Lisämateriaalia: tilayhtälön ratkaisu, linearisinti Matriisimuuttujan ekspnenttifunkti: Kun A n neliömatriisi, niin määritellään 1 1 1 e I ta t A t A t A 2 6 i! At 2 2 3 3 i i jnka vidaan tdistaa knvergivan aina. (Tuttu skalaarimuuttujan ekspnenttifunkti määritellään aivan samalla kaavalla.) i 1
Varitus: At e :n lauseke ei le sama kuin se, että alkiittain laskettaisiin e ja sitten mudstet- at ij taisiin näistä matriisi. Mutta miten se lasketaan? Tdetaan ensin suraan määritelmästä 1 1 1 e I ta t A t A t A 2 6 i! At 2 2 3 3 i i että pätee de dt At Ae At i 2
Tätä käyttämällä nähdään suraan, että hmgeenisen differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu n x () t Ax(), t x() x () At At xt e x() e x (tarkista alkuarvn pitävyys ja diff. yhtälön tteutuminen) Tässä yhteydessä termiä At e kutsutaan tilansiirtmatriisiksi Mutta vidaanhan näitä ratkaista laplace-muunnksenkin avulla. Kkeillaan 3
x () t Ax(), t x() x sx() s x AX() s (Nyt ratkaistaan differentiaaliyhtälöä, jten alkuarva ei merkitä nllaksi.) Saadaan ( si A) X ( s) x 1 1 ( si A) ( si A) X ( s) ( si A) x 1 X() s ( si A) x At Mutta juuri äsken tdettiin, että x() t e x At e L ( si A) 1 1 Siis pätee 4
Tilayhtälön ratkaisu Yleisen tilayhtälön x () t Ax() t Bu(), t x() x yt () Cxt () ratkaisu n t At A( t ) () ( ) xt e x e Bu d t At A( t ) () ( ) yt Ce x Ce Bu d 5
jssa At e n edellä esitelty systeemimatriisin A ekspnenttifunkti. Sitä kutsutaan tässä yhteydessä tilansiirtmatriisiksi (kuvaa tilan muutsta ajassa). Hmgeeniyhtälön tapauksessa (ei hjausta) tuls surastaan tuli sitettua. Yleisen tulksen tarkistamiseksi pitää katsa alkuarvn pitävyys ja derivaatan tteutuminen. Kkeile. Humaa että derivitaessa integraalilauseketta ajan suhteen aikamuuttuja t sijaitsee paitsi integraalin ylärajana niin myös integraalin sisällä (derivinti siis hankalahk, kts. perusmatikista). 6
Linearisinti u S y Järjestelmä S n lineaarinen, js seuraavat kaksi ehta n vimassa: 1. Js u1 aiheuttaa vasteen y1 ja u2 aiheuttaa vasteen y2, sillin u1 +u2 aiheuttaa vasteen y1 + y2. 2. Js u aiheuttaa vasteen y, niin ku aiheuttaa vasteen ky,(k vaki) 7
Vrt. Laplace-muunns L( f1 f2) L( f1) L( f2) Lkf ( ) kl( f) (L n lineaarinen peraattri) Esim. Js systeemiä kuvaa aikatasssa diff. yhtälö 2 yt () ytut () () ut () n tämä epälineaarinen esitys ptenssiin krtuksen ja funktiiden kertmisen takia. Ei vida laplace-muuntaa, ei vida käsitellä lineaariterian keinin. Ei vida käyttää siirtfunktita ym. ym. 8
Ratkaisu: linearisinti timintapisteen ympäristössä y y=kx y=f(x) yx ( x) f( xx) 1 2 1 2 f ( x ) f( x ) 1 2 x x f ei le lineaarinen funkti Mutta js llaan lähellä pistettä x, vidaan asettaa tangentti, jka apprksimi hyvin funktita f. Tangentin kulmakerrin n df k f '( x ) x x dx 9
jssa käytetty merkintä tarkittaa, että lasketaan ensin derivaatta ja sijitetaan sitten timintapisteen x = x arv. Mutta sura n lineaarinen funkti. Kyseessä n siis linearisinti timintapisteen ympäristössä, jllin saavutetaan lineaarinen esitys ja vidaan käyttää tuttuja menetelmiä. Apprksimitu funktin muuts x :n ympäristössä f f '( x ) x On humattava, että apprksimaati n hyvä vain pienille muutksille timintapisteen ympäristössä. 1
Yleistetään usean muuttujan epälineaariselle funktille y f x1 x2 x n (,,, ) Apprksimidaan muutsta f f f y x x x x x x 1 2 n 1 2 n timintapisteen x x x x,,, n ympäristössä. 1 2 (Lasketaan siis sittaisderivaatat ja sijitetaan niihin timintapisteen arvt; näin saadaan lukuja (vakiita), jtka sitten kertvat muuttujia x i 11
Merkitään f x k, f k 1 2 1 x2 jne., jllin saadaan y f( x, x,, x ) 1 2 y k x k x k x n 1 1 2 2 n n y tarkittaa muutsta timintapisteeseen nähden y y y y f( x, x, x ) 1 2 n 12
Esim. Lasketaan linearisitu tilaesitys systeemille x () t x () t x ()cs t x () t 2 1 2 1 2 x () t x () t x () t 1 x () t x ()sin t x () t 2 2 1 1 1 2 yt () x() t 2 1 Humaa, että kyseessä n epälineaarinen tilaesitys, yleisesti muta x () t g( x(), t u(),) t t yt () f( xt (), ut (),) t jta ei vida esittää aikaisemmin esillä lleessa mudssa xt () Axt () But () (lineaarinen tilaesitys) yt () Cxt () 13
Mutta linearisimalla kyllä päästään tähän. Lasketaan ensin tasapainpiste eli määrätään sellaiset x1, x2 että tässä pisteessä pätee x 1() t x 2() t Tällöin järjestelmä n ja pysyy tässä pisteessä (timintapisteessä). Helpsti nähdään että esimerkin hmgeenisen (ei hjausta) systeemin tasapaintila n (,) x () t x () t x ()cs t x () t g ( x()) t 2 1 2 1 2 1 x () t x () t x () t 1 x () t x ()sin t x () t g ( x()) t 2 2 1 1 1 2 2 yt () x() t f( xt ()) 2 1 14
Tasapaintilja vi lla muitakin. Esimerkin yhtälöt vat sen verran hankalia, että mahdllisia muita pisteitä n paha mennä laskemaan. Linearisidaan pisteen (,) ympäristössä g x g x g x g x f x 1 1 1 2 2 1 2 2 cs x cs 1 2 2x xsin x 2 sin 2 1 2 2x 1sin x 21sin 1 1 2 1xcs x 1cs 1 1 2 f 2x 2; 1 1 x2 15
Saadaan linearisitu esitys dx1 dt 1 x1 x1 ; y d x 2 1 1 x 2 x 2 dt x x x, x x x jssa 1 1 1 2 2 2 Usein merkitään tässä vaiheessa x x, x x 1 1 2 2 ja muistetaan jatkssa, että muuttujien arvt merkitsevät pikkeamia tasapainpisteestä; eivät absluuttiarvja 16
Tässä esimerkissä arvt vat kuitenkin samat, kska tasapainpiste sattui lemaan (,) Jka tapauksessa saatiin lineaarinen esitys x Ax, y Cx Js esimerkissä lisi llut hjaus u mukana, lisi tasapainpiste x1, x2, u ja päädyttäisiin tilaesitykseen x AxBu y Cx 17
Esimerkki. Säiliön pinnankrkeuden säätö venttiilin säätö fi LC pinnankrkeuden mittaus h V f A f k h 18
Halutaan laskea siirtfunkti pinnankrkeuden halutusta arvsta (asetusarv) tdelliseen pinnakrkeuteen, kun käytetään takaisinkytkettyä säätöä. Mudstetaan ensin suljettua järjestelmää kuvaava lhkkaaviesitys Säädin has(s) + e(s) fi(s) h(s) PID Prsessi - Halutaan siis kk järjestelmän siirtfunkti has(s) G(s) h(s) 19
Humaa, että mittauksen ja venttiilin hjauksen dynamiikat arviidaan äärettömän npeiksi (siirtfunktit = 1) Ensin n mallitettava itse prsessi. Kirjitetaan säiliön taseyhtälö. Tuleva virtaus lähtevä virtaus = varastituva virtaus (ajassa). dv d( Ah) dh A fi f dt dt dt (Säiliön pikkipinta-alan A letetaan levan vaki). Tiedettiin f k h (k pistventtiilistä riippuva vaki) 2
Saadaan epälineaarinen tilaesitys dh A fi k h dt jssa pinnankrkeus h n tilamuuttuja ja virtaus fi hjausmuuttuja. Olkn systeemi timintapisteessä ( h, f ) dh jssa siis pätee dt f k h i i ja samin pätee riippuvuus Linearisidaan timintapisteen ympäristössä 21
h k A h 1 f dt 2 h i Tämä lineaarinen yhtälö siis pätee likimääräisesti ja hyvin vain timintapisteen lähiympäristössä. Laplacemuunnetaan k AsH() s H() s Fi () s 2 h jsta saadaan haluttu siirtfunkti H () s 1 k ; b F() s Asb 2 h i 1. kertaluvun dynamiikka 22
Säädin has(s) + e(s) fi(s) h(s) PID Gp(s) - Merkitään vielä Gp() s H() s h() s F () s f () s i hs () 1 f () s As b i i Kk järjestelmän siirtfunkti saadaan, kun säätimelle n annettu (suunniteltu, viritetty) siirtfunkti ja sitten vain laskemalla aikaisemmin esitetyillä tavilla. 23