800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 1 / 80

ABSTRACT Tarkastelun kohteena ovat renkaiden tekijärakenteet, osamääräkunnat ja kuntalaajennukset. Esimerkkeinä tutkitaan äärellisiä kuntia, rationaalifunktioiden kuntia ja formaalien sarjojen osamääräkuntia sekä lukukuntien alkeita. Tavoitteena on syventää opiskelijoiden algebrallista ajattelutapaa ja antaa valmiuksia esimerkiksi algebrallisten lukujen, lukuteorian, kryptografian ja ryhmäteorian syventäviä kursseja varten. Under the inspection are factor structures of rings, quotient rings and field extensions. As examples we study finite fields, fields of rational functions and quotient fields of formal series as well as basics of number fields. An ultimate target is to deepen students algebraic mindset and to give completeness e.g. for advanced courses in algebraic numbers, number theory, cryptography, and group theory. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 2 / 80

INTRODUCTION/JOHDANTO Kurssikuvaus/Course overview Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. First we revise some basics of rings and fields which are needed to proceed ahead field extensions. 800323A KUNTALAAJENNUKSET/NOPPA LINK. 800323A FIELD EXTENSIONS/NOPPA LINK. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 3 / 80

INTRODUCTION/JOHDANTO BASICS/POHJATIEDOT/ LÄHTEITÄ/REFERENCES Esitiedot: Algebran ja Lineaarialgebran aineopintokurssit. Michael Artin: Algebra. John B. Fraleigh: Abstract algebra. Olympia E. Nicodemi, Melissa A. Sutherland, Gary W. Towsley: An Introduction to Abstract Algebra. American Mathematical Monthly/LINK Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 4 / 80

Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80

Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80

Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: multiplication/kertolasku denoted by apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80

Identity axioms with a binary relation Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: multiplication/kertolasku denoted by yhteenlasku/addition denoted by + apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 5 / 80

Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80

Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. (b) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80

Identity axioms with a binary relation Identity axioms (a) a : a = a. (b) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). (c) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 a 1 a 2 = b 1 b 2. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 6 / 80

Group Group Let G be a nonempty set with a multiplication : G G G, (a, b) a b. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 7 / 80

Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80

Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80

Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). (b) There exists an identity element 1 G, satisfying 1 a = a 1 = a for all a G. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80

Group Group Määritelmä 1 A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). (b) There exists an identity element 1 G, satisfying 1 a = a 1 = a for all a G. (c) For all a G there exists an inverse a 1 G, satisfying a a 1 = a 1 a = 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 8 / 80

Group Basics of equation manipulation Huomautus 1 Olkoot a, b G. Identiteettiaksiooman c nojalla identiteetin a = b molemmat puolet saa kertoa samalla alkiolla c G, jolloin ca = cb. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄT PART 2018I 9 / 80

Group Abelian group In the case of commutative group the addition notation is familiar. Olkoon A epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku/addition + : A A A, (a, b) a + b. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 10 / 80

Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80

Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80

Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80

Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 A, jolle 0 + a = a kaikilla a A. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80

Group Abelian group Määritelmä 2 Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c (b) a + b = b + a kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 A, jolle 0 + a = a kaikilla a A. (d) Kaikilla a A on olemassa vasta-alkio/additive inverse a A, jolle a + ( a) = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 11 / 80

Group Basics of equation manipulation Huomautus 2 Let A be an Abelian group and a, b A. By the indentity axiom c we may add the same element c A to the both sides of the identity a = b whereupon a + c = b + c. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 12 / 80

Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80

Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80

Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku: missä a + b R, kun a R ja b R + : R R R, (a, b) a + b, Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80

Ring Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku: missä a + b R, kun a R ja b R sekä kertolasku : + : R R R, (a, b) a + b, : R R R, (a, b) a b, missä a b R, kun a R ja b R. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 13 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Commutative ring with unity Määritelmä 3 Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. (d) Kaikilla a R on olemassa vasta-alkio/additive inverse a R, jolle a + ( a) = 0. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 14 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki/distribution law: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Ykkösellinen kommutatiivinen rengas 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 3. Osittelulaki/distribution law: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 15 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Mutta (R, ) EI/NOT ole kertolaskun suhteen (välttämättä/necessarily) ryhmä/group. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Mutta (R, ) EI/NOT ole kertolaskun suhteen (välttämättä/necessarily) ryhmä/group. Kertolaskun neutraalialkio on ykkösalkio/identity element 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 16 / 80

Ring Huomautus 3 If we assume #R 2, then 0 1. Merkintä 1 Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: a b = ab. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 17 / 80

Ring Määritelmä 4 Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.1) on renkaan R yksikköryhmä (unit group). Usein käytetään esitystä jolloin pätee R = {u R v R : uv = 1}, (3.2) u R 1 = uv, u, v R. (3.3) Jos R = K kunta/field, niin K = K\{0}. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 18 / 80

Integral Domain Määritelmä 5 Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä (zero divisor), jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 6 Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue/integral domain, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0, a, b D aina seuraa a = 0 tai b = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 19 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field Määritelmä 7 Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K on olemassa vasta-alkio a K, jolle a + ( a) = 0. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 20 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. 3. Osittelulaki: Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. 3. Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c K. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 21 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Sanotaan siis, että (K, ) on kunnan K kertolaskuryhmä, jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 22 / 80

Field LYHYESTI: Kolmikko (K, +, ), #K 2 on kunta, jos: 1 (K, +) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2 (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3 a(b + c) = ab + ac, a, b, c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0, 1 K, 0 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 23 / 80

Field Esimerkki 1 Field K is an integral domain. Proof: Let ab = 0, (3.4) where a, b K. Antithesis: a 0 and b 0. Because K is a field, then a 1 K. Multiplying (3.4) by a 1 gives A contradiction. a 1 ab = a 1 0 b = 0. (3.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 24 / 80

Field Esimerkki 2 The fields Q, R, C and Z p := Z/pZ, where p P, are integral domains. Esimerkki 3 Any subring S of a field K is an integral domain. Esimerkki 4 Z is an integral domain. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 25 / 80

Field Esimerkki 5 The set Z[i] = {a + ib a, b Z} (3.6) of Gaussian integers is an integral domain and its unit group is Z[i] = {1, i, 1, i}. (3.7) Esimerkki 6 If n Z 2 \ P, then the set Z n := Z/nZ (3.8) is not an integral domain. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 26 / 80

Field Karakteristika Määritelmä 8 Let R be a ring. Characteristic/Karakteristika on { p p P : p1 = 0; char R = 0 n Z + : n1 = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 27 / 80

Ideal Määritelmä 9 Olkoon R kommutatiivinen rengas ja I R. Tällöin I on R:n ideaali, jos 1) (I, +) (R, +), 2) Ra I, a I. In other words: Let R be a commutative ring and I R. Then I is an ideal of R, if 1) a b I, 2) ra I for all a, b I and r R. In the definition of ideal we do not assume that the ring has a unity. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 28 / 80

Ideal Määritelmä 10 Trivial ideals are {0} and R. An ideal I of R is a proper ideal if I R. Edelleen, ideaali M R on R:n maksimaalinen ideaali, jos M I R ja I on R:n ideaali, niin I = R. Renkaan R aito ideaali P on alkuideaali/prime ideal, jos ehdosta ab P seuraa a P tai b P. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 29 / 80

Ideal Esimerkki 7 Let R be a commutative ring with unity and I R an ideal. If 1 I, then I = R. Lause 1 Let R be a commutative ring, I and J ideals in R. Then the sets 1) I J, 2) I + J = {a + b a I, b J} are ideals in R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 30 / 80

Ideal Let W R. Define a set W = (W ) := W I I (3.9) the intersection of all the ideals of R containing W. Lause 2 W is an ideal of R. The smallest/suppein ideal containing W. By Theorem 2 the sets {a}, a R, are ideals. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 31 / 80

Ideal Principal ideals Määritelmä 11 The ideal a := {a} is a principal ideal/pääideaali generated by a. Rengas on pääideaalirengas, jos sen jokainen ideaali on pääideaali. We denote ar = {ar r R}. (3.10) Lause 3 Let a R. Then ar is an ideal of R. Proof. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 32 / 80

Ideal Principal ideals Lause 4 Let a R. Then a = (a) = ar. (3.11) Proof. Recall that a and ar are ideals. Because a = ({a}) = I = I (3.12) {a} I a I it follows a a. Thus ar a. On the other hand a = ( I = ar {a} I by the property of set intersection. I {a} I, I ar ) ar. (3.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 33 / 80

Ideal Ideals in a field Esimerkki 8 0 = 0R = {0} and 1 = 1R = R. Lause 5 Let R be a commutative ring with unity. Then R is a field exactly when the only ideals are {0} and R. Proof.. Let R be a field. Then.... Let the only ideals be {0} and R. It is enough to show that every non-zero element has an inverse in R. Let a R, a 0. Now a = ar and a = R. Thus R = ar. Take 1 R, then 1 ar and so there exists a b R such that 1 = ab. Hence a 1 = b R. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 34 / 80

Ideal Ideals in Z Now n = nz, generated by n Z, is a principal ideal in Z. Are there others? Lause 6 Let I Z be an ideal. Then there exists an n Z such that In other words: all ideals of Z are principal ideals. Proof. Case I = {0}. I = nz. (3.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 35 / 80

Ideal Ideals in Z Case I {0}. Now there exists a j I Z +. Define then Here we note that nz I. Take then i I. We have n := min{j I Z + } n I. (3.15) i = qn + r, q, r Z, 0 r n 1. (3.16) Because i, n I, then also qn I and i qn I. Thus r I. But r < n. Therefore r < 1 and consequently r = 0 meaning that i = qn. Hence I nz. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 36 / 80

Ideal Maximal ideals in Z Lause 7 Let n Z +. The ideal nz is a maximal ideal of Z exactly when n = p P. Proof. 1. Let n = p P. Suppose there exists an k Z + such that Now pz kz Z. (3.17) p = p 1 pz p kz p = kl (3.18) for some l Z +. Thus k p implying { 1 kz = Z; k = p kz = pz. (3.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 37 / 80

Ideal Maximal ideals in Z We have shown that indeed pz is a maximal ideal. 2. Let then n = ab, a, b Z 2. Now n = ab az and so nz az Z. (3.20) Next we show nz az. Take j = a(b + 1) az and assume j nz j = n + a = ni, i Z (i 1)b = 1. (3.21) A contradiction. In a similar manner az Z. Therefore nz az Z (3.22) showing that nz is not a maximal ideal. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 38 / 80

Ideal Prime ideals in Z Lause 8 Let n Z +. The ideal nz is a prime ideal of Z exactly when n = p P. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 39 / 80

Ideal Ideals in Z Let n, m Z. The least common multiple/pienin yhteinen jaettava is denoted by lcm[n, m]. Lause 9 Let n, m Z +. Then nz mz = lcm[n, m]z. (3.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 40 / 80

Ideal Ideals in nz The ideals of Z are principal ideals nz. In addition, the set S := nz is a ring (now it may happen that 1 / S). Therefore we may talk on the ideals of S. Lause 10 Let I S be an ideal of the ring S := nz. Then there exists an s Z such that I = ss = snz. (3.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 41 / 80

Ring homomorphism Määritelmä 12 Let R 1 and R 2 be rings. The mapping F : R 1 R 2 is a ring homomorphism or morphism, if F (a + b) = F (a) + F (b), F (ab) = F (a)f (b), F (1) = 1 for all a, b R 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 42 / 80

Ring homomorphism Further any morphism is called monomorphism, if it is an injective mapping. isomorphism, if it is a bijective mapping. automorphism, if it is isomorphism: R R. F-automorphism, if H(a) = a, a F R. Rings R 1 and R 2 are called isomorphic or R 1 = R2, if there exists an isomorphism between them. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 43 / 80

Ring homomorphism Määritelmä 13 Let F : R 1 R 2 be a homomorphism. The set is kernel of F and the set is image of F. Ker F = {r R 1 F (r) = 0} Im F = {s R 2 s = F (r) for some r R 1 }. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 44 / 80

Ring homomorphism Määritelmä 13 Let F : R 1 R 2 be a homomorphism. The set is kernel of F and the set is image of F. Ker F = {r R 1 F (r) = 0} Im F = {s R 2 s = F (r) for some r R 1 }. Terminologiaa: Kernel eli ydin eli nollan alkukuva; Image eli kuvajoukko eli arvojoukko. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 44 / 80

Ring homomorphism Lause 11 Ker F is an ideal of R 1 and Im F is a subring of R 2. Lause 12 Rengasmorfismi F on injektio jos ja vain jos Ker F = {0}. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 45 / 80

Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 14 Kunta K on kunnan L alikunta/subfield eli kunta L on kunnan K laajennus/extension K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku/we can interpret L as a vector space over K by setting addition L L L, (α, β) α + β; (4.1) ja skalaarilla r K kertominen/scalar multiplication K L L, (r, α) rα (4.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja/by using the field operations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 46 / 80

Kuntalaajennus/Field extension Kuntalaajennus Määritelmä 15 Kuntalaajennuksen aste/degree of field extension eli [L : K] = dim K L. äärellinen/finite, jos [L : K] <. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 47 / 80

Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi/intermediate field. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 13 Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (4.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 48 / 80

Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Todistus. Olkoot M = α 1,..., α r K = Kα 1 +... + Kα r, dim K M = r; L = β 1,..., β s M = Mβ 1 +... + Mβ s, dim M L = s. (4.4) Valitaan γ L. Sille pätee γ = m j = γ = s m j β j, m j M; j=1 r k ij α i, k ij K i=1 r i=1 j=1 #{α i β j } = rs. s k ij α i β j Kα 1 β 1 +... + Kα r β s, (4.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 49 / 80

Kuntalaajennus/Field extension Kuntatorni/Field tower Osoitetaan vielä, että {α i β j } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan r i=1 j=1 s h ij α i β j = 0, h ij K ( s r ) h ij α i β j = 0, missä {β j } on kanta/m j=1 i=1 r h ij α i = 0, missä {α i } on kanta/k i=1 h ij = 0, i, j. (4.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 50 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 16 Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a, b) (c, d) ad = bc. (5.1) Lause 14 Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 51 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Määritelmä 17 Ekvivalenssiluokille [a, b] = {(c, d) D (c, d) (a, b)} sovitaan yhteenlasku [a 1, b 1 ] + [a 2, b 2 ] = [a 1 b 2 + b 1 a 2, b 1 b 2 ] (5.2) ja kertolasku [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] = [a 1 a 2, b 1 b 2 ] (5.3) aina, kun (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) D. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 52 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lemma 1 Operaatiot + : D D D : D D D ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Lemma 2 [0, 1] = [0, b] b D \ {0}; (5.4) [1, 1] = [a, a] a D \ {0}; (5.5) [a, b] = [ac, bc] c D \ {0}. (5.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 53 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on [0, 1] Q(D), koska [0, 1] + [a, b] =... = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lause 15 Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] + [cf + de, df ] = [a(df ) + b(cf + de), b(df )] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f ] = [ad + bc, bd] + [e, f ] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on [0, 1] Q(D), koska [0, 1] + [a, b] =... = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 1d: Alkion [a, b] Q(D) vasta-alkio/additive inverse on [ a, b] Q(D), koska [a, b] + [ a, b] =... = [0, 1]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 54 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 2d: Alkion [a, b] Q(D) käänteis-alkio/inverse on [b, a] Q(D), koska [a, b] [b, a] = [1, 1]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions 2a: [a, b] ([c, d] [e, f ]) = ([a, b] [c, d]) [e, f ]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 2d: Alkion [a, b] Q(D) käänteis-alkio/inverse on [b, a] Q(D), koska [a, b] [b, a] = [1, 1]. 3a: [a, b] ([c, d] + [e, f ]) = [a, b] [c, d] + [a, b] [e, f ]? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 55 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. { a 1 a D} = D, (5.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. Merkitään vielä { a 1 a D} = D, (5.7) a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. Merkitään vielä { a 1 a D} = D, (5.7) a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. Edelleen ab 1 = a ( ) b 1 = a 1 1 1 1 b = a b (5.8) apani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 56 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Esimerkki 9 Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 18 Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). Nyt rationaalilukujen supistamis-/cancellation ac bc = a b ja laventamislaki/convert a b = da db seuraa suoraan Määritelmästä 17. (5.9) (5.10) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 57 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Esimerkki 10 Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. Määritelmä 19 Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x 2 = x + 1 = 1 + 1 x x. (5.11) Esimerkki 11 Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 58 / 80

Osamääräkunta/Field of fractions Lause 16 Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: Määritelmä 20 Formaali derivaatta on lineaarinen kuvaus, jolle pätee K((T )) = Q(K[[T ]]). (5.12) K[T ] K(T ) K((T )), (5.13) K[T ] K[[T ]] K((T )). (5.14) D : K((T )) K((T )) DT k = kt k 1 k Z. (5.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 59 / 80

Tekijärakenteita Congruence modulo an ideal Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Define a relation (mod I ), congruence modulo an ideal, by setting a b (mod I ) a b I, a, b R. (6.1) Lause 17 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then the relation (mod I ) is an equivalence relation. Proof. Homework. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 60 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Let a := [a] denote the equivalence class determined by a. Lause 18 a b (mod I ) [a] = [b]. (6.2) Proof. See the general properties of equivalence relation in the Tools box. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 61 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Lause 19 [a] = a + I. (6.3) Proof. c [a] c a (mod I ) c a = i I c = a + i a + I. (6.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 62 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Käytetään ekvivalenssiluokkien joukolle merkintää Asetetaan vielä Lemma 3 Operaatiot R/I = {a a R}. a + b := a + b (6.5) a b := ab. (6.6) + : R/I R/I R/I : R/I R/I R/I ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 63 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on 0 R/I, koska 0 + a = 0 + a = a kaikilla a R/I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Lause 20 Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on 0 R/I, koska 0 + a = 0 + a = a kaikilla a R/I. 1d: Alkion a R/I vasta-alkio/additive inverse on a R/I, koska a + a = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 64 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. 2c: Ykkösalkio/identity on 1 R/I. A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. 2c: Ykkösalkio/identity on 1 R/I. A home work. 3a: a (b + c) = a c + b c? A home work. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 65 / 80

Tekijärakenteita Quotient ring Määritelmä 21 Rengas (R/I, +, ) on jäännösluokkarengas/quotient ring modulo I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 66 / 80

Tekijärakenteita Congruence in Z Esimerkki 12 Let R = Z and I = nz, n Z. Then the congruence modulo an ideal nz reads a b (mod nz) a b nz, a, b Z. (6.7) which means that a b = nk, k Z, a b (mod n) (6.8) in the language of basic courses. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 67 / 80

Tekijärakenteita Renkaiden isomorfialause Lause 21 Olkoot R 1 ja R 2 kommutatiivisia ykkösellisiä renkaita ja rengasmorfismi. Tällöin F : R 1 R 2 R 1 /Ker F = Im F. (6.9) Proof. Tarkastellaan ensin tekijärakennetta R 1 /Ker F. Koska Ker F on renkaan R 1 ideaali, niin R 1 /Ker F = {a a R 1 } (6.10) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, jonka alkiot ovat muotoa a = a + Ker F. (6.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 68 / 80

Tekijärakenteita The isomorphism theorem of rings Asetetaan sitten 0. Todistetaan ensin, että F (a) := F (a) a R 1 /Ker F. (6.12) F : R 1 /Ker F Im F. (6.13) on (hyvinmääritelty) funktio eli jos a = b, niin pitäisi olla F (a) = F (b). Olkoon siis a = b, jolloin a b (mod Ker F ) eli a b Ker F. Lasketaan F (a) F (b) = F (a) F (b) = F (a b) = 0, (6.14) joten todellakin F (a) = F (b). qed. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 800323A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA I FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 I 69 / 80