800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I

800323A KUNTALAAJENNUKSET OSA I FIELD EXTENSIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2018 1

Contents 1 ABSTRACT 4 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 4 2.1 Kurssikuvaus/Course overview.................. 4 2.2 BASICS/POHJATIEDOT/ LÄHTEITÄ/REFERENCES... 4 3 Group, ring and field 5 3.1 Identity axioms with a binary relation............. 5 3.1.1 Binary relation...................... 5 3.1.2 Identity axioms...................... 5 3.2 Group............................... 5 3.2.1 Group........................... 5 3.2.2 Basics of equation manipulation............. 6 3.2.3 Abelian group....................... 6 3.2.4 Basics of equation manipulation............. 6 3.3 Ring................................ 7 3.3.1 Commutative ring with unity.............. 7 3.4 Integral Domain.......................... 8 3.5 Field................................ 9 3.6 Karakteristika........................... 11 3.7 Ideal................................ 11 3.7.1 Principal ideals...................... 12 3.7.2 Ideals in a field...................... 13 3.7.3 Ideals in Z......................... 13 3.7.4 Maximal ideals in Z................... 13 3.7.5 Prime ideals in Z..................... 14 3.7.6 Ideals in Z......................... 14 3.7.7 Ideals in nz........................ 15 3.8 Ring homomorphism....................... 15 4 Kuntalaajennus/Field extension 16 4.1 Kuntalaajennus.......................... 16 4.2 Kuntatorni/Field tower...................... 16 5 Osamääräkunta/Field of fractions 17 6 Tekijärakenteita 20 6.1 Congruence modulo an ideal................... 20 6.2 Quotient ring........................... 21 6.3 Congruence in Z......................... 22 2

6.4 Renkaiden isomorfialause..................... 22 6.5 Examples of quotient rings.................... 25 6.5.1 Z/nZ............................ 25 6.5.2 Z/pZ............................ 25 3

1 ABSTRACT Tarkastelun kohteena ovat renkaiden tekijärakenteet, osamääräkunnat ja kuntalaajennukset. Esimerkkeinä tutkitaan äärellisiä kuntia, rationaalifunktioiden kuntia ja formaalien sarjojen osamääräkuntia sekä lukukuntien alkeita. Tavoitteena on syventää opiskelijoiden algebrallista ajattelutapaa ja antaa valmiuksia esimerkiksi algebrallisten lukujen, lukuteorian, kryptografian ja ryhmäteorian syventäviä kursseja varten. Under the inspection are factor structures of rings, quotient rings and field extensions. As examples we study finite fields, fields of rational functions and quotient fields of formal series as well as basics of number fields. An ultimate target is to deepen students algebraic mindset and to give completeness e.g. for advanced courses in algebraic numbers, number theory, cryptography, and group theory. 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2.1 Kurssikuvaus/Course overview Aluksi kerrataan renkaiden ja kuntien perusteita, joista edetään kuntalaajennuksiin. First we revise some basics of rings and fields which are needed to proceed ahead field extensions. 800323A KUNTALAAJENNUKSET/NOPPA LINK. 800323A FIELD EXTENSIONS/NOPPA LINK. 2.2 BASICS/POHJATIEDOT/ LÄHTEITÄ/REFERENCES Esitiedot: Algebran ja Lineaarialgebran aineopintokurssit. Michael Artin: Algebra. John B. Fraleigh: Abstract algebra. Olympia E. Nicodemi, Melissa A. Sutherland, Gary W. Towsley: An Introduction to Abstract Algebra. American Mathematical Monthly/LINK 4

3 Group, ring and field 3.1 Identity axioms with a binary relation 3.1.1 Binary relation Let A be a nonempty set. A binary operation/laskutoimitus denoted by is a mapping/kuvaus : A A A, (a, b) a b meaning that a b A, whenever a A ja b A. Particular cases: multiplication/kertolasku denoted by yhteenlasku/addition denoted by + 3.1.2 Identity axioms (a) a : a = a. (b) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 (a 1 = a 2 b 1 = b 2 ). (c) a 1, a 2, b 1, b 2 : a 1 = b 1, a 2 = b 2 a 1 a 2 = b 1 b 2. 3.2 Group 3.2.1 Group Let G be a nonempty set with a multiplication : G G G, (a, b) a b. Määritelmä 1. A pair (G, ) is a group, if the multiplication satisfies the following axioms: (a) a (b c) = (a b) c for all a, b, c G (assosiativity). (b) There exists an identity element 1 G, satisfying 1 a = a 1 = a for all a G. (c) For all a G there exists an inverse a 1 G, satisfying a a 1 = a 1 a = 1. 5

3.2.2 Basics of equation manipulation Huomautus 1. Olkoot a, b G. Identiteettiaksiooman c nojalla identiteetin a = b molemmat puolet saa kertoa samalla alkiolla c G, jolloin 3.2.3 Abelian group ca = cb. In the case of commutative group the addition notation is familiar. Olkoon A epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku/addition Määritelmä 2. + : A A A, (a, b) a + b. Pari (A, ) on Abelin ryhmä, jos yhteenlasku toteuttaa seuraavat aksiomit eli ehdot: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c A (liitännäisyys). (b) a + b = b + a kaikilla a, b A (vaihdannaisuus/commutativity). (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 A, jolle 0 + a = a kaikilla a A. (d) Kaikilla a A on olemassa vasta-alkio/additive inverse a A, jolle a + ( a) = 0. 3.2.4 Basics of equation manipulation Huomautus 2. Let A be an Abelian group and a, b A. By the indentity axiom c we may add the same element c A to the both sides of the identity a = b whereupon a + c = b + c. 6

3.3 Ring In this course we are studying commutative rings with unity, if nothing else is said. Olkoon R epätyhjä joukko, jossa on määritelty yhteenlasku: missä a + b R, kun a R ja b R sekä kertolasku : missä a b R, kun a R ja b R. + : R R R, (a, b) a + b, : R R R, (a, b) a b, 3.3.1 Commutative ring with unity Määritelmä 3. Kolmikko (R, +, ), #R 1, on ykkösellinen kommutatiivinen rengas/ a commutative ring with unity, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun/Addition aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c R. (b) a + b = b + a kaikilla a, b R. (c) On olemassa nolla-alkio/zero-element 0 R, jolle 0 + a = a kaikilla a R. (d) Kaikilla a R on olemassa vasta-alkio/additive inverse a R, jolle a + ( a) = 0. 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c R. (b) a b = b a kaikilla a, b R. (c) On olemassa ykkösalkio/identity 1 R, jolle 1 a = a kaikilla a R. 7

3. Osittelulaki/distribution law: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c R. Määritelmän 3 mukaista joukkoa R kutsutaan ykköselliseksi kommutatiiviseksi renkaaksi ja annettuja ehtoja sanotaan rengas-aksiomeiksi/ring-axioms. Aksiomit 1a d sanovat, että (R, +) on Abelin ryhmä/abelian group, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (R, +) on renkaan R yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio/neutral element on nolla-alkio 0. Mutta (R, ) EI/NOT ole kertolaskun suhteen (välttämättä/necessarily) ryhmä/group. Kertolaskun neutraalialkio on ykkösalkio/identity element 1. Huomautus 3. If we assume #R 2, then 0 1. Merkintä 1. Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä eli tehdään samaistus: a b = ab. Määritelmä 4. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (1) on renkaan R yksikköryhmä (unit group). Usein käytetään esitystä jolloin pätee R = {u R v R : uv = 1}, (2) u R 1 = uv, u, v R. (3) Jos R = K kunta/field, niin K = K\{0}. 3.4 Integral Domain Määritelmä 5. Renkaan R alkio a 0 on nollantekijä (zero divisor), jos b R\{0} s.e. ab = 0 tai ba = 0. Määritelmä 6. Kommutatiivinen ykkösellinen rengas D on kokonaisalue/integral domain, mikäli D:ssä ei ole nollantekijöitä eli ehdosta ab = 0, a, b D aina seuraa a = 0 tai b = 0. 8

3.5 Field Määritelmä 7. Kolmikko (K, +, ), #K 2, on kunta/field, jos laskutoimitukset toteuttavat seuraavat aksiomit eli ehdot: 1. Yhteenlaskun aksiomit: (a) a + (b + c) = (a + b) + c kaikilla a, b, c K. (b) a + b = b + a kaikilla a, b K. (c) On olemassa nolla-alkio 0 K, jolle 0 + a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K on olemassa vasta-alkio a K, jolle a + ( a) = 0. 2. Kertolaskun aksiomit: (a) a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c K. (b) a b = b a kaikilla a, b K. (c) On olemassa ykkösalkio 1 K, jolle 1 a = a kaikilla a K. (d) Kaikilla a K = K \ {0} on olemassa käänteisalkio a 1 K, jolle a a 1 = 1. 3. Osittelulaki: (a) a (b + c) = a b + a c kaikilla a, b, c K. Määritelmän 7 mukaista joukkoa K kutsutaan kunnaksi ja annettuja ehtoja sanotaan kunta-aksiomeiksi. Aksiomit 1a d sanovat, että (K, +) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta + kutsutaan yhteenlaskuksi. Voidaankin sanoa, että (K, +) on kunnan K yhteenlaskuryhmä, jonka neutraalialkio on nolla-alkio 0. Edelleen, aksiomit 2a d sanovat, että (K, ) on Abelin ryhmä, jonka laskutoimitusta kutsutaan kertolaskuksi. Sanotaan siis, että (K, ) on kunnan K kertolaskuryhmä, jonka neutraalialkio on ykkös-alkio 1. LYHYESTI: Kolmikko (K, +, ), #K 2 on kunta, jos: 9

1. (K, +) on Abelin ryhmä (additiivinen ryhmä), 2. (K, ) on Abelin ryhmä (multiplikatiivinen ryhmä), K = K\{0}. 3. a(b + c) = ab + ac, a, b, c K. Erityisesti, kunta on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Edelleen kunnassa on aina vähintään kaksi alkiota, nimittäin 0, 1 K, 0 1. Esimerkki 1. Field K is an integral domain. Proof: Let ab = 0, (4) where a, b K. Antithesis: a 0 and b 0. Because K is a field, then a 1 K. Multiplying (4) by a 1 gives A contradiction. Esimerkki 2. a 1 ab = a 1 0 b = 0. (5) The fields Q, R, C and Z p := Z/pZ, where p P, are integral domains. Esimerkki 3. Any subring S of a field K is an integral domain. Esimerkki 4. Z is an integral domain. Esimerkki 5. The set Z[i] = {a + ib a, b Z} (6) of Gaussian integers is an integral domain and its unit group is Esimerkki 6. If n Z 2 \ P, then the set is not an integral domain. Z[i] = {1, i, 1, i}. (7) Z n := Z/nZ (8) 10

3.6 Karakteristika Määritelmä 8. Let R be a ring. Characteristic/Karakteristika on { p p P : p1 = 0; char R = 0 n Z + : n1 = 0. 3.7 Ideal Määritelmä 9. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja = I R. Tällöin I on R:n ideaali, jos 1) (I, +) (R, +), 2) Ra I, a I. In other words: Let R be a commutative ring and I R. Then I is an ideal of R, if 1) a b I, 2) ra I for all a, b I and r R. In the definition of ideal we do not assume that the ring has a unity. Määritelmä 10. Trivial ideals are {0} and R. An ideal I of R is a proper ideal if I R. Edelleen, ideaali M R on R:n maksimaalinen ideaali, jos M I R ja I on R:n ideaali, niin I = R. Renkaan R aito ideaali P on alkuideaali/prime ideal, jos ehdosta ab P seuraa a P tai b P. Esimerkki 7. Let R be a commutative ring with unity and I R an ideal. If 1 I, then I = R. Lause 1. Let R be a commutative ring, I and J ideals in R. Then the sets 1) I J, 11

2) I + J = {a + b a I, b J} are ideals in R. Let W R. Define a set the intersection of all the ideals of R containing W. Lause 2. W is an ideal of R. The smallest/suppein ideal containing W. By Theorem 2 the sets {a}, a R, are ideals. 3.7.1 Principal ideals W = (W ) := W I I (9) Määritelmä 11. The ideal a := {a} is a principal ideal/pääideaali generated by a. Rengas on pääideaalirengas, jos sen jokainen ideaali on pääideaali. We denote ar = {ar r R}. (10) Lause 3. Let a R. Then ar is an ideal of R. Proof. Lause 4. Let a R. Then a = (a) = ar. (11) Proof. Recall that a and ar are ideals. Because a = ({a}) = I = I (12) {a} I a I it follows a a. Thus ar a. On the other hand a = ( I = ar {a} I by the property of set intersection. I {a} I, I ar ) ar. (13) 12

3.7.2 Ideals in a field Esimerkki 8. 0 = 0R = {0} and 1 = 1R = R. Lause 5. Let R be a commutative ring with unity. Then R is a field exactly when the only ideals are {0} and R. Proof.. Let R be a field. Then.... Let the only ideals be {0} and R. It is enough to show that every non-zero element has an inverse in R. Let a R, a 0. Now a = ar and a = R. Thus R = ar. Take 1 R, then 1 ar and so there exists a b R such that 1 = ab. Hence a 1 = b R. 3.7.3 Ideals in Z Now n = nz, generated by n Z, is a principal ideal in Z. Are there others? Lause 6. Let I Z be an ideal. Then there exists an n Z such that In other words: all ideals of Z are principal ideals. Proof. Case I = {0}. I = nz. (14) Case I {0}. Now there exists a j I Z +. Define then Here we note that nz I. Take then i I. We have n := min{j I Z + } n I. (15) i = qn + r, q, r Z, 0 r n 1. (16) Because i, n I, then also qn I and i qn I. Thus r I. But r < n. Therefore r < 1 and consequently r = 0 meaning that i = qn. Hence I nz. 3.7.4 Maximal ideals in Z Lause 7. Let n Z +. The ideal nz is a maximal ideal of Z exactly when n = p P. 13

Now Proof. 1. Let n = p P. Suppose there exists an k Z + such that pz kz Z. (17) p = p 1 pz p kz p = kl (18) for some l Z +. Thus k p implying { 1 kz = Z; k = p kz = pz. We have shown that indeed pz is a maximal ideal. 2. Let then n = ab, a, b Z 2. Now n = ab az and so (19) nz az Z. (20) Next we show nz az. Take j = a(b + 1) az and assume j nz j = n + a = ni, i Z (i 1)b = 1. (21) A contradiction. In a similar manner az Z. Therefore showing that nz is not a maximal ideal. 3.7.5 Prime ideals in Z nz az Z (22) Lause 8. Let n Z +. The ideal nz is a prime ideal of Z exactly when n = p P. 3.7.6 Ideals in Z Let n, m Z. The least common multiple/pienin yhteinen jaettava is denoted by lcm[n, m]. Lause 9. Let n, m Z +. Then nz mz = lcm[n, m]z. (23) 14

3.7.7 Ideals in nz The ideals of Z are principal ideals nz. In addition, the set S := nz is a ring (now it may happen that 1 / S). Therefore we may talk on the ideals of S. Lause 10. Let I S be an ideal of the ring S := nz. Then there exists an s Z such that I = ss = snz. (24) 3.8 Ring homomorphism Määritelmä 12. Let R 1 and R 2 be rings. The mapping F : R 1 R 2 is a ring homomorphism or morphism, if F (a + b) = F (a) + F (b), F (ab) = F (a)f (b), F (1) = 1 for all a, b R 1. Further any morphism is called monomorphism, if it is an injective mapping. isomorphism, if it is a bijective mapping. automorphism, if it is isomorphism: R R. F-automorphism, if H(a) = a, a F R. Rings R 1 and R 2 are called isomorphic or R 1 = R2, if there exists an isomorphism between them. Määritelmä 13. Let F : R 1 R 2 be a homomorphism. The set is kernel of F and the set is image of F. Ker F = {r R 1 F (r) = 0} Im F = {s R 2 s = F (r) for some r R 1 }. Terminologiaa: Kernel eli ydin eli nollan alkukuva; Image eli kuvajoukko eli arvojoukko. 15

Lause 11. Ker F is an ideal of R 1 and Im F is a subring of R 2. Lause 12. Rengasmorfismi F on injektio jos ja vain jos Ker F = {0}. 4 Kuntalaajennus/Field extension 4.1 Kuntalaajennus Määritelmä 14. Kunta K on kunnan L alikunta/subfield eli kunta L on kunnan K laajennus/extension K ja L ovat kuntia sekä K L. Tällä kurssilla kuntalaajennukselle käytetään merkintöjä L : K ja K L. Kun L : K, niin L voidaan tulkita lineaariavaruudeksi kunnan K yli asettamalla yhteenlasku/we can interpret L as a vector space over K by setting addition L L L, (α, β) α + β; (25) ja skalaarilla r K kertominen/scalar multiplication K L L, (r, α) rα (26) käyttäen kunnan L yhteen- ja kertolaskuja/by using the field operations. Määritelmä 15. Kuntalaajennuksen aste/degree of field extension eli [L : K] = dim K L. äärellinen/finite, jos [L : K] <. 4.2 Kuntatorni/Field tower Jos K M L, niin kuntaa M sanotaan välikunnaksi/intermediate field. L 1 L 2 L 3 K K L 3 L 1 ja K L 3 L 2 Lause 13. Olkoon K M L kuntatorni. Tällöin [L : K] = [L : M][M : K]. (27) 16

Todistus. Olkoot M = α 1,..., α r K = Kα 1 +... + Kα r, dim K M = r; L = β 1,..., β s M = Mβ 1 +... + Mβ s, dim M L = s. (28) Valitaan γ L. Sille pätee γ = m j = γ = s m j β j, m j M; j=1 r k ij α i, k ij K i=1 r i=1 s k ij α i β j Kα 1 β 1 +... + Kα r β s, j=1 #{α i β j } = rs. Osoitetaan vielä, että {α i β j } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan r i=1 s h ij α i β j = 0, h ij K j=1 ( s r ) h ij α i β j = 0, missä {β j } on kanta/m j=1 i=1 r h ij α i = 0, missä {α i } on kanta/k i=1 h ij = 0, i, j. (29) (30) 5 Osamääräkunta/Field of fractions Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä kautta niillä operointia. Määritelmä 16. Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d D, bd 0. Asetetaan relaatio (a, b) (c, d) ad = bc. (31) Lause 14. Relaatio on ekvivalenssirelaatio joukossa D (D \ {0}) = D. 17

Määritelmä 17. Ekvivalenssiluokille [a, b] = {(c, d) D (c, d) (a, b)} sovitaan yhteenlasku [a 1, b 1 ] + [a 2, b 2 ] = [a 1 b 2 + b 1 a 2, b 1 b 2 ] (32) ja kertolasku [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] = [a 1 a 2, b 1 b 2 ] (33) aina, kun (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) D. Lemma 15. Operaatiot + : D D D : D D D ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Lemma 16. Lause 17. Kolmikko (Q(D), +, ) on kunta. [0, 1] = [0, b] b D \ {0}; (34) [1, 1] = [a, a] a D \ {0}; (35) [a, b] = [ac, bc] c D \ {0}. (36) Proof. We need to verify the field axioms of Definition 7: 1a: [a, b] + ([c, d] + [e, f]) = ([a, b] + [c, d]) + [e, f]? VP= [a, b] + ([c, d] + [e, f]) = [a, b] + [cf + de, df] = [a(df) + b(cf + de), b(df)] = [(ad + bc)f + (bd)e, (bd)f] = [ad + bc, bd] + [e, f] = ([a, b] + [c, d]) + [e, f] =OP. 1b: [a, b] + [c, d] = [c, d] + [a, b]? A home work. 1c: Nolla-alkio/zero-element on [0, 1] Q(D), koska [0, 1] + [a, b] =... = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 1d: Alkion [a, b] Q(D) vasta-alkio/additive inverse on [ a, b] Q(D), koska 18

[a, b] + [ a, b] =... = [0, 1]. 2a: [a, b] ([c, d] [e, f]) = ([a, b] [c, d]) [e, f]? A home work. 2b: [a, b] [c, d] = [c, d] [a, b]? A home work. 2c: Ykkös-alkio/identity on [1, 1] Q(D), koska [1, 1] [a, b] = [a, b] kaikilla [a, b] Q(D). 2d: Alkion [a, b] Q(D) käänteis-alkio/inverse on [b, a] Q(D), koska [a, b] [b, a] = [1, 1]. 3a: [a, b] ([c, d] + [e, f]) = [a, b] [c, d] + [a, b] [e, f]? A home work. Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta/field of fractions. Tällöin pätee rengasisomorfiatulos jonka nojalla voidaan merkitä a 1 = a. Merkitään vielä { a 1 a D} = D, (37) Edelleen Esimerkki 9. a/b = a b = [a, b] ja Q(D) = {a/b (a, b) D}. ab 1 = a 1 ( ) 1 b = a 1 1 1 b = a b (38) Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti. Määritelmä 18. Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z). Nyt rationaalilukujen supistamis-/cancellation ja laventamislaki/convert seuraa suoraan Määritelmästä 17. ac bc = a b a b = da db (39) (40) 19

Esimerkki 10. Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue. Määritelmä 19. Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]). Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm. Esimerkki 11. (x 2 1)x (x 1)x = x + 1 2 x = 1 + 1 x. (41) Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli Lause 18. Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet: Määritelmä 20. Formaali derivaatta on lineaarinen kuvaus, jolle pätee 6 Tekijärakenteita K((T )) = Q(K[[T ]]). (42) K[T ] K(T ) K((T )), (43) K[T ] K[[T ]] K((T )). (44) D : K((T )) K((T )) 6.1 Congruence modulo an ideal DT k = kt k 1 k Z. (45) Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Define a relation (mod I), congruence modulo an ideal, by setting a b (mod I) a b I, a, b R. (46) Lause 19. Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then the relation (mod I) is an equivalence relation. Proof. Homework. 20

6.2 Quotient ring Let a := [a] denote the equivalence class determined by a. Lause 20. a b (mod I) [a] = [b]. (47) Proof. See the general properties of equivalence relation in the Tools box. Lause 21. [a] = a + I. (48) Proof. c [a] c a (mod I) c a = i I c = a + i a + I. (49) Käytetään ekvivalenssiluokkien joukolle merkintää Asetetaan vielä Lemma 22. Operaatiot R/I = {a a R}. a + b := a + b (50) a b := ab. (51) + : R/I R/I R/I : R/I R/I R/I ovat funktioita eli hyvinmääriteltyjä laskutoimituksia/well-defined binary operations. Lause 23. Let R be a commutative ring with unity and I an ideal of R. Then (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Proof. We need to verify the ring axioms of definition 3: 1a: a + (b + c) = (a + b) + c? VP=a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c =OP. 1b: a + b = b + a? A home work. 21

1c: Nolla-alkio/zero-element on 0 R/I, koska 0 + a = 0 + a = a kaikilla a R/I. 1d: Alkion a R/I vasta-alkio/additive inverse on a R/I, koska a + a = 0. 2a: a (b c) = (a b) c? A home work. 2b: a b = b a? A home work. 2c: Ykkösalkio/identity on 1 R/I. A home work. 3a: a (b + c) = a c + b c? A home work. Määritelmä 21. Rengas (R/I, +, ) on jäännösluokkarengas/quotient ring modulo I. 6.3 Congruence in Z Esimerkki 12. Let R = Z and I = nz, n Z. Then the congruence modulo an ideal nz reads a b (mod nz) a b nz, a, b Z. (52) which means that a b = nk, k Z, a b (mod n) (53) in the language of basic courses. 6.4 Renkaiden isomorfialause Lause 24. Olkoot R 1 ja R 2 kommutatiivisia ykkösellisiä renkaita ja rengasmorfismi. Tällöin F : R 1 R 2 R 1 /Ker F = Im F. (54) 22

Proof. Tarkastellaan ensin tekijärakennetta R 1 /Ker F. Koska Ker F on renkaan R 1 ideaali, niin R 1 /Ker F = {a a R 1 } (55) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, jonka alkiot ovat muotoa Asetetaan sitten 0. Todistetaan ensin, että a = a + Ker F. (56) F (a) := F (a) a R 1 /Ker F. (57) F : R 1 /Ker F Im F. (58) on (hyvinmääritelty) funktio eli jos a = b, niin pitäisi olla F (a) = F (b). Olkoon siis a = b, jolloin a b (mod Ker F ) eli a b Ker F. Lasketaan F (a) F (b) = F (a) F (b) = F (a b) = 0, (59) joten todellakin F (a) = F (b). qed. 1. Lasketaan F (a + b) = F (a + b) = F (a + b) = F (a) + F (b) = F (a) + F (b). (60) 2. Compute 3. Compute F (a b) = F (ab) = F (ab) = F (a)f (b) = F (a) F (b). (61) F (1) = F (1) = 1. (62) 1. 3. F on rengasmorfismi. qed. 4. F on surjektio. Valitaan alkio y maaliavaruudesta y Im F, jolloin y = F (y), missä y R 1 /Ker F. qed 5. F on injektio: Asetetaan F (a) = F (b) F (a) = F (b) F (a b) = 0 a b Ker F a = b. qed. (63) 1. 5. F on isomorfismi R 1 /Ker F Im F. 23

Lause 25. R/P on kokonaisalue P on alkuideaali Let us repeat that: If R is a commutative ring with unity and I is an ideal of R, then the factor ring (R/I, +, ) is a commutative ring with unity. Lause 26. Olkoon R kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Tällöin Tekijärengas R/M on kunta M on maksimaalinen ideaali. Todistus.. Let R/M be a field. Let M A R, where A is an ideal. We have A/M := {a a A} {r r R} = R/M, r = r + M, (64) where the zero-element is 0 = 0 + M and A/M is an ideal of R/M. Because R/M is a field, then the only ideals of it are {0} = {M}, R/M. (65) If A R, then there exists an r R, r / A, implying r + M / A/M = {a + M a A} A/M R/M. (66) Therefore, there remains the other possibility that A/M = {0} {a + M a A} = {M} A M A = M. (67) Hence M is a maximal ideal.. Let M be a maximal ideal. To prove that the quotient ring R/M = {a a R} (68) is a field, we need to find inverse element to every a 0. But Define then a set a 0 a 0 / M a R \ M. (69) N = N a := {ra + m r R, m M} = Ra + M, (70) which is an ideal in R and M N (Homework). But Therefore a N, a / M M N R N = R. (71) 1 N b R, m M : 1 = ba + m (72) 1 ab (mod M) 1 = ab b = a 1. (73) 24

6.5 Examples of quotient rings 6.5.1 Z/nZ Z/nZ = {a a Z}, (74) where a = {c Z c a (mod nz)} = a + nz (75) is the equivalence class determined by a. We have a b (mod nz) a = b. (76) Assume now n Z +, then by the division algorithm a = qn + r, 0 r n 1 a r (mod nz) a = r. (77) Thus, we may replace the representatives a by the remainders r meaning Z/nZ = {r r {0, 1,..., n 1}} = {0, 1,..., n 1}. (78) Therefore the term remainder class. The basic course notation is videly used. 6.5.2 Z/pZ Assume now p P, then the ideal is maximal and Z n := Z/nZ (79) pz Z (80) Z/pZ = {0, 1,..., p 1}. (81) is a field. Thus we know that every element r 0 has an inverse, which may be computed by the Euclidean algorithm. Esimerkki 13. 25

Let p = 71 and r = 23. Then 71 = 3 23 + 2, 23 = 11 2 + 1. 2 = 71 3 23 3 23 (mod 71), 1 = 23 11 2 23 11 ( 3 23) 34 23 (mod 71). Hence 23 34 = 1 23 1 = 34. 26