnan voi määrittää haluttaessa paikkavektorin avulla r k, jolloin kentissä esiintyvät eksponenttifunktiot yksinkertaistuvat ja jäljelle jää vain x-riippuvuus. hto saadaan muotoon k e k e k jβxsinθ jβxsinθ' jβxsinθ m m m e. (3.45 ksponenttifunktioita kertovat vektorit ovat vakioita. Tämän yhtälön voimassaolo kaikilla x:n arvoilla edellyttää, että kaikkien eksponenttien on oltava saman funktion monikertoja. Niiden täytyy aaltoilla poikittaistasossa samassa tahdissa. Muuten rajapintaehtoja ei voi kiinnittää kaikissa tason pisteissä. Jos kaikki eksponenttifunktiot ovat samoja funktioita, saadaan
3.45 Nyt voidaan todeta, että β θ β θ β θ. (3.46 sin sin ' sin θ θ '. (3.47 Toinen ehto saadaan suhteellisten taitekertoimien n i µε i i / µ i ε i avulla muotoon n θ θ. (3.48 sin n sin Tämä tunnetaan nimellä Snellin laki, jonka mukaan aalto taittuu siis tiheämpään aineeseen päin. eijastuskerroin riippuu aallon polarisaatiosta. Kohtisuorassa polarisaatiossa sähkökenttävektori on kohtisuorassa tulotasoa vastaan. Tulotaso on rajapinnan normaalin ja tulevan aallon aaltovektorin määräämä taso, tässä siis x-taso. Kaikkien sähkökenttävektorien yksikkövektorina on siis j. Koska magneettikenttä on kohtisuorassa sähkökentänvoimakkuutta vastaan on sillä sekä x- että - komponentit. Tällä perusteella voidaan johtaa kohtisuoran polarisaation (KP heijastus- ja läpäisykertoimet. Kirjallisuudesta löytyy heijastuskerroin kohtisuoralle polarisaatiolle η ( r R KP. (3.49 ( r η η Läpäisykerroin on vastaavasti η ( r T KP. (3.5 ( r η η η Kuva 3. esittää vektoreiden käyttäytymistä heijastuksessa kohtisuoran polarisaation tapauksessa
θ 3.46 θ θ ' y ε, µ x ε, µ Kuva 3. Kohtisuoran polarisaation käyttäytyminen heijastuksessa. Yhdensuuntaispolarisaatiossa sähkökenttävektori on yhdensuuntainen tulotason kanssa. Jos tuleva kenttä on yhdensuuntaispolarisoitunut, ovat sitä myös heijastunut ja läpäissyt kenttä. Yhdensuuntaipolarisaatiolle (YP voidaan esittää heijastus- ja läpäisykertoimet YP ( r η η ( r η η R. (3.5 Läpäisykerroin on vastaavasti YP ( r η ( r η η T (3.5 Kuten kohtisuoralla polarisaatiolla, nämäkin lausekkeet yhtyvät edellisessä johdettuihin kohtisuoran tulon tapauksiin, kun θ. kuva 3. esittää yhdensuuntaispolarisaation tapausta vinossa heijastuksessa.
θ 3.47 θ θ ' y ε, µ x ε, µ Kuva 3. yhdensuuntaispolarisaatio heijastuksessa dellä ei tullut todistetuksi sitä, että kohtisuora- ja yhdensuuntaispolarisoituneet kentät säilyttävät polarisaationsa rajapintaheijastuksessa isotrooppisesta dielektrisestä ja magneettisesta materiaalista, vaan se oletettiin molemmissa tapauksissa erikseen. Asia kuitenkin on näin. KP ja YP ovat ns. ominaispolarisaatioita. YP ja KP ovat ainoat polarisaatiot, jotka säilyvät heijastuksessa, kun tasoaalto heijastuu isotrooppisen väliaineen rajapinnasta. Voi löytyä erikoistapauksia, jolloin heijastunut aalto on myös ympyräpolarisoitunut, kuten on esimerkiksi kohtisuoran tulokulman tapauksessa (tilanne θ l, mutta yleinen tulokulma johtaa elliptiseen heijastukseen. Jos tutkii, kuinka suuri on ympyräpolarisoidun aallon heijastuskerroin annetusta tasorajapinnasta, havaitsee, ettei siihen voi vastata. Tämä johtuu siitä, että heijastunut aalto on elliptisesti polarisoitunut. Silloin ei heijastuneen aallon sähkökenttävektori ole tulevan sähkökenttävektorin kompleksinen monikerta. Jos haluaa laskea yleisen polarisaation heijastuksen, täytyy tuleva aalto hajoittaa kahdeksi lineaarisesti polarisoiduksi komponentiksi. Näille saadaan erikseen heijastus- ja läpäisykertoimet. Tällöin voidaan laskea heijastuneen ja läpäisseen kentän KP- ja YP-komponentit. Laskemalla nämä vektorit yhteen tiedetään polarisaatiota ja amplitudia myöten heijastunut ja läpäissyt aalto. Kirjallisuudessa peruspolarisaatiot kulkevat myös muilla nimillä. KP/YP-jaon lisäksi on yleisessä käytössä ainakin kolme muuta nimitystä näille ominaispolarisaatioille:. horisontaali- ja vertikaalipolarisaatiot,. S- ja P-polarisaatiot, 3. T- ja TM-polarisaatiot Radioaaltoteksteissä kohtisuoraa polarisaatiota kutsuttaa usein horisontaalipolarisaatioksi. Tämä johtuu siitä, että rajapinta aaltojen etenemisprobleemoissa on maanpinta, jolloin tulotasoa vastaan kohtisuora suunta on poikittainen eli horisontaalinen. Vastaavasti YP:tä kutsutaan vertikaalipolarisaatioksi. Tämä ei ole yhtä luonnollista, sillä YP:n sähkökenttä on vinossa -akseliin (vertikaalisuuntaan nähden. Kuitenkin usein radioaaltojen etenemistilanteissa on aallon tulosuunta hyvin loiva maanpintaan nähden (θ ~ 9, jolloin käytännössä yhdensuuntaispolarisaatio on myös vertikaalinen.
3.48 Optiikassa ja fysiikassa käytetään ominaispolarisaatioille lyhenteitä S-polarisaatio (kohtisuora polarisaatio ja P-polarisaatio (yhdensuuntaispolarisaatio. Nämä voi muistaa saksan kielen sanoista S - "senkrecht" ja P - "parallel." Kolmanneksi saattaa teoreettisen sähkömagnetiikan kirjoissa törmätä lyhenteisiin T-polarisaatio (KP ja TM-polarisaatio (YP. Nämä juontavat juurensa merkityksiin "transversal electric" ja "transversal magnetic," joissa viitataan siihen, onko sähkö- vai magneettikenttä poikittainen ("transversaalinen" tulotasoon ja rajapinnan normaaliin nähden. Polarisaatioiden heijastuskertoimet voi muistaa, jos ne ajattelee yleistyksenä kohtisuorasta tapauksesta. Kohtisuorassa heijastuksessahan heijastuskerroin oli osamäärä, jossa osoittajassa oli impedanssien erotus ja nimittäjässä niiden summa (erotus ja summa ovat tietysti näin päin, koska heijastuskertoimen itseisarvon täytyy olla energian säilymissyistä ykköstä pienempi. Vinolle tulokulmalla tämä myös pätee, eli voidaan kirjoittaa η η t t R, (3.53 ηt ηt kunhan impedanssit tulkitaan "kohtisuorina impedansseina" molemmille aineille i, : θ i ηti (KP, i (3.54 η θ (YP. (3.55 ti i i Käyttämällä kohtisuoria impedansseja ja vastaavasti kohtisuoria etenemiskertoimia β i ω εiµ i i voidaan aikaisemmin esitettyä siirtojohtoanalogiaa soveltaa myös monikerrosrakenteisiin sellaisten probleemien tapauksissa, joissa aalto saapuu rakenteeseen vinossa tulokulmassa. 3.8 eijastus eristerajapinnasta Lausekkeet (3.5 ja (3.5 antavat tasoaallon heijastuskertoimen mielivaltaisella tulokulmalla kahden materiaalin rajapinnasta, joiden permittiivisyydet ja permeabiilisuudet tunnetaan. Snellin laista on vain ensin laskettava taittumiskulma θ, jota tarvitaan heijastuskerroinlausekkeissa. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisempaa tilannetta. Oletetaan, että aineet eivät eroa magneettisesti toisistaan, eli on voimassa µ µ. Tämä on hyvin yleinen tilanne käytännössä, esimerkiksi optisissa valon heijastusprobleemeissa. Tällaisen dielektrisen rajapinnan tapauksessa probleeman ratkaisu riippuu vain yhdestä materiaaliparametrista, permittiivisyyksien suhteesta ε /ε. Koska materiaalin taitekerroin on tässä epämagneettisessa tapauksessa vain permittiivisyyden funktio n i ε i / ε,voidaan lausekkeet esittää myös taitekerroinsuhteen n n n ε / ε (3.56
3.49 avulla. Tarkastellaan seuraavassa tilannetta, jossa aalto heijastuu optisesti tiheämmästä aineesta (n >, mikä on jokapäiväinen tilanne, kun katsomme silmillämme ympäristön kohteita. Snellin lain mukaan taittumiskulma saadaan tällöin yksinkertaisesti sinθ θ arcsin. (3.57 n eijastuskerroinlausekkeet (3.49 ja (3.5 voidaan myös kirjoittaa mielivaltaisella taitekerroinsuhteella R R KP YP n n. (3.58 n n. (3.59 tulokulman θ funktiona. Kirjallisuudessa heijastuskertoimet saattaa nähdä esitetyn erilaisissa muodoissa. räs muoto heijastuskertoimille on ( θ θ ( θ θ sin R KP. (3.6 sin ( θ θ ( θ θ tan R YP. (3.6 tan Ne voi johtaa Snellin lakia hyväksi käyttämällä. Tutkittaessa lausekkeita (3.58-(3.59 huomataan, että kohtisuoralla tulokulmalla θ molemmat antavat (kuten pitääkin saman tuloksen n R n. (3.6 joka on negatiivinen luku > R > -. Kun taas tulokulma kasvaa kohti "pintaa viistävää" tuloa (θ 9, lähestyy KP-heijastuskerroin arvoa - ja YP-kerroin arvoa. Koska yhdensuuntaispolarisaation heijastuskerroin vaihtaa merkkinsä näiden reunatapausten välillä ja R YP on jatkuva funktio, on olemassa tulokulma, jolla YP-heijastus katoaa kokonaan. Tämä on Brewsterin kulma, kuva 3.3
3.5 θ Br y R x R YP θ ε, µ θ Br 9 θ o - Kuva 3.3 Brewsterin kulma ja yhdensuuntaispolarisaation heijastuskertoimen käyttäytyminen. Brewsterin kulman voi laskea helposti: Yhdistämällä ehdot R YP ja Snellin lain n (3.63 sinθ nsinθ (3.64 ja kertomalla ne keskenään puolittain saadaan sin θ θ, (3.65 sin josta nähdään ehto Brewsterin kulmalle o θ 9 θ. (3.66 Tämä ehto on yhdenpitävä lausekkeen (3.6 kanssa, jonka nimittäjä kasvaa kohti ääretöntä, kun ehto on voimassa. Tällöin heijastuskertoimen lausekkeen arvo menee nollaksi. delleen nähdään, että koska sin θ cos θ (yhtälö (3.66, joka taas on yhtäsuuri kuin n cos θ (yhtälö (3.63, voi Brewsterin kulmaehdon edelleen kirjoittaa muotoon tanθ Br n, (3.67 koska määritelmän mukaan tangentti on sinin ja kosinin osamäärä. Tämä ehto siis kertoo sen tulokulman θ Br, jolla saapuva YP-tasoaalto läpäisee sataprosenttisesti dielektrisen pinnan, jos sen taitekerroin on n. (Taitekerroin on, kuten muistetaan, tässä määritelty suhteessa siihen aineeseen, josta aalto tulee. Jos rajapintaan saapuva aalto on ympyräpolarisoitunutta, riippuu heijastuvan aallon kätisyys tulokulmasta. Kohtisuoralla tulolla on selvää, että tulevan ja heijastuneen aallon pyörimissuunta säilyy, mutta etenemissuunta vaihtuu, joten heijastuneen aallon kätisyys on vaihtunut tulevaan aaltoon nähden. Mutta jos tulokulma on suurempi kuin Brewsterin kulma, ovat eri
3.5 ominaispolarisaatioiden heijastuskertoimet erimerkkiset, joten tässä tapauksessa pyörimissuuntakin vaihtuu, joten heijastuneen aallon kätisyys on taas sama kuin tulevalla aallolla. Tässä tarkasteltiin dielektristä rajapintaa. Jos tilanne on yleisempi eli materiaaleilla on magneettista kontrastia, voidaan Brewsterin kulma havaita myös kohtisuoralla polarisaatiolla. Ihmissilmällä havaitsee hyvin sähkömagneettisen tasoaallon heijastumis- ja taittumisilmiöitä. Silmä tosin "mittaa" aallon tehoa eikä kenttää, ja summaa yhteen molemmat polarisaatiot niitä erottelematta. Jos polarisaation ilmentymiä luonnonvalossa haluaa tutkia, kannattaa hankkia polarisoiva levy. Se on suodatin, joka päästää lävitseen vain lineaarisen polarisaation. Levyä kiertämällä saa näkyviin erisuuntaiset polarisaatiot. Jos kiertäminen ei vaikuta läpäisseen valon kirkkauteen, on valo polarisoimatonta (tai ympyräpolarisoitunutta. Jos valo himmenee ja kirkastuu, kun levyä kiertää, on levyyn tuleva valo ainakin osittain lineaarisesti polarisoitunutta. Vaikka luonnonvalo on polarisoimatonta, saattaa se monessa heijastus- ja sirontailmiössä osittain polarisoitua. Katsoessasi polarisoivan levyn läpi nestekidenäyttöä. Kiertäminen pimentää sen kokonaan, eli nestekidenäytön sirottama valo on täysin lineaarisesti polarisoitunutta. ri polarisaatiot heijastuvat rajapinnasta erilaisilla voimakkuuksilla. Polarisoimattoman luonnonvalon heijastuksen jälkeinen valo on polarisoitua. Voimakkaimmin valo on polarisoitunut Brewsterin kulmaheijastuksen jälkeen. Koska Brewsterin kulmassa tulevasta valonsäteestä heijastuu vain kohtisuora komponentti (kaikki YP-valo menee rajapinnan läpi, on heijastunut valo täysin lineaarisesti (KP polarisoitunut. Siksi Brewsterin kulmaa nimitetäänkin joskus polarisoivaksi kulmaksi. Katseltaessa järvenpintaa voi paljain silmin havaita jotain tästä heijastuskerroinfunktioiden vaihtelusta. Kauaksi horisonttiin katsottaessa (tulokulma heijastustilanteessa on noin θ 9 järvenpinta on tyynellä kuin kirkas peili. Kun katsoja siirtää katsetta lähemmäksi, alkaa pinta tummentua. Tämä johtuu siitä, että koska heijastuskertoimet pienenevät, ei taivaan kuva enää näy niin kirkkaana vedenpinnassa. Lähelle katsoessa, kun tulokulma pienenee entisestään, näkee yhä paremmin veden sisään. Jos vielä ottaa polarisoivan levyn avuksi, voi sillä jäljelle jäävän KP-heijastuksen eliminoida. Tällöin voi huomata heijastuksen katoavan kokonaan Brewsterin kulmassa, kun levyn kiertää sellaiseen asentoon, että sen vaimennusakseli on vaakasuorassa. Koska vedelle optisella alueella voi olettaa n.33, saadaan Brewsterin kulmaksi noin 53. Brewsterin kulmassa heijastunut valo on siis täydellisen polarisoitunutta. lähteet: Martti Nissinen, Tangible evidence: Revealing the physical nature of Maxwell's waves. lectronics worldwireless World August 99. Carl Johnk, ngineering electromagnetic fields and waves, John Wiley & Sons, USA, 655 s. Sihvola-Lindell, Sähkömagneettinen kenttäteoria. dynaamiset kentät. OTATITO Oy. Fawwa T. Ulaby, Applied lectromagnetism, Prentice all