ALGEBRALLISET LUVUT S. Tapani Matala-aho

Transkriptio

1 ALGEBRALLISET LUVUT S Tapani Matala-aho 24. huhtikuuta 2014

2 Sisältö 1 Johdanto Algebralliset luvut Perusteita 6 3 Renkaat ja kunnat Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field Jaollisuus kokonaisalueessa Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Polynomialgebraa Polynomirengas Polynomien nollakohdista Polynomien jaottomuudesta/tekijöihinjaosta Symmetriset polynomit Kunnista Karakteristika Kuntalaajennus Kuntatorni Osamääräkunta Algebralliset luvut Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Alkiolla laajentaminen Algebralliset kunnat 43 1

3 9 Algebralliset luvut A Lukukunnat Liittoluvut, kuntapolynomi Diskriminantti/EI vaadita Normi ja jälki Kokonaiset algebralliset luvut B Jaollisuus renkaassa Z K Eräs Diofantoksen yhtälö Neliökunnat Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä UFD/Eukleideen alue Työkaluja Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Rengas, Ring Kokonaisalue, Integral Domain Kunta, Field POTENSSI

4 MONIKERTA Rengashomomorfiat Symmetriset peruspolynomit

5 1 Johdanto S ALGEBRALLISET LUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. Erityiseen tarkasteluun otetaan jaollisuus kokonaisalueessa, jonka sovelluksiin törmätään polynomialgebrassa ja kokonaisten algebrallisten lukujen teoriassa. Algebrallisten lukujen teoria lepää vahvasti polynomialgebraan, josta käsitellään polynomien nollakohtia ja jaollisuutta. Algebrallisen luvun määritelmä yleistetään kuntalaajennuksien algebrallisiin alkioihin, joista edetään algebrallisiin kuntiin. Tärkeinpinä algebrallisina kuntina saadaan lukukunnat, jotka ovat äärellisesti generoituja kompleksisten algebrallisten lukujen kunnan A alikuntia. Erityisesti tutkitaan neliökuntia. Edelleen tarkastellaan kokonaisten algebrallisten lukujen jaollisuutta ja tekijöihinjakoa, joita sovelletaan Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemiseen. Esitiedot: Algebra I ja II, Lineaarialgebra I ja II, Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I) Kirjallisuus: I.N. Stewart and D.O. Tall: Algebraic number theory. Daniel Marcus: Number fields. J.B. Fraleigh: Abstract algebra. Michael Artin: Algebra. Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Lukuteorian perusteet. 4

6 1.1 Algebralliset luvut Määritelmä 1.1. Algebralliset luvut saadaan rationaalikertoimisten ei-vakiopolynomien nollakohtina. Esimerkki 1. Luvut 1; (1.1) i; (1.2) 2 1/ /2 ; (1.3) e iπ/m, m Z {0}; (1.4) sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z {0}; (1.5) ovat algebrallisia lukuja. Myös polynomiyhtälön 2 1/3 x /2 x + 1 = 0 (1.6) juuret ovat algebrallisia lukuja. Merkintä 1. Olkoon f : A B ja C B. Tällöin joukon C alkukuva on joukko f 1 (C) = {x A f(x) C}. (1.7) Erityisesti f 1 ({0}) = {x A f(x) = 0}. (1.8) Gauss todisti, että kompleksikertoimisella ei-vakiopolynomilla on aina asteen verran kompleksisia nollakohtia. 5

7 Lause 1.1. ALGEBRAN PERUSLAUSE. Olkoon d = deg p(x) Z + ja p(x) = p 0 + p 1 x p d x d C[x], (1.9) tällöin eli #p 1 ({0}) = deg p(x) = d (1.10) p(x) = p d (x α 1 ) (x α d ), α 1,..., α d C. (1.11) Tällä kurssilla keskitytäänkin kompleksisiin algebrallisiin lukuihin. 2 Perusteita Olkoon K kunta ja d Z +. Polynomi p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x], d = deg p(x) 1, (2.1) on pääpolynomi. Käytetään astetta d olevien pääpolynomien joukolle merkintää K[x] d = {p(x) = p 0 + p 1 x x d K[x]}. (2.2) Määritellään (kompleksiset ) algebralliset luvut rationaalilukujen kunnan suhteen. Määritelmä 2.1. Joukko A d = {α C p(α) = 0, p(x) Q[x] d } (2.3) on korkeintaan astetta d olevien algebrallisten lukujen joukko. Edelleen A = d=1a d (2.4) on kaikkien (kompleksisten) algebrallisten lukujen joukko. 6

8 Määritelmä 2.2. Olkoon K C ja p(x) K[x]. Tällöin on polynomin p(x) nollajoukko. Z(p) = p 1 ({0}) = {α C p(α) = 0} (2.5) Lause 2.1. A 1 = Q. (2.6) Todistus. Merkintä 2. Olkoon D Z. Tällöin Q( D) = {a + b D a, b Q}. (2.7) Lause 2.2. A 2 = D Z Q( D). (2.8) Todistus. 3 Renkaat ja kunnat Tällä kurssilla tarkastellaan ykkösellisiä kommutatiivisia renkaita. Määritelmä 3.1. Ykkösellinen kommutatiivinen rengas R = (R, +, ), #R 1 on yhteenlaskun + suhteen ryhmä ja kertolaskun suhteen se toteuttaa aksiomit on A:n binäärioperaatio eli a b A a, b A. on assosiatiivinen eli a (b c) = (a b) c a, b, c A. 7

9 on kommutatiivinen eli a b = b a a, b A. ykkösalkio = 1 A 1 a = a 1 = a a A. Distribuutiolaki a (b + c) = a b + a c a, b, c A. Määritelmä 3.2. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.1) on renkaan R yksikköryhmä (unit group). Usein käytetään esitystä R = {u R v R : uv = 1}, (3.2) jolloin pätee u R 1 = uv, u, v R. (3.3) Jos R = K kunta, niin K = K {0}. 3.1 Kokonaisalue, Integral Domain Määritelmä 3.3. Renkaan R alkio a = 0 on nollantekijä (zero divisor), jos b R {0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 3.4. Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0, a, b D aina seuraa a = 0 tai b = 0. 8

10 3.2 Kunta, Field Määritelmä 3.5. Kolmikko (K, +, ), #K 2 on kunta, jos: 1) (K, +) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2) (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K {0}. 3) a(b + c) = ab + ac, a, b, c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0, 1 K, 0 = 1. 4 Jaollisuus kokonaisalueessa Olkoon D kokonaisalue. Määritelmä 4.1. Olkoot a, b D. Tällöin b a c D : a = bc. (4.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor). Merkitään: b a, kun b ei jaa a:ta. Esimerkki , 0 a = 0. (4.2) Merkintä 3. Olkoot d, b D ja s N, tällöin d s b d s b ja d s+1 b. (4.3) Lemma 4.1. Olkoot a, b, c D, a = 0. Tällöin ab = ac b = c. (4.4) 9

11 Todistus. ab = ac a(b c) = 0, a = 0, b c = 0. (4.5) Määritelmä 4.2. Alkiot a, b D ovat liitännäisiä (associates) eli a b u D : b = ua. (4.6) Lemma 4.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio eli a a; (4.7) a b b a; (4.8) Todistus. 4.8: a b, b c a c. (4.9) a b b = ua, u D v D : uv = 1, b = ua vb = vua = a a = vb, v D b a. (4.10) Muut kohdat laskareissa. Merkintä 4. Alkion a D määräämä ekvivalenssiluokka on [a] = {b D b a}, (4.11) missä a on luokan [a] edustaja. Lemma 4.3. Olkoon D kokonaisalue ja 1, a, b D. Tällöin a b a b; (4.12) 10

12 a 1 a 1 a D ; (4.13) [1] = D ; (4.14) [a] = ad ; (4.15) a b a b ja b a. (4.16) Todistus. 4.13: a 1 1 = ua, u D a 1; a 1 c D : 1 = ca c D a 1. a 1 a 1. a 1 c D : 1 = ca a, c D ; a D 1 = ua, u D a 1. a 1 a D. 4.14: b [1] b 1 b D. 4.15: x [a] x a a x x = ua, u D x ad. 11

13 4.16: a b b a, a b ja b a; a b ja b a b = ca, a = db, c, d D, b = cdb cd = 1 c, d D, a b ja b a. Huom 1. Olkoon b D. Tällöin b = 1 b = u(u 1 b) u D. (4.17) Siten yksiköt ja alkion liitännäiset ovat aina tekijöinä. Määritelmä 4.3. Alkion b D triviaalit tekijät q ovat kaikki yksiköt ja liittännäiset eli alkiot q [1] ja q [b]. (4.18) Alkio j D, j = 0, j / D triviaaleja tekijöitä eli on jaoton (irreducible), mikäli sillä on vain q j q [1] tai q [j]. (4.19) Alkio p D, p = 0, p / D on alkualkio (prime), mikäli p ab p a tai p b a, b D. (4.20) Merkintä 5. Asetetaan J D = {j D j on jaoton} (4.21) ja P D = {p D p on alkualkio}. (4.22) 12

14 Lemma 4.4. Olkoot a, b D ja j, h J D. Tällöin j = ab a 1 tai b 1. (4.23) j = bh, b 1. (4.24) Todistus. Määritelmä 4.4. Olkoot a, b D annettu. Tällöin alkio d D on alkioiden a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a, b) =gcd(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; (4.25) c a ja c b c d. (4.26) Jos (a, b) 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään (a, b) = 1 tai a b. Määritelmä 4.5. Olkoot a, b D annettu. Tällöin alkio f D on alkioiden a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] =lcm[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; (4.27) a g ja b g f g. (4.28) Esimerkki 3. (0, 0) = 0, [0, 0] = 0. (4.29) Lemma 4.5. Olkoot a D ja j J D. Tällöin j a (a, j) = 1. (4.30) 13

15 Todistus. Määritelmä 4.6. Alkion a D esitys jaottomien alkioiden tulona on yksikäsitteinen, jos ehdosta a = j 1 j r = h 1 h s, j l, h k J D (4.31) seuraa r = s ja h k j l k = 1,..., r jollakin l = 1,..., r. (4.32) Määritelmä 4.7. Kokonaisalue D on UFD eli yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, jos jokainen alkio a D, a = 0, a / D voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a = j 1 j r, j i J D. (4.33) Huom 2. Yksikäsitteisessä tekijöihinjaon alueessa esitystä (4.33) sanotaan alkion a alkutekijähajotelmaksi. Lause 4.1. Olkoon D kokonaisalue. A. P D J D (4.34) eli alkualkiot ovat jaottomia. B. D = UFD J D P D (4.35) eli UFD:n jaottomat alkiot ovat alkualkiota ja tällöin J D = P D. C. J D P D D = UFD. (4.36) Todistus. 14

16 4.1 Jako- ja Eukleideen algoritmit kokonaisalueessa Olkoon nyt D kokonaisalue, jossa on ns. Eukleideen funktio E : D N { } eli pätee Jakoalgoritmi: Jos a, b D on annettu ja ab = 0, 0 E(b) E(a), niin q, r D s.e. (J.A.) a = qb + r ja E(r) < E(b). (4.37) Tälläista aluetta sanotaan Eukleideen alueeksi. (huomaa, että Eukleideen funktion määritelmä vaihtelee.) Esimerkki 4. a)d = Z, E(k) = k. b)d = K[x], E(p(x)) = deg p(x). Jakoalgoritmin nojalla saadaan Eukleideen algoritmi=e.a.: r 0 = a, r 1 = b E(r 1 ) < E(r 0 ) r 0 = q 1 r 1 + r 2 E(r 2 ) < E(r 1 ). r k = q k+1 r k+1 + r k+2 E(r k+2 ) < E(r k+1 ). r n 1 = q n r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus. Asetetaan nyt R k = r k, Q k = q k 1, k N, 1 0 r k+1 jolloin det Q k = 1, Q 1 k = q k 15

17 Nähdään, että (E.A.) R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt eli Edelleen S k = s k s k+1 4) s k+2 1) R 0 = Q 1 Q 2... Q k R k. S 0 = s 0 t 0 = 1 0 s 1 t s k+1 t k+1 t k+2 t k t k+1 = Q k 1... Q 2 1 Q 1 1, 2) R k = S k R 0. 3) S k+1 = Q 1 k+1 S k = 0 1 s k 1 q k+1 s k+1 t k t k+1 s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... syt (a, b) = s n a + t n b, (4.38) missä n on E.A:n pituus. Lause 4.2. Olkoon D Eukleideen alue. Tällöin J D P D (4.39) 16

18 eli jaottomat alkiot ovat alkualkioita. Edelleen, Eukleideen alue on UFD. Todistus. Seuraus A. Z on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. B. K[x] on UFD, missä jaottomat alkiot ovat alkualkioita. 5 Polynomialgebraa 5.1 Polynomirengas Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin R[x] = {P (x) P (x) = n p k x k ; p k R, n N} (5.1) k=0 on R-kertoimisten polynomien joukko. Määritelmä 5.1. Olkoot P (x) = n p k x k, k=0 jolloin asetetaan Q(x) = n q k x k R[x], k=0 P (x) = Q(x) k(p k = q k ); P (x) + Q(x) = k 0(p k + q k )x k ; P (x)q(x) = k 0 r k x k, 17

19 missä k r k = p i q k i = p i q j, (5.2) joka on Cauchyn kertosääntö. Tällöin R[x] on rengas, missä i=0 i+j=k 0(x) = x + 0 x (5.3) on nolla-alkio ja 1(x) = x + 0 x (5.4) on ykkösalkio. Määritelmä 5.2. Jos p n = 0, niin polynomin aste on deg P (x) = n, (5.5) lisäksi asetetaan deg 0(x) =. (5.6) Lause 5.1. Olkoon D kokonaisalue ja P (x), Q(x) D[x]. Tällöin deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (5.7) Todistus laskareissa. Lause A. Olkoon R = D kokonaisalue. Tällöin polynomirengas D[x] on kokonaisalue. B. Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue. Todistus. 18

20 Lause 5.3. Olkoon K kunta. A. Polynomirenkaan K[x] yksikköryhmä on K eli K[x] = K. (5.8) B. Polynomi p(x) K[x] K on jaoton täsmälleen silloin, kun sen ainoat tekijät ovat vakioita k tai polynomeja k p(x), missä k K {0}. C. Edelleen, polynomi p(x) K[x] on jaollinen täsmälleen silloin, kun sillä on tekijä d(x) K[x], jolle pätee 1 deg d(x) deg p(x) 1. (5.9) D. Erityisesti ensimmäisen asteen polynomit ovat jaottomia. Todistus. Lause 5.4. JAKOALGORITMI. Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) = 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [J.A.] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (5.10) Polynomien a(x) ja b(x) suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x), b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi. Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit s(x), t(x) K[x], että d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (5.11) Määritelmä 5.3. Polynomin p(x) = n p k x k K[x] k=0 19

21 (formaali) derivaatta Dp(x)on polynomi Dp(x) = n kp k x k 1 K[x]. (5.12) k=1 Lemma 5.1. Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin deg Dp(x) = deg p(x) 1, deg p(x) 1; (5.13) Todistus. p(x) Dp(x). (5.14) Lause 5.5. Olkoon K kunta ja q(x), g(x), h(x) K[x]. Tällöin q = g 2 h, g 1 d = syt(q, Dq) 1. (5.15) Siten polynomi on neliövapaa täsmälleen silloin kun sillä ei ole yhteisiä tekijöitä derivaattansa kanssa. Todistus. Olkoon q = g 2 h, g 1. Koska Dq = g(2hdg + gdh), niin g syt(q, Dq) ja siten syt(q, Dq) 1. Olkoon d = syt(q, Dq) 1. Tällöin on olemassa p P K[x], p d. Siten q = ps ja Dq = pr. Toisaalta Dq = (Dp)s + pds, joten pr = (Dp)s + pds. Koska p Dp ja p on alkualkio, niin p s. Niinpä s = ph ja q = ps = p 2 h. Esimerkki 5. Olkoon p(x) = x 5 + 2x 3 + x Q[x]. Laskemalla saadaan syt(p, Dp) 1 (5.16) polynomilla p(x) on useampikertainen tekijä renkaassa Q[x]. 20

22 5.2 Polynomien nollakohdista Lause 5.6. Olkoon K kunta ja p(x) K[x], 1 deg p(x). Tällöin p(α) = 0, α K (x α) p(x). (5.17) K[x] Todistus. Olkoon p(α) = 0, α K. Jakoalgoritmin nojalla p(x) = q(x)(x α) + r(x), joten r(x) K on vakio. Edelleen deg r(x) < deg(x α) = 1, (5.18) 0 = p(α) = q(α)(α α) + r(α) = r(α), Oletetaan, että r(x) = 0(x) (x α) p(x). (5.19) K[x] (x α) p(x) = (x α)h(x), K[x] p(α) = 0, α K. (5.20) Huom 3. Olkoon K on kunta ja p(x) K[x], deg p(x) = 2 tai deg p(x) = 3. Jos p(x) jakaantuu polynomirenkaassa K[x], niin sillä on 1. asteen tekijä ja Lauseen 5.6 nojalla p(α) = 0, α K. Jos nollakohtaa ei ole K:ssa, niin p(x) on jaoton polynomirenkaassa K[x]. Laajennetaan Määritelmää 2.2. Määritelmä 5.4. Olkoon K L kuntia ja p(x) K[x]. Tällöin on polynomin p(x) nollajoukko L:ssä. Z L (p) = {α L p(α) = 0} (5.21) 21

23 Määritelmä 5.5. Olkoon α L, K L kuntia ja p(x) K[x]. Jos (x α) m p(x), m N, (5.22) L[x] niin m = m L (α, p(x)) on polynomin p(x) nollakohdan α L kertaluku. Edelleen n L (p(x)) = nollakohtien lukumäärä joukossa L. p(α i )=0, α i L m L (α i, p(x)). (5.23) Lause 5.7. Olkoon α K ja p(x) K[x] ja m N. Tällöin (x α) m K[x] p(x) (5.24) D k p(α) = 0 k = 0,..., m 1, D m p(α) = 0. (5.25) Todistus. Käytä Leibnitzin kaavaa D k (ab) = k i=0 ( ) k D i ad k i b. (5.26) i Esimerkki 6. Olkoon p(x) = (x 1) 3 (x+1/2) 5. Polynomin p(x) nollakohdat ovat α 1 = 1 ja α 2 = 1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m Q (α 1, p(x)) = 3, m Q (α 2, p(x)) = 5 (5.27) ja nollakohtien lukumäärä n Q = = 8. (5.28) Esimerkki 7. Olkoon (x 2 + 1)(x 2 2) R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärät ovat n Q = 0 < 4 = deg p(x). (5.29) 22

24 n R = m( 2) + m( 2) = 2 < 4 = deg p(x). (5.30) n C = 4 = deg p(x). (5.31) Lause 5.8. Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Tällöin pätee n K (p(x)) deg p(x). (5.32) Todistus. Lause 5.9. ALGEBRAN PERUSLAUSE. Olkoon p(x) C[x], deg p(x) 1, tällöin n C (p(x)) = deg p(x). (5.33) Lause Olkoot K L kuntia, p(x) K[x] ja p(x) J K[x]. Tällöin m L (α, p(x)) 1 α L. (5.34) Todistus. Koska p on alkualkio, niin syt K[x] (p, Dp) = 1 = sp + tdp, s, t K[x] L[x]. (5.35) Siten myös syt L[x] (p, Dp) = 1. (5.36) Tällöin ei ole olemassa neliötekijää renkaassa L[x], joten ei ole sellaista α L, että (x α) 2 L[x] p(x). (5.37) Lause Olkoon K kunta, p(x), q(x) K[x], p(x) J K[x] sekä p(α) = q(α) = 0. Tällöin p(x) q(x). (5.38) K[x] 23

25 Todistus. Koska p on alkualkio, niin d = syt K[x] (p, q) = 1 tai p. (5.39) Jos d = 1, niin 1 = s(x)p(x) + t(x)q(x) ja edelleen 1 = s(α)p(α) + t(α)q(α) = 0. Ristiriita. Niinpä d = p ja p q. 5.3 Polynomien jaottomuudesta/tekijöihinjaosta Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 5.6. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x a d x d ) = a 0 + a 1 x a d x d (5.40) r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). Lause Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Määritelmä 5.7. Vektori (a 0,..., a A ) Z m+1 ja polynomi a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] ovat primitiivisiä, jos syt(a 0,..., a A ) = 1. (5.41) Joskus vaaditaan, että primitiiviselle polynomille pätee lisäksi a A 1. 24

26 Lemma 5.2. Olkoot a(x) Z[x] ja B, C Z. A. Jos a(x) on primitiivinen, niin B. Jos D =syt(a 0,..., a A ), niin B C a(x) B C. (5.42) Z[x] Z a(x) = D b(x), b(x) Z[x], (5.43) missä polynomi b(x) on primitiivinen. C. Kohtien A. ja B. polynomit voi korvata vastaavilla vektoreilla. Lemma 5.3. Olkoot b(x) ja c(x) primitiivisiä. Tällöin b(x)c(x) on primitiivinen Todistus. Olkoon a(x) = b(x)c(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] (5.44) ja syt(a 0,..., a A ) = d 2 p P, p d. (5.45) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = 0(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.46) Nyt Z p [x] on kokonaisalue, joten b(x) = 0(x) tai c(x) = 0(x). (5.47) Siten p syt(b 0,..., b B ) tai p syt(c 0,..., c C ) (5.48) mikä on ristiriita. 25

27 Merkintä 6. A. Olkoon B = q r Q, q Z, r Z+, q r. Tällöin on rationaaliluvun B nimittäjä. den(b) := r (5.49) Olkoot den(b j ) = r j, j = 1,..., m, rationaalilukujen B j nimittäjiä. Tällöin pyn(b 1,..., B m ) := pyj(r 1,..., r m ) (5.50) on lukujen B 1,..., B m pienin yhteinen nimittäjä (least common denominator=lcd). Lemma 5.4. Olkoon B(x) = B 0 + B 1 x B m x m Q[x] ja Tällöin polynomi R := pyn(b 0, B 1,..., B m ), Q := syt(rb 0,..., RB m ). (5.51) on primitiivinen. Edelleen R Q. Todistus: Koska R Q B(x) := b 0 + b 1 x b m x m Z[x] (5.52) R Q B j = b j, j = 0, 1,..., m, (5.53) niin (RB 0,..., RB m ) = Q (b 0, b 1,..., b m ), (5.54) missä Q = syt(rb 0,..., RB m ). Siten Lemman 5.2 nojalla (b 0, b 1,..., b m ) ja edelleen polynomi b 0 + b 1 x b m x m ovat primitiivisiä. Tutkitaan väitettä R Q. Olkoon d = syt(r, Q), siten R = dr ja Q = dq, r, q Z +. Yhtälöstä (5.53) saadaan Rq j = Qr j b j rq j = qr j b j, j = 0, 1,..., m. (5.55) 26

28 Koska q j d = 1. r j, niin r j r aina, kun j = 0, 1,..., m. Siten R = dr r, josta Esimerkki 8. B(x) = x x2, R = 15, Q = 7. (5.56) Lause Gaussin lemma. Olkoon a(x) Z[x] primitiivinen ja deg a(x) 2. Jos a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Q[x], niin on olemassa sellaiset primitiiviset polynomit Todistus. Oletetaan, että b(x), c(x) Z[x], että a(x) = b(x)c(x). (5.57) a(x) = B(x)C(x), B(x), C(x) Q[x]. (5.58) Lemman 5.4 nojalla on olemassa sellaiset R, Q, T, S Z +, että R B(x) := b(x) Z[x], Q T S C(x) := c(x) Z[x], R Q, T S, (5.59) missä b(x) ja c(x) ovat primitiivisiä. Edelleen RT a(x) = QSb(x)c(x). (5.60) Koska R Q ja a(x) on primitiivinen, niin Q T = Qt ja vastaavasti S R = Qr. Siispä rta(x) = b(x)c(x), (5.61) missä b(x)c(x) on primitiivinen, joten rt = 1 ja lopulta a(x) = b(x)c(x). Gaussin lemman nojalla polynomin a(x) Z[x] jaollisuutta voidaan tarkastella polynomirenkaassa Z[x]. Siten polynomi on jaoton renkaassa Q[x], jos se on jaoton renkaassa Z[x]. Edelleen saadaan tulos 27

29 Lause Olkoon a(x) Z[x]. Tällöin saadaan yksikäsitteinen esitys a(x) = Aa 1 (x) a n (x), A Z, (5.62) missä a 1 (x),..., a k (x) Z[x] ovat primitiivisiä jaottomia polynomeja. Lause Olkoot p P, a(x) Z[x], a(x) Z p [x] ja A = deg a(x) = deg a(x). Jos a(x) on jaoton polynomirenkaassa Z p [x], niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Vastaoletus eli olkoon a(x) = b(x)c(x), B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1. (5.63) Otetaan reduktio (mod p), jolloin a(x) = b(x)c(x) Z p [x]. (5.64) Koska ja niin deg b(x) B, deg c(x) C (5.65) deg b(x) + deg c(x) = deg a(x) = A, (5.66) deg b(x) = B 1, deg c(x) = C 1. (5.67) Siten a(x) jakaantuu polynomirenkaassa Z p [x]. Ristiriita. Lause Eisensteinin kriteeri. Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x], deg a(x) = A 2. Jos on olemassa sellainen p P, että p a i i = 0, 1,..., A 1, p 2 a 0, p a A, (5.68) niin a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. 28

30 Todistus. Olkoon a(x) = b(x)c(x) Z[x] (5.69) eli a 0 + a 1 x a A x A = (b 0 + b 1 x b B x B )(c c C x C ) (5.70) ja Nyt B = deg b(x) 1, C = deg c(x) 1, B + C = A. (5.71) p a 0 = b 0 c 0, p 2 a 0 joko p b 0 tai p c 0. (5.72) Tarkastellaan tapaus Koska p b 0 ja p c 0. (5.73) p a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0, p b 1 (5.74)... p a B = b 0 c B b B c 0, p b B. (5.75) Mutta a A = b B c C, p a A. (5.76) Ristiriita. Lause Olkoon a(x) = a 0 + a 1 x a A x A Z[x] ja tällöin a(r/s) = 0, r, s Z, r s, (5.77) r a 0, s a A, (5.78) 29

31 Tämän avulla voidaan etsiä polynomin mahdolliset rationaali-nollakohdat. Todistus. Yhtälö (5.77) on yhtäpitävää yhtälön s A a 0 + s A 1 ra sr A 1 a A 1 + r A a A = 0 (5.79) kanssa. Koska r s, niin välttämättä r a 0 ja s a A. Lause Olkoon K kunta, p(x) K[x], p(x) J K[x], deg p(x) = d ja k K. Tällöin p (x) = x d p(1/x) J K[x], p k (x) = p(x + k) J K[x]. (5.80) Todistus laskareissa. Esimerkki 9. Tarkastellaan polynomin a(x) = 4x 3 2x 2 + 3x + 5 Z[x] (5.81) tekijöihinjakoa. Jos 3. asteen polynomi jakaantuu, niin sillä on ainakin yksi 1. asteen tekijä, joten a(x) = b(x)c(x), deg b(x) = 1. (5.82) Valitaan p = 3 ja otetaan reduktio (mod 3) eli Tällöin a(x) = b(x)c(x) Z 3 [x], deg b(x) = 1. (5.83) b(x) a(x) = x 3 + x 2 + 2, deg b(x) = 1. (5.84) Z 3 [x] Lauseen 5.6 nojalla polynomilla a(x) on nollakohta kunnassa Z 3. Mutta a(0) = 2, a(1) = 1, a(2) = 2. (5.85) Ristiriita. Siten a(x) on jaoton polynomirenkaassa Z[x] ja edelleen myös renkaassa Q[x]. 30

32 Esimerkki 10. Eisensteinin kriteerin, p = 7, nojalla a(x) = 7 + 7x 14x 3 + 2x 5 J Q[x]. (5.86) Käyttämällä lausetta 5.18 saadaan b(x) = x 5 a(1/x) = 2 14x 2 + 7x 4 + 7x 5 J Q[x] ; (5.87) b(x 1) = 2 14(x 1) 2 + 7(x 1) 4 + 7(x 1) 5 J Q[x] ; (5.88) Esimerkki 11. Olkoon p P. Tällöin a(x) = 1 + x + x x p 1 J Q[x]. (5.89) Todistus. Aluksi saadaan mihin sijoitetaan x = t + 1. Tällöin a(x) = a(t + 1) = (t + 1)p 1 = t ( ) p t p 1 + t t p 1 a(x) = xp 1 x 1, (5.90) ( ) p t ( ) p t. (5.91) 1 Lukuteorian perusteet kurssin nojalla ( ) p p 1 k p 1. (5.92) k Nyt Eisensteinen kriteerin ehdot ovat voimassa, joten a(t + 1) on jaoton ja siten myös a(x) on jaoton polynomirenkaassa Q[x]. 1. Välikoe tähän asti. 31

33 5.4 Symmetriset polynomit Määritelmä 5.8. Olkoon R rengas. Formaali lauseke P (t 1,..., t m ) = F inite p i1,...,i m t i 1 i t im m, p i1,...,i m R (5.93) on m. muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä t 1,..., t m ovat polynomin muuttujia. Polynomin P aste on deg P (t 1,..., t m ) = max{i i m }. (5.94) Käytetään kaikkien R-kertoimisten polynomien joukolle merkintää R[t 1,..., t m ]. (5.95) Joukkoon R[t 1,..., t m ] voidaan määritellä luonnollisella tavalla identtisyys sekä yhteen- ja kertolaskut. Tällöin kolmikko (R[t 1,..., t m ], +, ) on rengas. Nimittäin, olkoon < i 1,..., i m > termin p i1,...,i m t i 1 i t im m eksponentti. Tällöin termejä voidaan vertailla kuten yhden muuttujan tapauksessa vastinpotensseja. Olkoon S M joukon {1, 2,..., m} permutaatioryhmä. Jos λ S m, niin merkitään p λ (t 1,..., t m ) = p(t λ(1),..., t λ(m) ). (5.96) Määritelmä 5.9. Polynomi p on symmetrinen, jos Määritelmä Polynomit p(t λ(1),..., t λ(m) ) = p(t 1,..., t m ) λ S m. (5.97) 1 j 1 <j 2 <...<j k m ovat symmetriset perusfunktiot. s k = s k (t 1,..., t m ) = (5.98) t j1 t j2 t jk, 32 k = 1,..., m,

34 Lemma 5.5. Symmetriset perusfunktiot s 1,..., s m ovat symmetrisiä polynomeja eli s k (t λ(1),..., t λ(m) ) = s k (t 1,..., t m ) λ S m (5.99) aina, kun k = 1,..., m. Siten polynomeja s 1 = t t m ; (5.100) s 2 = t 1 t 2 + t 1 t t m 1 t m ; (5.101) s 3 = t 1 t 2 t 3 + t 1 t 2 t t m 2 t m 1 t m ; (5.102)... s m = t 1 t 2 t m 1 t m ; (5.103) voidaan kutsua myös symmetrisiksi peruspolynomeiksi. Lause Symmetristen polynomien peruslause. Jokainen renkaan R[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi S(t 1,..., t m ) voidaan esittää symmetristen perusfunktioiden s 1 = s 1 (t 1,..., t m ),..., s m = s m (t 1,..., t m ) polynomina eli on olemassa sellainen P (s 1,..., s m ) R[s 1,..., s m ], että S(t 1,..., t m ) = P (s 1 (t 1,..., t m ),..., s m (t 1,..., t m )). (5.104) Olkoot S R renkaita. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x x m S[x] jakaantuu polynomirenkaassa R[x] seuraavasti a(x) = (x α 1 ) (x α m ), α 1,..., α m R. (5.105) 33

35 Lause Olkoon b(t 1,..., t m ) S[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,..., α m ) S. (5.106) Olkoot K L kuntia. Oletetaan, että polynomi a(x) = a 0 + a 1 x a m x m K[x] jakaantuu polynomirenkaassa L[x] seuraavasti a(x) = a m (x α 1 ) (x α m ), α 1,..., α m L. (5.107) Lause Olkoon b(t 1,..., t m ) K[t 1,..., t m ] symmetrinen polynomi. Tällöin b(α 1,..., α m ) K. (5.108) Todistus. Esimerkki 12. Olkoon x 2 + bx + c = (x α)(x β) Q[x]. (5.109) Tällöin α 2 + β 2 Q, (5.110) α 3 + 2αβ + β 3 Q. (5.111) 34

36 6 Kunnista Olkoon K kunta; 0, 1 K; 1 = Karakteristika Määritelmä 6.1. Kunnan K karakteristika p p P : p1 = 0; char K = 0 n Z + : n1 = Kuntalaajennus Määritelmä 6.2. Kunta K on kunnan L alikunta eli kunta L on kunnan K laajennus K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku L L L, (α, β) α + β; (6.1) ja skalaarilla r K kertominen K L L, (r, α) rα (6.2) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja. Määritelmä 6.3. Kuntalaajennuksen aste eli [L : K] = dim K L. Äärellinen, jos [L : K] <. 35

37 6.3 Kuntatorni Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi. L 1 L 2 K L 3 L 1 ja L 3 K L 3 L 2 K Lause 6.1. Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (6.3) 6.4 Osamääräkunta Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 6.4. Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d D, bd = 0. Asetetaan relaatio (a, b) (c, d) ad = bc. (6.4) Lause 6.2. Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D {0}) = D. Määritelmä 6.5. Ekvivalenssiluokille [a, b] = {(c, d) D (c, d) (a, b)} sovitaan yhteenlasku [a 1, b 1 ] + [a 2, b 2 ] = [a 1 b 2 + a 2 b 1, b 1 b 2 ] (6.5) ja kertolasku [a 1, b 1 ][a 2, b 2 ] = [a 1 a 2, b 1 b 2 ] (6.6) aina, kun (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) D. 36

38 Merkitään vielä a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. Voidaan todistaa, että Lause 6.3. Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions). Tällöin pätee rengasisomorfiatulos { a 1 a D} = D, (6.7) jonka nojalla voidaan merkitä a = a/1. Edelleen ab 1 = a 1 ( ) 1 b = a b = a b (6.8) ESIM: a) Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 6.6. Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). Nyt rationaalilukujen supistamis- ac bc = a b (6.9) ja laventamislaki seuraa suoraan määritelmästä a b = da db b.) Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. Määritelmä 6.7. Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). (6.10) 37

39 Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. (x 2 1)x (x 1)x = x x = x. (6.11) c.) Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli Lause 6.4. K((T )) = Q(K[[T ]]). (6.12) Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: K[T ] K(T ) K((T )), (6.13) K[T ] K[[T ]] K((T )). (6.14) Määritelmä 6.8. Formaali derivaatta D : K((T )) K((T )) on lineaarinen kuvaus, jolle pätee DT k = kt k 1 k Z. (6.15) 7 Algebralliset luvut 7.1 Algebralliset alkiot alikunnan suhteen Määritelmä 7.1. Olkoot K L kuntia ja α L. Jos on olemassa sellainen p(x) K[x] K, että p(α) = 0 (7.1) niin α on algebrallinen kunnan K suhteen (yli). Muutoin α on transkendenttinen kunnan K suhteen. 38

40 Esimerkki 13. A. Tiedetään, että π on transkendenttinen rationaalilukujen kunnan Q suhteen. B. Koska p(π) = 0, p(x) = x π R[x], (7.2) niin välittömästi nähdään, että π on algebrallinen reaalilukujen kunnan R suhteen. Määritelmä 7.2. Olkoot K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi on asteeltaan pienin mahdollinen pääpolynomi M α (x) K[x] K, jolle pätee M α (α) = 0. (7.3) Olkoon deg M α (x) = n, tällöin algebrallisen luvun α aste kunnan K yli on deg α = deg K α = n. (7.4) Lause 7.1. Olkoon K L kuntia ja α L. Algebrallisen luvun α minimipolynomi M α (x) K[x] n on yksikäsitteinen ja jaoton polynomirenkaassa K[x]. Todistus. Määritelmä 7.3. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku kunnan Q yli. Tällöin sanotaan, että α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Jos α C ei ole algebrallinen luku, niin α on transkendenttiluku. Olkoon α on astetta deg α = n oleva algebrallinen luku. Tällöin α:n minimipolynomi M α (x) Q[x] n on jaoton polynomirenkaassa ja sen aste deg M α (x) = n. Siten astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Q, (7.5) 39

41 oleva jaoton pääpolynomi. Määritelmä 7.4. Olkoon α C astetta deg α = n oleva algebrallinen luku, jonka minimipolynomi M α (x) Z[x] n. (7.6) Tällöin α on astetta deg α = n oleva kokonainen algebrallinen luku. Siten kokonaisen astetta n olevan algebrallisen luvun minimipolynomi on muotoa M α (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, (7.7) oleva jaoton pääpolynomi. Esimerkki on 2. asteen kokonainen algebrallinen luku. (7.8) Esimerkki 15. x 3 2 = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) (7.9) Lauseen 5.10 nojalla jaottomalla polynomilla nollakohdat ovat erillisiä. Olkoot minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1 = α,..., α n C. Määritelmä 7.5. Algebrallisen luvun α liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M α (x) nollakohdat α 1,..., α n C. (7.10) Määritelmä 7.6. Algebrallisen luvun α liittolukuihin liittyvät monomorfiat ovat kuntamorfismit σ 1,..., σ n : K = Q(α) C; (7.11) 40

42 joille pätee: σ i on injektio; (7.12) σ i (x + y) = σ i (x) + σ i (y); (7.13) σ i (xy) = σ i (x)σ i (y); (7.14) σ i Q = Id : Q Q identtinen kuvaus (7.15) σ i (α) = α i, i = 1,..., n. (7.16) Lisäksi usein kiinnitetään σ 1 = Id K, σ 1 (α) = α. (7.17) Lause 7.2. Olkoon K lukukunta ja σ : K C monomorfia. Tällöin σ(a) = a a Q. (7.18) σ(aα + bβ) = aσ(α) + bσ(β), a, b Q, α, β K. (7.19) σ(p(β)) = p(σ(β)) β K, p(x) Q[x]. (7.20) 7.2 Alkiolla laajentaminen Määritelmä 7.7. Olkoon S R rengaslaajennus ja α 1,..., α m R. Tällöin asetetaan S[α 1,..., α m ] = V, (7.21) S {α 1,...,α m} V R joka on suppein R:n alirengas sisältäen alirenkaan S sekä alkiot α 1,..., α m. 41

43 Nähdään, että S[α 1,..., α m ] koostuu alkioiden α 1,..., α m polynomilausekkeista. Erityisesti S[α] = {s 0 + s 1 α + s 2 α s n α n s i S, n N} (7.22) on yhden muuttujan α polynomirengas. Määritelmä 7.8. Olkoon K L kuntalaajennus ja α 1,..., α m L. Tällöin asetetaan K, α 1,..., α m = M, (7.23) K {α 1,...,α m} M L joka on suppein L:n alikunta sisältäen alikunnan K sekä alkiot α 1,..., α m. Lause 7.3. K, α 1,..., α m = K(α 1,..., α m ) := (7.24) { } A B A, B K[α 1,..., α m ], B = 0. Lause 7.4. K, α = K(α) := { } A(α) A(α), B(α) K[α], B = 0. (7.25) B(α) Lause 7.5. Jos α on transkendenttinen K:n suhteen, niin K[α] = K[x] (7.26) eli renkaat K[α] ja K[x] ovat isomorfiset. Edelleen K(α) = K(x) (7.27) eli kunnat K(α) ja K(x) ovat isomorfiset. 42

44 8 Algebralliset kunnat Määritelmä 8.1. Kuntalaajennus L : K on algebrallinen, jos jokainen L:n alkio on algebrallinen K:n suhteen. Merkintä 7. Kα Kα m := {k 1 α k m α m k 1,..., k m K}; (8.1) K[β] n := Kβ 0 + Kβ Kβ n. (8.2) Välittömästi K[β] n K[β] = Kβ 0 + Kβ (8.3) Lause 8.1. Olkoon L : K ja β L. Tällöin A. deg K β = s K[β] = K[β] s 1 ja dim K K[β] = s; (8.4) B. Jos β on algebrallinen K:n suhteen, niin K[β] on kunta; C. [L : K] = r < deg K β = s r; (8.5) D. Äärellinen kuntalaajennus L : K on algebrallinen. Lause 8.2. Olkoon L : K, α L algebrallinen K:n yli ja deg K α = n. Tällöin A. K, α = K[α] = K + Kα Kα n 1 ; (8.6) B. [ K, α : K] = deg K α = n; (8.7) C. β K, α deg K β = k n; (8.8) D. Kuntalaajennus K, α on algebrallinen. 43

45 Lauseen 7.4 nojalla K, α = K(α) = { } A(α) A(α), B(α) K[α], B = 0. (8.9) B(α) mutta Lauseen 8.2 A. kohdan nojalla algebrallisen luvun määräämässä laajennuskunnassa kaikki α:n rationaalilausekkeet palautuvat α:n polynomilausekkeiksi. Todistus. Lause 8.1 A. " ": Olkoon deg K β = s. Osoitetaan aluksi, että K[β] = K[β] s 1 = Kβ 0 + Kβ Kβ s 1. (8.10) Olkoon β:n minimipolynomi M β (x) = b 0 x x s K[x] ja a(β) K[β], a(x) K[x]. (8.11) Jakoalgoritmin nojalla a(x) = q(x)m β (x) + r(x), deg r(x) s 1 a(β) = q(β)m β (β) + r(β) = r(β) K[β] s 1 K[β] K[β] s 1 K[β] = K[β] s 1. (8.12) Näyteään vielä, että {β 0, β 1,..., β s 1 } muodostaa kannan. Nimittäin, jos asetetaan k 0 β 0 + k 1 β k s 1 β s 1 = 0, k 0,..., k s 1 K, k i = 0, deg K β s 1. Ristiriita. dim K K[β] = dim K K[β] s 1 = s. (8.13) 44

46 ja " ": Olkoon K[β] = K[β] s 1 ja dim K K[β] = s. Siten dim K K[β] s 1 = s K[β] s 1 = Kβ 0 + Kβ Kβ s 1, (8.14) missä {β 0, β 1,..., β s 1 } ovat lineaarisesti riippumattomia K:n yli. Jos olisi p(x) K[x], 1 deg p(x) s 1, p(β) = 0, {β 0, β 1,..., β s 1 } olisi lin. sidottu. Ristiriita deg K β s. (8.15) Toisaalta β s K[β] = K[β] s 1 β s = k 0 β 0 + k 1 β k s 1 β s 1 Esimerkki 16. Tarkastellaan kuntalaajennusta deg K β s deg K β = s. (8.16) L := Q, 2 1/2, 2 1/3 = Q, 2 1/2, 2 1/3. (8.17) Merkitään M 2 := Q, 2 1/2, M 3 := Q, 2 1/3. (8.18) Aluksi M α1 = x 2 2 = (x α 1 )(x α 2 ), α 1 = 2 1/2, M α1 J Q[x], deg Q M α1 = 2, [M 2 : Q] = 2; (8.19) M β1 = x 3 2 = (x β 1 )(x β 2 )(x β 3 ), β 1 = 2 1/3, M β1 J Q[x], deg Q M β1 = deg Q M β2 = deg Q M β3 = 3, [M 3 : Q] = 3. (8.20) 45

47 Lauseen 8.2 C kohdan nojalla β 1, β 2, β 3 / M 2, α 1, α 2 / M 3. (8.21) Siten polynomilla x 3 2 ei ole nollakohtia kunnassa M 2, joten x 3 2 on jaoton polynomirenkaassa M 2 [x]. (8.22) Niinpä Edelleen Toisaalta eli [L : M 2 ] = [ M 2, 2 1/3 : Q, 2 1/2 ] = 3. (8.23) [L : Q] = [L : M 2 ][M 2 : Q] = 6. (8.24) Q, 2 1/2, 2 1/3 = Q, 2 1/6 (8.25) Q(2 1/2, 2 1/3 ) = Q(2 1/6 ). (8.26) Lemma 8.1. Olkoot [ K, α i : K] = n i, i = 1,..., r. (8.27) Tällöin [ K, α 1,..., α r : K] n 1 n r. (8.28) Lause 8.3. Kuntalaajennus L : K on äärellinen täsmälleen silloin kun L = K, α 1,..., α r ja L on algebrallinen K:n yli. 9 Algebralliset luvut A Kerrataan, että joukko A C koostuu kaikista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että algebrallisten lukujen joukko A on kompleksilukujen kunnan alikunta. 46

48 Lause 9.1. A C. (9.1) Todistus. Seuraus 9.1. Jos α, β A, niin α ± β, αβ, α/β A. (9.2) Algebran peruslauseen 5.9 nojalla C on algebrallisesti suljettu eli jos τ on algebrallinen C:n suhteen, niin τ C. Seuraava tulos osoittaa, että jos ω C on algebrallinen kunnan A suhteen, niin ω A. Lause 9.2. Algebrallisten lukujen joukko A on algebrallisesti suljettu eli a(x) A[x] {0(x)}, a(ω) = 0 ω A. (9.3) Todistus. 10 Lukukunnat Määritelmä Olkoon Q K C ja [K : Q] <, tällöin K on lukukunta. Lause Olkoon K on lukukunta. Tällöin on olemassa sellainen τ K, että K = Q(τ). (10.1) Siten lukukunnat ovat yksinkertaisia Q:n laajennuksia eli yhden alkion generoimia laajennuksia. 47

49 Todistus. Induktiolla. Tarkastellan tapausta K = Q(α, β) (10.2) ja osoitetaan, että K = Q(α + cβ), jollakin c Q. (10.3) Olkoot M α (x) = (x α 1 ) (x α n ) Q[x]; M β (x) = (x β 1 ) (x β m ) Q[x]. (10.4) Tällöin on olemassa sellainen c Q, että γ := α + cβ = α i + cβ j, (i, j) = (1, 1). (10.5) a). Välittömästi γ := α + cβ Q(α, β) Q(γ) Q(α, β). (10.6) b). Osoitetaan (mutta ei niin välittömästi), että Q(α, β) Q(γ). (10.7) Tarkastellaan polynomeja r(x) = M α (γ cx) Q(γ)[x], deg r(x) = n, r(β) = M α (γ cβ) = M α (α) = 0; M β (β) = 0, M β (x) Q[x], (10.8) 48

50 missä polynomin M β (x) kaikki nollakohdat β j ovat yksinkertaisia. Asetetaan nyt r(τ) = M β (τ) = 0 τ = β k ; 0 = r(τ) = M α (γ cτ) γ cτ = α h γ = α h + cτ = α h + cβ k γ = α + cβ τ = β. (10.9) Siten yksinkertainen nollakohta β on ainoa yhteinen polynomien r(x) ja M β (x) nollakohta. Olkoon d(x) = s.y.t(r(x), M β (x)) Q(γ)[x]. (10.10) Jos olisi deg d(x) 2 d(x) = (x β)(x κ)q(x), β, κ C r(κ) = M β (κ) = 0 κ = β (x β) 2 M β (x) C[x] Ristiriita deg d(x) = 1. (10.11) Siten d(x) = (x β) Q(γ)[x] β Q(γ) α = γ cβ Q(γ) Q(α, β) Q(γ). (10.12) Esimerkki 17. Q(i, 2) = Q(i 2). (10.13) 49

51 10.1 Liittoluvut, kuntapolynomi Lause Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa täsmälleen m eri monomorfismia σ i : K C, i = 1,..., m. (10.14) Huom 4. Vaikka a K, niin voi olla σ i (a) K, jollakin i. Esimerkki 18. Olkoon K = Q(2 1/3 ), tällöin σ 2 (2 1/3 ), σ 3 (2 1/3 ) K. (10.15) Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K kuntapolynomi on K β (x) = m (x σ i (β)), (10.16) i=1 missä luvut σ i (β) C (10.17) ovat luvun β K liittoluvut kunnan K suhteen. Lause K β (x) Q[x]. (10.18) Todistus: Symmetristen polynomien peruslauseeseen nojautuen. Kerrataan vielä, että Määritelmän 7.5 mukaan algebrallisen luvun β liittoluvut eli konjugaatit ovat minimipolynomin M β (x) Q[x] nollakohdat β 1,..., β d C. (10.19) Seuraavassa deg K β (x) = m, deg M β (x) = d. (10.20) 50

52 Lause Olkoon β K = Q(τ) ja [K : Q] = m. Tällöin M β (x) K β (x); (10.21) Q[x] Todistus. K β (x) = M β (x) m/d, m/d Z +. (10.22) Seuraus {σ 1 (β),..., σ m (β)} = {β 1,..., β d }; (10.23) β Q σ 1 (β) =... = σ m (β); (10.24) Q(β) = K σ i (β) = σ j (β) i = j. (10.25) 10.2 Diskriminantti/EI vaadita Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Lukujen γ 1,..., γ m K diskriminantti on Δ(γ 1,..., γ m ) = (det(σ i (γ j )) i=1,...,m,j=1,...,m ) 2 = (10.26) σ 1 (γ 1 ) σ 2 (γ 1 )... σ m (γ 1 ) σ 1 (γ m ) σ 2 (γ m )... σ m (γ m ) Alkion β K diskriminantti on δ(β) = Δ(1, β,..., β m 1 ) = (10.27) 51 2.

53 1 1 1 σ 1 (β) σ 2 (β)... σ m (β) σ 1 (β) m 1 σ 2 (β) m 1... σ m (β) m 1 2. Lause Δ(γ 1,..., γ m ) Q. (10.28) Lause Lukujoukko {γ 1,..., γ m } on K:n kanta täsmälleen silloin kun sen diskriminantti ei häviä eli dim Q Q(γ 1,..., γ m ) = m Δ(γ 1,..., γ m ) = 0. (10.29) Lause δ(β) = i<j(σ i (β) σ j (β)) 2 ; (10.30) δ(β) = 0 deg Q (β) = m; (10.31) δ(β) = 0 Q(β) = K. (10.32) 10.3 Normi ja jälki Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Alkion β K normi on m N(β) = N K (β) = σ i (β) (10.33) i=1 ja jälki m T (β) = T K (β) = σ i (β). (10.34) 52 i=1

54 Lause N K (β), T K (β) Q. (10.35) N K (β) = 0 β = 0. (10.36) Todistus. (10.35): K β (x) = x m T (β)x m ( 1) m N(β) Q[x]. (10.37) (10.36): Koska σ i on injektio, niin σ i (x) = 0 x = 0. (10.38) Lause N(αβ) = N(α)N(β) (10.39) T (rα + sβ) = rt (α) + st (β); (10.40) N(r) = r m, T (r) = mr; (10.41) kaikilla α, β K, r, s Q. Todistus. Laskarit. Esimerkki 19. Osoitetaan jälkifuntiota käyttäen, että 3 1/2 / K = Q(2 1/2 ) = Q[2 1/2 ]. (10.42) Huomaa, että [Q(2 1/2 ) : Q] = [Q(3 1/2 ) : Q] = 2. (10.43) Tehdään vastaoletus 3 1/2 Q[2 1/2 ] = Q + 2 1/2 Q (10.44) 53

55 eli Otetaan jälki 3 1/2 = a + b2 1/2, a, b Q. (10.45) T K (3 1/2 ) = 2a + bt K (2 1/2 ). (10.46) Toisaalta. Tuloksen (10.22) mukaan lukujen 2 1/2 ja 3 1/2 kuntapolynomit K 2 1/2(x) = 2 (x σ i (2 1/2 )) = i=1 x 2 T K (2 1/2 )x + N K (2 1/2 ); 2 K 3 1/2(x) = (x σ i (3 1/2 )) = i=1 x 2 T K (3 1/2 )x + N K (3 1/2 ) kunnan K suhteen ovat vastaavien minimipolynomien M 2 1/2(x) = x 2 2; M 3 1/2(x) = x 2 3 potensseja. Siten x 2 2 = x 2 T K (2 1/2 )x + N K (2 1/2 ); x 2 3 = x 2 T K (3 1/2 )x + N K (3 1/2 ), (10.47) josta T K (2 1/2 ) = T K (3 1/2 ) = 0. (10.48) Sijoittamalla yhtälöön (10.46) saadaan a = 0 3 1/2 = b2 1/2, b Q (3/2) 1/2 = b T K ((3/2) 1/2 ) = 2b. (10.49) 54

56 Toisaalta K (3/2) 1/2(x) = x 2 T K ((3/2) 1/2 )x + N K ((3/2) 1/2 ); M (3/2) 1/2(x) = x 2 3/2 T K ((3/2) 1/2 ) = 0 b = 0 3 1/2 = 0. (10.50) Ristiriita. Lause EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja M τ (x) minimipolynomi ja DM τ (x) sen derivaatta. Tällöin Δ(1, τ,..., τ m 1 ) = ( 1) m(m 1)/2 N(DM τ (τ)). (10.51) Lause EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta, [K : Q] = m ja γ 1,..., γ m K. Tällöin Δ(γ 1,..., γ m ) = det(t (γ i γ j )). (10.52) 11 Kokonaiset algebralliset luvut B Joukko B C koostuu kaikista kokonaisista algebrallisista luvuista kunnan Q yli. Seuraava tulos osoittaa, että kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisten lukujen A kunnan alirengas. Lause B A. (11.1) Seuraus Jos α, β B, niin α ± β, αβ B. (11.2) 55

57 Kokonaisten algebrallisten lukujen joukko B on algebrallisesti suljettu eli Lause Olkoon b(x) = x n b 0 B[x] {0(x)}, Todistus. Ei vaadita. b(ω) = 0 ω B. (11.3) Esimerkki 20. α 2 = α + 1, β 5 + αβ = 0 (11.4) ω 2 β = 0 ω B. (11.5) Lause Jos α A, niin pienin d Z +, että dα B. (11.6) Määritelmä Lauseen 11.3 mukainen luku d Z + on algebrallisen luvun α nimittäjä eli den α = d. Esimerkki 21. Olkoon 5α 2 + α + 1 = 0, (5α) 2 + 5α + 5 = 0 (11.7) 5α B, den α = 5. (11.8) Esimerkki /7 / Q. (11.9) Vastaoletus 2 1/7 Q. Mutta 2 1/7 B 2 1/7 Z. Lisäksi 1 < 2 1/7 < 2. Ristiriita. (11.10) 56

58 Määritelmä Olkoon K = Q(τ) lukukunta. Tällöin on K:n kokonaislukujen rengas. Z K = K B (11.11) Esimerkki 23. Z Q = Z. (11.12) Rationaaliset kokonaisluvut muodostavat alirenkaan kokonaisten algebrallisten lukujen renkaille. Lause Z Z K B. (11.13) Edelleen Lause Olkoon β Z K, tällöin Z[β] Z K. (11.14) Huom 5. Usein pätee kuitenkin Z K = Z[β]. (11.15) Esimerkki 24. K = Q( 5) on lukukunta, missä Z K, / Z[ 5]. (11.16) Lause EI vaadita. Olkoon K lukukunta. Tällöin K = Q(λ), λ Z K. (11.17) Lause EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Jos {λ 1,..., λ m } Z K on K:n kanta, niin Δ(λ 1,..., λ m ) Z {0}. (11.18) 57

59 Lause EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,..., λ m } Z K, joka on K:n kanta Q:n yli. Lause EI vaadita. Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Tällöin on olemassa {λ 1,..., λ m } Z K, joka on Z K :n kanta Z:n yli. Määritelmä Lauseen 11.9 mukainen Z K :n kanta Z:n yli on kunnan K kokonaislukujen kanta. Lause EI vaadita. Olkoon {λ 1,..., λ m } Z K kunnan K kanta. Jos Δ(λ 1,..., λ m ) on neliövapaa, niin {λ 1,..., λ m } on kunnan K kokonaislukujen kanta. Esimerkki 25. Δ ( 1, ) = 5 { 1, } (11.19) on Q( 5):n kokonaislukujen kanta. 12 Jaollisuus renkaassa Z K Lause Olkoon β Z K, tällöin N K (β), T K (β) Z; (12.1) N K (β) = 0 β = 0. (12.2) Olkoon Z K kokonaislukujen renkaan Z K yksikköryhmä. Lause Olkoot a, b Z K, tällöin a b N(a) N(b); (12.3) Z K Z 58

60 a Z K N(a) = ±1; (12.4) a b N(a) = ±N(b); (12.5) N(a) P a J ZK. (12.6) Todistus. 12.3: Olkoon Koska σ i on homomorfia, niin b = ca, a, b, c Z K (12.7) σ i (b) = σ i (c)σ i (a) i = 1,..., m (12.8) N(b) = m σ i (b) = m σ i (c) m σ i (a) = N(c)N(a), (12.9) missä i=1 i=1 i=1 12.4: Olkoon ensin Kohdan (12.3) nojalla saadaan N(b), N(c), N(a) Z N(a) N(b). (12.10) Z a Z K a Z K 1. (12.11) Olkoon sitten Siten N(a) N(1) = 1 N(a) = ±1. (12.12) Z N(a) = ±1. (12.13) aσ 2 (a) σ m (a) = ±1, c = σ 2 (a) σ m (a) K. (12.14) 59

61 Toisaalta, koska a Z K B σ 2 (a),..., σ m (a) B c B. (12.15) Siispä c K B = Z K, ±c a = 1 (12.16) Kohta (12.4) todistettu. a Z K 1 a Z K. (12.17) Huomaa, että vaikka a Z K, niin voi olla σ i (a) Z K, vertaa Esimerkki 18. Kuitenkin σ i (a) B. 12.5: Nyt b = ua, u Z K N(u) = ±1 (12.18) N(b) = N(u)N(a) = ±N(a). (12.19) 12.6: Tässä a = 0. Vastaoletus: a jakaantuu eli a = bc, b, c Z K, b, c = 0, (12.20) Ristiriita. N(b), N(c) 2 N(a) = N(b) N(c) P. (12.21) Lause Olkoon D UFD, a, b, c D ja ab = c k, a b. (12.22) 60

62 Tällöin a d k, b e k, (12.23) joillakin d, e D. 13 Eräs Diofantoksen yhtälö Algebrallisten lukujen tutkimisen päämotiivi on alkujaan ollut Diofantoksen yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkki 26. y = x 3, 2 y, (13.1) on Diofantoksen yhtälö eli sille haetaan kokonaislukuratkaisuja. I. Yhtälö hajoaa kunnassa K = Q( 2) seuraavasti: (y + 2)(y 2) = x 3. (13.2) II. Kokonaislukujen rengas on Z K = Z + Z 2. (13.3) III. Sen yksikköryhmä on Z K = {±1}. (13.4) IV. Kokonaisalue Z K = Z + Z 2. (13.5) on Normi-Eukleideen alue ja siten UFD. Siten siinä voi operoida kuten rationaalisten kokonaislukujen renkaassa (vrt. Lukuteoria I: Pythagoraan yhtälön ratkaiseminen.) 61

63 V. Olkoon D = syt(y 2, y + 2), D = a + b 2 Z K (13.6) D 2y, D 2 2 (13.7) N(D) N(2y), N(D) N(2 2), N(D) = (a + b 2)(a b 2) = a 2 + 2b 2 (13.8) a 2 + 2b 2 4y 2, a 2 + 2b 2 8 (13.9) D = ±1, ±2, ± 2. (13.10) Jos esimerkiksi 2 y 2 y 2 = 2(e + f 2), e, f Z 2f = y, Ei käy. (13.11) Vastaavasti päätellään, että vain D = ±1 y 2, y + 2, (13.12) y 2 y + 2, (13.13) y + 2 = (c + d 2) 3, c + d 2 Z K, c, d Z 1 = d(3c 2 2d) d = ±1, d = 1, c = ±1; y = c 3 6cd 2 y = ±5 x = 3, y = ±5. (13.14) 62

64 14 Neliökunnat Jokainen neliökunta on esitettävissä muodossa K = Q( d), d Z, (14.1) missä d on neliövapaa tästä eteenpäin. Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = Z + Zλ, (14.2) missä λ = d, d 2, 3 (mod 4); (14.3) λ = 1 + d, d 1 (mod 4); (14.4) 2 Δ = 4d, d 2, 3 (mod 4); (14.5) Δ = d, d 1 (mod 4). (14.6) Todistus. Tarkastellaan kokonaislukua β = r + s d Z K, r, s Q T (β) = 2r Z r 1 2 Z r = a, a Z; 2 N(β) = r 2 ds 2 Z d(2s) 2 = (2r) 2 4N(β) Z, missä 2s = k, k l, l d(2s) 2 = dk2 l 2 Z, missä d on neliövapaa l = 1, 2s Z s = b, b Z. (14.7) 2 63

65 Siten Tutkitaan sitten mitä arvoja luvut a ja b saavat. Tapaus 14.3 eli d 2, 3 (mod 4): Koska β = a + b d, a, b Z. (14.8) 2 N(β) = a2 db 2 4 Z a 2 db 2 0 (mod 4) Tapaus 14.4 eli d 1 (mod 4): Koska a b 0 (mod 2) β = a + b d 2 = A + B d, A, B Z. (14.9) N(β) = a2 db 2 4 Z a 2 b 2 (mod 4) a b 0 (mod 2) tai a b 1 (mod 2) (14.10) β = a + b d, a b (mod 2), a, b Z Imaginaariset neliökunnat Yksikköryhmä β = A + B 1 + d, A, B Z. (14.11) 2 Seuraavassa ω = e 2π 3 i. (14.12) 64

66 Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K = {±1, ±i}, d = 1; (14.13) Z K = {±1}, d = 2; (14.14) Z K = {±1, ±ω, ±ω 2 }, d = 3; (14.15) Todistus laskareissa. Z K = {±1}, d Z 5. (14.16) Esimerkiksi tapaus: d = 5 3 (mod 4), joten kokonaisluvut muotoa β = A + B 5, A, B Z N(β) = A 2 + 5B 2 = 1 A = ±1, B = 0 Z Q( 5) = {±1}. (14.17) UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 1, 2, 3, 7, 11, (14.18) jotka ovat imaginaariset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 19, 43, 67, 163. (14.19) Tässä kaikki, kun d 1. 65

67 Todistus. Tapaus d = 1, jolloin Z Q( 1) = Z[i]. Todistetaan, että Z[i] on Eukleideen alue. Olkoot a, b Z[i], jolloin a b Valitaan sellaiset s, t Z, että = x + iy, x, y Q. (14.20) x s 1 2, y t 1 2. (14.21) Olkoon q = s + it, a = qb + r, r Z[i]. (14.22) Ottamalla normit saadaan N(r) = N(b)N(x s + i(y t)) = N(b)((x s) 2 + (y t) 2 ) (14.23) N(b) 1 2 N(r) < N(b) (14.24) ja lisäksi N : Z[i] N, (14.25) joten N on Eukleideen funktio. Edelleen, Lauseen 4.2 nojalla Eukleideen alue on aina UFD Gaussin kokonaisluvut/alkuluvut Määritelmä Kunnan K = Q(i), kokonaislukujen renkaan Z K = Z[i] (14.26) alkioita sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. Edelleen jaottomat Gaussin kokonaisluvut ovat Gaussin alkulukuja. 66

68 Koska Z[i] on UFD, niin sen jaottomat alkiot ovat alkualkioita eli P Z[i] = J Z[i]. (14.27) Lause π = a + ib P Z[i] (14.28) π 1 + i; (14.29) π a + ib, a 2 + b 2 = p P, p 1 (mod 4); (14.30) π p P, p 3 (mod 4). (14.31) Huomaa, että Z K = Z[i] = {±1, ±i} (14.32) Esimerkki 27. N(1 + i) = (1 + i)(1 i) = 2 P 1 + i P Z[i] ± (1 + i), ±i(1 + i) = ±( 1 + i) P Z[i] (14.33) 14.2 Reaaliset neliökunnat Yksikköryhmä Reaalisen neliökunnan yksikköryhmät ovat äärettömiä ja yleisessä tapauksessa varsin hankalasti määrättävissä. Niiden määräämiseen tarvitaan tietoa Pellin yhtälöiden ratkaisemisesta. 67

69 Lause Olkoon K = Q( d), d Z 2. Tällöin Z K = {x k + y k d xk + y k d = (x1 + y 1 d) k, k Z}, (14.34) missä (x 1, y 1 ) Z 2 on pienin positiivinen Pellin yhtälön x 2 dy 2 = 1 (14.35) ratkaisu. Todistus. Ei vaadita. Kyseessä oleva pienin ratkaisu voidaan etsiä käyttäen ketjumurtolukujen teoriaa, katso kurssi: Ketjumurtoluvut UFD/Eukleideen alue Lause Olkoon K = Q( d), tällöin Z K on UFD, kun d = 2, 3, 5, 6, 7, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, (14.36) jotka ovat reaaliset Eukleideen alueet ja lisäksi, kun d = 11, 14, 19, 22, 23, 31, 38, 43, 46, 47, 53, 59, 61, 62, 67, Tässä vain kaikki, missä 2 d , 71, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97. (14.37) 68

70 15 Työkaluja Tässä kappaleessa esitellään kattava luettelo algebrallisista rakenteista ja muista työkaluista. Varsinainen kurssimateriaali aikaisemmissa kappaleissa Algebrallisia rakenteita Puoliryhmä, monoidi Määritelmä A =. Pari (A, ) on puoliryhmä eli semigroup, jos pätee: S0) on A:n laskutoimitus eli binäärioperaatio eli a b A a, b A. S1) on assosiatiivinen eli liitännäinen eli a (b c) = (a b) c a, b, c A. Edelleen pari (A, ) on monoidi, jos S0) ja S1):n lisäksi pätee: S2) neutraalialkio= e A e a = a e = a, a A Ryhmä, Abelin ryhmä, Group Määritelmä Monoidi (G, ) on ryhmä, jos pätee: G3) käänteisalkio= a 1 G a a 1 = a 1 a = e, a G. (G0=S0, G1=S1, G2=S2) 69

71 Määritelmä Ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä, jos pätee: G4) on kommutatiivinen eli a b = b a a, b G Rengas, Ring Tästä eteenpäin tarkastellaan struktuureja, joissa on kaksi laskutoimitusta + ja. Määritelmä R =. Kolmikko (R, +, ) on rengas, jos pätee: 1) (R, +) on Abelin ryhmä. 2) (R, ) on puoliryhmä. 3) distributiivisuus eli osittelulait a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc, a, b, c R. Tällöin sanotaan, että R on rengas. Määritelmä Rengas R on kommutatiivinen, mikäli kertolasku on vaihdannainen eli ab = ba, a, b R. Määritelmä Rengas R on ykkösellinen rengas, mikäli (R, ) on monoidi eli kertolaskun ykkösalkio = 1 R. (R, +) on renkaan additiivinen ryhmä, ja renkaan nolla-alkio= 0 R. 70