800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II

Transkriptio

1 800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA II FIELD EXTENSIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 1 / 86

2 Reducibility of polynomials Degree of polynomial Määritelmä 1 Jos p n 0, niin polynomin P(x) = n k=0 p kx k aste/degree on Lisäksi nolla-polynomille 0(x) asetetaan/set deg P(x) = n. (1.1) deg 0(x) =. (1.2) Lause 1 Astekaava/Degree formula. Olkoon D kokonaisalue ja P(x), Q(x) D[x]. Tällöin deg P(x)Q(x) = deg P(x) + deg Q(x). (1.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 2 / 86

3 Reducibility of polynomials Division algorithm Lause 2 Jakoalgoritmi/Division algorithm. Olkoon K kunta. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (1.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 3 / 86

4 Reducibility of polynomials Reducibility of polynomials Määritelmä 2 Let K be a field. A. A polynomial j(x) K[x] is irreducible/jaoton if there do not exist polynomials a(x), b(x) K[x] such that j(x) = a(x)b(x), deg a(x) 1, deg b(x) 1. (1.5) B. A polynomial r(x) K[x] is reducible/jakaantuu if there exist polynomials a(x), b(x) K[x] such that r(x) = a(x)b(x), deg a(x) 1, deg b(x) 1. (1.6) C. The zero-polynomial 0(x) K[x] is reducible/jakaantuu. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 4 / 86

5 Reducibility of polynomials Reducibility of polynomials Seuraus 1 1. If deg j(x) = 0, then j(x) is irreducible. 2. If deg j(x) = 1, then j(x) is irreducible. 3. A polynomial j(x) K[x] \ {0(x)} is irreducible exactly, when the only factors are constants k or polynomials k j(x), where k K \ {0}. 4. A polynomial r(x) K[x], deg r(x) 2, is reducible exactly, when it has a factor d(x) K[x] such that 1 deg d(x) deg r(x) 1. (1.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 5 / 86

6 Reducibility of polynomials Zero/First degree factor Lause 3 Olkoon K kunta ja p(x) K[x], 1 deg p(x). Tällöin p(α) = 0, α K (x α) p(x). (1.8) K[x] Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 6 / 86

7 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Lemma 1 Olkoon K on kunta ja r(x) K[x], deg r(x) = 2 tai deg r(x) = 3. A. Jos r(x) jakaantuu/is reducible polynomirenkaassa K[x], niin sillä on 1. asteen tekijä/then it has first degree factor a(x) K[x] ja r(β) = 0, β K. (1.9) B. Jos nollakohtaa ei ole K:ssa/If there is no zero in K, niin r(x) on jaoton/irreducible polynomirenkaassa K[x]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 7 / 86

8 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Proof. A. Now 2 deg r(x) 3 and there exist a(x), b(x) K[x] such that r(x) = a(x)b(x), 1 m := deg a(x) n := deg b(x). (1.10) Then, by the degree formula (1.3): Thus 2 m + n 3 m = 1. (1.11) a(x) = s + tx, s, t K, t 0, β := s/t K (1.12) a(β) = 0 r(β) = 0. (1.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 8 / 86

9 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Esimerkki 1 Olkoon r(x) = x Koska r(i) = 0, i C, niin r(x) jakaantuu polynomirenkaassa C[x]: x = (x i)(x + i), deg(x i) = deg(x + i) = 1. x i, x + i C[x], (1.14) Esimerkki 2 Olkoon r(x) = x Koska x kaikilla x R, niin polynomilla r(x) ei ole nollakohtia kunnassa R. Niinpä x R[x], on jaoton. (1.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018II 9 / 86

10 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Esimerkki 3 Olkoon r(x) = x Because r(1) = 0, where 1 Z 2, then r(x) is reducible in the polynomial ring Z 2 [x]: x = (x 1)(x + 1), deg(x 1) = deg(x + 1) = 1. x 1, x + 1 Z 2 [x], (1.16) Esimerkki 4 Olkoon r(x) = x Because r(0) = 1, r(1) = 2, r(2) = 2, where 0, 1, 2 Z 3, then r(x) has no zeros in the field Z 3 : x Z 3 [x], is irreducible. (1.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 10 / 86

11 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Esimerkki 5 Let r(x) = x 3 + 3x + 2. Because r(0) = r(1) = 0, where 0, 1 Z 2, then r(x) is reducible in the polynomial ring Z 2 [x]: x 3 + 3x + 2 =... = (x 0)(x 1) 2, deg(x 0) = deg(x 1) = 1. x 0, x 1 Z 2 [x], (1.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 11 / 86

12 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Esimerkki 6 r(x) = x = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2x + 2), x 2 2x + 2, x 2 + 2x + 2 R[x]. (1.19) Tässä polynomilla r(x) R[x] ei ole reaalisia nollakohtia mutta se jakaantuu polynomirenkaassa R[x]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 12 / 86

13 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Esimerkki 7 Olkoon r(x) = x 4 + x + 2. Because r(0) = 2, r(1) = 1, r(2) = 2, where 0, 1, 2 Z 3, then r(x) has no zeros in the field Z 3 and therefore r(x) has no first degree factors in the polynomial ring Z 3 [x]. There remains a possibility x 4 + x + 2 = a(x)b(x), deg a(x) = deg b(x) = 2. (1.20) Write a(x) = x 2 + cx + d, b(x) = x 2 + ex + f, c, d, e, f Z 3. (1.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 13 / 86

14 Reducibility of polynomials Polynomien jaollisuus Then we have the identity x 4 + x + 2 = (x 2 + cx + d)(x 2 + ex + f ), = x 4 + (e + c)x 3 + (f + ce + d)x 2 + (cf + de)x + df df = 2 cf + de = 1 f + ce + d = 0 e + c = 0 where the system of equations has no solution in Z 3. Hence the polynomial x 4 + x + 2 is irreducible in the polynomial ring Z 3 [x]. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 14 / 86

15 Quotient rings of polynomials Ideals in polynomial rings Let K be a field and K[x] a polynomial ring. Now a(x) = a(x)k[x], generated by a(x) K[x], is a principal ideal in K[x]. Are there others? Lause 4 Let I K[x] be an ideal. Then there exists an a(x) K[x] such that I = a(x)k[x]. (2.1) In other words: all ideals of K[x] are principal ideals. Proof is based on the division algorithm of polynomials and it is analogous to the proof of Theorem 6, Part I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 15 / 86

16 Quotient rings of polynomials Ideals in polynomial rings Maximal ideals in K[x] Lause 5 Let a(x) K[x], deg a(x) 1. The ideal a(x) = a(x)k[x] (2.2) is a maximal ideal of K[x] exactly when a(x) is an irreducible/jaoton polynomial in K[x]. Proof. 1. Let a(x) K[x] be an irreducible polynomial. Suppose there exists a b(x) K[x] such that Now a(x)k[x] b(x)k[x] K[x]. (2.3) a(x) = a(x) 1 a(x)k[x] a(x) b(x)k[x] a(x) = b(x)c(x) (2.4) for some c(x) K[x]. But a(x) is irreducible, hence Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 16 / 86

17 Quotient rings of polynomials Ideals in polynomial rings Maximal ideals in K[x] { k K b(x)k[x] = kk[x] = K[x]; b(x) = ka(x), k K b(x)k[x] = ka(x)k[x] = a(x)k[x]. (2.5) Now we have shown that a(x)k[x] is a maximal ideal. 2. Assume a(x)k[x] is a maximal ideal. Then the proof is analogous to the proof of Theorem 7, Part I. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 17 / 86

18 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring K[x]/ a(x) Lause 6 Let a(x) K[x], deg a(x) 1 be an irreducible polynomial. Then the quotient ring K[x]/ a(x) = K[x]/a(x)K[x] (2.6) is a field. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 18 / 86

19 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring R[x]/ x The polynomial j(x) := x is irreducible/jaoton in R[x]. Thus the ideal is a maximal ideal in R[x]. M := x = j(x)r[x] (2.7) Lause 7 The quotient ring is a field. R[x]/ x (2.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 19 / 86

20 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring R[x]/ x We denote M := x 2 + 1, a(x) = a(x) + M, j(x) = x Let us study the structure of the field R[x]/ x = R[x]/M = {a(x) a(x) R[x]}. (2.9) By the division algorithm there exist polynomials q(x), r(x) R[x] such that a(x) = q(x)j(x) + r(x), deg r(x) < deg j(x) = 2. (2.10) So a(x) r(x) = j(x)q(x) j(x)r[x] = M, (2.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 20 / 86

21 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring R[x]/ x a(x) r(x) (mod M) a(x) = r(x), (2.12) where deg r(x) 1. Therefore a(x) = s + tx, s, t R. (2.13) E.g. x 3 + x = (x 2 + 1)x j(x)r[x] = M, (2.14) x 3 + x (mod M) x 3 + x + 2 = 2. (2.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 21 / 86

22 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring R[x]/ x We have R[x]/ x = {s + tx s, t R}, (2.16) where s + tx = s + t x. (2.17) We may prove that there exists an isomorphism {t t R} = {t t R} = R. (2.18) Thus we may equate/samaistaa t with t for any t R and write s + t x = s + t x, (2.19) R[x]/ x = {s + t x s, t R}. (2.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 22 / 86

23 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) Quotient ring R[x]/ x Zero: x = x j(x)r[x] = M, (2.21) x (mod M) x = 0. (2.22) Hence (by our equate agreement) x = 0. (2.23) By renaming it follows where i := x (2.24) R[x]/ x = {s + t i s, t R}, (2.25) i 2 = 1. (2.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 23 / 86

24 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) The field R[x]/ x The quotient ring R[x]/ x = {s + t i s, t R}, i 2 = 1 (2.27) is a field and therefore all the field axioms are valid. For example (s + ti) + (u + vi) = (s + u) + (t + v)i; (2.28) (s + ti) (u + vi) =... = (su tv) + (sv + tu)i; (2.29) (s + ti) 1 = 1 s + ti =... = s ti s 2 + t 2. (2.30) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 24 / 86

25 Quotient rings of polynomials Quotient ring K[x]/ a(x) The field R[x]/ x Hence, it is justifiable to give a definition Määritelmä 3 C := R[x]/ x (2.31) All together: We have extended the real number field R to complex number field C by the method of quotient ring. By the same method we can construct new unknown fields from the known fields. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 25 / 86

26 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x The quotient ring Q[x]/ x = {s + t i s, t Q}, i 2 = 1 (3.1) is a field, an algebraic extension of the rational number field Q. We denote Q(i) := {s + t i s, t Q} (3.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 26 / 86

27 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 The polynomial j(x) := x 3 2 is irreducible/jaoton in Q[x]. Thus the ideal is a maximal ideal in Q[x]. M := x 3 2 = j(x)q[x] (3.3) Lause 8 The quotient ring is a field. Q[x]/ x 3 2 (3.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 27 / 86

28 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 We denote M := x 3 2, a(x) = a(x) + M, j(x) = x 3 2. Let us study the structure of the field Q[x]/ x 3 2 = Q[x]/M = {a(x) a(x) Q[x]}. (3.5) By the division algorithm there exist polynomials q(x), r(x) Q[x] such that a(x) = q(x)j(x) + r(x), deg r(x) < deg j(x) = 3. (3.6) So a(x) r(x) = j(x)q(x) j(x)q[x] = M, (3.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 28 / 86

29 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 a(x) r(x) (mod M) a(x) = r(x), (3.8) where deg r(x) 2. Therefore a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, a 0, a 1, a 2 Q. (3.9) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 29 / 86

30 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 We have Q[x]/ x 3 2 = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a 0, a 1, a 2 Q}, (3.10) where a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2. (3.11) We equate/samaistaa t with t Q and write a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, (3.12) Q[x]/ x 3 2 = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a 0, a 1, a 2 Q}. (3.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 30 / 86

31 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 Zero: x = x 3 2 j(x)r[x] = M, (3.14) x (mod M) x 3 2 = 0. (3.15) Hence (by our equate agreement) x 3 2 = 0. (3.16) By renaming it follows α = x (3.17) Q[x]/ x 3 2 = {a 0 + a 1 α + a 2 α 2 a 0, a 1, a 2 Q}, (3.18) where α 3 = 2. (3.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 31 / 86

32 Field extensions of Q Quotient ring Q[x]/ x 3 2 Now we denote Q(α) := Q[x]/ x 3 2 = {a 0 + a 1 α + a 2 α 2 a 0, a 1, a 2 Q}, (3.20) where α 3 = 2, α Q(α). (3.21) Hence, we have constructed an extension field Q(α) of Q, where j(α) = 0, α / Q. (3.22) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 32 / 86

33 Field extensions of Q Linear space Q(α) From the representation we see that Q(α) = {a a 1 α + a 2 α 2 a 0, a 1, a 2 Q} (3.23) Q(α) = 1, α, α 2 Q, (3.24) a linear hull/lineaarinen verho generated by 1, α, α 2. In other words, Q(α) is a linear space over the field Q. In addition it can be proved that 1, α, α 2 are linearly independent over the field Q. Thus dim Q Q(α) = 3 = deg j(x), j(x) = x 3 2. (3.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 33 / 86

34 Field extensions of Q Computing in the field Q(α) Now we know that every element τ Q(α) can be given in a standard form τ = a 0 + a 1 α + a 2 α 2, a 0, a 1, a 2 Q. (3.26) Esimerkki 8 α 11 = ( α 3) 3 α 2 = 8α 2. (3.27) α 1 = 1 α = α2 α 3 = 1 2 α2. (3.28) 1 α + π = π 3 (α2 πα + π 2 ). (3.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 34 / 86

35 Field extensions of Q Inverses in Q(α) How to compute for a 0 + a 1 α + a 2 α 2 0? Let us use the Euclidean algorithm. Esimerkki 9 1 a 0 + a 1 α + a 2 α 2 (3.30) Find the inverse of 2 α + α 2 : Write a(x) = x 2 x + 2 and j(x) = x 3 2 and compute Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 35 / 86

36 Field extensions of Q Inverses in Q(α) x 3 2 = (x + 1)(x 2 x + 2) (x + 4) x 2 x + 2 = (x 5)(x + 4) = x 2 x + 2 (x 5)(x + 4) = x 2 x + 2 (x 5)((x + 1)(x 2 x + 2) (x 3 2)) x 2 x + 2 (x 5)((x + 1)(x 2 x + 2) (mod x 3 2) ( x 2 + 4x + 6)(x 2 x + 2) (mod x 3 2) Thus (x 2 x + 2) 1 22 ( x 2 + 4x + 6) 1 (mod x 3 2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 36 / 86

37 Field extensions of Q Inverses in Q(α) x 2 x + 2 ( x 2 + 4x + 6)/22 = 1 x 2 x = ( x 2 + 4x + 6)/22 (α 2 α + 2) 1 = ( α 2 + 4α + 6)/22. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 37 / 86

38 FINITE FIELDS Määritelmä 4 A field F = F q is a finite field, if Note that #F q = q 2. Huomautus 1 Let F = F q be a finite field with #F q = q, then for some p P and n Z +. The notation GF (p n ), Galois field, is also common. #F q = q <. (4.1) q = p n (4.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 38 / 86

39 FINITE FIELDS Examples A finite field Z/pZ We shall use the shorthand notation Z n := Z/nZ. (4.3) Esimerkki 10 Let p P. Then the field Z p = {0, 1,..., p 1} (4.4) has p elements. In other words, the number/lukumäärä #Z p = p < of the elements in the set Z p is finite. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 39 / 86

40 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 Esimerkki 11 The polynomial j(x) := x 2 + x + 1 is irreducible/jaoton in Z 2 [x]. Thus the ideal M := x 2 + x + 1 = j(x)z 2 [x] (4.5) is a maximal ideal in Z 2 [x]. Lause 9 The quotient ring is a field. Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 (4.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 40 / 86

41 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 We denote M := x 2 + x + 1, a(x) = a(x) + M, j(x) = x 2 + x + 1. Let us study the structure of the field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 = Z 2 [x]/m = {a(x) a(x) Z 2 [x]}. (4.7) By the division algorithm there exist polynomials q(x), r(x) Z 2 [x] such that a(x) = q(x)j(x) + r(x), deg r(x) < deg j(x) = 2. (4.8) So a(x) r(x) = j(x)q(x) j(x)z 2 [x] = M, (4.9) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 41 / 86

42 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 a(x) r(x) (mod M) a(x) = r(x), (4.10) where deg r(x) 1. Therefore a(x) = s + tx, s, t Z 2. (4.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 42 / 86

43 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 We have Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 = {s + tx s, t Z 2 }, (4.12) where s + tx = s + t x. (4.13) We may prove that there exists an isomorphism {t t Z 2 } = {t t Z 2 } = Z 2. (4.14) Thus we may equate/samaistaa t with t for any t Z 2 and write s + t x = s + t x, (4.15) Z 2 [x]/ x = {s + t x s, t Z 2 }. (4.16) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 43 / 86

44 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 Zero: x 2 + x = x 2 + x + 1 j(x)r[x] = M, (4.17) x 2 + x (mod M) x 2 + x + 1 = 0. (4.18) Hence (by our equate agreement) x 2 + x + 1 = 0. (4.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 44 / 86

45 FINITE FIELDS Examples The finite field Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 By renaming it follows where α := x (4.20) Z 2 [x]/ x = {s + t α s, t Z 2 }, (4.21) α 2 + α + 1 = 0. (4.22) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 45 / 86

46 FINITE FIELDS Examples The finite field F 4 Now F 4 := Z 2 [x]/ x 2 + x + 1 = {s + t α s, t Z 2 }, α 2 + α + 1 = 0 (4.23) is a field which has four elements F 4 = {0, 1, α, 1 + α}, α 2 + α + 1 = 0. (4.24) In addition, the field F 2 := Z 2 = {0, 1} is a subfield of F 4. Thus, in F 4 holds e.g = 0; 2x = 0, x F 4. (4.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 46 / 86

47 FINITE FIELDS Examples The finite field F 4 Further, by the field axioms α 2 = 1 α = 1 + α; α + (1 + α) = 1 + 2α = 1; α (1 + α) = α + α 2 = α α = 1; α 3 = 1. (4.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 47 / 86

48 FINITE FIELDS Examples Addition table of F 4 Note that (F 4, +) is an Abelian group. Below the addition table: α 1 + α α 1 + α α α α α 1 + α α 1 + α α 1 0 NOTE: (F 4, +) = (Z4, +)!! A homework. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 48 / 86

49 FINITE FIELDS Examples Multiplication table of F 4 Note that (F 4, ) is an Abelian group. Below the multiplication table: 1 α 1 + α 1 1 α 1 + α α α 1 + α α 1 + α 1 α Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 49 / 86

50 FINITE FIELDS Examples Multiplication table of F 4 Noting that 1 = α 0 and 1 + α = α 2, gives F 4 = {α 0, α 1, α 2 }. (4.27) Therefore the multiplication table looks like: α 0 α 1 α 2 α 0 α 0 α 1 α 2 α 1 α 1 α 2 α 0 α 2 α 2 α 0 α 1 NOTE: (F 4, ) = (Z 3, +)!! A homework. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 50 / 86

51 FINITE FIELDS Examples In a nutshell: Creating new fields 1) Pick your favourite field K. 2) Take an irreducible polynomial j(x) K[x] of degree d. 3) Denote α := x and k := k for k K. 4) Then you have a new field L := {a 0 + a 1 α a d 1 α d 1 a 0,..., a d 1 K}. 5) j(α) = 0. 6) K is a subfield of L. Now, the essential fact is that L is a field. Therefore you may compute in the usual way taking into account that j(α) = 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 51 / 86

52 FINITE FIELDS Examples The finite field F 9 Esimerkki 12 1) Take the field Z 3. 2) j(x) := x 2 + x + 2 is irreducible in Z 3 [x] and deg j(x) = 2. 3) Denote α := x and k := k for k Z 3. 4) Then you have a new field F 9 := {a 0 + a 1 α a 0, a 1 Z 3 }. 5) j(α) = α 2 + α + 2 = 0. 6) Z 3 is a subfield of F 9. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 52 / 86

53 FINITE FIELDS Examples The finite field F 9 Basic properties of the field F 9 : # F 9 = # {a 0 + a 1 α a 0, a 1 Z 3 } = 3 2. (4.28) α 2 = α 2 = 1 + 2α. (4.29) Basic properties of the multiplication group F 9 = F 9 \ {0}: # F 9 = 8. (4.30) β 8 = 1 β F 9. (4.31) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 53 / 86

54 FINITE FIELDS Examples The multiplication group F 9 α 0 = α α 1 = α α 2 = α α 3 = α α 4 = α α 5 = α α 6 = α α 7 = α (4.32) Hence {α m m = 0, 1,..., 7} = F 9. (4.33) Therefore the group F 9 is a cyclic group, generated by α. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 54 / 86

55 FINITE FIELDS Examples The finite field F 9 /II Let us try a different irreducible polynomial: x Esimerkki 13 1) Take the field Z 3. 2) j(x) := x is irreducible in Z 3 [x] and deg j(x) = 2. 3) Denote ι := x and k := k for k Z 3. 4) Then you have a field F 9 := {a 0 + a 1 ι a 0, a 1 Z 3 }. 5) j(ι) = ι = 0. 6) Z 3 is a subfield of F 9. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 55 / 86

56 FINITE FIELDS Examples The finite field F 9 /II Basic properties of the field F 9 : # F 9 = # {a 0 + a 1 ι a 0, a 1 Z 3 } = 3 2. (4.34) ι 2 = 1 = 2. (4.35) Basic properties of the multiplication group F 9 = F 9 \ {0}: Again we have # F 9 = 8. (4.36) β 8 = 1 β F 9. (4.37) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 56 / 86

57 FINITE FIELDS Examples The multiplication group F 9 /II ι 0 = ι ι 1 = ι ι 2 = ι ι 3 = ι ι 4 = ι = ι 0 ι 5 = ι = ι 1 ι 6 = ι = ι 2 ι 7 = ι = ι 3 (4.38) BUT Now: {ι m m = 0, 1,..., 7} = {ι 0, ι 1, ι 2, ι 3 } F 9.!!! (4.39) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 57 / 86

58 FINITE FIELDS Examples The finite field F 125 Esimerkki 14 Use the irreducible polynomial j(x) = x 3 + 3x + 2 Z 5 [x]. Basic properties of the field F 125 : F 125 = {a 0 + a 1 α + a 2 α 2 a 0, a 1, a 2 Z 5 } = 5 3, # F 125 = 5 3. (4.40) Basic properties of the multiplication group F 125 : α 3 = 3 + 2α. (4.41) # F 125 = 124. (4.42) β 124 = 1 β F 125. (4.43) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 58 / 86

59 FINITE FIELDS Examples The finite fields F 2 n, n = 1, 2,..., 7 Now p = 2. Use the corresponding irreducible polynomial j(x) Z 2 [x]: F 2 1 = Z 2 F 2 2 j(x) = x 2 + x + 1 F 2 3 j(x) = x 3 + x + 1 F 2 4 j(x) = x 4 + x + 1 F 2 5 j(x) = x 5 + x F 2 6 j(x) = x 6 + x + 1 F 2 7 j(x) = x 7 + x + 1 (4.44) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 59 / 86

60 FINITE FIELDS Examples The finite fields F 3 n, n = 1, 2, 3, 4 Now p = 3. Use the corresponding irreducible polynomial j(x) Z 3 [x]: F 3 1 = Z 3 F 3 2 j(x) = x 2 + x + 2 F 3 3 j(x) = x 3 + 2x + 1 F 3 4 j(x) = x 4 + x + 2 (4.45) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 60 / 86

61 FINITE FIELDS Examples The finite fields F 5 n, n = 1, 2, 3 Now p = 5. Use the corresponding irreducible polynomial j(x) Z 5 [x]: F 5 1 = Z 5 F 5 2 j(x) = x 2 + x + 2 F 5 3 j(x) = x 3 + 3x + 2 (4.46) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 61 / 86

62 Theory of finite fields Basics We will present just some very basics of the theory of finite fields. Lause 10 Let F = F q be a finite field with #F q = q, then for some p P and n Z +. Lause 11 q = p n (5.1) Let p P and n Z + be given. Then there exists a finite field F = F q with #F q = p n. (5.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 62 / 86

63 Theory of finite fields Let F q = F q \ {0} be the multiplication group of the finite field F q, q = p n. Note that #F q = q 1 = p n 1. (5.3) Lause 12 There exists an element β F q such that F q = {β k k = 0, 1,..., q 2}. (5.4) In other words, the multiplication group F q is a cyclic group. Such a β is a generator of the cyclic group and we could use the standard group theory notation β := {β k k = 0, 1,..., q 2}. (5.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 63 / 86

64 Theory of finite fields But, in order to avoid confusion with the principal ideal notation we will use the notation: γ G := {γ k k Z} (5.6) for the cyclic group generated by γ. Definition 2 Let G be a group and α G. The order of α is ord α := # α G. (5.7) Now e.g. β G = F q ord β = q 1 (5.8) β is a generator of the group F q Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 64 / 86

65 Theory of finite fields Esimerkki 15 By Example 12 we have ord α = 8, α G = F 9 (5.9) meaning that α is a generator of the group F 9. On the other hand, by Example 13 we have ord ι = 4, ι G F 9 (5.10) meaning that ι is NOT a generator of the group F 9. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 65 / 86

66 Theory of finite fields Let G be a group of order g = #G. Then α g = 1 α G. (5.11) By Lagrange s theorem the order h := #H of a subgroup H G divides the order g := #G of the group G. From the theory of cyclic groups we know that if C is a cyclic group and d c := #C, 1 d c, then there exists a subgroup B C such that #B = d. Lemma 3 ord α = d # α G = d α d = 1. (5.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 66 / 86

67 Theory of finite fields Esimerkki 16 By Example 12 we have ord α 1 = 8, ord α 2 = 4, ord α 4 = 2, ord α 8 = 1. (5.13) By Example 13 we have ord ι 1 = 4, ord ι 2 = 2, ord ι 4 = 1. (5.14) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 67 / 86

68 Theory of finite fields F 9 Esimerkki 17 The order of the multiplication group F 9 is # F 9 = 8, see Example 12. Thus the possible orders of the subgroups are 1, 2, 4, 8. (5.15) In addition, all subgroups are cyclic. By computing: α 0 G = {α 0 } = {1} α 1 G = {α 0, α 1, α 2,..., α 7 } = F 9 α 2 G = {α 0, α 2, α 4, α 6 } (5.16) α 3 G = {α 0, α 3, α 6, α 1, α 4,...} = F 9 α 4 G = {α 0, α 4 }. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 68 / 86

69 Theory of finite fields F 125 Esimerkki 18 The order of the multiplication group F 125 is # F 125 = 124, see Example 14. Thus the possible orders of the subgroups are 1, 2, 4, 31, 62, 124. (5.17) Let us show that α G = F 125 (5.18) where α satisfies α 3 = 3 + 2α, α / Z 5. (5.19) We have the possibilities # α G = 1, 2, 4, 31, 62, 124. (5.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 69 / 86

70 Theory of finite fields F 125 Therefore it is enough to show α 1 1, α 2 1, α 4 1, α 31 1, α (5.21) If If α 1 = 1, α Z 5. A contradiction. (5.22) α 2 = 1, α = ±1 Z 5. A contradiction. (5.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 70 / 86

71 Theory of finite fields F 125 Compute α 4 = 3α + 2α 2 1; α 8 = ( α 4) 2 = (3α + 2α 2 ) 2 = 1 + α + 2α 2 ; α 16 = ( α 8) 2 = (1 + α + 2α 2 ) 2 = 2( 1 + α α 2 ); α 32 = ( α 16) 2 = (2( 1 + α α 2 )) 2 = 3α; α 31 = 3 1; α 62 = ( α 31) 2 = 4 = 1 1. (5.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 71 / 86

72 Theory of finite fields F 125 Therefore meaning also that α G = F 125 (5.25) α 124 = 1, α k 1, 1 k 123. (5.26) In addition, all subgroups are cyclic. E.g. 1 G = {1, 1} F 125, ord ( 1) = 2. (5.27) 2 G = {1, 2, 4, 3} F 125, ord (2) = 4. (5.28) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 72 / 86

73 Theory of finite fields We have #F q = q 1, the order of the multiplication group F q. Therefore α q 1 = 1 α F q α q = α α F q. (5.29) Lause 13 Denote F q = {α 1,..., α q }. Then the polynomial identity x q x = (x α 1 )(x α 2 ) (x α q ) =: (x α) (5.30) α F q holds in F q [x]. Polynomial identity 5.30 is a fundamental tool in the theory of finite fields Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 73 / 86

74 Extension field as a vector space Extension field/vector space 1) Pick your favourite field K. 2) Take an irreducible polynomial j(x) K[x] of degree d. 3) Denote α := x and k := k for k K. 4) Then you have a new field L := {a 0 + a 1 α a d 1 α d 1 a 0,..., a d 1 K}. 5) K is a subfield of L and L is a linear space over K. 6) dim K L = d. 7) [L : K] = d. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 74 / 86

75 Solving low degree equations Second degree Toisen asteen yhtälö x 2 + αx + β = 0. (7.1) Tehdään neliööntäydennys ( x α ) α2 + β = 0 ( x + 1 ) 2 2 α = α2 4β. (7.2) 4 Nyt, riippuen tapauksesta ja kunnasta, yhtälöllä Y 2 = α 2 4β =: D (7.3) on nolla, yksi tai kaksi ratkaisua. Käytetään merkintää D yhtälön (7.3) ratkaisulle. Tällöin yhtälölle (7.1) saadaan (perinteinen) ratkaisukaava: x = α ± D 2 = α ± α 2 4β. (7.4) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 75 / 86

76 Solving low degree equations Second degree Huomaa, että neliööntäydennys vastaa sijoitusta jolloin x = X α 2, (7.5) x 2 + αx + β = 0 X 2 = α2 4β, X = x + α 4 2 (7.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 76 / 86

77 Solving low degree equations Third degree Yhtälöllä x 3 = 1 (7.7) on aina ratkaisu x = 1. Jos yhtälöllä (7.7) on ratkaisu ω 1, niin silloin ω 0 = 1, ω 1 ja ω 2 ovat yhtälön (7.7) erisuuret ratkaisut. Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöä Y 3 = E. (7.8) Käytetään merkintää 3 E yhtälön (7.8) ratkaisulle. Tällöin 3 E, ω 3 E, ω 2 3 E (7.9) ovat yhtälön (7.8) ratkaisut. (Jos E R, niin olkoon 3 E yhtälön (7.8) reaalinen ratkaisu.) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 77 / 86

78 Solving low degree equations Third degree Kolmannen asteen yhtälö Tehdään sijoitus (vastaa kuutioon täydentämistä) jolloin x 3 + αx 2 + βx + γ = 0. (7.10) x = X α 3, (7.11) X 3 αx 2 + α2 3 X α αx 2 2α2 3 X + α3 αβ + βx γ = ) X 3 + (β α2 X + 2α αβ 3 + γ = 0. (7.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 78 / 86

79 Solving low degree equations Third degree Siten kolmannen asteen yhtälö x 3 + αx 2 + βx + γ = 0 (7.13) ja yhtälö ovat yhtäpitävät, missä X 3 + rx + s = 0 (7.14) X = x + α 3 ; r := β α2 3 ; s := 2α3 3 3 αβ 3 + γ. (7.15) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 79 / 86

80 Solving low degree equations Third degree/cardano Kolmannen asteen yhtälö X 3 + rx + s = 0 (7.16) ratkaistaa Cardanon menettelyllä: Kirjoitetaan X = a + b. (7.17) Tällöin a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 + r(a + b) + s = a 3 + b 3 + (3ab + r)(a + b) + s = 0. (7.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 80 / 86

81 Solving low degree equations Third degree/cardano Valitaan nyt a ja b siten, että ab = r 3, (7.19) jolloin saadaan Koska a 3 + b 3 = s, a 3 + b 3 + s = 0. (7.20) ( r ) 3 a 3 b 3 =, (7.21) 3 niin a 3 ja b 3 ovat toisen asteen yhtälön juuria. (A a 3 )(A b 3 ) = A 2 + sa r = 0 (7.22) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 81 / 86

82 Solving low degree equations Third degree/cardano Täten a 3 = s ( s ) 2 ( r ) =: E + ; 2 3 b 3 = s ( s ) 2 ( r ) (7.23) =: E 2 3 ja lisäksi ehdon pitää toteutua. ab = r 3 (7.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 82 / 86

83 Solving low degree equations Third degree/cardano Täten saadaan parit a 1 = 3 E + ; b 1 = 3 E ; a 2 = ω 3 E + ; b 2 = ω 2 3 E ; a 3 = ω 2 3 E + ; b 3 = ω 3 E, (7.25) jotka kaikki toteuttavat identiteetin ab = r 3. (7.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 83 / 86

84 Solving low degree equations Third degree/cardano Kolmannen asteen yhtälön ratkaisut saadaan Cardanon kaavoista X 3 + rx + s = 0 (7.27) X 1 = 3 E E ; X 2 = ω 3 E + + ω 2 3 E ; X 3 = ω 2 3 E + + ω 3 E, (7.28) missä E + = s 2 ± ( s 2 ) 2 + ( r 3 ) 3. (7.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 84 / 86

85 Solving low degree equations Solutions by radicals Edellä olevat 2. ja 3. asteen yhtälöiden ratkaisukaavat on saatu peräkkäisten juurten avulla. Myös 4. asteen yhtälö on juuriratkeava. Voidaan osoittaa, että kaikki 5. asteen polynomiyhtälöt eivät ole juuriratkeavia. Kyseessä olevat n. asteen juuret ovat itseasiassa seuraavan tyyppisten kuntalaajennuksien K[x]/ x n D (7.30) alkioita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 85 / 86

86 Solving low degree equations Towards Galois theory Muodostetaan lähtökunnan K radikaalitorni, johon yhdistetään tutkittavan polynomin nollakohtien permutaatioryhmä... Näin voidaan todistaa, että esimerkiksi ei ole juuriratkeava. x 5 4x + 2 = 0 (7.31) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN A KUNTALAAJENNUKSET YLIOPISTO OSA II FIELD EXTENSIONS KEVÄTPART 2018 II 86 / 86