SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät helmikuu 2019

ENSO IKONEN PYOSYS 2 Säätöjärjestelmien suunnittelu SäSu 2019 8.2 Silmukkasiirtofunktio 8.3 Säätöjärjestelmän stabiilisuuskriteerit Stabiilisuuskriteerien laskenta ja lukeminen kuvaajista (harjoitukset) 8.2 Silmukkasiirtofunktio Silmukka-analyysi Nyquist-kuvaaja Nyquistin stabiilisuuskriteeri ***Nyquistin stabiilisuuskriteerin perusteita..*** Harjoituksia

ENSO IKONEN PYOSYS 3 Silmukka-analyysi Jäljitetään sinisignaalin kulkua silmukassa Tutkitaan, mitä stabiilisuudelle tapahtuu kasvaako signaali silmukassa, vai vaimeneeko signaali?

ENSO IKONEN PYOSYS 4 8.2 Silmukkasiirtofunktio Katkaistaan takaisinkytkentä siirtofunktio pisteestä A pisteeseen B silmukkasiirtofunktio L(s)=C(s)P(s) C M G Esim. C G M C G M L(s) = C(s) G(s) M(s) C G

ENSO IKONEN PYOSYS 5 8.2 Silmukkasiirtofunktio Värähtelevä systeemi Pisteeseen A syötetään siniaaltoa, taajuudella ω 0 Signaali pisteessä B on myös siniaaltoa, taajuudella ω 0 koska L(s) on LTI-systeemi tasapainotilassa Värähtely pysyy yllä, jos signaalilla B:ssä on sama vahvistus sama vaihe kuin signaalilla pisteessä A (ulkoinen syöttö pisteeseen A voidaan katkaista) Signaalit A ja B ovat samoja jos L(iω 0 ) = -1 tämä nähdään lohkokaaviosta L(iω 0 ) = -1 on vaimenemattoman värähtelyn ehto.

ENSO IKONEN PYOSYS 6 Nyquistin stabiilisuuskriteeri Nyquistin stabiilisuuskriteeri: Takaisinkytketty systeemi on stabiili joss Nyquist-kuvaaja ei ympäröi pistettä -1 = -1+i0 Nyquist-kuvaaja? ~ polaarikuvaaja silmukkasiirtofunktiolle L Tarkastellaan kiertääkö Nyquistkuvaajan käyrä kriittistä pistettä -1

Nyquistin kuvaaja ENSO IKONEN PYOSYS 7

ENSO IKONEN PYOSYS 8 Nyquistin kuvaajan piirtäminen Matlabilla: nyquist

ENSO IKONEN PYOSYS 9 Nyquistin kuvaajan piirtäminen Matlabilla: nyquist

ENSO IKONEN PYOSYS 10 Nyquistin kuvaajan piirtäminen Matlabilla: nyquist 1.5 Nyquist Diagram 1 0.5 Imaginary Axis 0-0.5-1 -1.5-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis

ENSO IKONEN PYOSYS 11 ***Mistä Nyquistin*** kriteeri tulee? Cauchy n teoreema (aka argumentin periaate): Jos käyrä Γ s s-tasossa ympäröi Z kpl F(s):n nollaa ja P kpl napaa eikä kulje minkään navan tai nollan kautta, ja kiertosuunta on myötäpäivään niin käyrä Γ F F(s)-tasossa ympäröi F(s)-tason origon N=Z-P kertaa (myötäpäivään).

***Kulkukäyrät*** Kuvaus s-tasosta F(s)-tasoon Esimerkki: F(s) = 2s+1 (yksi nolla) pisteet A,B,C,D kuvautuvat kuten kuvassa, esim. piste A: 1+i > 2(1+i)+1 = 3+2i, jne etenemisen suunta säilyy samana (yleensä edetään myötäpäivään) suljettu käyrä s-tasossa pysyy suljettuna F(s) tasossa s ympäröi yhden nollan, (Z-P)=1 => F(s) kiertää origon

***Cauchy n teoreema*** selitys esimerkin avulla.. Esimerkkifunktio: Kirjoitetaan muotoon: 2 1 2 1 p s p s z s z s s F 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 arg arg arg arg arg p p z z s F p s p s z s z s p s p s z s z s s F s F s F

***Cauchy n teoreema*** kokonaiskulmamuutos Kun s kulkee käyrän Γ s ympäri: Selvästikin molempien napojen sekä nollan z 2 yhteenlaskettu kulmamuutos on 0. Mutta z 1 :lle F(s) kulkee 360 o. Näinollen yhteenlaskettu kulmamuutos on 360 o. F s s z1 s z2 s p s p 1 Kokonaiskulmamuutos. 2 Jos nollia käyrän sisällä olisi Z kappaletta, kulmamuutos olisi 360Z o. Jos Γ s ympäröisi myös P napaa, kulmamuutos olisi 360Z o -360P o Niinpä Γ F :n kulmamuutos on 360N o = 360Z o -360P o, eli N=Z-P vahvistus aina positiivinen Siis: Kuvan a) käyrä (joka ympäröi yhden nollan) kiertää F(s)-tasossa origon kerran myötäpäivään, kuva b).

***Cauchy n teoreema*** Esimerkki: kolme nollaa, yksi napa Esimerkki: Kolme nollaa ja yksi napa Γ s. :n sisällä => kiertää origon kahdesti myötäpäivään.

***Cauchy n teoreema*** Esimerkki: yksi napa Esimerkki Yksi napa Γ s :n sisällä => kiertää origon kerran vastapäivään.

***Nyquistin kriteeri*** Valitaan Γ s niin että se ympäröi koko oikean puolitason, ja määritetään Cauchyn teoreeman avulla onko yksikään F(s):n nolla Γ s :ssä. Jos P=0 (niinkuin yleensä on), epästabiilien juurien määrä on N=Z-P, eli origon ympäröintien määrä. Karakteristinen yhtälö on 1+L(s)=0, joten voidaan tarkastella pisteen -1 ympäröintiä L(s) tasossa

Nyquistin kriteeri Esimerkki ENSO IKONEN PYOSYS 18

Nyquistin kriteeri Esimerkki ENSO IKONEN PYOSYS 19

ENSO IKONEN PYOSYS 20 Nyquistin kriteeri Esimerkki 60 Nyquist Diagram 40 Nyquist Diagram 3 Imaginary Axis 20 0-20 Imaginary Axis 2 1 0-1 -2-40 -3-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 Real Axis -60-20 0 20 40 60 80 100 Real Axis

ENSO IKONEN PYOSYS 21 Harjoitus Nyquist-kuvaaja Tutki kuvan järjestelmän stabiilisuutta Nyquistin kuvaajan avulla. 2 G( s), K 4s 1 3 Onko järjestelmä stabiili?

ENSO IKONEN PYOSYS 22 2 G( s), K 4s 1 3 Harjoitus Nyquist-kuvaaja Tutki kuvan järjestelmän stabiilisuutta Nyquistin kuvaajan avulla. 3 Nyquist Diagram 2 1 Imaginary Axis 0-1 Onko järjestelmä stabiili? -2-3 -1 0 1 2 3 4 5 6 Real Axis

ENSO IKONEN PYOSYS 23 Nyquist-harjoituksia Tutki järjestelmän stabiiliutta, kun systeemissä G(s) 2 G(s) = --------------- s 3 +3s 2 +2s+3 on negatiivisesti yksikkötakaisinkytketty. Entäpä jos järjestelmän silmukkasiirtofunktio L(s) on: K(s-1) L(s) = ----------. s 2 +s+4 Millä K:n arvoilla systeemi on stabiili? Entäpä jos järjestelmän silmukkasiirtofunktio L(s) on: K(s-1) -s L(s) = ---------- e. s 2 +s+4 Millä K:n arvoilla systeemi on stabiili?

ENSO IKONEN PYOSYS 24 Nyquist-harjoituksia: ratkaisut 1/2 >> G = tf(2,[1 3 2 3]) >> nyquist(g) >> L=([1-1],[1 1 4]) >> nyquist(l,2*l,3*l,4*l,5*l); kiertää myötäpäivään, kiertämättä pistettä -1 => stabiili => stabiili jos K<4.

ENSO IKONEN PYOSYS 25 Nyquist-harjotuksia: ratkaisut 2/2 >> L=([1-1],[1 1 4]) >> L.InputDelay = 1 >> nyquist(l,1.25*l,1.5*l); epästabiili kun K > 1/0.7

ENSO IKONEN PYOSYS 26 Avoin ja suljettu piiri eri menetelmissä.. Bode: Y(s)/R(s) = T(s) Juuriura: karakteristinen yhtälö: 1+ K P(s) = 0 juuriuran piirto P(s):llä tai L(s):=H(s)G(s):llä, jne.. Nyquistin stabiilisuuskriteeri karakteristinen yhtälö F(s) = 1 + L(s) = 0 Nyquist L(s):lle -1:n kierto kertoo sulj piirin T(s) stabiilisuudesta Suhteellinen stabiilisuus Bode L(s):lle vaihe- ja vahv.varat kertovat sulj. piirin T(s) stabiilisuudesta ( L(s) =1, /L(s)=-180 o ) R(s) R(s) R(s) R(s) T(s) T(s) T(s) T(s) KP(s) KG(s) H(s) L(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s)

ENSO IKONEN PYOSYS 27 Säätöjärjestelmien suunnittelu SäSu 2019 8.2 Silmukkasiirtofunktio 8.3 Säätöjärjestelmän stabiilisuuskriteerit Stabiilisuuskriteerien laskenta ja lukeminen kuvaajista (harjoitukset) 8.3 Säätöjärjestelmän stabiilisuuskriteerit vaihevara ja vahvistusvara stabiilisuusvara robusti stabiilisuus

ENSO IKONEN PYOSYS 28 Suhteellinen stabiilius Napojensijoittelussa tarkastellaan suljetun järjestelmän napoja, Nyquist-kuvaajassa tarkastellaan pisteen -1 kiertämistä, mutta....kuinka stabiili systeemi oikeastaan on? Suhteellinen stabiilius Käytännön järjestelmille stabiilisuudelle tulee olla myös varomarginaalit virheet systeemin malleissa rakenne-/parametrivirheet tuntemattomat häiriöt ei-mallinnetut häiriöt robustisuus poikkeamatilanteissa

Robustisuuskriteerit vahvistusvara, vaihevara, stabiilisuusvara

8.3.1 Vaihe- ja vahvistusvara Nyquist-kuvaajasta

8.3.1 Vaihe- ja vahvistusvara Bode-kuvaajasta

Vaihe- ja vahvistusvarat suunnittelun lähtökohtina

8.3.2 *Stabiilisuusvara

ENSO IKONEN PYOSYS 34 8.3.3 Esimerkki 20 Bode Diagram Gm = 8.52 db (at 1.73 rad/s), Pm = 41.7 deg (at 1.04 rad/s) 2.5 Nyquist Diagram Magnitude (db) 0-20 -40-60 0 Imaginary Axis 2 1.5 1 0.5 0-0.5 Phase (deg) -90-180 -1-1.5-2 -270 10-1 10 0 10 1 Frequency (rad/s) -2.5-2 -1 0 1 2 3 4 Real Axis

ENSO IKONEN PYOSYS 35 8.3.3 Esimerkki 50 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 69.8 deg (at 0.406 rad/s) 1 Nyquist Diagram 0.8 Magnitude (db) 0-50 -100-90 Imaginary Axis 0.6 0.4 0.2 0-0.2 Phase (deg) -135-0.4-0.6-0.8-180 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/s) -1-1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis

ENSO IKONEN PYOSYS 36 8.3.2 **Robusti stabiilisuus Säädin C(s) Prosessi P(s) P(s)+Δ(s) Silmukkasiirtofunktio L(s): C(s)P(s) C(s)P(s)+C(s)Δ(s) Jos Δ(s):lle voidaan antaa yläraja niin stabiilisuus voidaan taata varmistamalla suunnittelulla ettei kriittistä pistettä -1 ylitetä.

Viiveen vaikutus säätöjärjestemän stabiilisuuteen G viive G s s e i viive i e rad/s Esimerkki Bode-kuvaajasta viiveettömälle ja viiveelliselle systeemille

ENSO IKONEN PYOSYS 38 2 G( s), K 4s 1 3 Harjoitus Bode-kuvaaja 15dB 0dB -5dB Tutki kuvan järjestelmän stabiilisuutta Bodekuvaajan avulla. Onko järjestelmä stabiili? 0.25-20dB/dek. 2.5 Approksimoidaan: vahvistuskuvaaja taittuu ¼ rad/s kohdalla vas. puolella 2K = 15dB oik. puolella -20dB/dekadi vaihekuvaaja alkaa laskea nollasta 0.1x¼ rad/s kohdalla -45 o ¼ rad/s kohdalla lähestyy -90 o 10x ¼ rad/s kohdalla Saadaan karkeasti ylimenotaajuudeksi 2 rad/s+, ja vaihevaraksi 90 o + 0-45 -90 0.025 0.25 2.5 Piirretään Matlabilla: margin

ENSO IKONEN PYOSYS 39 2 G( s), K 4s 1 3 Harjoitus Bode-kuvaaja Tutki kuvan järjestelmän stabiilisuutta Bodekuvaajan avulla. Magnitude (db) 20 10 0-10 Bode Diagram Gm = Inf, Pm = 99.6 deg (at 1.48 rad/s) Onko järjestelmä stabiili? vahvistusvara G m = vaihevara P m > 90 o Phase (deg) -20 0-45 -90 10-2 10-1 10 0 10 1 Frequency (rad/s)

ENSO IKONEN PYOSYS 40 Oppimistavoitteet Opiskelija... tutustuu klassisen säätöteorian taajuustason työkaluihin: silmukkasiirtofunktio, nyquist- ja bodekuvaajien käyttö. tutustuu tärkeimpiin robustisuuskriteereihin: vaihevara, vahvistusvara, sensitiivisyysvara osaa lukea robustisuuskriteereitä Bode- ja Nyquistkuvaajista.