Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017
|
|
- Armas Niemi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017
2 Sisältö 1 Johdanto Joukko-opin kertausta Funktioiden kertausta Relaatioista Algebraa Luonnolliset luvut Lukukäsite Luonnollisten lukujen määrittely Peanon aksiomien avulla Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku Luonnollisten lukujen järjestys Induktioperiaatteen muita muotoja Lukujärjestelmät Additiiviset lukujärjestelmät Paikkajärjestelmä Kantalukujärjestelmä Kymmenjärjestelmä Laskutoimitukset Kokonaisluvut Kokonaislukujen määrittely Kokonaislukujen laskutoimitukset Kokonaislukujen järjestys Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen välinen yhteys Kokonaisluvuilla laskeminen Jaollisuus Rationaaliluvut Rationaalilukujen määrittely
3 5.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset Rationaalilukujen järjestys Kokonaislukujen ja rationaalilukujen välinen yhteys Rationaalilukujen desimaaliesitys Reaaliluvut Lukusuora ja johdattelua reaalilukuihin Cauchyn jonot Reaalilukujen määrittely Reaalilukujen laskutoimitukset Reaalilukujen järjestys Rationaalilukujen ja reaalilukujen välinen yhteys Reaalilukujen täydellisyys Desimaaliesitys Joukkojen mahtavuudet 92 Viitteet 99 3
4 Lukijalle Tämä luentomoniste perustuu Jukka Kemppaisen (Oulun yliopisto) Koulumatematiikan perusteet -kurssin luentojen pohjalta kirjoitettuun luentomonisteeseen, jota olen täydentänyt kirjallisuuden ja mm. Juha Lehrbäckin ja Jouni Parkkosen (Jyväskylän yliopisto) Lukualueet-kurssin luentomonisteen sekä useiden Oulun yliopistolla käytettyjen peruskurssien luentomonisteiden avulla. Oulussa keväällä 2017 Topi Törmä 4
5 1 Johdanto Matematiikan alkuperä liittyy jokapäiväiseen elämään. Suurin osa matematiikasta on kehittynyt alkujaan luvun, suuruuden ja muodon käsitteiden ajattelusta. Alkeellisten lukuun, suuruuteen ja muotoon liittyvien käsitteiden juuret voi jäljittää ihmiskunnan alkuun, ja ihmistä monia miljoonia vuosia vanhemmista elämänmuodoista on löydetty viitteitä matemaattisiin käsitteisiin. Aluksi primitiiviset luvun, suuruuden ja muodon käsitteet liittyivät ehkä kontrastiin pikemmin kuin samankaltaisuuteen, yhden ja monen väliseen eroon, eri objektien kokojen väliseen eroon, pyöreyden ja suoruuden erilaisuuteen. Tiede ja matematiikka syntyivät kuitenkin lukujen ja muotojen samankaltaisuuden oivaltamisesta. Esimerkiksi yhdellä sudella, yhdellä lampaalla ja yhdellä puulla on yhteinen ominaisuus; se että niitä on yksi. Samaan tapaan havaittiin, että joidenkin toisenlaisten ryhmien, esimerkiksi parien, välille voidaan tehdä kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus. Esimerkiksi kädet voidaan liittää pareittain jalkoihin, silmiin ja niin edelleen. Suuri askel modernin matematiikan suuntaan otettiin, kun havaittiin, että tietyillä ryhmillä on yhteinen abstrakti ominaisuus, jota kutsutaan luvuksi. Aikoinaan ajateltiin, että matematiikka liittyy suoraan aistiemme havaintojen maailmaan, ja puhdas matematiikka vapautui luonnon havainnoinnin rajoituksista vasta 1800-luvulla. Moderni matematiikka koostuu peruskäsitteistä, niiden välisistä perussuhteista, perustotuuksista (aksiomeista) sekä edellisistä loogisesti johdetuista lauseista. Määrittelemällä uusia käsitteitä (joista osa voidaan määritellä peruskäsitteiden avulla) voidaan lauseiden joukkoa edelleen laajentaa. Esimerkki Euklidisessa geometriassa 1) piste ja suora ovat peruskäsitteitä joita ei määritellä; 2) piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. suora kulkee pisteen kautta (Insidenssin suhde); 3) uusi käsite ympyrä voidaan määritellä pisteiden joukkona, joilla on sama etäisyys kiinteästä pisteestä O (etäisyys voidaan edelleen palauttaa pisteisiin); 4) Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi; 5) esimerkiksi Pythagoraan lause voidaan loogisesti johtaa aksiomeista. 5
6 Näin matematiikalle on luotu looginen rakenne. Matematiikka onkin ainutlaatuista, sillä vain siinä ei ole merkittäviä korjauksia, ainoastaan laajennuksia. Esimerkiksi Eukleideen jokainen lause on edelleen voimassa, niitä ei tarvitse korjata (vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja painovoimateoriaan). Tällä kurssilla perehdytään kouluissa tarvittavan aritmetiikan ja algebran matemaattisiin perusteisiin, erityisesti lukujoukkoihin ja lukujärjestelmiin. 1.1 Joukko-opin kertausta Joukko koostuu alkioista. Jos A on joukko, niin merkintä x A (luetaan x kuuluu joukkoon A) tarkoittaa, että x on joukon A alkio. Vastaavasti merkinnällä x / A tarkoitetaan, että x ei ole joukon A alkio. Joukko, jossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjä joukko ja sitä merkitään. Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B, jos niillä on samat alkiot. Tällöin siis x A jos ja vain jos x B. Jos joukot A ja B eivät ole samat, niin merkitään A B. Usein joukoille käytetty merkintätapa on {x E P (x)}, missä E on perusjoukko ja P alkioita x koskeva ominaisuus, joka on joko tosi tai epätosi kaikilla x E. Jos perusjoukosta ei ole epäselvyyttä, jätetään se merkitsemättä näkyviin. Huomaa kuitenkin, että esimerkiksi {x 1 x 5} on suljettu väli [1, 5], jos E = R, ja joukko {1, 2, 3, 4, 5}, jos E = Z. Joukkoa A sanotaan joukon B osajoukoksi ja merkitään A B, jos jokainen joukon A alkio kuuluu joukkoon B. Tällöin jos x A, niin x B. Joukko A on joukon B aito osajoukko ja merkitään A B, jos A B ja A B. Olkoon E jokin perusjoukko. Joukkojen A E ja B E yhdiste on leikkaus ja erotus A B = {x E x A tai x B}, A B = {x E x A ja x B} A \ B = {x E x A ja x / B}. Lisäksi joukon A komplementti on joukko A C = {x E x / A}. Joukon X potenssijoukko on joukko P(X) = {A A X}. 6
7 Joukkojen A ja B karteesinen tulo on järjestettyjen parien joukko A B = {(a, b) a A ja b B}. Tällöin (a, b) = (c, d) jos ja vain jos a = c ja b = d. Esimerkki Olkoot E = {1, 2, 3, a, b, c}, A = {1, 2, 3} ja B = {1, a}. Tällöin A B = {1, 2, 3, a}, A B = {1}, A \ B = {2, 3}, A C = {a, b, c}, P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, A}, A B = {(1, 1), (1, a), (2, 1), (2, a), (3, 1), (3, a)}. 1.2 Funktioiden kertausta Funktio eli kuvaus joukolta A joukolle B määritellään usein säännöksi, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Esitetään seuraavaksi funktiolle hieman eksaktimpi määritelmä. Määritelmä Olkoot A ja B epätyhjiä joukkoja. Joukon A B osajoukko f on funktio (kuvaus) joukolta A joukolle B, merkitään f : A B, mikäli 1) jokaiselle x A on olemassa sellainen y B, että (x, y) f; 2) aina kun x A ja y, z B, jos (x, y) f ja (x, z) f, niin y = z. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittelyjoukoksi ja joukkoa B funktion f maalijoukoksi. Jos (x, y) f, niin merkitään f(x) = y. Tällöin alkiota y kutsutaan alkion x kuvaksi ja alkiota x alkion y alkukuvaksi. Huomautus Funktiot f : A B ja g : C D ovat samat mikäli A = C, B = D ja f(x) = g(x) kaikilla x A. Esimerkki Olkoot A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {a, b, c, d, e}. 1) Joukko f = {(1, a), (2, a), (3, e), (4, c), (5, b)} on funktio A B. Nyt esimerkiksi f(1) = a ja f(3) = e. 7
8 2) Joukko g = {(1, b), (3, c), (4, c)} ei ole funktio A B, sillä joukon A alkioilla 2 ja 5 ei ole kuvaa. 3) Joukko h = {(1, b), (1, c), (2, d), (3, e), (4, c), (5, b)} ei ole funktio A B, sillä joukon A alkiolla 1 on kaksi kuvaa. Määritelmä Olkoon f : A B funktio. Tällöin joukon X A kuvajoukko on joukko f(x) = {f(x) x X} ja joukon Y B alkukuva on joukko f 1 (Y ) = {x A f(x) Y }. Esimerkki Tarkastellaan Esimerkin kohdan 1) funktiota f. Olkoon X = {1, 2} A ja Y = {a, b} B. Tällöin f(x) = {a} ja f 1 (Y ) = {1, 2, 5}. Määritelmä Funktio f : A B on 1) injektio, jos f(x) f(y) aina kun x y ja x, y A, 2) surjektio, jos jokaiselle y B on olemassa sellainen x A, että f(x) = y, 3) bijektio, jos f on injektio ja surjektio. 1.3 Relaatioista Määritelmä Olkoon A joukko. Joukon A A osajoukkoa R kutsutaan joukon A binääriseksi relaatioksi. Mikäli (a, b) R, niin merkitään a R b ja sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion B kanssa. Määritelmä Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli 1) x R x aina, kun x A (refleksiivisyys); 2) jos x R y, niin y R x aina, kun x, y A (symmetrisyys); 3) jos x R y ja y R z, niin x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus). Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa [a] = {x A x R a} sanotaan alkion a määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. 8
9 Esimerkki Olkoon n Z +. Määritellään joukossa Z kongruenssi modulo n asettamalla a b (mod n) n (a b) aina, kun a, b Z. Tällöin kongruenssirelaatio on ekvivalenssirelaatio: Olkoot a, b, c Z. 1) Koska n 0 = a a, niin a a (mod n). 2) Jos a b (mod n), niin n (a b). Tällöin myös n (b a), joten b a (mod n). 3) Jos a b (mod n) ja b c (mod n), niin n (a b) ja n (b c). Tällöin n ((a b) + (b c)) = (a c), joten a c (mod n). Kohtien 1-3 nojalla kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Luvun a Z määräämä ekvivalenssiluokka on tällöin [a] = {x Z x a (mod n)} = {a + kn k Z} ja sitä kutsutaan luvun a määräämäksi jäännösluokaksi. Lause Olkoon R joukon A ekvivalenssirelaatio. Tällöin a R b jos ja vain jos [a] = [b]. Todistus. Olkoot a, b A ja a R b. Jos x [a], niin x R a. Ekvivalenssirelaation R transitiivisuuden nojalla tällöin x R b eli x [b]. Siispä [a] [b]. Jos taas x [b], niin x R b. Koska a R b, niin ekvivalenssirelaation R symmetrisyyden nojalla b R a. Näin ollen x R b ja b R a, joten relaation R transitiivisuuden nojalla x R a eli x [a]. Siispä myös [b] [a], joten [a] = [b]. Olkoot a, b A ja [a] = [b]. Ekvivalenssirelaation R refleksiivisyyden nojalla a R a, joten a [a]. Koska [a] = [b], niin a [b]. Näin ollen a R b. Lause Jos R on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste on koko joukko A eli [a] = A. a A Lisäksi, jos [a] [b], niin [a] [b] =. 9
10 Todistus. Jos x a A [a], niin x [a] jollakin a A. Koska [a] A, niin x A. Siispä a A [a] A. Toisaalta jos x A, niin x R x, joten x [x]. Näin ollen x a A [a], joten myös A a A [a]. Siispä a A [a] = A. Osoitetaan vielä, että jos [a] [b], niin [a] [b] =. Olkoot siis a, b A ja [a] [b]. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen x A, että x [a] ja x [b]. Tällöin x R a ja x R b, joten ekvivalenssirelaation R symmetrisyyden ja transitiivisuuden nojalla a R b. Näin ollen Lauseen nojalla [a] = [b], mikä on ristiriita. Siispä [a] [b] =. Määritelmä Joukon A binäärinen relaatio R on järjestys, mikäli 1) x R y ja y R z x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus); 2) x R y tai y R x aina, kun x, y A (vertailullisuus); 3) x R y ja y R x x = y aina, kun x, y A (antisymmetrisyys). Määritelmä Joukon A binäärinen relaatio R on aito järjestys, mikäli 1) x R y ja y R z x R z aina, kun x, y, z A (transitiivisuus); 2) aina, kun x, y A niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: x R y, x = y tai y R x (trikotomialaki). Joukon A järjestyksestä voidaan aina konstruoida joukon A aito järjestys ja päin vastoin: Lause Olkoon A joukko. 1) Jos R on joukon A järjestys, niin relaatio S, jolle pätee on joukon A aito järjestys. x S y x R y ja x y, 2) Jos S on joukon A aito järjestys, niin relaatio R, jolle pätee on joukon A järjestys. x R y x S y tai x = y, 10
11 Todistus. 1) Osoitetaan, että relaatio S toteuttaa Määritelmän ehdot: i) Olkoot x, y, z A ja x S y sekä y S z. Tällöin x R y ja y R z. Koska R on järjestys, niin x R z. Jos x = z, niin z R y. Koska myös y R z, niin y = z. Tämä on ristiriita, sillä y S z. Näin ollen x z ja x S z. ii) Olkoot x, y A. Tällöin järjestyksen R vertailullisuuden nojalla x R y tai y R x. Jos x y, niin x S y tai y S x. Mikäli pätisi x S y ja y S x, niin x R y ja y R x, jolloin x = y, mikä on ristiriita. Siispä joko x S y tai y S x, mutta molemmati eivät voi päteä yhtä aikaa. Jos taas x = y, niin relaation S määritelmän nojalla ei voi päteä x S y tai y S x. Siispä pätee täsmälleen yksi tapauksista x S y, x = y tai y S x Kohtien i) ja ii) nojalla relaatio S on joukon A aito järjestys. 2) Harjoitustehtävä. Huomautus Olkoon A joukko, R sen järjestys ja S sitä vastaava Lauseen mukainen aito järjestys. Tällöin jos a S b, niin a R b. 1.4 Algebraa Määritelmä Olkoon A epätyhjä joukko. Joukon A binäärinen operaatio (laskutoimitus) on kuvaus : A A A. Tällöin merkitään (a, b) = a b. Määritelmä Olkoon ( ) epätyhjän joukon A binäärinen operaatio. Tällöin ( ) on assosiatiivinen (liitännäinen) mikäli (a b) c = a (b c) kaikilla a, b, c A, ja kommutatiivinen (vaihdannainen) mikäli kaikilla a, b A. a b = b a Määritelmä Olkoon G ja ( ) joukon G operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli 1) operaatio ( ) on binäärinen, 2) operaatio ( ) on assosiatiivinen, 3) on olemassa sellainen alkio e G, että a e = e a = a kaikilla a G, 11
12 4) jokaiselle a G on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Kohdan 2 alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi ja kohdan 3 alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Mikäli operaatio ( ) on lisäksi kommutatiivinen, niin ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä. Huomautus Mikäli operaatio ( ) on asiayhteydestä selvä, niin usein merkitään a b = ab. Ryhmässä pätevät seuraavat lait: Lause Olkoot G ryhmä sekä a, b, c G. Tällöin 1) neutraalialkio e on yksikäsitteinen; 2) kunkin alkion a G käänteisalkio a 1 on yksikäsitteinen; 3) yhtälöllä ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu x G; 4) yhtälöllä ya = b on yksikäsitteinen ratkaisu y G; 5) jos ab = ac, niin b = c; 6) jos ba = ca, niin b = c; 7) (ab) 1 = b 1 a 1 ; 8) (a 1 ) 1 = a. Todistus. Algebran perusteet -kurssilla. Määritelmä Olkoon R sekä (+) ja ( ) joukon R operaatioita. Kolmikko (R, +, ) on rengas, mikäli 1) (R, +) on Abelin ryhmä, 2) operaatio ( ) on binäärinen, 3) operaatio ( ) on assosiatiivinen, 4) on olemassa sellainen alkio 1 G, että a 1 = 1 a = a kaikilla a G, 12
13 5) seuraavat distributiivilait (osittelulait) pätevät: a (b + c) = a b + a c ja (a + b) c = a c + b c. Tällöin ryhmän (R, +) neutraalialkiota kutsutaan nolla-alkioksi ja sitä merkitään 0. Alkion a R käänteisalkiota operaation (+) suhteen kutsutaan alkion a vasta-alkioksi ja merkitään a. Kohdassa 3 esiintyvää operaation ( ) neutraalialkiota 1 kutsutaan ykkösalkioksi. Mikäli operaatio ( ) on lisäksi kommutatiivinen, niin (R, +, ) on kommutatiivinen rengas. Huomautus Renkaan operaatiolle ( ) käytetään usein lyhyempää merkintää a b = ab. Lisäksi merkitään a b = a + ( b) kaikilla a, b R. Renkaassa pätevät seuraavat lait: Lause Olkoot R rengas sekä a, b, c R. Tällöin 1) ykkösalkio 1 on yksikäsitteinen; 2) 0a = a0 = 0; 3) jos renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin 0 1; 4) a( b) = ( a)b = (ab); 5) ( a)( b) = ab; 6) a(b c) = ab ac ja (a b)c = ac bc. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus Koska (R, +) on ryhmä, kun (R, +, ) on rengas, niin Lauseen lait pätevät renkaassa R operaation (+) suhteen. Määritelmä Olkoon (R, +, ) rengas ja S R. Jos (S, +, ) on rengas, jolla on sama ykkösalkio kuin renkaalla R, niin sitä sanotaan renkaan R alirenkaaksi Lause [Alirengaskriteeri] Renkaan (R, +, ) epätyhjä osajoukko S on renkaan R alirengas jos ja vain jos 1) a b S aina, kun a, b S, 13
14 2) ab S aina, kun a, b S, 3) 1 S = 1 R. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus Kommutatiivisen renkaan alirenkaat ovat myös kommutatiivisia. Määritelmä Olkoon (K, +, ) kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään 2 alkiota. Kolmikko (K, +, ) on kunta, mikäli jokaiselle a K \ {0} on olemassa sellainen a 1 K, että aa 1 = a 1 a = 1. Toisin sanoen (K, +, ) on kunta, mikäli jokaiselle a K, a 0, on olemassa käänteisalkio operaation ( ) suhteen. Kunnassa pätee seuraava tulon nollasääntö: Lause Olkoon (K, +, ) ja a, b K. Jos ab = 0, niin a = 0 tai b = 0. Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Huomautus Voidaan osoittaa, että jos (K, +, ) on kunta, niin (K \ {0}, ) on Abelin ryhmä. Näin ollen Lauseen lait pätevät joukossa K \ {0} operaation ( ) suhteen. Lisäksi koska (K, +, ) on myös kommutatiivinen rengas, niin kaikki renkaan ominaisuudet, kuten Lause 1.4.8, pätevät myös kunnassa K. Määritelmä Olkoon (K, +, ) kunta ja = F R. Jos (F, +, ) on kunta, niin sitä sanotaan kunnan K alikunnaksi. Lause [Alikuntakriteeri] Kunnan (K, +, ) epätyhjä osajoukko F on kunnan K alikunta jos ja vain jos 1) joukossa F on vähintään kaksi alkiota, 2) a b F aina, kun a, b F, 3) ab 1 F aina, kun a, b F, b 0 F Todistus. Algebralliset rakenteet -kurssilla. Määritelmä Kommutatiivinen rengas (R, +, ) on järjestetty rengas mikäli on olemassa sellainen osajoukko R + R, että 14
15 1) jos a, b R +, niin a + b, ab R + ; 2) kaikilla a R pätee täsmälleen yksi seuraavista: a R +, a = 0 tai a R +. Lisäksi merkitään R 0 + = R + {0} ja R = R \ R 0 +. Joukon R + alkioita kutsutaan positiivisiksi ja joukon R alkioita negatiivisiksi. Nolla-alkio 0 ei ole positiivinen eikä negatiivinen. Mikäli R on kunta, niin puhutaan järjestetystä kunnasta Järjestettyyn renkaaseen R voidaan määritellä järjestysrelaatiot >, <, ja luonnollisesti seuraavalla tavalla: Määritelmä Olkoon R järjestetty rengas ja a, b R. Tällöin J1) a > b jos ja vain jos a b R +, J2) a < b jos ja vain jos b > a. J3) a b jos ja vain jos a > b tai a = b, J4) a b jos ja vain jos b a, Lause Edellä määritellyt relaatiot > ja < ovat aitoja järjestyksiä renkaassa R ja relaatiot ja ovat järjestyksiä renkaassa R. Todistus. J1) Osoitetaan, että relaatio > toteuttaa Määritelmän ehdot. i) Olkoot a, b, c R ja a > b sekä b > c. Tällöin a b R + ja b c R +, joten a c = (a + 0) c = (a + ( b + b)) c = (a b) + (b c) R +. sillä R + on suljettu operaation (+) suhteen. Siispä a > c. ii) Olkoot a, b R. Koska R on järjestetty rengas, niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: a b R +, a b = 0 tai b a = (a b) R +. Siispä joko a > b, a = b tai b > a. Kohtien i) ja ii) nojalla > on aito järjestys renkaassa R. J2) i) Olkoot a, b, c R ja a < b sekä b < c. Tällöin relaation < määritelmän nojalla b > a ja c > b. Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin c > a eli a < c. 15
16 ii) Olkoot a, b R. Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin pätee täsmälleen yksi seuraavista: a > b, a = b tai b > a eli b < a, a = b tai a < b. Kohtien i) ja ii) nojalla < on aito järjestys renkaassa R. J3) Koska > on aito järjestys renkaassa R, niin Lauseen kohdan 2 nojalla on järjestys renkaassa R. J4) Koska < on aito järjestys renkaassa R, niin Lauseen kohdan 2 nojalla on järjestys renkaassa R. Jatkossa käytetään järjestetyssä renkaassa Määritelmän mukaisia järjestysrelaatioita. Lause Jos R on järjestetty rengas ja a, b R, niin tarkalleen yksi seuraavista ehdoista on voimassa: a < b, a = b tai a > b. Todistus. Seuraa suoraan siitä, että < on aito järjestys renkaassa R ja että b < a a > b. Lause Olkoot R järjestetty rengas ja a, b, c, d R. Tällöin 1) jos a R +, niin a > 0 ja jos a R, niin a < 0, 2) jos a R +, niin a R, 3) jos renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin 1 R + eli 1 > 0, 4) jos a > b ja c d, niin a + c > b + d, 5) jos a + c > b + c, niin a > b, 6) jos c R +, niin a > b jos ja vain jos ac > bc, 7) jos c R, niin a > b jos ja vain jos ac < bc, 8) jos a 0, niin a 2 > 0, 9) jos ab = 0, niin a = 0 tai b = 0 (tulon nollasääntö). Todistus. 1) Olkoon a R +. Tällöin a 0 = a R +, joten a > 0. Jos a R eli a / R 0 +, niin a R +. Siispä 0 a = a R +, joten 0 > a eli a < 0. 16
17 2) Olkoon a R +. Tällöin a 0 ja a / R +. Siispä a 0 ja a R \ R 0 + = R. 3) Koska renkaassa R on vähintään kaksi alkiota, niin Lauseen kohdan 3 nojalla 1 0. Näin ollen joko 1 R + tai 1 R +. Jos 1 R +, niin 1 = 1 ( 1) R +, sillä R + on operaation ( ) suhteen suljettu. Tämä on ristiriita, joten 1 / R + ja 1 / R +. Kohdan 1) nojalla 1 > 0. 4) Olkoot a > b ja c d. Tällöin a b R + ja c d R 0 +. Jos c d = 0, niin (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) = (a b) + 0 = a b R + eli a + c > b + d. Jos c d R +, niin eli eli a + c > b + d. 5) Harjoitustehtävä. 6) Harjoitustehtävä. (a + c) (b + d) = (a b) }{{} + (c d) R }{{} + R + R + 7) Olkoon c R. Tällöin c R +. Jos a > b, niin kohdan 6) nojalla a( c) > b( c) eli Siispä bc > ac eli ac < bc. a( c) b( c) = ac ( bc) = bc ac R +. Jos ac < bc, niin kohdan nojalla ( 1)ac > ( 1)bc eli ac > bc, sillä 1 R. Siispä a( c) > b( c). Koska c R +, niin kohdan 6) nojalla a > b. 8) Harjoitustehtävä. 9) Olkoon ab = 0. Jos a = 0, niin tulos pätee. Olkoon sitten a 0. Tällöin a > 0 tai a < 0. Jos b R +, niin kohdan 6) nojalla ab > 0 tai ab < 0, mikä ei käy. Jos taas b R, niin kohdan 7) nojalla ab < 0 tai ab > 0, mikä ei myöskään käy. Näin ollen on oltava b = 0. 17
18 Lause Olkoot K järjestetty kunta ja a, b K +. Tällöin a 1 > 0. Lisäksi a > b jos ja vain jos a 1 < b 1. Todistus. Nyt a 1 0. Jos a 1 < 0, niin Lauseen kohdan 6) nojalla 1 = a 1 a < 0, mikä on ristiriita Lauseen kohdan 3 kanssa. Siispä a 1 > 0. Olkoot a, b K +. Tällöin edellä todistetun nojalla myös a 1, b 1 K +. Lauseen kohdan 6 nojalla a > b aa 1 > ba 1 1 > ba 1 a 1 < b 1. b 1 > b 1 ba 1 = a 1 Huomautus Lauseen kohdat 4-7 ja Lause pätevät myös kun aidot järjestykset > ja < korvataan joka kohdassa vastaavilla järjestyksillä ja. Huomautus Järjestetyn renkaan R alirengas S on myös järjestetty. Jos R + on järjestetyn renkaan R positiivisten alkioiden joukko, niin R + S on alirenkaan positiivisten alkioiden joukko. Lisäksi alirenkaassa pätevät samat järjestysrelaatiot kuin itse renkaassakin. Määritelmä Olkoon R järjestetty rengas. Alkion a R itseisarvo on { a, jos a R+ 0 eli a 0, a = (1) a, jos a R eli a < 0. Lause Olkoot R järjestetty rengas ja a, b R. Itseisarvolle (1) pätee: 1) a 0; 2) a = 0 a = 0; 3) ab = a b ; 4) a + b a + b (kolmioepäyhtälö). Todistus. 1) Jos a 0, niin a = a 0. Jos a < 0, niin a = a > 0 eli a 0. 18
19 2) Jos a = 0, niin a = a = 0. Olkoon a = 0. Jos a > 0, niin a = a > 0, mikä on ristiriita. Vastaavasti jos a < 0, niin a = a > 0, mikä on jälleen ristiriita. Siispä on oltava a = 0. 3) Jos ab 0, niin Lauseen kohdista 6 ja 7 seuraa, että a 0 ja b 0 tai a 0 ja b 0. Tällöin ab = ab = a b tai ab = ab = ( a)( b) = a b. Jos taas ab < 0, niin Lauseen kohdista 6 ja 7 seuraa, että a < 0 ja b > 0 tai a > 0 ja b < 0. Tällöin ab = (ab) = ( a)b = a b tai ab = (ab) = a( b) = a b. 4) Harjoitustehtävä. Määritellään vielä, milloin kaksi järjestettyä rengasta ovat rakenteellisesti samat eli isomorfiset. Määritelmä Olkoot (R, +, ) ja (S,, ) järjestettyjä renkaita. Mikäli on olemassa sellainen kuvaus f : R S, että 1) f on bijektio, 2) f(a + b) = f(a) f(b) ja f(ab) = f(a) f(b) kaikilla a, b R, 3) f(1 R ) = 1 S, 4) jos a, b R ja a > b, niin f(a) > f(b), niin sanotaan, että järjestetyt renkaat (R, +, ) ja (S,, ) ovat isomorfiset eli rakenneyhtäläiset. Kuvausta f kutsutaan tällöin järjestysisomorfismiksi. 19
20 2 Luonnolliset luvut 2.1 Lukukäsite Luvun 1 käsite on ollut käytössä lähes kaikilla luonnonkansoilla. Lukukäsitteen kehitys on pitkä ja asteittainen. Viitteitä kehityksestä on joissakin kielissä, joiden kieliopissa on säilynyt yhden, kahden tai enemmän kuin kaksi toisistaan erottava kolmijako. Matematiikan kehitys on saanut alkunsa luonnollisten lukujen tutkimuksesta. Jokaisella on intuitiivinen käsitys luonnollisista luvuista 1, 2,..., joiden muodostamalle joukolle käytetään merkintää N. Intuitiivisen käsitteen pukeminen tarkaksi matemaattiseksi objektiksi ei ole kuitenkaan yksinkertaista. Tarkastellaan esimerkiksi luvun 2 määrittelyä. Mitä vikaa on seuraavassa määritelmässä: Se on kaikkien sellaisten joukkojen ominaisuus, joissa on 2 alkiota? Kyseessä on kehämääritelmä. Määritelmän itseensä viittaavuudesta voidaan päästä eroon viittaamalla tiettyyn joukkoon. Luku 2 on se, mikä on yhteistä kaikille joukoille, joissa on sama määrä alkioita kuin joukossa {, { }}. Huomautus Joukko { } ei ole tyhjä. Siinä on yksi alkio,. Tämä uusi määritelmä nojautuu edelleen käsitteeseen luku osassa sama määrä alkioita kuin. Käsite joukoissa A ja B on sama määrä alkioita voidaan määritellä ilman, että luvuista tiedetään mitään. Kuinka tämä tapahtuu, käy ilmi seuraavasta käytännön ongelmasta. (Tähän palataan vielä myöhemmin luvussa 7.) Esimerkki Elokuvateatterin lipunmyyjällä on nippu lippuja illan näytäntöä varten. Hän ei ehdi itse tarkistamaan, onko lippuja täsmälleen yhtä monta kuin teatterissa on istumapaikkoja. Lipunmyyjän 5-vuotias tyttö on reipas ja lupaa auttaa, mutta hän ei osaa laskea lippujen lukumäärää. Miten tyttö ratkaisee ongelman? 2.2 Luonnollisten lukujen määrittely Peanon aksiomien avulla Seuraavassa tarkoituksena on esittää luonnollisille luvuille eksakti määritelmä (siinä määrin kuin se tämän kurssin puitteissa on mahdollista). Eräs tapa määritellä luonnoliset luvut on määrittelyn palauttaminen joukkooppiin, joka voidaan aksiomatisoida. Vaikka edellä luonnollisilla luvuilla tar- 20
21 koitettiin lukuja 1, 2,..., on aritmetiikan kannalta luontevampaa aloittaa luvusta 0 luvun 1 sijaan. Luku 0 on pienin luku ja sen määrittelee joukko. Luvun 1 määrittelee joukko { }, luvun 2 määrittelee joukko {, { }} ja yleisemmin luvun n + 1 määrittelee joukko n {n}. Matemaatikko John von Neumann määritteli luonnolliset luvut edellä kuvatulla tavalla vuonna Menetellään tässä kuitenkin toisin. Ensimmäisen luonnollisten lukujen aksiomaattisen määrittelyn esitti italialainen matemaatikko Giuseppe Peano vuonna Peruskäsitteitä ovat luku, nolla ja seuraaja, joita ei määritellä. Peanon aksiomit Olkoot joukko N 0 ja kuvaus s : N 0 N 0 (seuraajakuvaus) sellaisia, että seuraavat ominaisuudet pätevät: A1) 0 N 0 (0 on luonnollinen luku); A2) Jos n N 0, niin s(n) N 0 (jokaisen luonnollisen luvun seuraaja on luonnollinen luku); A3) Jos s(n) = s(m), niin n = m (kahdella eri luvulla ei voi olla samaa seuraajaa); A4) s(n) 0 kaikilla n N 0 (0 ei ole minkään luvun seuraaja); A5) Jos joukolla S N 0 on ominaisuudet i) 0 S, ii) jos n S, niin s(n) S, niin S = N 0 (Induktioaksiomi). Ei ole kuitenkaan mitään takeita siitä, että edellä mainittua joukkoa olisi olemassa, joten lisäksi joudutaan ottamaan aksiomi A6) On olemassa ehdot A1) A5) täyttävä joukko N 0. Ehdot A1) A5) toteuttavaa joukkoa N 0 kutsutaan luonnollisten lukujen joukoksi. Kun vielä merkitään s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, jne. saadaan joukon N 0 alkiot esitettyä tutuissa muodoissaan. Palataan luonnollisten lukujen esitystapoihin luvussa 3. Edellä on kaikki mitä tarvitaan aritmetiikan määrittelyyn. Erityisen tehokkaaksi osoittautuu induktioaksiomi A5. 21
22 Lause Jos n N 0, n 0, niin on olemassa sellainen yksikäsitteinen m N 0, että n = s(m). Todistus. Olemassaolon osoittamiseksi käytetään induktioaksiomia. Sitä varten määritellään joukko S asettamalla S = {n N 0 n = 0 tai n = s(m) jollakin m N 0 }. Osoitetaan, että induktioaksiomin kohdat i) ja ii) ovat voimassa joukolle S. i) Joukon S määrittelyn nojalla 0 S. ii) Oletetaan, että n S. Tällöin joko n = 0 tai n = s(m) jollekin m N 0. Jos n = 0, niin s(n) = s(0) S, sillä aksiomin (A1) mukaan 0 N 0. Jos taas n = s(m) jollekin m N 0, niin aksiomin (A2) mukaan s(m) N 0 ja siten s(n) = s(s(m)) S. Induktioaksiomin (A5) nojalla S = N 0, joten olemassaolo on osoitettu. Yksikäsitteisyys: Jos n = s(m) = s(m ) joillakin m, m N 0, niin aksiomin (A3) nojalla m = m. Siispä m on yksikäsitteinen. Induktioaksiomista voidaan johtaa tuttu todistusmetodi, induktioperiaate: Lause (Induktioperiaate) Olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N 0 se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (0) on tosi, ii) jos n N 0 ja P (n) on tosi, niin P (s(n)) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N 0. Todistus. Todistetaan väite käyttäen induktioaksiomia (A5). Olkoon S = {n N 0 P (n) on tosi.}. 1) Oletuksen i) nojalla P (0) on tosi, joten 0 S. 2) Oletetaan, että n S. Tällöin P (n) on tosi, joten oletuksen ii) nojalla P (s(n)) on tosi. Siispä s(n) S. 22
23 Induktioaksiomin nojalla kohdista 1 ja 2 seuraa, että S = N 0, joten P (n) on tosi kaikilla n N 0. Lauseessa kohtaa i) sanotaan perusaskeleeksi ja kohtaa ii) induktioaskeleeksi. Käytännössä kohdassa ii) tehdään ensin niin sanottu induktio-oletus P (n) on tosi ja sitten induktioväite P (s(n)) on tosi. Tämän jälkeen todistetaan väite jos P (n) on tosi, niin P (s(n)) on tosi käyttämällä induktiooletusta. 2.3 Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku binäärinen operaatio (+) rekursiivisesti asetta- Määritellään joukkoon N 0 malla Y1) m + 0 = m kaikilla m N 0, Y2) m + s(n) = s(m + n) kaikilla n, m N 0. Vastaavasti operaatio ( ) määritellään asettamalla K1) m 0 = 0 kaikilla m N 0, K2) m s(n) = m n + m kaikilla n, m N 0. Operaatiota (+) kutsutaan yhteenlaskuksi ja operaatiota ( ) kertolaskuksi. Lukujen m ja n yhteenlaskun tulosta m + n kutsutaan lukujen m ja n summaksi ja kertolaskun tulosta m n kutsutaan lukujen m ja n tuloksi. Jatkossa merkitään m n = mn kaikilla m, n N 0. Huomautus ) Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat binäärisiä operaatioita eli kahden luonnollisen luvun summa ja tulo ovat myös luonnollisia lukuja. (Harjoitustehtävä) 2) Yhteen- ja kertolaskun rekursiivisesta määrittelystä johtuen on tunnettava ensin m + n ja m n, jotta voidaan laskea m + s(n) ja m s(n). Huomautus Koska s(0) = 1, niin yhteenlaskun määritelmän mukaan s(n) = n + 1 (vertaa intuitiiviseen käsitykseen seuraajasta). 23
24 Esimerkki Lasketaan ja 1 1. Nyt ja = 1 + s(0) (Y 2) (Y 1) = s(1 + 0) = s(1) = = 1 s(0) (K2) = (K1) (Y 2) (Y 1) = = 0 + s(0) = s(0 + 0) = s(0) = 1. Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku toteuttavat seuraavat laskusäännöt: Lause Olkoot m, n, p N 0. Tällöin 1) 0 + m = m, 2) s(m) = m + 1 = 1 + m, 3) 0 m = 0, 4) m 1 = 1 m = m, 5) (m + n) + p = m + (n + p) (yhteenlaskun assosiatiivisuus), 6) m + n = n + m (yhteenlaskun kommutatiivisuus), 7) (m n) p = m (n p) (kertolaskun assosiatiivisuus), 8) m n = n m (kertolaskun kommutatiivisuus), 9) m (n + p) = m n + m p (distributiivilaki), 10) (m + n) p = m p + n p (distributiivilaki). Todistus. 1) Todistus induktiolla luvun m suhteen. Olkoon P (m) = 0 + m = m. i) Koska (Y 1) = 0, niin P (0) on tosi. ii) Induktio-oletus: P (m) on tosi jollakin m N 0 eli 0 + m = m. Induktioväite: P (s(m)) on tosi eli 0 + s(m) = s(m). Induktioväitteen todistus: Nyt joten P (s(m)) on tosi. 0 + s(m) (Y 2) = s(0 + m) i.o. = s(m), 24
25 Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla P (m) on tosi kaikilla m N 0 eli 0 + m = m kaikilla m N 0. 2) Harjoitustehtävä. 3) Harjoitustehtävä. 4) Koska s(0) = 1, niin kaikilla m N 0. m 1 = m s(0) (K2) = m 0 + m (K1) = 0 + m 1) = m Todistetaan toinen yhtäsuuruus induktiolla luvun m suhteen: i) Nyt 1 0 (K1) = 0, joten väite pätee, kun m = 0. ii) Induktio-oletus: 1 m = m eräällä m N 0. Nyt 1 s(m) (K2) = 1 m + 1 i.o. = m + 1 = 2) s(m), joten väite pätee myös luvulla s(m). Induktioperiaatteen nojalla 1 m = 0 kaikilla m N 0. 5) Harjoitustehtävä. 6) Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Olkoon m N 0. i) Nyt m + 0 joten väite pätee, kun n = 0. (Y 1) = m 1) = 0 + m, ii) Induktio-oletus: m + n = n + m eräällä n N 0. Nyt m + s(n) (Y 2) = s(m + n) i.o. (Y 2) = s(n + m) = n + s(m) 2) = n + (1 + m) = 5) (n + 1) + m = 2) s(n) + m, joten väite pätee myös luvulla s(n). Induktioperiaatteen nojalla m + n = n + m kaikilla n N 0. 9) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. 25
26 i) Nyt m (n + 0) joten väite pätee, kun p = 0. (Y 1) (Y 1) = m n = m n + 0 (K1) = m n + m 0, ii) Induktio-oletus: m (n + p) = m n + m p eräällä p N 0. Nyt m (n + s(p)) (Y 2) = m s(n + p) (K2) = m (n + p) + m i.o. = (m n + m p) + m 5) = m n + (m p + m) (K2) = m n + m s(p), joten väite pätee myös luvulla s(p). Induktioperiaatteen nojalla m (n + p) = m n + m p kaikilla p N 0. 10) Harjoitustehtävä. 7) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. i) Nyt (m n) 0 (K1) = 0 (K1) = m 0 (K1) = m (n 0), joten väite pätee, kun p = 0. ii) Induktio-oletus: (m n) p = m (n p) eräällä p N 0. Nyt (m n) s(p) (K2) = (m n) p + m n i.o. = m (n p) + m n joten väite pätee myös luvulla s(p). 9) = m (n p + n) (K2) = m (n s(p)), Induktioperiaatteen nojalla (m n) p = m (n p) kaikilla p N 0. 8) Harjoitustehtävä. Esimerkki Lasketaan ja 3 2. Nyt ja = 3 + s(1) (Y 2) = s(3 + 1) L.2.3.4,2) = s(s(3)) = s(4) = = 3 s(1) (K2) = L.2.3.4,4) (Y 2) = = 3 + s(2) = s(3 + 2) = s(5) = 6 26
27 Huomautus Induktiolla voidaan osoittaa, että m n = n+n+...+n, missä summattavia termejä on m kappaletta. Tulo m n on siis luvun n m. monikerta. Lisäksi luonnollisille luvuille pätevät seuraavat supistussäännöt: Lause Kaikilla m, n, p N 0 pätee 1) jos m + p = n + p, niin m = n, 2) jos p 0 ja m p = n p, niin m = n. Todistus. 1) Todistetaan väite induktiolla luvun p suhteen. Olkoot m, n N 0. i) Jos m + 0 = n + 0, niin m joten väite pätee, kun p = 0. (Y 1) (Y 1) = m + 0 = n + 0 = n, ii) Induktio-oletus: Eräällä p N 0 pätee, että jos m + p = n + p, niin m = n. Jos nyt m + s(p) = n + s(p), niin luonnollisten lukujen yhteenlaskun määritelmän (Y2) nojalla s(m+p) = s(n+p). Tällöin aksiomin (A3) nojalla m+p = n+p, joten induktio-oletuksen mukaan m = n. Siispä väite pätee myös luvulla s(p). Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla p N 0. 2) Harjoitustehtävä: Esimerkki ) Ratkaistaan joukossa N 0 yhtälö x + 3 = 5. Nyt 5 = 2 + 3, joten x + 3 = Tällöin Lauseen nojalla x = 2. (Huomaa, että vähennyslaskua ei ole vielä määritelty.) 2) Osoitetaan, että yhtälöllä x + 2 = 1 ei ole ratkaisua joukossa N 0. Oletetaan, että on olemassa sellainen x N 0, että x + 2 = 1. Nyt = 1 = x + 2 = x + (1 + 1) = (x + 1) + 1, joten Lauseen nojalla 0 = x + 1 = s(x). Tämä on ristiriita aksiomin (A4) kanssa. Näin ollen yhtälöllä x + 2 = 1 ei ole ratkaisua joukossa N 0. 27
28 2.4 Luonnollisten lukujen järjestys Määritellään seuraavaksi joukkoon N 0 järjestysrelaatiot,, > ja < seuraavasti: Määritelmä Olkoot m, n N 0. Tällöin J1) m n (m on suurempi tai yhtä suuri kuin n) jos ja vain jos on olemassa sellainen p N 0, että m = n + p. J2) m n (m on pienempi tai yhtä suuri kuin n) jos ja vain jos n m. J3) m > n (m on aidosti suurempi kuin n) jos ja vain jos m n ja m n. J4) m < n (m on aidosti pienempi kuin n) jos ja vain jos n > m. Lause Relaatiot ja ovat järjestyksiä joukossa N 0 ja relaatiot > ja < ovat aitoja järjestyksiä joukossa N 0. Todistus. J1) Osoitetaan, että relaatio toteuttaa Määritelmän ehdot: 1) Harjoitustehtävä. 2) Osoitetaan induktiolla luvun m suhteen, että m n tai n m aina, kun m, n N 0. Olkoon n N 0. i) Koska n = 0 + n, niin n 0, joten väite pätee, kun m = 0. ii) Induktio-oletus: m n tai n m eräällä m N 0. Induktioväite: m + 1 n tai n m + 1. Induktioväitteen todistus: Jos m n, niin on olemassa sellainen k N 0, että m = n+k. Tällöin m+1 = (n+k)+1 = n+(k +1), missä k + 1 N 0. Siispä m + 1 n. Jos taas n m, niin n = m + k jollakin k N 0. Jos k = 0, niin n = m, jolloin m + 1 = n + 1 eli m + 1 n. Jos k 0, niin k = r + 1 jollakin r N 0. Tällöin n = m + k = m + (r + 1) = m + (1 + r) = (m + 1) + r, joten n m + 1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla m N 0. 3) Harjoitustehtävä. Kohtien 1-3 nojalla on järjestys joukossa N 0. J2) Osoitetaan, että relaatio toteuttaa Määritelmän ehdot: 28
29 1) Olkoot m, n, p N 0 ja m n sekä n p. Tällöin n m ja p n, joten p m, sillä on järjestys. Niinpä m p. 2) Olkoot m, n N 0. Koska on järjestys, niin m n tai n m. Näin ollen n m tai m n. 3) Jos m n ja n m, niin n m ja m n. Koska on järjestys, niin m = n. Kohtien 1-3 nojalla on järjestys joukossa N 0. J3) Seuraa lauseen kohdasta 1 ja siitä, että on järjestys. J4) Seuraa lauseen kohdasta 1 ja siitä, että on järjestys. Seuraus Jos m, n N 0, niin tarkalleen yksi seuraavista ehdoista on voimassa: m < n, m = n tai m > n. Todistus. Seuraa suoraan aidon järjestyksen määritelmästä. Esimerkki ) Koska 5 = ja 2 N 0, niin 5 3. Lisäksi koska 5 3, niin 5 > 3. 2) Koska s(n) = n + 1, niin s(n) > n kaikilla n N 0. Luonnollisten lukujen järjestyksille pätee: Lause Olkoot m, n, p, q N 0. Tällöin 1) m 0, 2) jos m > n, niin m n + 1, 3) jos m > n ja p q, niin m + p > n + q, 4) jos m > n, p q ja p 0, niin mp > nq, 5) jos m + q > n + q, niin m > n, 6) jos q 0 ja mq > nq, niin m > n. Todistus. Olkoot m, n, p, q N 0. 1) Koska m = 0 + m, niin m 0. 29
30 2) Olkoon m > n. Tällöin m n ja m n, joten m = n + k jollakin k N 0, missä k 0. Nyt on olemassa sellainen r N 0, että k = r + 1, joten Siispä m n ) Harjoitustehtävä. m = n + k = n + (r + 1) = n + (1 + r) = (n + 1) + r. 4) Olkoot m > n ja p q sekä p 0. Tällöin m = n + k ja p = q + l joillakin k, l N 0, missä k 0. Edelleen mp = (n + k)(q + l) = nq + (kq + nl + kl), missä kq +nl +kl N 0, joten mp nq. Koska k 0 ja p 0, niin kp 0 (HT). Siispä kq + nl + kl = k(q + l) + nl = kp + nl 0. Näin ollen mp nq, joten mp > nq. 5) Olkoon m + q > n + q. Tällöin m + q = (n + q) + r jollakin r N 0, r 0, jolloin m + q = (n + r) + q. Lauseen kohdan 1) nojalla m = n + r, joten m > n. 6) Olkoon mq > nq ja q 0. Lauseen nojalla joko m < n, m = n tai m > n. Jos m = n, niin mq = nq, mikä on ristiriita. Jos taas m < n, niin kohdan 4) nojalla mq < nq, mikä on ristiriita. Siispä m > n. Huomautus ) Lauseen kohdasta (3) seuraa, että jos m > n ja p N 0, niin m + p > n + p. Vastaavasti kohdasta (4) seuraa, että jos m > n ja p N 0, p 0, niin mp > np. 2) Lauseen kohdat 3 6 pätevät myös kun aito järjestys > korvataan joka kohdassa järjestyksellä. Esimerkki Ratkaistaan joukossa N 0 epäyhtälö 2x + 2 x + 5. Nyt 2x + 2 = (1 + 1)x + 2 = (x + x) + 2 = x + (x + 2) ja x + 5 = x + (3 + 2) = (x + 3) + 2 = (3 + x) + 2 = 3 + (x + 2), joten 2x+2 x+5 jos ja vain jos x+(x+2) 3+(x+2). Koska x+2 N 0, niin Lauseen kohdan 5) ja Huomautuksen kohdan 2) nojalla tällöin x 3. 30
31 Luonnollisten lukujen erotus Jos m, n N 0 ja m n, niin järjestyksen ja lauseen mukaan on olemassa sellainen yksikäsitteinen p N 0, että m = n + p. Merkitään tällöin p = m n. Lukua p sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja laskutoimitusta ( ), jolla luvuista m ja n saadaan p, sanotaan vähennyslaskuksi. Palataan tähän kokonaislukujen yhteydessä. Esimerkki ) Koska 5 = 3 + 2, niin 5 3 = 2. 2) Koska n = n + 0, niin n n = 0 kaikilla n N 0. 3) Olkoon n N 0, n 0. Tällöin on olemassa sellainen k N 0, että n = s(k) = k + 1, joten k = n 1. Siispä s(n 1) = n. 2.5 Induktioperiaatteen muita muotoja Induktioperiaatteesta (Lause 2.2.2) voidaan johtaa kaksi sen kanssa yhtäpitävää muotoa, jotka joissain tapauksissa ovat käyttökelpoisempia induktiotodistuksissa. Ensimmäinen niistä mahdollistaa induktion käytön tuloksille, jotka riittää osoittaa todeksi vain riittävän suurille luonnollisille luvuille. Käytetään jatkossa merkintää N k = {n N 0 n k} = {n + k n N 0 }. Lause Olkoon k N 0 ja olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N k, se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (k) on tosi, ii) jos P (m) on tosi jollakin m N k, niin P (m + 1) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N k. Todistus. Olkoon k N 0 ja Q(n) = P (n + k) on tosi. Todistetaan induktiolla, että väite Q(n) on tosi kaikilla n N 0. 1) Koska P (0 + k) = P (k) on tosi oletuksen i) nojalla, niin Q(0) on tosi. 31
32 2) Induktio-oletus: Q(n) on tosi jollakin n N 0 eli P (n + k) on tosi. Induktioväite: Q(n + 1) on tosi eli P ((n + 1) + k) on tosi. Induktioväitteen todistus: Nyt n + k k, joten n + k N k. Koska induktio-oletuksen nojalla P (n + k) on tosi, niin oletuksen ii) nojalla P ((n + k) + 1) = P ((n + 1) + k) on tosi. Siispä Q(n + 1) on tosi. Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla Q(n) pätee kaikilla n N 0 eli P (n + k) on tosi kaikilla n N 0. Toisin sanoen P (n) on tosi kaikilla n N k. Seuraavaa periaatetta kutsutaan täydellisen induktion periaatteeksi. Lause Olkoon P sellainen väittämä, että jokaiselle n N 0 se on joko tosi tai epätosi. Oletetaan, että i) P (0) on tosi, ii) jos n N 0 ja P (m) on tosi kaikilla m n, niin P (n + 1) on tosi. Tällöin P (n) on tosi kaikilla n N 0. Todistus. Olkoon Q(n) = P (m) on tosi kaikilla m n. Todistetaan induktiolla, että väite Q(n) on tosi kaikilla n N 0. 1) Koska P (0) on tosi oletuksen i) nojalla ja {m N 0 m 0} = {0}, niin Q(0) on tosi. 2) Induktio-oletus: Q(n) on tosi jollakin n N 0 eli P (m) on tosi kaikilla m n. Induktioväite: Q(n + 1) on tosi eli P (m) on tosi kaikilla m n + 1. Induktioväitteen todistus: Induktio-oletuksen nojalla P (m) on tosi kaikilla m n. Tällöin oletuksen ii) nojalla P (n + 1) on tosi, joten P (m) on tosi kaikilla m n + 1. Siispä Q(n + 1) on tosi. Induktioperiaatteen (Lause 2.2.2) nojalla Q(n) pätee kaikilla n N 0 erityisesti P (n) on tosi kaikilla n N 0. eli Täydellisen induktion periaatteen avulla voidaan osoittaa jatkossa tarvittava hyvinjärjestysperiaate. Lause (Hyvinjärjestysperiaate) Jokaisessa joukon N 0 epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. 32
33 Todistus. Olkoon S N 0. On osoitettava, että on olemassa sellainen m S, että m s kaikilla s S. Vastaoletus: Tällaista lukua m ei ole olemassa. Osoitetaan täydellisellä induktiolla, että S =. Olkoon P (n) = n / S. i) Koska 0 n kaikilla n N 0, niin erityisesti 0 n kaikilla n S N 0. Vastaoletuksen nojalla 0 / S. ii) Oletetaan nyt, että P (m) on tosi kaikilla m n, joten jos m n, niin m / S. Näin ollen, jos s S, niin s > n, josta edelleen seuraa Lauseen kohdan 2) nojalla, että s n + 1. Jos n+1 S, niin n+1 olisi pienin alkio, mikä on ristiriita. Siis n+1 / S, joten P (n + 1) on tosi. Täydellisen induktion periaatteen (Lause 2.5.2) mukaan P (n) on tosi kaikilla n N 0, joten S =, mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä ja väite tosi. Osoitetaan käyttäen hyvinjärjestysperiaatetta, että jokainen aidosti vähenevä jono luonnollisia lukuja on päättyvä eli äärellisen mittainen: Lause Ei ole olemassa sellaista (ääretöntä) luonnollisten lukujen jonoa (q n ) n N0, että q i+1 < q i kaikilla i N 0. Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen luonnollisten lukujen jono (q n ) n N0, että q i+1 < q i kaikilla i N 0. Hyvinjärjestysperiaatteen nojalla joukossa S = {q n n N 0 } on olemassa pienin alkio m. Tällöin m = q i jollakin i N 0. Nyt m = q i > q i+1 S, mikä on ristiriita. Siispä vastaoletus on väärä ja väite tosi. 33
34 3 Lukujärjestelmät Koska luonnollisia lukuja on ääretön määrä, niiden kaikkien nimeäminen edeltäjiensä seuraajina ei ole mahdollista saati mielekästä. Lisäksi luonnollisilla luvuilla laskeminen suoraan yhteen- ja kertolaskun rekursiivisia määritelmiä käyttäen on erittäin työlästä. Tämän vuoksi tarvitaan jonkinlainen lukujärjestelmä, jolla tarkoitetaan tapaa esittää eli nimetä ja kirjoittaa luvut. 3.1 Additiiviset lukujärjestelmät Useat varhaiset lukujärjestelmät olivat additiivisia eli tietyille luvuille oli oma symbolinsa, joita toistamalla saatiin esitys muille luvuille. Luvun arvo saatiin laskemalla eri symboleiden osoittamat luvut yhteen. Additiivisissa järjestelmissä symbolien järjestyksellä ei periaatteessa ole väliä eikä nollalle ole tarvetta. Esimerkkeinä additiivisista lukujärjestelmistä ovat tukkimiehen kirjanpito, egyptiläinen merkintätapa sekä roomalaiset numerot. Egyptiläisessä hieroglyfikirjoituksessa käytettiin lukujen ilmaisuun alla olevia merkkejä: Kuva 1: Egyptiläisiä numerosymboleita Jokaiselle kymmenen potenssille oli siis oma merkkinsä. Esimerkiksi luku 246 = kirjoitettiin egyptiläisellä merkinnällä näin: Roomalaisilla numeroilla lukuja merkittiin kirjaimilla, joita vastasivat luvut seuraavasti: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M =
35 Merkintöjen lyhentämiseksi roomalaisilla numeroilla yhtä symbolia toistettiin usein korkeintaan kolme kertaa ja neljännet monikerrat esitettiin käyttäen niin sanottua vähennysmerkintää, jossa seuraavan suuruusluokan symbolin eteen merkittiin yksi kappale edellistä symbolia. Esimerkiksi IIII=IV. Luku 246 = (50 10) roomalaisin numeroin ilmaistuna on CCXLVI. 3.2 Paikkajärjestelmä Yksi additiivisen järjestelmän ongelmista on, että se soveltuu huonosti suurten lukujen esittämiseen. Kun tiettyä lukumäärää vastaamaan asetetaan jokin numerosymboli, ei samaa symbolia tarvitse kirjoittaa enää montaa kertaa. Näin esimerkiksi roomalaisilla numeroilla luku CCCXXXIIII olisi voitu kirjoittaa 3C3X4I. Paikkajärjestelmässä luvut ilmaistaan kirjoittamalla numerosymbolit peräkkäin jättäen "yksiköt" merkitsemättä, esimerkiksi 3C3X4I=334. Tällöin numeron paikka kirjoitetussa luvussa ilmaisee, mistä yksiköstä on kyse. Paikkajärjestelmissä yksikköinä ovat yleensä jonkin kantaluvun potenssit. Yksi varhaisimmista paikkajärjestelmistä oli babylonialainen lukujärjestelmä, jossa luvut 1-59 ilmaistiin additiivisella nuolenpäämerkinnällä ja suuremmat luvut 60-kantaisella paikkajärjestelmällä. Kuva 2: Babylonialaisia numerosymboleita 35
36 Esimerkiksi luku 246 = kirjoitettiin babylonialaisella merkinnällä näin: Babylonialaisessa lukujärjestelmässä oli aluksi kuitenkin iso puute, sillä nollasymbolia ei vielä ollut keksitty. Tämä teki järjestelmästä monitulkintaisen, sillä puuttuvat kantaluvun potenssit jäivät merkitsemättä. Esimerkiksi edellä oleva merkintä olisi voinut myös tarkoittaa lukuja = tai = Vasta luvun 0 käyttöönotto (alunperin intialaisten ja arabialaisten toimesta) tekee paikkajärjestelmän virheettömän käytön täysin mahdolliseksi. 3.3 Kantalukujärjestelmä Nykyään lähes kaikkialla maailmassa käytössä olevia paikkajärjestelmiä, joissa luvut esitetään jonkin luonnollisen luvun painotettujen potenssien summina, kutsutaan kantalukujärjestelmiksi. Näistä tunnetuin on kymmenjärjestelmä. Kuten jo aiemmissa esimerkeissä nähtiin, useat varhaiset lukujärjestelmät ovat perustuneet juuri lukuun kymmenen. Tämä johtunee siitä, että ihmisillä on kymmenen sormea. Onkin paljon viitteitä siitä, että varhaisimmat laskujärjestelmät ovat perustuneet sormilla laskemiseen. Tarkastellaan seuraavaksi yleisiä kantalukujärjestelmiä ja niillä laskemista. Kantalukuesityksien muodostamiseksi on ensin määriteltävä luonnollisten lukujen potenssit: Määritelmä Olkoot n N 0. Tällöin luvun n k:s potenssi n k määritellään rekursiivisesti asettamalla n 0 = 1, n k+1 = n n k, kun k 1. Lisäksi tarvitaan seuraavaa tärkeää lausetta: Lause (Jakoalgoritmi) Olkoot m, n N 0, n 0. On olemassa sellaiset yksikäsitteiset luvut q, r N 0, että m = qn + r, missä 0 r < n. 36
37 Todistus. Todistetaan aluksi lukujen q ja r olemassaolo induktiolla luvun m suhteen. Olkoon n N 0, n 0, ja S = {m N 0 m = qn + r joillakin q, r N 0, 0 r < n}. Koska 0 = 0 n + 0, niin 0 S. Oletetaan, että m S. Tällöin m = qn + r, missä 0 r < n, josta saadaan s(m) = m + 1 = qn + r + 1 (2) Ehdosta r < n saadaan järjestysten < ja määritelmien sekä lauseen kohdan (2) nojalla, että r + 1 n. Siis joko r + 1 = n, jolloin (2) on muotoa tai r + 1 < n, jolloin m + 1 = (q + 1)n + 0 m + 1 = qn + (r + 1), missä 0 r + 1 < n Molemmissa tapauksissa s(m) S, joten induktioaksiomin mukaan S = N 0. Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi oletetaan, että m = qn + r = q, n + r, (3) joillakin q, q, r, r N 0 ja 0 r, r < n. Koska m = qn + r, niin m qn. Toisaalta koska q n q n ja r < n, niin Lauseen kohdan (3) nojalla m = q n + r < q n + n = (q + 1)n. Siispä qn m < (q + 1)n. Vastaavasti saadaan, että q n m < (q + 1)n, jolloin edelleen qn < (q + 1)n (i) ja q n < (q + 1)n (ii). Lauseen mukaan q < q, q = q tai q > q. Jos q < q, niin q + 1 q, jolloin Lauseen kohdan (4) mukaan saadaan (q+1)n q n, mikä on ristiriidassa tuloksen (ii) kanssa. Vastaavasti nähdään, että tapaus q > q johtaa ristiriitaan tuloksen (i) kanssa. Siispä q = q, jolloin yhtälöstä (3) ja lauseesta saadaan r = r. Nyt voidaan osoittaa, että jokaiselle luonnolliselle luvulle on olemassa yksikäsitteinen b-kantainen esitys aina, kun b N 2. Lause Olkoon n, b N 0 ja b 2. Tällöin luku n voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa m n = a k b k = a m b m + a m 1 b m a 1 b + a 0, (4) k=0 missä m N 0, 0 a k b 1 kaikilla k = 0, 1,..., m ja a m 0 aina, kun n 0. Tällöin merkitään n = (a m a m 1... a 1 a 0 ) b. 37
38 Todistus. Jos n = 0, niin 0 = 0 b 0. Olkoon sitten n 1. Jakoalgoritmia käyttäen saadaan n = q 0 b + r 0, 0 r 0 < b, q 0 = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b, q 1 = q 2 b + r 2, 0 r 2 < b,. q i = q i+1 b + r i+1, 0 r i+1 < b,. missä q i, r i N 0 kaikilla i. Jos q i 0 kaikilla i N 0, niin q i+1 = q i+1 1 < q i+1 2 q i+1 b q i+1 b + r i+1 = q i eli q i+1 < q i kaikilla i N 0. Siispä (q i ) i N0 on aidosti vähenevä jono luonnollisia lukuja, mikä on ristiriita Lauseen tuloksen kanssa. Näin ollen hyvinjärjestysperiaatteen nojalla on olemassa pienin sellainen m N 0, että q m = 0. Tällöin q m 1 = 0 b + r m = r m 0. Luvulle n saadaan nyt esitys n = q 0 b + r 0 = (q 1 b + r 1 )b + r 0 = q 1 b 2 + r 1 b + r 0. = (q 2 b + r 2 )b 2 + r 1 b + r 0 = q 2 b 3 + r 2 b 2 + r 1 b + r 0 = (q m 1 b + r m 1 )b m 1 + r m 2 b m r 1 b + r 0 = q m 1 b m + r m 1 b m 1 + r m 2 b m r 1 b + r 0 = r m b m + r m 1 b m r 1 b + r 0. (5) Nyt 0 r k b 1 kaikilla k = 0, 1,..., m, joten voidaan valita a k = r k kaikilla k = 0, 1,..., m. Koska lisäksi a m = r m 0, niin (5) on yhtälön (4) mukainen luvun n esitys. Esityksen yksikäsitteisyyden todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus Lauseen todistuksessa esitetty algoritmi antaa tavan määrittää luonnollisen luvun n b-kantainen esitys. Algoritmia jatketaan siihen asti, että ensimmäisen kerran q i = 0. (Tällöin itse asiassa i = m ja q j = 0 kaikilla j m.) Tämän jälkeen b-kantaisen esityksen kertoimet saadaan jakojäännöksistä r m,..., r 0 ja n = (r m r m 1... r 1 r 0 ) b. 38
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotKoulumatematiikan perusteet P
Koulumatematiikan perusteet 800104P Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2009 Ihmisen henkistä toimintaa ei voi sanoa taiteeksi ellei se perustu matemaattiseen ajatteluun ja todistukseen - Leonardo
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
LisätiedotLukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin
Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot2 j =
1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotJohdatus matemaattisen analyysin teoriaan
Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
Lisätiedot