7. Tasapainoitetut hakupuut
|
|
- Ida Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7.1. Monitiehakpt 7. Tasapainoitett hakpt Tässä lssa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastela esittämällä kehittynyt ptietorakenne. Lssa 7.1. esitetään monitiehakpn käsite. Se on järjestetty p, jonka jokaisessa sisäsolmssa oi olla seita tietoyksiköitä ja solmlla seita lapsia. Se on binäärihakpn (lk 6.3.) yleistys. Yksi sen hyödyistä on sisäsolmjen määrän äheneminen binäärihakphn errattna. Lssa 7.2. tarkastellaan yksityiskohtaisesti määrättyä monitiehakpta, (2,4)-pta, josta käytetään myös nimityksiä 2-4-p tai p, koska sillä oi olla kahdesta neljään lasta. Kaikki sen lehdet oat samalla tasolla. Se on tehokas haka käsittäille operaatioille yltäen tällöin samaan kin AVL-p eli aikakompleksisteen O(log n). Näitä ielä kehittyneempiä ptyyppejä oat pna-mstat pt (red-black tree) ja iistopt (splay tree), joita ei tässä tarkastella. 7. lk 364 Tässä kataan, kinka monilapsisia monitiepita käytetään hakpina. Jälleen phn talletettaa tieto esitetään tietoyksikköinä, pareina (k,x), jossa k onaainjaxtähän liittyä alkio. Olkoon järjestetyn pn solm. Se on d-solm, jos sillä on d lasta. Monitiehakp (mlti-way search tree) on järjestetty p T, jolla on seraaat ominaisdet (ka 7.1.): Jokaisella pn T sisäsolmlla on ähintään kaksi lasta. Jokainen pn T sisäsolm sisältää kokoelman tietoyksiköitä motoa (k,x), jossa k onaainjaxalkio. Jokainen pn Td-solm, jonka lapset oat 1,, d, sisältää d-1 tietoyksikköä (k 1, x 1 ),,(k d-1, x d-1 ), missä k 1 k d-1. Määritellään lisäksi k 0 =- ja k d =+. Jokaiselle tietoyksikölle (k,x), joka on talletett solmn :n aliphn jreltaan i, i = 1,, d, on k i-1 k k i. 7. lk Kn siis solmn ajatellaan talletetksi jokko aaimia mkaanlkien kitteelliset erikoisaaimet k 0 =- ja k d =+ (rajoittimia), niin aliphn T jreltaan i talletetn aaimen k täytyy olla solmn talletetn kahden aaimen älissä. Tällöin d-lapsen solmssa on talletettna d-1 arsinaista aainta, ja se modostaa samalla perstan han sorittamiseksi monitiepssa Ka 7.1. (alk) Monitiehakp T. Jälleen pn lehdet oat ainoastaan paikanpitäjiä. Täten binäärihakpta oidaan pitää monitiehakpn erikoistapaksena. Toisessa ääripäässä yhden sisäsolmn monitiehakp oi käsittää seita tietoyksiköitä. Sillä, että käsittääkö monitiehakpn sisäsolm kaksi ai seampia lapsia, on seraaa shde tietoyksiköiden määrän ja lehtisolmjen määrän älillä. Lase 7.1. Monitiehakplla, joka sisältää n tietoyksikköä, on n+1 lehteä. 7. lk 366 Persteln oi esittää harjoitstehtäänä. 7. lk 367
2 Hak monitiepssa Hak tapaht soraiiaisesti monitiepssa aaimella k. Lähdetään pollle pn jresta (ka 7.1.-). Oltaessa d-solmssa han aikana errataan aainta k aaimiin k 1,, k d-1, jotka on talletett solmn. Jos on k = k i jollekin i:lle, hak onnist. Mtoin jatketaan haka solmn lapsessa i, missä k i-1 < k < k i. (määriteltiin k 0 =- ja k d =+ ). Jos tllaan lehteen, tiedetään, ettei haettaaa aainta ole pssa eli hak epäonnist Monitiehakpiden tietorakenteita Lssa 4 esitettyjä yleisten piden esitystapoja oidaan soeltaa myös monitiehakpille. Lisätietona niissä pitää tallettaa khnkin solmn pelkästään tietoyksiköiden (tai aainten) jokko. Ka 7.1. (jatkoa) Aaimen (epäonnistnt hak) hakpolk pssa T. 7. lk lk Käytettäessä monitiehakpta T edstamaan sanakirjaa D khnkin sisäsolmn talletetaan iittas järjestettyyn tietoyksiköiden jokkoon. Solmn talletetta sanakirjaa ktstaan sekndääritietorakenteeksi. Tämä tkee laajempaa kokonaistta, pta, joka on tässä primääritietorakenne Ka 7.1. (lopp) Aaimen 24 (onnistnt hak) hakpolk pssa T lk 370 Solmn talletett sanakirja esitetään merkinnällä D(). Tähän talletetaan tietoyksiköt. Näiden persteella löydetään lapsisolm, johon siirrytään han seraaassa aiheessa. Pn T jokaisessa solmssa, jonka lapset oat 1,, d ja tietoyksiköt (k 1, x 1 ),,(k d-1, x d-1 ), oat talletettina tietoyksiköt (k 1, x 1, 1 ),(k 2,x 2, 2 ),,(k d-1, x d-1, d-1 ), (+, nll, d ). Sanakirjan D() tietoyksiköllä (k i, x i, i ) on aain k i ja alkio (x i, i ) (iimeisessä tietoyksikössä erikoisaain + ). Haettaessa aaimen k alkiota psta T d-solmn prosessointi oidaan tehdä sorittamalla hak tietoyksikön (k i, x i, i ) löytämiseksi sanakirjasta D() pienimmällä aaimella, joka on srempi tai yhtä sri kin k. On olemassa kaksi tapasta: 7. lk 371
3 Jos on k i-1 < k < k i, haka jatketaan käsittelemällä lasta i. (Jos palatetaan erikoisaain k d =+,kon silloin srempi kin kaikki aaimet, jotka on talletett solmn ja haka jatketaan käsitellen lasta d.) Mssa tapaksessa (k = k i ) hak päättyy onnistneena. Jos d max on akio, han soritsaika on O(h) riippmatta sekndääritietorakenteen totetksesta. Sen mkaisesti päätaoitteena on pitää pn korkes mahdollisimman matalana, ts. h tietoyksiköiden määrän n logaritmisena fnktiona. Tämä aikaansaa tasapainoitetn hakpn (balanced search tree), jota pohditaan seraaaksi. Monitiehakpn tilaaatims n tietoyksikölle on O(n) taallisten sanakirjatotetsten kera sekndääritietorakenteita arten pssa T. Soritsaika, joka on käytettää d-solmssa han aikana, riipp siitä, miten sekndääritietorakenne D() totetetaan. Jos se totetetaan talkkopohjaisena järjestettynä sekenssinä tai AVL-pna, on prosessoitaissa ajassa O(log d). Jos se sen sijaan totetetaan järjestämättömän sekenssin tai listapohjaisen järjestetyn sekenssin alla, solmn prosessointi kestää ajan O(d). Viitatkoon d max pn T minkä tahansa solmn lasten maksimimäärään. Olkoon h pn korkes. Näin ollen hakaika monitiehakpssa on joko O(hd max ) tai 7.2. (2,4)-p Tämä on monitiehakplaji, joka pitää solmihin talletett sekndääritietorakenteet kooltaan sppeina ja pn tasapainoitettna. Nämä taoitteet saatetaan ylläpitämällä ominaisdet (ka 7.2): Koko-ominaiss: Jokaisella sisäsolmlla on enintään neljä lasta ja ähintään kaksi. Syyysominaiss: Kaikki lehdet oat samalla syyydellä. O(h log d max ) riippen sekndääritietorakenteen 7. lk D() totetksesta lk Solmjen koosta kiinnipitäminen tekee solmista monitiehassa yksinkertaisia. Siitä tlee myös aihtoehtoinen nimi, p, koska jokaisella sisäsolmlla on joko 2, 3 tai 4 lasta. Lisäksi solmn sanakirja D() sisältää sekenssin, jossa kaikki operaatiot tehdään akioajassa O(1), sillä d max = 4. Korkesominaisdesta seraa raja plle: Lase 7.2. (2,4)-pn korkes on (log n), kn tietoyksiköitä on n. Ka 7.2. (2,4)-p. Perstel: Olkoon h (2,4)-pn T korkes, kn tietoyksiköitä on n. Lase osoitetaan todeksi seraaien epäyhtälöjen alla: (log(n + 1))/2 h log(n + 1). (7.1) Koon ja syyyden nojalla lehtien lkmäärä pssa T on ähintään 2 h ja enintään 4 h. Laseen 7.1. persteella lehtien määrä pssa T on n lk lk 37
4 Täten saadaan 2 h n h. Ottamalla 2-kantainen logaritmi jokaisesta osasta saadaan h log(n + 1) 2h, josta tlee tämän laseen tlos (7.1). Lase 7.2. sanoo, että koko- ja syyysominaisdet riittäät pitämään monitiepn tasapainoitettna. Lisäksi se osoittaa han (2,4)-pssa toimian ajassa O(log n) ja ettei sekndäärirakenteen totets ole ratkaisea seikka (yksinkertaisin paras, talkko tai lista), koska lasten maksimimäärä on akio d max. 7. lk 376 Lisäys Uden tietoyksikön (k,x) lisäämiseksi (2,4)-phn T on alksi haettaa aain k. Olettaen, ettei pssa ole tätä aainta k, hak päättyy epäonnistneena lehteen z. Olkoon tämän anhempi. Usi tietoyksikkö lisätään solmn ja samoin si lapsi w (lehti) solmlle solmn z asemmalle polelle. Näin ollen lisätään (k,x,w) sanakirjaan D(). Kissa 7.3. ja 7.. esitetään sarja perättäisiä lisäyksiä (2,4)- phn. Tarkastellaan yksityiskohtaisesti aaimen lisäystä phn kassa 7.3(g), josta saadaan ka 7.3.(i). Lisäysmenetelmä säilyttää syyysominaisden, koska si lehti lisätään samalle tasolle kin olemassa oleat lehdet ja si aain alimmalle sisäsolmtasolle. Se saattaa silti ahingoittaa kokoominaistta. Jos solm on 4-solm ennen lisäystä, siitä tlisi -solm sen jälkeen, mikä ei ole sallitta. Tällöin esiintyy ylioto (oerflow), joka on ratkaistaa sopiasti pn säilyttämiseksi lajissa (2,4). 7. lk w z (d) (g) (h) (e) (f) Ka 7.3. (alk) Lisäyksiä (2,4)-phn: Lähtötilanteen p, jossa on yksi tietoyksikkö, aaimen 6 lisäys, aaimen lisäys, (d) aaimen 1 lisäys, joka aihettaa yliodon, (e) jako, joka tottaa den jren ja (f) jaon jälkeen. 7. lk 378 (i) Ka 7.3 (jatkoa) (g) Aaimen 3 lisäys, (h) aaimen lisäys, joka aihettaa yliodon, (i) jako ja (j) jaon jälkeen. (j) 7. lk 379
5 Olkoot 1,, solmn lapset ja k 1,, k 4 solmn talletett aaimet. Yliodon korjaamiseksi solmsta jaetaan (split) -solm seraaasti (ka 7.4.): (k) z (l) 1 Solm korataan kahdella solmlla ja, missä on 3-solm lapsinaan 1, 2, 3 ja aaiminaan k 1 ja k 2. on 2-solm lapsinaan 4 ja ja aaimenaan k 4. Jos on pn T jri, lodaan si jri. Mtoin olkoon solmn anhempi. Ka 7.3. (lopp) (k) Aaimen 10 lisäys ja (l) aaimen 8 lisäys. Lisätään aain k 3 solmn ja asetetaan ja solmn lapsiksi niin, että jos oli i:s :n lapsi, niin ja tleat :n i:nneksi ja i+1:nneksi lapseksi. Jako-operaatio soritetaan selästi ajassa O(1). 7. lk lk 381 h 1 h 2 1 = 2 3 k 1 k 2 k 3 k Ka 7.4. (2,4)-pn solmn jako: ylioto -solmssa, :n kolmas aain lisätään :n anhempaan ja korataan 3-solmlla ja 2-solmlla. h 1 h 2 k 3 = k 1 k 2 k h 1 k 3 h k 1 k 2 k lk 382 Solmn jaon seraksena si ylioto oi esiintyä :n anhemmassa. Jos sellainen esiintyy, se sysää polestaan jaon solmn (ka 7..). Jako joko poistaa yliodon tai leittää sitä nykyisen solmn anhempaan. Näin jako-operaatioiden lkmäärää rajoittaa pn korkes, joka on laseen 7.2. mkaisesti O(log n). Lisäyksen sorittaminen (2,4)-phn aatii kaikkiaan aikaa O(log n) Ka 7.. (alk) Lisäys (2,4)-phn aihettaen sarjan jakoja: Ennen lisäystä. 7. lk 383
6 (e) (f) (d) Ka 7.. (jatkoa) Aaimen 17 lisäys, joka aihettaa yliodon, jako ja (d) jaon aihettama si ylioto. Ka 7.. (lopp) (e) Toinen jako, joka tottaa den jrisolmn, sekä (f) lopllinen p. 7. lk lk 38 Poisto Kn edellinen aihto on tehty, tietoyksikkö poistetaan solmsta sanakirjasta D() ja poistetaan myös :n i:s lehtilapsi. eli Nyt tarkastellaan tietoyksikön poistamista (2,4)-psta T. Ensiksi pitää lonnollisesti sorittaa hak aaimella k. Tietoyksikön poisto (2,4)- psta oidaan aina redsoida tapakseksi, jossa poistettaa tietoyksikkö sijaitsee alimmalla sisäsolmtasolla, ts. sen lapset oat lehtiä. Jos poistettaa tietoyksikkö (k i, x i ) sijaitsee tätä ylempänä pn solmssa z, siirretään alksi tietoyksikön (k i, x i ) sijaan sellainen, joka on talletettna solmssa ja tämän lapset oat lehtiä (ka 7.6.(d)): 1. Etsitään oikeanpolimmainen sisäsolm alipsta, jonka jri on solmn zi:s lapsi, kn solmn kaikki lapset oat lehtiä. Solmn aain on tällöin alipn i srin, ts. alhaaltapäin lähin poistetlle k i. 2. Siirretään solmn z tietoyksikön (k i,x i ) sijaan solmn iimeinen tietoyksikkö. 7. lk 386 Tietoyksikön ja lapsen poistaminen solmsta säilyttää syyysominaisden, mtta ei ältämättä koko-ominaistta. Jos on ennen poistoa 2-solm, siitä tlisi 1-solm, mikä ei ole sallitta (2,4)- pssa. Tällöin esiintyy alioto (nderflow). Aliodon korjaamiseksi tarkistetaan, onko solmn iereinen sisars 3-solm tai 4-solm. Jos tällainen iereinen sisars w on olemassa, soritetaan siirto (transfer), jossa siirretään solmn w lapsi solmn, w:n aain :n ja w:n anhempaan sekä :n aain solmn (ka 7.6.-). Jos solmlla on ainoastaan yksi ierekkäinen sisars, joka on 2-solm, tai molemmat ierekkäiset sirarkset oat 2-solmja, soritetaan slattaminen (fsion), jossa lomitetaan sisarksensa kanssa lomalla si solm ja siirretään aain solmn anhemmasta solmn (ka 7.6. (e)-(f)). 7. lk 387
7 w Ka 7.6. Poistojen sarja (2,4)-psta: aaimen 4 poisto aihettaen aliodon, siirto ja siirron jälkeen w lk 388 (d) Ka 7.6. (d) Aaimen poisto, (e) slattaminen ja (f) tämän jälkeen. (f) (e) lk (g) (h) Ka 7.6. (g) Aaimen 13 poisto ja (h) tämän jälkeen. Slattaminen solmssa saattaa aikaansaada den aliodon solmn anhemmassa, mikä polestaan tottaa siirron tai slattamisen solmssa (ka 7.7.). Tästä johten slattamisoperaatioiden määrää rajoittaa pn korkes, joka on laseen 7.2. mkaan O(log n). Jos alioto leiää jreen saakka, niin jri yksinkertaisesti poistetaan (ka (d)). Analyysi (2,4)-pna totetetn sanakirjan pääoperaatiot findelement, insertitem ja remoe oat kaikki lokkaa O(log n). Soritsajat tleat seraaista seikoista. (2,4)-pn korkes, kn pssa on n tietoyksikköä, on O(log n) laseen 7.1. mkaan. Jako, siirto ja slattaminen aatiat ajan O(1). Tietoyksikön hak, lisäys ja poisto käyät O(log n) solmssa. 7. lk lk 391
8 (d) Ka 7.7. Slattamisten leiäminen (2,4)-pssa: aaimen 14 poisto, joka aihettaa aliodon, ja slattaminen. Ka 7.7. (lopp) Toinen slattaminen, joka aihettaa jren poistamisen, ja (d) lopllinen p. 7. lk lk 393
7. Tasapainoitetut hakupuut
7.. Monitiehakpt 7. Tasapainoitett hakpt 00 000 00 0 000 000 0 Tässä lssa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastela esittämällä kehittynyt ptietorakenne. Lssa 7.. esitetään monitiehakpn käsite. Se on
Lisätiedot7. Tasapainoitetut hakupuut
7. Tasapainoitetut hakupuut Tässä luvussa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastelua esittämällä kehittynyt puutietorakenne. Luvussa 7.1. esitetään monitiehakupuun käsite. Se on järjestetty puu, jonka
LisätiedotBinäärihaun vertailujärjestys
Järjestetyn sanakirjan tehokas toteutus: binäärihaku Binäärihaku (esimerkkikuassa aain = nimi) op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea
LisätiedotS uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.
3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma
LisätiedotΣ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon
17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita
Lisätiedot4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita
4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset
LisätiedotOptioiden hinnoittelu binomihilassa
Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai
LisätiedotKäyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012
Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta Tommi Höynälänmaa 19. marraskta 2012 1 1 Yleistä Ajan t mittainen henkilötyöaika keskimääräistyötä (tehokkdeltaan keskimääräistä työtä) saa tavarantotannossa
LisätiedotOmakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen.
Omakotitalon energiaratkais Pieni askel omavaraisteen. www.arime.fi Phdasta energiaa lonnosta Arinko on meidän kakien elämään vattava ehtymätön energianlähde ja se tottaa välillisesti srimman osan ihmisten
LisätiedotTasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q
EEC-E89 syksy 06 Ttkitaan alla olevan kvan mkaista heikkoon verkkoon kytkettyä srjännitteistä tasasähköyhteyttä. Tässä tapaksessa syöttävän verkon impedanssi (Theveninin impedanssi, kvassa j on j0,65,
LisätiedotTesomajärven koulusta Tesoman kouluksi
Tesomajärven kolsta Tesoman kolksi Tesomajärven kol aloitti toimintansa v.1967 Kola käytiin kahdessa vorossa, parhaimmillaan kola kävi yli 1000 oppilasta Tesomajärven alakoln liitettiin myöhemmin Ikrin
Lisätiedotlähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa
Kekolajittelu Prioriteettijonolla toteutettu keko InsertItem ja RemoveMinElem: O(log(n)) Lajittelu prioriteettijonolla: PriorityQueueSort(lajiteltava sekvenssi S) alusta prioriteettijono P while S.IsEmpty()
Lisätiedotv 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.
Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta
Lisätiedothavainnollistus, muokkaus ja viimeistely
Tekstin havainnollists, mokkas ja viimeistely Lettavs ja merkintätavat Tiina Airaksinen Kappaleiden jäsentäminen Kappale = asiakokonaiss Testi: Pystytkö keksimään otsikon? Ei yhden virkkeen / yhden sivn
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 5 Ti 24.1.2017 Timo Männikkö Luento 5 Järjestetty lista Järjestetyn listan operaatiot Listan toteutus taulukolla Binäärihaku Binäärihaun vaativuus Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 5 Ti
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu
Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
LisätiedotTesomajärven koulusta Tesoman kouluksi
Tesomajärven kolsta Tesoman kolksi Tesomajärven kol aloitti toimintansa v.1967 Kola käytiin kahdessa vorossa, parhaimmillaan kola kävi yli 1000 oppilasta Tesomajärven alakoln on liitetty myöhemmin Ikrin
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 Kertausta kurssin alkuosasta II Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta kurssin alkuosasta II Algoritmien analyysi: oikeellisuus Algoritmin täydellinen oikeellisuus = Algoritmi päättyy ja tuottaa määritellyn tuloksen
LisätiedotYhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet
Yhteistyötä teatterista & Taiteesta totteeksi -hankkeet Iisalmi, Keitele, Kirvesi, Lapinlahti, Pielavesi, Sonkajärvi ja Vieremä 10.8.2015 10.03.2016 Sisällys Johdanto... 3 Yhdistystoiminta ja osallistminen...
LisätiedotOppimisen haasteet ja mahdollisuudet terveysalan simulaatioissa
Oppimisen haasteet ja mahdollisdet terveysalan simlaatioissa Marianne Teräs, THM, FT Aikiskasvatksen dosentti Helsingin yliopisto Esitys 18.9.2015 Somen elvytysvasthenkilöiden valtaknnallinen 10 v jhlasymposimi
LisätiedotAVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
Lisätiedotx = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1
Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =
LisätiedotHakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina
Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento
Lisätiedotcorporate governance Tämä on lyhennetty versio Cinia-konsernin laajemmasta, sisäisestä ohjeistuksesta
corporate governance Tämä on lyhennetty versio Cinia-konsernin laajemmasta, sisäisestä ohjeistksesta 1 1.1 Omistajarakenne Cinia Oy:n omistajarakenne koost Somen valtiosta (liikenne- ja viestintäministeriö)
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset
Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
LisätiedotKun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 3 Ti 20.3.2018 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 3 Ti 20.3.2018
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut 1. Palautetaan vielä mieleen O-notaation määritelmä. Olkoon f ja g funktioita luonnollisilta luvuilta positiivisille
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotTOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi
TOIMEKSIANTOSOPIMUS 1. Sopijapolet Toimeksiantaja: Siilinjärven knta (Jäljempänä Asiakas ) Osoite: Kasrilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi Y-tnns: 0172718-0 Toimeksiannon saaja: Vaktsmeklari Novm Oy (Jäljempänä
Lisätiedot10. Optiohinnoittelu binomihilassa
10. Optiohinnoittel binomihilassa 1. Sijoitskohteien hintaprosessit Moniperioisten investointitehtävien tarkastel eellyttää sijoitskohteien hintojen kehittymisen mallintamista joko iskreetteinä tai jatkvina
LisätiedotHelsingin hengessä sopua ja sovittelua työyhteisön arkeen
Helsingin hengessä sopa ja sovittela työyhteisön arkeen Helsingin kapngin toimintaohje ristiriitojen rakentavaan käsittelyyn ja sovitteln Tässä oppaassa määritellään, mitä ovat epäasiallinen kohtel ja
LisätiedotTKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)
TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu
LisätiedotNOPEUDESTA RIIPPUVIEN HITAUSVOIMATERMIEN VAIKUTUS PALKKILASKENTAAN
NOPEUDESA RIIPPUVIEN HIAUSVOIMAERMIEN VAIKUUS PALKKILASKENAAN IIVISELMÄ Jari MÄKINEN, Heikki MARJAMÄKI & Sami PAJUNEN Konstrktiotekniikan laitos ampereen teknillinen yliopisto PL 589, 33101 AMPERE Geometrisesti
LisätiedotLBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin
Viestintäjärjestelmät LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin www.boschsecrity.fi Laajennett kntelale Erinomainen pheen ja msiikin erotettavs Lonnollisen äänen tasainen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017
LisätiedotSupervoimat käyttöön Supersankari-gallerian avulla VETÄJÄT NINA MAUNU JA TIINA HOSKARI JYVÄSKYLÄ OSAAVA VERME ELONKORJUU -SEMINAARI
Spervoimat käyttöön Spersankari-gallerian avlla VETÄJÄT NINA MAUNU JA TIINA HOSKARI JYVÄSKYLÄ 20.9.2016 OSAAVA VERME ELONKORJUU -SEMINAARI Tapahtman tavoitteet Tnnistetaan oman ammatillisen minän vahvksia,
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot(kevät 2019) Markku Laitinen Uurainen Siv u 1
(kevät 2019) 1 TUEN SAAJAT: -Lonnolliset henkilöt ja yksityisoikedelliset yhteisöt (Oy, Ky, Ay, ossknnat), joka elinkeinonaan harjoittaa tai ryhtyy harjoittamaan maatilalla maatalotta (maatalosyrittäjä).
LisätiedotSeppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten
Jlkais J1/001 MITTATEKNIIKAN KESKUS Jlkais J1/001 MIKROBIOLOGIAN KVANTITATIIVISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN MITTAUSEPÄVARMUUS Seppo I. Niemelä KEMIAN JAOSTO Mikrobiologian työryhmä Helsinki 001 ALKUSANAT Mikrobiologisten
Lisätiedot2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
LisätiedotHoitoketjut sotealueella. Jukka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri
Hoitoketjt sotealeella Jkka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri 23.11.2017 Valinnanvapaslakilonnos Lasntokierroksella 15.12.2017 asti 4 Asiakkaan oikes valita Asiakkaalla on oikes valita
LisätiedotPikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin
Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin jaetaan muut alkiot kahteen ryhmään: L: alkiot, jotka eivät suurempia kuin pivot G : alkiot, jotka suurempia kuin pivot 6 1 4 3 7 2
Lisätiedot4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa
6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,
LisätiedotBiokasvu Oy. Maatalouden ja teollisuuden sivutuotteiden jatkojalostus ja uusiokäyttö kestävän kehityksen ehdoin
Biokasv Oy Toiminta-ajats: Maataloden ja teollisden sivtotteiden jatkojalosts ja siokäyttö kestävän kehityksen ehdoin 1 Biokasv Oy Totekehitykseen voimakkaasti panostava, laaja-alaisen kokemksen omaava
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 08: Tasoristikon sauvaelementti, osa 1.
8/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO 8: asoristikon savaelementti, osa. LEISÄ Ristikkorakenne koost vain vetoa ja priststa kestävistä savoista. Savat liittvät rakenteen tkipisteisiin ja toisiinsa kitkattomilla
LisätiedotRöntgenhoitajan rooli säteilyaltistuksen oikeutuksessa
Röntgenhoitajan rooli säteilyaltistksen oiketksessa ULLA NIKUPAAVO, RÖNTGENHOITAJA, TTK, HUS-KUVANTAMINEN TERVEYDENHUOLLON RÖNTGENTOIMINNAN ASIANTUNTIJOIDEN NEUVOTTELUPÄIVÄT 13.-14.4.2015 Oiketkseen liittyvät
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
Lisätiedot= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa
30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot1780 N:o 567 LIITTEET 1 2 LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA TOIMINTAA HARJOITTAVILLE ELÄKESÄÄTIÖILLE
1780 N:o 567 LTTEET 1 LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE N:o 567 1781 ÄLLYLETTELO LTE 1: LAKPETEET TYÖNTEKJÄN ELÄKELAN MKATA TOMNTAA HAJOTTALLE ELÄKEÄÄTÖLLE 1 AKTTEKNET
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1
Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu
S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakol Kimmo Silvonen Tentti 30.5.03: tehtävät,3,4,6,0.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Identifiointiprosessi Koesnnittel, identifiointikoe Mittastlosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - transientti-, korrelaatio-, taajs-, Forier- ja spektraalianalyysi => askel-, implssi-
Lisätiedot4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen
4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4. Liikemäärä ja implssi 4-. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = = 89 kg 8,0 m/s 70 kgm/s. b) 05-kiloisella polstajalla on yhtä sri liikemäärä, jos nopes on kgm 7 p v
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti
LisätiedotLoppuraportti. Projektin nimi: Haukanmaa Masterplan Projektipäällikkö: Merja Galler
Loppraportti Projektin nimi: Hakanmaa Masterplan Projektipäällikkö: Merja Galler Hankkeen nimi: Hakanmaa Masterplan Hankkeen totetsaika: Tokok 2016 - Jolk 2016 Avstksen saajan nimi: Toivakan Knta Yhteyshenkilö:
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMIKROTEORIA, HARJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI AJAN JA EPÄVARMUUDEN VALLITESSA, OSTAJANA JA MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TARJONTA
MIKROTEORI, HRJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI JN J EPÄVRMUUEN VLLITESS, OSTJN J MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TRJONT Voistojen eistämässä kylässä kasvatetaan ainoana elinkeinona vehnää Sadot vaihtelevat vosittain, siten, että
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 6 Ke 25.1.2017 Timo Männikkö Luento 6 Järjestetty lista Listan toteutus dynaamisesti Linkitetyn listan operaatiot Vaihtoehtoisia listarakenteita Puurakenteet Binääripuu Järjestetty
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotPäijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous MUSEOKIOSKI
Päijät-Hämeen ja Mäntsälän mseoiden työryhmän kokos 8.4.2019 MUSEOKIOSKI Asialista 8.4.2019 1. Kokoelmaohjelmien kokoelmien historiaa, kehitystä ja nykytilaa koskevan osden lyhyt käsittely, mikäli tässä
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Perustietorakenteet
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 II Perustietorakenteet Sisältö 1. Johdanto 2. Pino 3. Jono 4. Lista 811312A TRA, Perustietorakenteet 2 II.1. Johdanto Tietorakenne on tapa, jolla algoritmi
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti.
/ EEMENIMENEEMÄN PERUSEE SESSIO : Aarskhän palkkilmntti. AARUUSKEHÄN EEMENIERKKO solm solm Ka. Aarskhän lmnttirkko ja sn lmntti. Jos khä sisältää ain tasapaksja ja soria osia, sn tarkka ratkais saaaan
LisätiedotPäijät-Hämeen ja Mäntsälän museoiden työryhmän kokous SOPENKORVEN KOKOELMAKESKUS
Päijät-Hämeen ja Mäntsälän mseoiden työryhmän kokos 10.4.2019 SOPENKORVEN KOKOELMAKESKUS Asialista 10.4.2019 1. Kokoelmaohjelmien kokoelmien historiaa, kehitystä ja nykytilaa koskevan osden lyhyt käsittely,
LisätiedotOULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus
OUUN YIOPISTO Konetekniikan osasto 467A Atojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mari Haataja. Pyöräajonevojen ominaisohjas. Henkilöatojen pyöräntenta Hyötyajonevojen ajo-ominaisksiin vaikttavat
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 5 Ti 26.3.2019 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 5 Ti 26.3.2019 2/34 B-puu B-puut ovat tasapainoisia
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 9, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Lisäysjärjestämisessä järjestetään ensin taulukon kaksi ensimmäistä lukua, sitten kolme ensimmäistä lukua, sitten neljä ensimmäistä
Lisätiedotuseampi ns. avain (tai vertailuavain) esim. opiskelijaa kuvaavassa alkiossa vaikkapa opintopistemäärä tai opiskelijanumero
Alkioiden avaimet Usein tietoalkioille on mielekästä määrittää yksi tai useampi ns. avain (tai vertailuavain) esim. opiskelijaa kuvaavassa alkiossa vaikkapa opintopistemäärä tai opiskelijanumero 80 op
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotShakkilinna
k Shakkilinna www.shakkilinna.fi info@shakkilinna.fi Kningatar on shakkipelin liikkvin nappla. Se liikk kin tornin ja lähen yhdistelmä. Siis jokaiseen sntaan, ja niin pitkälle kin mahdollista. eitä katselee,
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotEnergia bittiä kohden
TLT-54/4u Energia ittiä kohden Kirjallisuudessa (ja muutenkin) on usein tapana käyttää S/ suhteen sijasta suuretta (syy seliää tarkemmin hetken päästä ) E missä - E on hyötysignaalienergia ittiä kohden
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotKEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU. Tutkimus laboratoriomittausten mittausepävarmuudesta kahdessa testausympäristössä
KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU Ttkims laoratoriomittasten mittasepävarmdesta kahdessa testasympäristössä Riikka Vaara Teknologiaosaamisen johtamisen koltsohjelman opinnäytetyö Knnossapito Insinööri(YAMK)
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotEsim 1 Esim 2 ei käsitellä tällä kurssilla
8. Monen m-jan fnk2on differen2aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasn 2lanhtälö p = nrt V Paine riipp 2ladesta, ainemäärästä ja lämpö2lasta: p = p(n, T, V) Usean m-jen fnk2on piirtäminen Z = f(,) kaaja on pinta
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien
LisätiedotMaanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu
Lari Nosiainen Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden snnittel Metropolia Ammattikorkeakol Insinööri (AMK) Kone- ja totantotekniikka Insinöörityö 3.4.14 Tiivistelmä Tekijä Otsikko Sivmäärä
Lisätiedot