HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin z (x = + (x ja hälö saa modon z (x = z(x z (x = z(x + joka on separoiva hälö jolla ei ole reaalisia riviaalirakaisja. Rakaisaan: z (x = z(x + z (x z(x + = arcan z = x + C (C R z (x z(x + dx = dx dz z + = dx ja edelleen sijoiamalla mnnos akaisin: z = an(x + C x + + = an(x + C (x = an(x + C x (C R ja rakais on määriel kn x ( π C π C.. Rakaise Bernollin hälö = 4 e 3x Rakais: Seraaan lenomisiinpanoissa esieä rakaisapaa. Tehävän hälö saadaan mooon = e 3x 4 joka on Bernollin hälö paramerilla λ = 4. Koska λ > 0 on hälöllä riviaalirakais (x 0. Rakais joissa (x 0 saadaan sijoiksella z(x = (x 3 sillä hdisen fnkion derivaaasäännöllä z (x = 3(x 4 (x (x 4 (x = z (x/3 jolloin = e 3x 4 4 3 = e 3x z 3 z = e 3x z + 6z = 3e 3x joka on lineaarinen differeniaalihälö z(x sheen. Tämän eräs inegroiva ekijä on nnesi µ(x = e p(xdx = e 6dx = e 6x joen rakaisaan lineaarinen hälö ja sijoieaan mnnos akaisin: z + 6z = 3e 3x d dx (z e6x = 3e 3x z e 6x = 3e 3x + C (C R z(x = e 6x (e 3x + C z= 3 (x 3 = e 6x (e 3x + C (x 3 = e6x e 3x + C e x (x = 3 e 3x + C (C R ja rakais on määriel kn x > 3 log( C.
3. Rakaise differeniaalihälö x(x ( + x( = 0 Rakais: Todeakoon eä ehävän differeniaalihälö voidaan rakaisa krssin iedoilla ainakin kolmella eri avalla: Bernollin hälönä mnamalla eksakiksi hälöksi ai asa-aseisena hälönä. Rakaisaan hälö ensin asa-aseisena: jos 0 ja x( 0 niin x(x ( + x( = 0 x ( = x( + x( johon ehdään asa-aseisen hälön sijois z( = x( eli x( = z( ja lon derivaaasäännöllä x ( = z ( + z( jolloin hälö saadaan mooon x ( = x( + x( z ( + z( = z( + z z ( = z( joka on separoiva hälö. Triviaalirakaisja ei ole joen rakaisaan separoiva hälö ja sijoieaan eh mnnos akaisin: z ( = z( z(z ( = z( = log + C z( = ± log + C (C R z(=x(/ x( = ± log + C (C R. (C R Hahmoellaan vielä kaksi aiempaa mpaa rakaisapaa: ensinnäkin jos 0 ja x( 0 niin x(x ( + x( = 0 x ( x( = x( joka on Bernollin hälö paramerilla λ = < 0 jolla sien ei ole riviaalirakaisja. Sijoiksella z( = x( hälö pala lineaariseksi ja rakais eenee oleellisesi ken ehävässä. Toisaala idenifioimalla alkperäisesä differeniaalihälösä x(x (+x( = 0 jakvasi derivoiva M( x N( x sien eä M( x+n( xx = 0 nähdään eä M( x = x + N( x = x ja ällöin koska N( x ( M( x N( x = ( x + x = 3 x =: h( ei riip mjasa x laseen. nojalla differeniaalihälön eräs inegroiva ekijä saadaan kaavasa µ( = e h(d. Täsä eeenpäin hälö voidaan rakaisa ken harjoiksen 3 ehävissä meneeliin. 4. Rakaise hälö (x = 3x + (x + 4 x + 3(x +. Rakais: Yhälö on lenomoniseen kohdan.5.4 perseella asa-aseiseksi palava hälö. Homaaan ensin eä olava x + 3 + 0. Tehdään sijois x = + a = v + b
joillekin vakioille a b R joille 3a + b + 4 = 0 a + 3b + = 0 a = b = joen x = + = x = v v = + Alkperäinen hälö saa n siis modon ( (x = 3x + (x + 4 x + 3(x + v ( = 3( + + v + 4 + + 3(v + = 3 + v + 3v = 3 + v + 3 v joka on asa-aseinen differeniaalihälö. Tehdään siihen asa-aseisen hälön sijois z( = v(/ 0 jolloin v ( = z( + z ( ja lläolevasa saadaan: z( + z ( = 3 + z( + 3z( z ( = 3( + z( + 3z( joka on separoiva hälö. Rakaisaan: z (( + 3z( + z( = 3 dz + z + arcan z + 3 log + z = 3 log + C (C R 3z + z dz = 3 d jossa hälön vasemman polen oinen inegraali rakesi homaamalla eä inegrandin osoiajassa on vakioa vaille nimiäjän derivaaa. N sijoiamalla akaisin mnnos z( = v(/ lläoleva saadaan mooon ( v( arcan ja edelleen hälöparisa ( sijoiamalla arcan ( (x + x josa saadaan implisiiimoo arcan jossa x + 3 + 0 ja x. 5. Rakaise alkarvoehävä + 3 ( v( log + = 3 log + C + 3 ( (x + log + = 3 log x + C x ( (x + + 3 log ((x + ((x + = C (C R x (x = (x(x (0 = 4 (0 = 0 Nevo. Mokkaamalla hieman hälön ( oikeaa pola ja inegroimalla sen saa palaea ensimmäisen keralvn hälöön.
Rakais: Koska hälössä ei esiinn eksplisiiisesi sen vapaaa mjaa x palaeaan se ensimmäisen keralvn hälöksi sijoiksella z( = z((x = (x sillä ällöin kejsäännöllä (x = d dx ( (x = d dx (z( = z ( (x = z (z(. N alkperäinen hälö saadaan mooon (x = (x(x z (z( = z( z(( z ( = 0 eli joko z( = 0 ai z ( = 0. Ensimmäinen eho z( = 0 (x = 0 (x = C (C R ma ämä rakais johaa väliömäsi risiriiaan alkarvoehävän kanssa joen se hläään. Toinen eho anaa z ( = 0 z ( = z( = + C (C R (x = (x + C joka on separoiva hälö. Rakaisaan seraava inegraali sijoiksella = C C > 0 sillä ällöin d = ja voidaan laskea d C (x + C = (x dx = dx = + C d = C d x + C = C ( + ( C x + C C = arcan C (x = C an ( C x + C C ( d C C + arcan (C R C (C R + C R. Kiinnieään vielä vakio C C. N alkehdosa (0 = 0 an( C C = 0 C = 0. Vakion C kiinniämiseksi voiaisiin derivoida fnkion (x lasekea ma käeään hälöä ( josa saadaan soraan (0 = C 4 = joen 4 alkarvoehävän rakais on (x = ( x an x ( π π. 6. Esi hälölle x + (x x x = 0 inegroiva ekijä joka on mooa µ(x = f(x + jollekin sopivalle hden mjan fnkiolle f. Homaa eä jos z = x + niin f = f (z = f. Rakais: Merkiään M(x = x ja N(x = x x x ja kerroaan differeniaalihälö poliain lvlla µ(x = f(x + ja saadaan siis f(x + x + f(x + (x x x = 0 joka on eksakisslaseen.0 nojalla eksaki jos päee: ( f(x + M(x = ( f(x + N(x
kaikilla x jossakin reiäömässä aleessa D R. Eli häpiäväsi vaadiaan f(x + M(x M(x + f(x + f(x + N(x = N(x + f(x +. Seraaan ehävänannon homioa ja merkiään z = x +. Tällöin kejsäännön nojalla f = f (z = f ja lläoleva saadaan mooon M(x f M(x (z + f(z ( f (z M(x N(x = N(x f N(x (z + f(z = f(z ( N(x M(x ja koska M(x N(x = x (x x x = (x (x + + ja = 4( x niin lläoleva hälö sievenee: N(x M(x f (z(x (x + + = f(z4(x ja oleksin x 0 sekä x + + 0 voidaan näillä jakaa poliain ja saadaan separoiva differeniaalihälö f (z = 4f(z + z. Rakaisaan ämä on liin (voidaan oleaa f(z 0: f (z = 4f(z + z f (z f(z dz = 4 dz log f(z = 4 log + z + C (C R + z ja äsä edelleen kn inegroimisvakioksi voidaan aseaa C = 0 saadaan: f(z = ( + z = =: µ(x. 4 ( + x + 4