Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015
Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai S toennäköisyyellä 1-p (p > 0, > > 0) Oletetaan, että riskitön korko on r ( = 1+r) Arbitraasivapaesta seraa ehto >>, sillä jos vastaoletksen persteella olisi esim. : lainataan kohe-eten tämänhetkisen arvon verran riskittömällä korolla ja sijoitetaan osakkeeseen saaaan kassavirta, jonka ootsarvo on ps (1 p) S S ps (1 S S p) S S ( ) S 0 arbitraasi Periaate: Moostetaan kohe-etesta ja riskittömästä sijoitksesta portfolio, josta saaaan perioin päättyessä sama kassavirta kin optiosta option hinta on sama kin tämän portfolion arvo 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 2
Yksiperioiset optiot 2/3 Tarkastellaan osto-optiota, jonka totetshinta on K Perioin päättyessä tämän option arvo on joko max( S Tarkastellaan portfoliota, jossa smma x sijoitetaan kohe-etteen ja smma b riskittömällä korolla Perioin päättyessä tämän portfolion kassavirta on Eellytetään, että ko. portfolion ja osto-option kassavirrat täsmäävät atkaistaan x ja b K,0) x b tai x b x b tai x b max( S K,0) x b ( ) 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 3
Yksiperioiset optiot 3/3 Arbitraasivapaen nojalla osto-optiolla ja tällä portfoliolla on oltava sama arvo Merkitään x b 1 q 1 Osto-option arvo voiaan tlkita q:lla ja 1-q:lla painotettna smmana sen tlevista arvoista q:ta ktstaan riskinetraaliksi toennäköisyyeksi q ( ) (1 q) Hom! q:lla ei kitenkaan ole tekemistä p:n kanssa! 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 4
Moniperioiset optiot Tarkastellaan kaksiperioista binomihilaan, jossa ostooption arvo on kahen perioin kltta max( max( Sovelletaan yhen perioin hinnoittela rekrsiivisesti, jollon ensimmäisen perioin päättyessä option arvo on 1 q (1 q) Tällöin ensimmäisen perioin alssa option arvo on tai 1 q (1 q) 2 2 S max( S S K,0) K,0) K,0) 1 q (1 q) 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 5
Esimerkki Osakkeen hinta on 80 ja hintamtosten logaritmin keskihajonta on σ = 0.40 Erooppalaisen osto-option päättymispäivä on neljän kkaen kltta ja sen totetshinta on 85 Mikä on tämän option hinta, kn riskitön korko on 8% ja osakkeelle ei makseta osinkoa? Parametreiksi saaaan: r e 0.40 1.12 r 1 1.007 12 Osakkeen hintaa kvaavaksi binomihilaksi saaaan: e 0.40 1/12 1/12 0.89 0.080 0 1 2 3 4 80 89.79 100.78 113.12 126.96 71.28 80.00 89.79 100.78 Ja eelleen option arvoksi saaaan: osto-option arvo on siis 6.40 63.50 71.28 80.00 56.58 63.50 50.41 0 1 2 3 4 6.40 10.94 18.14 28.68 41.96 1.93 3.89 7.84 15.78 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 q 0.5 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 6
Amerikkalainen osto-optio Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä A: Jos S t < K, niin kohe-ets voiaan ostaa halvemmalla markkinoilta B: Jos S t > K, niin optio voiaan kyllä totettaa hetkellä t, mtta... Jos S T > K, niin optio olisi voit totettaa vasta päättymispäivänä, jolloin totetksen yhteyessä tarvittavalle pääomalle olisi maksett korkoa t:n ja T:n välisenä aikana Jos S T < K, niin optiota ei olisi kannattant totettaa lainkaan, koska päättymispäivänä se oltaisiin saat markkinoilta halvemmalla Tlos voiaan myös toistaa täsmällisemmin 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 7
Amerikkalainen osto-optio Lase: Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä Toists: Kaksiperioisessa hilassa joten 1 1 Koska q max( max( 2 S max( S (1 q) 2 S K,0) K,0) K,0) S niin Ts. option arvo ensimmäisen perioin päättyessä on srempi kin sen totettamisesta saatava voitto ennenaikainen osto-option totettaminen ei kannata Hom! Amerikkalaisen myyntioption ennenaikainen totettaminen saattaa sen sijaan kannattaa S 2 q S (1 q) S K q (1 q) q q ( 1 q) S K S 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 8 K 2 S 2 S K K K S K K
Esimerkki Tarkastellaan eellisessä esimerkissä erooppalaista myyntioptiota, jonka totetshinta on 85 Optio voiaan totettaa ainostaan päättymispäivänä ja sen arvoksi saaaan 9.17 0 1 2 3 4 9.17 4.47 1.23 0.00 0.00 13.98 7.77 2.48 0.00 20.37 13.16 5.00 27.86 21.50 34.59 Tarkastellaan vastaavanlaista amerikkalaista myyntioptiota Esim. Jos kohe-eten hinta on tllt jatkvasti alaspäin, niin optio kannattaa totettaa kolmannen perioin alssa, koska 85.00 63.50 = 21.50 > 20.37 Myyntioption arvoksi saaaan 9.58 0 1 2 3 4 9.58 4.61 1.23 0.00 0.00 14.68 8.05 2.48 0.00 21.50 13.72 5.00 28.42 21.50 34.59 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 9
eaalioptiot Optiohinnoittellla voiaan tkea investointistrategioien laatimista tilanteissa, joissa kohe-ets ei ole finanssi-instrmentti, vaan jokin reaalinen sijoitskohe eaalioptiolla tarkoitetaan tällöin reaalimaailman valintatilannetta, jossa tarjolla on maholliss erilaisiin investointimahollisksiin lonnonvarat (öljy, kaas, p jne.) kiinteistöt T&K-hankkeet projektimahollisteen tarttminen sijoittaminen teen totantokoneistoon jne. 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 10
Esimerkki: Kltakaivos Kaivoksesta voiaan kaivaa kltaa enintään 10000 nssia voessa ja kaivkstannkset ovat $200/nssi Kllan hinta on $400/nssi, mtta sen arvellaan mttvan siten, että vositasolla se joko nosee 20% (=1.2) toennäköisyyellä 0.75 tai alenee 10% (=0.9) toennäköisyyellä 0.25 iskitön korko on 10% Mikä on 10 voen pitisen vokrasopimksen arvo? Moostetaan ensin kllan hinnan kehitystä kvaava binomihila: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 400.00 480.00 576.00 691.20 829.44 995.33 1194.39 1433.27 1719.93 2063.91 2476.69 360.00 432.00 518.40 622.08 746.50 895.80 1074.95 1289.95 1547.93 1857.52 324.00 388.80 466.56 559.87 671.85 806.22 967.46 1160.95 1393.14 291.60 349.92 419.90 503.88 604.66 725.59 870.71 1044.86 262.44 314.93 377.91 453.50 544.20 653.03 783.64 236.20 283.44 340.12 408.15 489.78 587.73 212.58 255.09 306.11 367.33 440.80 191.32 229.58 275.50 330.60 172.19 206.62 247.95 154.97 185.96 139.47 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 11
Esimerkki: Kltakaivos 10. voen päättyessä sopimksella ei ole arvoa, koska kaivoksesta ei voia enää kaivaa kltaa 10. voen alssa kltaa kannattaa kaivaa, jos kllan hinta S > 200 eli 9. voen lopssa kaivoksen arvo on S 200 max{10000*,0} 1.10 8. voen lopssa kltaa kannattaa kaivaa, jos S > 200 8. voen lopssa kaivoksen arvoon on lisättävä myös sen jälkeen saatavien tottojen arvo Näin etenemällä voiaan moostaan binomihila ja vokran arvoksi saaaan $24.1 milj 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24.1 27.8 31.2 34.2 36.5 37.7 37.1 34.1 27.8 16.9 0.0 17.9 20.7 23.3 25.2 26.4 26.2 24.3 20.0 12.3 0.0 12.9 15.0 16.7 17.9 18.1 17.0 14.1 8.7 0.0 8.8 10.4 11.5 12.0 11.5 9.7 6.1 0.0 5.6 6.7 7.4 7.4 6.4 4.1 0.0 3.2 4.0 4.3 3.9 2.6 0.0 1.4 2.0 2.1 1.5 0.0 0.4 0.7 0.7 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 12
Esimerkki: Kltakaivos Oletetaan, että yhtiö voi ostaa tehokaivrin, joka nostaa kapasiteetin 12500 nssiin, mtta joka maksaa $4 milj. ja jolla kaivkstannkset ovat $240/nssi Kannattaako tämä kaivri ostaa? Jos niin milloin? Jos tehokaivri on käytössä niin vokrasopimksen binomihilaksi saaaan Hom! hankintahintaa ei ole homioit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27.0 31.8 36.4 40.4 43.5 45.2 44.8 41.4 33.9 20.7 0.0 19.5 23.3 26.6 29.3 31.0 31.2 29.2 24.1 14.9 0.0 13.5 16.3 18.7 20.4 21.0 20.0 16.8 10.5 0.0 8.6 10.8 12.5 13.4 13.2 11.3 7.2 0.0 4.9 6.5 7.7 8.0 7.2 4.7 0.0 2.3 3.4 4.1 4.1 2.8 0.0 0.8 1.3 1.8 1.4 0.0 0.1 0.2 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 13
Esimerkki: Kltakaivos Jokaisessa hilapisteessa on nyt kolme vaihtoehtoa: 1. Ota tehokaivri käyttöön (solmn tlee arvoksi eellisen hilan ko. solmn arvo miins investointi $4M) 2. Kaiva kltaa ilman tehokaivria ja oota seraavaan perioiin (solmn arvoksi kaivtotot pls iskontatt riskinetraali ootsarvo seraavista) 3. Älä kaiva vaan oota (riskinetraali ootsarvo seraavista) Otetaan kssakin solmssa maksimi näistä vaihtoehoista. Tehokaivri kannattaa hankkia tmmennetissa solissa (joista eteenpäin se on käytössä). Optiobinomihilaksi (vokra + kaivrioptio) saaaan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24.6 28.6 32.6 36.4 39.5 41.2 40.8 37.4 29.9 16.9 0.0 18.0 20.9 23.5 25.6 27.0 27.2 25.2 20.1 12.3 0.0 12.9 15.0 16.7 17.9 18.1 17.0 14.1 8.7 0.0 8.8 10.4 11.5 12.0 11.5 9.7 6.1 0.0 5.6 6.7 7.4 7.4 6.4 4.1 0.0 3.2 4.0 4.3 3.9 2.6 0.0 1.4 2.0 2.1 1.5 0.0 0.4 0.7 0.7 0.0 0.0 0.1 0.0 Joten vokrasopimksen arvoksi tlee nyt $24.6 milj. 0.0 0.0 0.0 26.3.2014 Jssi Kangaspnta / Ahti Salo / Pekka Mil / Ville Brmmer 14