TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus 1 SISÄLTÖ 1. Saint-Venantin periaate 2. Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos 3. Yhteenlaskuperiaate 4. Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva 5. Voimamenetelmä aksiaalisesti kuormitetulla sauvalla 6. Lämpöjännityksistä 7. Jännityskeskittymät 8. *Plastinen aksiaalinen muodonmuutos 9. *Jäännösjännitykset 2 1
4.1 SAINT-VENANTIN PERIAATE Paikallisia muodonmuutoksia tapahtuu sekä voimien että tukien läheisyydessä Kauempana kuormista ja tuista on muodonmuutos lähes vakio, esim. leikkaus c-c, jossa jännitys on lähes vakio verrattuna leikkauksiin a-a, b-b Leikkaus c-c on riittävän kaukana voimasta P, jolloin paikallinen vaikutus on hävinnyt, ts. kyseessä on minimietäisyys. 3 4.1 SAINT-VENANTIN PERIAATE Perussääntö: minimietäisyys on oltava vähintään yhtäsuuri kuin suurin poikkileikkauksen dimensio. Edellisen kalvon sauvalle minimietäisyys on siis sauvan leveys. Ilmiön havaitsi Barré de Saint-Venant vuonna 1855, siksi sitä sanotaan Saint-Venantin periaatteeksi Saint-Venantin periaate: minkä tahansa kuorman paikallinen vaikutus häviää alueilla, jotka ovat riittävän kaukana kuormituspisteistä Siten lujuusopissa usein jätetään tutkimatta jännitysjakauma lähellä aktiivisia ulkoisia kuormia tai tukipisteitä 4 2
4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Lasketaan kuvan sauvan pään siirtymä suhteessa sauvan toiseen päähän (δ) Sovelletaan Saint-Venantin periaatetta ja jätetään huomioimatta kuormituksen paikallinen vaikutus 5 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Piirretään tutkittavasta differentiaalielementistä vapaakappalekuva: σ = P(x) ε = dδ A(x) dx Suhteellisuusrajaa ei ylitetä, jolloin Hooke n laki on voimassa: σ = Eε P(x) A(x) = E dδ dx ( ) dδ = P(x) dx A(x) E 6 3
4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Yhtälö 4-1 L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = pisteen siirtymä toisen pisteen suhteen L = kahden pisteen välinen etäisyys P(x) = leikkauksen aksiaalikuorma, aksiaalikoordinaatin x funktiona A(x) = sauvan poikkileikkauksen pinta-ala, aksiaalikoordinaatin x funktiona E = materiaalin kimmomoduli 7 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus (prismaattinen sauva) Sauvalla on vakiopoikkileikkaus A, sauva on homogeeninen ja kimmomoduli E on vakio Kun sauvaan vaikuttaa ulkoinen vakiokuormalla P, joka vaikuttaa molemmissa päissä, on sisäinen rasitus vakio P Siten integroimalla yhtälö 4-1 yli sauvan saadaan Yhtälö 4-2 δ = PL AE 8 4
4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Vakiokuorma ja vakiopoikkileikkaus Mikäli sauvaan vaikuttaa useita aksiaalivoimia tai poikkileikkauksen pinta-ala ei ole vakio, voidaan yhtälöä soveltaa jokaiselle sauvan segmentille, jolla kuorma- ja poikkileikkaus on vakio, jolloin yhtälö saa muodon δ = PL AE 9 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Merkkisääntö Etumerkki Positiivinen (+) Negatiivinen ( ) Voimat Veto Puristus Siirtymät Venymä Puristuma 10 5
4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Käytä leikkausmenetelmää sisäisen aksiaalivoiman P määrittämiseksi Jos voima vaihtelee aksiaalisuunnassa, on siasäinen voima funktio pituuskoordinaatista, ts. P(x) Jos voimat ovat pistevoimia, on sisäinen voima määritettävä jokaisessa segmentissä voimien välillä 11 4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Sisäinen voima Jokaiselle segmentille sisäinen vetovoima on positiivinen ja puristus vastaavasti negatiivinen. Graafisesti rasitus voidaan esittää normaalivoimakuvaajana pituussuunnassa Siirtymä Mikäli poikkileikkauksen pinta-ala vaihtelee pituussuunnassa, on pinta-ala esitettävä pituuskoordinaatin funktiona, ts. A(x) 12 6
4.2 Aksiaalisesti kuormitetun sauvan kimmoinen muodonmuutos Analyysin vaiheet Siirtymä Mikäli poikkipinta-ala, kimmomoduli tai sisäinen kuormitus vaihtelee, on yhtälöä 4-2 sovellettava jokaiselle alueelle, jossa em. suureet ovat vakiot. Merkkisääntöä on sovellettava huolellisesti ja yksiköiden on oltava yhteneviä. Mikäli tulos on positiivinen, osa venyy ja päinvastoin. 13 ESIMERKKI 4.1 Teräksestä S234 valmistetun terässauvan alueen AB poikkileikkauspinta-ala A AB = 600 mm 2 ja alueen BD A BD = 1200 mm 2. Määritä pisteen A pystysiirtymä ja pisteen B siirtymä pisteen C suhteen. 14 7
ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Sisäiset voimat Ulkoisten kuormien jakautumisen vuoksi sisäiset rasitukset alueissa AB, BC ja CD ovat erilaiset. Leikkausmenetelmäl lä ja statiikan tasapainoyhtälöitä soveltaen saadaan sisäiset rasitukset ratkaistua. 15 ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Teräkselle (esim. teräsrakennenormit) E = 210(10 3 ) MPa. Siten pisteen A siirtymä on δ A = PL [+75 kn](1 m)(10 6 ) = AE [600 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] [ 45 kn](0.5 m)(10 6 ) + [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = +0.61 mm 16 8
ESIMERKKI 4.1 (RATKAISU) Siirtymät Koska tulos on positiivinen, sauva venyy ja pisteen A siirtymä on ylöspäin. Soveltaen kaavaa 4-2 pisteiden B ja C välille δ A = P BC L BC A BC E = [+35 kn](0.75 m)(10 6 ) [1200 mm 2 (210)(10 3 ) kn/m 2 ] = +0.104 mm Tässä siis B liikkuu vastakkaiseen suuntaan kuin C, koska segmentti venyy 17 4.3 YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Summausperiaatteen mukaan kokonaisjännitys- ja siirtymä koostuu komponentteihin jaetun kuorman yksittäisistä vaikutuksista. Resultoiva jännitys/siirtymä saadaan summaamalla (superponoimalla) yksittäisten komponenttien vaikutus 18 9
4.3 YHTEENLASKUPERIAATE (SUPERPOSITIO) Ehdot 1. Kuormituksen on oltava kimmoisella alueella eli siirtymän ja jännitysten yhteys on lineaarinen. 2. Kuormitus ei saa oleellisesti muuttaa rakenteen geometriaa Milloin muodonmuutoksia ei huomioida? Useimmiten kuormitettujen rakenneosien muodonmuutokset ovat niin pieniä, että kuormien paikka ja suunta eivät oleellisesti muutu, joten niitä ei oteta huomioon analyysissa Tällä kurssilla poikkeuksen tekee aksiaalisesti kuormitettu sauva, jonka stabiiliusanalyysissa muodonmuutos on otettava huomioon 19 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Toisesta päästään jäykästi tuettu aksiaalisesti kuormitettu sauva voidaan ratkaista statiikan tasapainoyhtälöllä. Kyseessä on siis staattisesti määrätty rakenne. Mikäli sauvan molemmat päät on kiinnitetty, on rakenne staattisesti määräämätön, koska tuntemattomia tukireaktioita on kaksi: + F = 0; F B + F A P = 0 20 10
4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Lisäyhtälö saadaan siirtymien avulla. Kyseessä on silloin yhteensopivuus- tai kinemaattinen ehto. Tässä tapauksessa yhteensopivuusehto on seuraava: koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt, on päiden välinen siirtymä δ A/B = 0 Tämä lisäyhtälö voidaan kirjoittaa kuormituksen funktiona käyttäen voima-siirtymäyhteyttä, joka on riippuvainen materiaalikäyttäytymisestä 21 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Kimmoisella alueella (lineaarielastinen käyttäytyminen) yhteensopivuusehto on F A L AC AE Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio, voidaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista ratkaista F B L CB AE = 0 L CB F A = P( ) L L AC F B = P( ) L 22 11
4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Tasapainoehto Piirrä vapaakappalekuva kappaleesta ja merkitse siihen kaikki vaikuttavat voimat Mikäli tuntemattomia voimasuureita on enemmän kuin tasapainoyhtälöitä, on rakenne staattisesti määräämätön Kirjoita tasaopainoyhtälöt VKK:n perusteella 23 4.4 Staattisesti määräämätön, aksiaalisesti kuormitettu sauva Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Piirrä siirtymäkuvaaja, jolla tutkitaan rakenteen venymistä tai puristumista (deformaatiota) Kirjoita yhteensopivuusehto (-ehdot) voimien aiheuttamien siirtymien perusteella Sovella voima-siirtymäehtoa (δ=pl/ae), jolla tuntemattomat siirtymät suhteutetaan Ratkaise yhtälöt. Mikäli tuloksena saatava voimasuure on negatiivinen, vaikuttaa voima vastakkaiseen suuntaan kuin VKK:ssa. 24 12
ESIMERKKI 4.5 Kuvan terässauvan halkaisija on 5 mm. Se on jäykästi kiinnitetty seinämiin pisteessä A ja ennen kuorman asettamista vapaan pään B ja seinämän välissä on 1 mm rako. Määritä tukireaktiot kun sauvaan vaikuttaa kuorma P = 20 kn. Pisteen C kaulusta ei tarvitese ottaa huomioon. E st = 200 GPa 25 ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Tasapainoehto Oletetaan voima P niin suureksi, että vapaa pää kiinnittyy seinämään. Tasapainoehto on silloin + F = 0; F A F B + 20(10 3 ) N = 0 Yhteensopivuusehto δ B/A = 0.001 m 26 13
ESIMERKKI 4.5 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Käytetään kuormitus-siirtymäyhteyttä (Yhtälö 4-2), jota sovelletaan molemmille sauvanosille AC ja CB δ B/A = 0.001 m = F A L AC F B L CB AE AE F A (0.4 m) F B (0.8 m) = 3927.0 N m Ratkaisusta saadaan, F A = 16.6 kn F B = 3.39 kn 27 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Voimamenetelmää käytetään myös staattisesti määräämättömissä rakenteissa käyttäen superpositiomenetelmää vapaakappalekuvassa Ensin valitaan riittävä määrä tuntemattomia tukireaktioita, jotka vapautetaan, jolloin rakenteesta saadaan staattisesti määrätty Sen jälkeen sovelletaan superpositioperiaatetta ja ratkaistaan yhtälöt 28 14
4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Vapaakappalekuvasta voidaan määrittää tukireaktio pisteessä A Pisteessä B ei ole siirtymää = Pisteen B siirtymä, kun tuenta vapautetaan + Pisteen B siirtymä, kun tuntematon tukivoima vaikuttaa 29 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Valitaan vapautettava tuki ja kirjoitetaan yhteensopivuusehto. Kun tunnetaan siirtymä vapautetussa tuessa (joka on usein nolla) ja asetetaan se yhtäsuureksi kuin siirtymä johtuen ulkoisista kuormista, johon summataan tuntemattoman tukireaktion aiheuttama siirtymä. 30 15
4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Yhteensopivuusehto Kirjoitetaan ulkoiset kuormat ja vapautettujen tukien siirtymät voima-siirtymäyhteyksien perusteella Yhteensopivuusyhtälöstä ratkaistaan tuntematon tukireaktio 31 4.5 VOIMAMENETELMÄ AKSIAALISESTI KUORMITETUISSA SAUVOISSA Analyysin vaiheet Tasapainoehto Vapaakappalekuvan avulla kirjoitetaan tasapainoyhtälöt, joissa on mukana myös ratkaistu tuntematon voimasuure. Ratkaistaan yhtälöt, jolloin saadaan myös muut tukireaktiot 32 16
ESIMERKKI 4.6 Kuvan terästangon halkaisija on 5 mm. Ennen kuorman asettamista vapaan pään seinämän välissä on 1 mm:n rako. Määritä tukireaktiot. E = 200 GPa. 33 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Vapautetaan tuki pisteessä B ja sovelletaan summausperiaatetta. ( + ) 0.001 m = δ P δ B Yhtälö 1 34 17
ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Siirtymät δ P ja δ B määritetään yhtälöstä 4-2 δ P = PL AC AE = = 0.002037 m δ B = F B L AB AE = = 0.3056(10-6 )F B Sijoittamalla yhtälöön 1 saadaan 0.001 m = 0.002037 m 0.3056(10-6 )F B F B = 3.40(10 3 ) N = 3.40 kn 35 ESIMERKKI 4.6 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvasta + F x = 0; F A + 20 kn 3.40 kn = 0 F A = 16.6 kn 36 18
4.6 LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Materiaalin laajeneminen ja kutistuminen on suoraan verrannollista lämpötilan muutokseen homogeenisellla ja isotrooppisella materiaalilla Kokeellisesti on todettu, että L pituisella kappaleella δ T = α T L α = kappaleen lämpölaajenemiskerroin. Yksikkö on venymä astetta kohti: 1/ o C (Celsius) tai 1/ o K (Kelvin) T = lämpötilan muutos δt = kappaleen pituuden muutos 37 4.6 LÄMPÖJÄNNITYKSISTÄ Staattisesti määräämättömillä rakenteilla lämpötilan muutoksista johtuvat siirtymät voivat olla estettyjä tukien vuoksi, joten ne on otettava huomioon suunnittelussa. 38 19
ESIMERKKI 4.7 Kuvan terästanko on asetettu tukien väliin siten että se juuri mahtuu väliin lämpötilassa T 1 = 30 o C. Jos lämpötila nousee arvoon T 2 = 60 o C, määritä keskimääräinen lämpöjännitys sauvassa. 39 ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella + Fy = 0; F A = F B = F Tehtävä on siis staattisesti määräämätön. Yhteensopivuusehto Koska δ A/B =0, täytyy olla lämpösiirtymän δ T pisteessä A olla nollasta poikkeava. Siten + δ A/B = 0 = δ T δ F 40 20
ESIMERKKI 4.7 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Soveltaen lämpöyhtälöä ja kuorma-siirtymäyhteyttä saadaan 0 = α TL FL AL F = α TAE = = 7.2 kn Lämpölaajenemisen estäminen aiheuttaa siis varsin suuren voiman rakenteeseen. Keskimääräinen normaalijännitys on σ = F A = = 72 MPa 41 4.7 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Voimatasapainon vuoksi jännitysjakauman resultantti on = P. Siten P = A σ da Integraalissa lasketaan jännitysvuon tilavuus, joka nähdään alla olevassa kuvassa graafisesti: 42 21
4.7 JÄNNITYSKESKITTYMÄT Käytännön suunnittelussa ei tarvitse tietää varsinaista jännitysjakaumaa vaan tärkein on suurin jännitys tutkittavassa leikkauksessa. Rakenne suunnitellaan kestämään tämä jännitys kun aksiaalikuorma P vaikuttaa. Jännityskonsentraatiokerroin K määritetään suurimman ja keskimääräisen jännityksen suhteena pienimmässä poikkileikkauksessa: Yhtälö 4-7 K = σ max σ avg 43 4.7 JÄNNITYSKESKITTYMÄT K on riippuvainen ainoastaan sauvan geometriasta ja epäjatkuvuuden tyypistä. Kun epäjatkuvuuden koko (esim. reikä) pienenee, myös jännityskeskittymä kasvaa. Staattisesti kuormitetuilla rakenteilla jännityskonsentraatiokerrointa käytetään suunnittelussa ainoastaan haurailla materiaaleilla. Rakenneteräksillä materiaalin sitkeyden vuoksi ei yleensä tarvitse välittää paikallisista jännityskeskittymistä. Sen sijaan vaihtelevasti kuormitetuilla rakenteilla, joilla materiaalin väsyminen on otettava huomioon, jännityskeskittymät ovat aina keskeinen analyysin kohde 44 22
ESIMERKKI 4.8 Kuvan vetosauvan sallittu jännitys on σ allow = 115 MPa. Määritä suurin aksiaalikuorma P, jonka sauva voi kantaa, kun a) materiaali on haurasta b) materiaali on sitkeää. 45 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Oheisesta käyrästöstä saadaan jännityskonsentraatiokerroin geometrian perusteella. 46 23
ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) Geometriset parametrit ovat r 10 mm = n 20 mm = 0.50 w h = 40 mm 20 mm = 2 Siten jännityskonsentraatiokerroin käyrältä: K = 1.4 Keskimääräinen normaalijännitys pienimmässä leikkauksessa on P σ avg = = 0.005P N/mm 2 (20 mm)(10 mm) 47 ESIMERKKI 4.8 (RATKAISU) a) Hauraalle materiaalille soveltaen yhtälöä 4-7 kun σ allow = σ max antaa σ allow = K σ max 115 N/mm 2 = 1.4(0.005P) P = 16.43(10 3 ) N = 16.43 kn a) sitkeälle materiaalille σ allow = σ avg antaa σ allow = σ avg 115 N/mm 2 = (0.005P) P = 23(10 3 ) N = 23.0 kn 48 24
*4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Toisinaan rakenneosa suunnitellaan siten, että kuormitus johtaa myötämiseen ja siten pysyvään muodonmuutokseen. Tämäntyyppiset rakenneosat tehdään hyvin sitkeästä materiaalista kuten matalahiilisistä teräksistä, joiden jännitysvenymäpiirros on esitetty kuvassa: Materiaalityyppiä sanotaan elastisplastiseksi materiaalimalliksi. 49 *4.8 KIMMOTON AKSIAALINEN MUODONMUUTOS Plastinen (kimmoton) kuorma P P on suurin kuorma, jonka elastoplastisesti käyttäytyvä rakenneosa kantaa 50 25
ESIMERKKI 4.9 Kuvan terässauvan materiaali oletetaan elastoplastiseksi ja sen myötöraja on σ Y = 250 MPa. Määritä (a) kuorman P suurin arvo ilman että materiaali myötää (b) suurin kuorman P arvo, jonka rakenneosa kantaa. 51 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Kimmoisella alueella materiaali alkaa myötää, kun jännityskeskittymän aiheuttama maksimijännitys saavuttaa myötörajan. r 4 mm n = (40 mm 8 mm) = 0.125 w 40 mm h = (40 mm 8 mm) = 1.25 Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A σ max = K σ avg ; P Y σ Y = K( ) A P Y = 9.41 kn Näiden perusteella saadaan jännityskonsentraa tiokerroin K = 1,7 52 26
ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (a) Rajakuorma P Y laskettiin pienimmässä poikkileikkauksessa. Jännitysjakauma on silloin kuvan mukainen. Tasapainotilassa jännitysvuon tilavuus on oltava yhtä kuin 9.41 kn. 53 ESIMERKKI 4.9 (RATKAISU) (b) Suurimmalla kantokuormalla P P pienimmän poikkileikkauksen koko materiaali on myötörajalla. Asetetaan σ max = σ Y. Keskimääräinen normaalijännitys σ avg = P/A P Y σ Y = ( ) A P P = 16.0 kn Tässä P P on yhtä kuin jännitysvuon tilavuus oikean puolen kuvassa eli P P = σ Y A 54 27
*4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Aksiaalisesti kuormitetuilla rakenneosilla tai niistä koostuvilla rakenteilla, jotka ovat staattisesti määräämättömiä systeemejä, voivat kantaa sekä veto- että puristusvoimia. Myötörajan ylittävät ulkoiset kuormat aiheuttavat jäännösjännityksiä kappaleeseen kuorman poistamisen jälkeen. Syynä on materiaalin kimmoinen palautuminen kuormituksen poistamisen jälkeen 55 *4.9 JÄÄNNÖSJÄNNITYKSET Näissä analyyseissa on tunnettava rakenteen kuormitushistoria, jolloin voidaan soveltaa superpositioperiaatetta positiiviselle kuormalle (kuormitus) ja negatiiviselle voimalle (kuorman poisto). Kuormitus (OC) aiheuttaa plastisen jännitysjakauman Kuorman poisto (CD) aiheuttaa kimmoisen jännitysjakauman. Kuvan mukaisesti kappaleeseen jää jäännösvenymä ja siten jäännösjännitys. 56 28
ESIMERKKI 4.10 Alumiinisauvan säde on 5 mm, materiaali on elastoplastinen ja σ Y = 420 MPa, E = 70 GPa. Kuorma P = 60 kn vaikuttaa sauvaan kuvan mukaisesti. Määritä jäännösjännitysjakauma ja pisteen C pysyvä muodonmuutos. 57 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Rakenne on staattisesti määräämätön. Soveltaen edellä esitettyä voimamenetelmää saadaan F A = 45 kn F B = 15 kn Siten jännitys on ja σ AC = σ CB = 45 kn π(0.005 m) 2 15 kn π(0.005 m) 2 = 573 MPa (puristusta) > σ Y = 420 MPa = 191 MPa 58 29
ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Koska segmentti AC myötää, oletetaan AC:n olevan puhtaasti plastisella alueella ja CB:n säilyvän elastisella alueella. (F A ) Y = σ Y A =... = 33.0 kn Siten F B = 60 kn 33.0 kn = 27.0 kn σ AC = σ Y = 420 MPa (puristusta) σ CB = 27 kn π(0.005 m) 2 = 344 MPa (vetoa) < 420 MPa (OK!) 59 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. Koska CB käyttäytyy kimmoisesti δ C = F B L CB =... = 0.001474 m AE Siten ε CB = δ C / L CB = +0.004913 ε AC = δ C / L AC = 0.01474 60 30
ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Jäännösjännitys. (σ AC ) r = 420 MPa + 573 MPa = 153 MPa (σ CB ) r = 344 MPa 191 MPa = 153 MPa Molemmat vetojännitykset ovat samat, mikä oli odotettavissakin 61 ESIMERKKI 4.10 (RATKAISU) Pysyvä muodonmuutos Jäännösvenymä CB:ssä on ε CB = σ/e =... = 0.0022185 Siten pysyvä muodonmuutos C:n kohdalla on δ C = ε CB L CB = 0.002185(300 mm) = 0.656 mm Vaihtoehtoisesti voi määrittää jäännösvenymän ε AC, ja ε AC = ε AC + δε AC ja δc = ε AC L AC =... = 0.656 mm 62 31
YHTEENVETO Kuorman alaisen kappaleen jännitysjakauma on sitä tasaisemmin jakautunut mitä kauempana se on kuormituspisteestä. Tämä on ns. Saint- Venant s prinsiippi. Aksiaalisesti kuormitetun rakenneosan suhteellinen siirtymä toisen pään suhteen on Mikäli aksiaalijäykkyys AE on vakio ja kappaleeseen vaikuttaa useita voimia L δ = 0 P(x) dx A(x) E δ = PL AE 63 YHTEENVETO Merkkisääntö on varmistettava sisäisen rasituksen P jakaumassa ja materiaalin jännitys pysyy kimmoisella alueella Voiman ja siirtymän superponoiminen (summaaminen) on mahdollista, mikäli materiaali pysyy lineaarielastisena (kimmoisena) ja geometria ei muutu Staattisesti määräämättömän rakenteen tukireaktiot saadaan tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista, kun käytetään kuormasiirtymäyhteyttä δ = PL/AE 64 32
YHTEENVETO Lämpötilan muutos homogeenisella ja isotrooppisella materiaalilla aiheuttaa pituussuuntaisen muodonmuutoksen δ = α TL. Mikäli muodonmuutos on rajoitettu tai estetty, kappaleeseen syntyy lämpöjännityksiä. Poikkileikkauksessa olevat epäjatkuvuudet aiheuttavat jännityskeskittymiä. Suunnittelussa käytetään empiirisesti saatuja graafisia käyriä, joiden avulla voidaan määrittää jännityskonsentraatiokerroin. Jännityskonsentraatiokertoimella K kerrotaan keskimääräinen normaalijännitys, jolloin saadaan suurin jännitys ko. leikkauksessa σ max = Kσ avg 65 33