30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten välisen etäisyyden r neliöön: F = C q q 2 r 2 () Vakio C on gravitaatiovakion kanssa analoginen verrannollisuuskerroin Kertoimen arvon määräämiseksi varauksen q yksikkö on tiedettävä ennalta Yksi mahdollisuus olisi asettaa C= ja sopia varauksen yksikkö sellaiseksi, että Coulombin laki antaisi voiman yksiköksi Newtonin Tällöin puhutaan sähköstaattisesta yksikköjärjestelmästä tai Gaussisesta yksikköjärjestelmästä Yleisimmin käytetyssä SI-yksikköjärjestelmässä varaus ilmoitetaan coulombeina Coulombin suuruus määritellään sen virran avulla, joka aiheuttaa kahden yhdensuuntaisen, toisistaan metrin päässä olevan johtimen välille pituusyksikköä kohti voiman, jonka suuruus on 2 0-7 N/m Kun tämä virta tunnetaan, coulombin suuruus saadaan ampeerin määritelmän avulla Tästä seuraa, että vakion C arvoksi kaavassa () tulee asettaa 8,9874 0 9 Nm 2 C -2 Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 4πε 0 (2) Tässä esiintyvää vakiota ε 0 kutsutaan tyhjiön permittiivisyydeksi tai sähkövakioksi SI-järjestelmässä ε 0 :n arvo on määritettävä kokeellisesti Määritys voi tapahtua joko sähköstatiikan keinoin (kuten esim edellä), tai valon nopeuden avulla (ks työ 20) Mikäli pistevarausten välillä on eristävää väliainetta, väliaineen polarisoituminen varjostaa varausten välillä vallitsevaa sähkökenttää Useimmissa väliaineissa polarisaation aiheuttama sähkökenttä on yhdensuuntainen pistevarausten aiheuttaman sähkökentän kanssa, ja lisäksi polarisaatiokentän suuruus on suoraan verrannollinen ulkoiseen sähkökenttään Tällöin väliaineelle voidaan määritellä tyhjiön permittiivisyyden avulla laaduton suhteellinen permittiivisyys ε r : ε r = ε ε 0, (3) missä materiaalivakio ε (väliaineen permittiivisyys) on kullekin aineelle tunnusomainen Coulombin laki soveltuu käytettäväksi väliaineessa olevien varausten välisen voiman laskemiseen, jos tyhjiön permittiivisyys ε 0 korvataan väliaineen permittiivisyydellä ε
302 Tasokondensaattorin kapasitanssi Tarkastellaan tasokondensaattoria, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta metallilevystä Siirretään varausta levystä toiseen, jolloin levyissä on varaukset +Q ja -Q ja levyjen välillä on tästä johtuen potentiaaliero ΔV Kondensaattorin kapasitanssi C määritellään kaavalla Q ΔV (4) Levyjen välissä on tasainen sähkökenttä, jonka suuruus on E = ΔV d, (5) missä d on levyjen välinen etäisyys Jos levyjen pintavaraustiheys on σ, on levyjen välillä Gaussin lain mukaan sähkökenttä E=σ/ε 0 Yhtälö (5) antaa nyt ΔV = Ed = σd ε 0 (6) Jos metallilevyjen pinta-ala on A, on levyssä oleva kokonaisvaraus Q=σΑ Kondensaattorin kapasitanssiksi saadaan nyt Q ΔV = σa σd/ε 0 = ε 0 A d (7) Kaavan (7) antama kapasitanssi ei ole aivan tarkka, sillä kaavassa (5) on oletettu levyjen välille tasainen sähkökenttä Tämä arvio ei päde levyjen reunoilla, joilla sähkökentän vuoviivat kaareutuvat Ympyränmuotoisten levyjen tapauksessa kapasitanssin tarkka lauseke on πaε 0 arctan d a ( ), (8) missä a on ympyränmuotoisen levyn säde 303 Sähkövakion mittaaminen tasokondensaattorilla Laboratoriossa sähkövakion mittaamiseen käytetään kuvan mukaista kytkentää Signaaligeneraattori G värähtelee taajuudella f ja sen napajännite on U 2 Tämä jännite on kytketty vastuksen R kautta kondensaattorin C napojen välille
Kuva : Sähkövakion mittaamisessa käytetty koejärjestely Kondensaattorin yli vaikuttava sinimuotoinen jännite U U 0 sin(2πft) saa aikaan vaihtovirran i C du C dt = 2πfCU 0 cos( 2πft) (9) Käyttämällä tehollisarvoja kaava (9) muuttuu muotoon I 2πfCU C (0) Kondensaattorin yli oleva jännite U C voitaisiin periaatteessa mitata kytkemällä jännitemittari kondensaattorin napoihin Käytännössä jännitemittarilla on kuitenkin oma kapasitanssinsa, joka samalla kytkettäisiin rinnan tutkittavan kapasitanssin kanssa, jolloin mittaustulos olisi kahden rinnakkain kytketyn kondensaattorin yli oleva jännite Tämän vuoksi sekä virta I C että jännite U C mitataan epäsuorasti Vastuksen R päiden välinen jännite U mitataan kytkemällä jännitemittari vastuksen päiden välille Jos jännitemittarin sisäinen vastus on suuri vastukseen R verrattuna, virta I C on I U R () Generaattorin antama ulostulojännite U 2 mitataan kytkemällä jännitemittari generaattorin napojen välille Koska U C :n ja U :n välillä on π/2:n suuruinen vaihe-ero (kaavat (9)-()), saadaan kondensaattorin jännite laskettua kaavasta U U 2 2 U 2 (2) Kapasitanssi voidaan nyt laskea kaavoista (0)-(2): 2πfR U U 2 2 U 2 (3) Vaikka kondensaattorin yli vaikuttavan jännitteen mittaus onkin suoritettu epäsuorasti, vielä kaavalla (3) laskettu kapasitanssikaan ei ole kondensaattorin kapasitanssi, vaan siihen sisältyy mittajohtojen aiheuttama hajakapasitanssi, joka vaikuttaa kondensaattorin rinnalla Mittajohdoista aiheutuvan hajakapasitanssin erottamiseksi mitataan kapasitanssi levyjen
välisen ilmaraon funktiona Tällöin kondensaattorin kapasitanssi muuttuu hajakapasitanssin pysyessä vakiona Kaavaa (7) käyttäen saadaan siis C haja + Aε 0 d (4) Piirtämällä kaavasta (3) laskettu kapasitanssi ilmavälin käänteisarvon funktiona saadaan suora, jonka kulmakertoimesta saadaan sähkövakio ε 0 ja suoran ja y-akselin leikkauspisteestä hajakapasitanssi C haja Levyjen välissä olevan ilman permittiivisyys on vain 0,5 tyhjiön permittiivisyyttä suurempi, joten mittausta voidaan varsin tarkasti pitää tyhjiön permittiivisyyden mittauksena Hajavuon aiheuttamaa korjausta kaavan (3) antamaan kapasitanssiin voidaan arvioida kaavan (8) avulla 304 Suhteellisen permittiivisyyden mittaaminen Tasokondensaattorin avulla voidaan mitata myös suhteellisia permittiivisyyksiä asettamalla mitattava aine kondensaattorilevyjen väliin Käytännössä kyseeseen tulevat vain kiinteät aineet, joista voidaan valmistaa suuria tasapaksuja levyjä Näytelevyn tulee olla kondensaattorilevyjä suurempi Olkoon tutkittavan levyn paksuus d ja sen permittiivisyys ε=ε 0 ε r Tasokondensaattorin levyjen välimatka olkoon d 0, jolloin kapasitanssi on C 0 = ε 0A d 0 (5) Kun tutkittava levy asetetaan kondensaattorilevyjen väliin niiden kanssa yhdensuuntaisesti (d<d 0 ), sama sähkövuo kulkee sekä tutkittavan levyn että ilmarakojen kautta Kondensaattorin kapasitanssi on nyt A d 0 d + d ε 0 ε = ε 0 A d 0 d + d ε r (6) Mittaamalla kapasitanssit C 0 ja C edellisessä kappaleessa esitetyllä tavalla voidaan suhteellinen permittiivisyys laskea kaavoista (5) ja (6): ε r = d d 0 C 0 C + d d 0 (7) Koska ε r on ykkösen suuruusluokkaa oleva luku, tämä mittausmenetelmä ei ole kovin tarkka, ellei d 0 -d<<d, ts d d 0, jolloin tutkittava levy puristetaan kondensaattorilevyjen väliin Suhteellinen permittiivisyys on tällöin
ε r = C C 0 (8) Huomioimalla mittajohtojen hajakapasitanssi saadaan suhteelliseksi permittiivisyydeksi ε r = C C haja C 0 C haja (9)