Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016

Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta (engl. Jordan content and Lebesgue outer measure), matematiikan pro gradu -tutkielma, 35. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 2015. Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-integroituvuutta. Tutkielmassa tutustutaan Jordanin sisäja ulkosisällön sekä Lebesguen ulkomitan tärkeimpiin ominaisuuksiin sekä niiden väliseen yhteyteen. Lisäksi käsitellään Jordanin ja Lebesguen ehdot funktion Riemannintegroituvuudelle. Tutkielman aluksi kerrataan analyysin perusteista reaaliakselin välin Riemannin integraali sekä mitta- ja integraaliteorian käsite nollamittaisuus, jotka ovat tutkielman kannalta tärkeitä asioita. Lisäksi tutustutaan funktion oskillaatioon eli funktion arvojen heilahteluun reaaliakselin välillä. Tämä on keskeisessä asemassa tutkittaessa Riemann-integroituvuutta Jordanin ulkosisällön avulla. Jordanin kriteerissä tutkitaan joukkoa, jossa funktion oskillaatio kasvaa suuremmaksi tai on yhtä suuri kuin annettu luku ɛ. Funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos tämä joukko on nollamittainen. Lisäksi tutustutaan Lebesguen ulkomittaan ja sen ominaisuuksiin sekä Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos epäjatkuvuuspisteiden joukon Lebesguen ulkomitta on nolla. Esimerkit ja kuvat havainnollistavat mitä hyötyä Jordanin sisä- ja ulkosisällöstä sekä Lebesguen ulkomitasta on käytännössä. Tutkielman lopuksi tutustutaan vastaaviin asioihin kuin ensimmäisessä luvussa, mutta reaaliakselin välin sijasta tutkitaan asioita tason joukossa. Avainsanoja: Riemannin integraali, Riemann-integroituvuus, funktion oskillaatio, Jordanin sisä- ja ulkosisältö, Lebesguen ulkomitta. i

Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Riemannin integraali välillä 3 1.1. Riemannin integraali ja joukon nollamittaisuus 3 1.2. Funktion oskillaatio 11 1.3. Jordanin sisältö rajoitetulla välillä 14 1.4. Lebesguen ulkomitta välillä 18 1.4.1. Riemannin integraalin ominaisuuksia 23 Luku 2. Riemannin integraali tasossa 27 2.1. Rajoitetun funktion Riemannin integraali tasossa 27 2.2. Funktion oskillaatio 31 2.3. Jordanin sisältö tason rajoitetussa joukossa 32 2.4. Lebesguen ulkomitta tasossa 34 Luku 3. Merkintöjä 37 Kirjallisuutta 39 iii

Johdanto Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä joukon Jordanin sisä- ja ulkosisältöön sekä Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä sekä tason joukossa. Tutkielmassa käsitellään myös Jordanin sekä Lebesguen ehdot Riemann-integroituvuudelle, jonka takia aluksi käydään läpi Riemannin integraaliin liittyviä tärkeimpiä määritelmiä ja lauseita. Tutkielmaa on yritetty havainnollistaa kuvin ja esimerkein, jotka auttavat ymmärtämään mitä hyötyä Jordanin sisä- ja ulkosisällöstä sekä Lebesguen ulkomitasta on käytännössä. Lukijan oletetaan osaavan analyysin perusteet, mutta sekä ensimmäisen että toisen luvun alussa käsitellään tutkielman kannalta tärkeimmät määritelmät ja lauseet Riemannin integraalista. Lisäksi tutkielmassa tarvitaan mittateorian perusteista joukon nollamittaisuutta, joka sekin käsitellään ensimmäisen luvun alussa. Riemannintegroituvuuden selvittämisessä Jordanin ehdolla funktion oskillaatio eli heilahtelu on tärkeässä asemassa, joten tutkielmassa käsitellään oskillaatioon liittyvät tärkeimmät määritelmät ja lauseet. Ensimmäisen luvun viimeiset kappaleet käsittelevät reaaliakselin tapauksessa Jordanin sisältöä ja Lebesguen ulkomittaa, sekä tutkielman tärkeimpiä lauseita Jordanin ja Lebesguen kriteereistä Riemann-integroituvuudelle. Toisessa luvussa käsitellään vastaavat asiat kuin ensimmäisessä luvussa siirtyen reaaliakselin välistä tason joukkoon. Toisen luvun lauseiden todistukset menevät vastaavalla tavalla kuin yksiulotteisessa tilanteessa, joten vain osa toisen luvun lauseiden todistuksista on kirjoitettu tutkielmaan. Tutkielma pohjautuu pääosin Apostolin kirjaan Mathematical analysis, A modern approach to advanced calculus ensimmäiseen laitokseen sekä Apostolin kirjaan Mathematical analysis toiseen laitokseen. 1

LUKU 1 Riemannin integraali välillä 1.1. Riemannin integraali ja joukon nollamittaisuus Bernhard Riemann loi 1800-luvun puolivälissä ensimmäisen kunnon määritelmän integraalille kehittäen Cauchyn aikaisemmin muotoilemaa määritelmää jatkuvien funktioiden integroituvuudesta. Integraalin Riemann kehitti Fourier-sarjojen tutkimuksen yhteydessä mahdollistamaan epäjatkuvien funktioiden integroinnin. Riemannin integraali on tunnetuin integraali, joka myös opetetaan lukiossa. Rajoitetun funktion Riemannin integraalissa välillä [a, b] on ideana, että väli [a, b] jaetaan pienempiin osaväleihin ja lasketaan funktion ylä- ja alaraja näillä osaväleillä. Yhden osavälin pituuden ja kyseisen välin funktion ylärajan tulosta saadaan arvioitua funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-alaa kyseisellä osavälillä ylhäältä päin. Näin kun jokaisella osavälillä arvioidaan pinta-alaa ylhäältä päin ja summataan saadut alat yhteen, saadaan arvion funktion ja x-akselin pinta-alalle välillä [a, b] funktion yläpuolelta. Osavälien pituuksien ja kyseisellä osavälillä funktion alarajan tulojen summasta vastaavasti saadaan arvioitua funktion ja x-akselin rajaaman alueen pinta-alaa välillä [a, b] funktion alapuolelta. Tässä kappaleessa käydään läpi Riemannin integraalin määritelmä ja muita tärkeimpiä tuloksia integraalista sekä joukon nollamittaisuuden määritelmä, jotka auttavat myöhemmin Jordanin sisällön ja Lebesguen ulkomitan käsittelyssä. Määritelmä 1.1. Välin [a, b] jako on joukko P := {x 0, x 1, x 2,..., x n } siten, että a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Jako P muodostaa siis välille [a, b] osavälit I 1,... I n siten, että I 1 = [x 0, x 1 ],..., I n = [x n 1, x n ]. Merkitään kaikkia välin [a, b] jakoja P[a, b]. Määritellään funktion f Darboux n ylä- ja alasummat annetun jaon P suhteen, jotka approksimoivat funktion ja x-akselin välillä [a, b] rajaaman alueen alaa funktion ylä- ja alapuolelta. Määritelmä 1.2. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio ja olkoon välin [a, b] jako P = {x 0, x 1, x 2,..., x n }, joka muodostaa osavälit I 1,... I n, jolle I i = [x i 1, x i ]. Määritellään funktion f pienin yläraja M i (f) ja suurin alaraja m i (f) välillä I i M i (f) := sup{f(x) x I i } ja m i (f) := inf{f(x) x I i }. Määritellään lisäksi välin I i pituus I i := x i x i 1. Tällöin funktion f Darboux n yläsumma jaon P suhteen on U(f; P ) := n M i (f) I i 3

4 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ ja vastaavasti funktion f Darboux n alasumma jaon P suhteen on n L(f; P ) := m i (f) I i. Huomautus 1.3. Jatkossa lyhyyden vuoksi funktion pienimmästä ylärajasta puhuttaessa käytetään vain sanontaa funktion yläraja ja vastaavasti funktion suurimmasta alarajasta puhuttaessa käytetään sanontaa funktion alaraja. Kuva 1.1. Darboux n ylä- ja alasummat. Punaisen alueen ala tarkoittaa Darboux n yläsummaa ja vihreän alueen ala tarkoittaa Darboux n alasummaa. Huomautus 1.4. Darboux n ylä- ja alasummille pätee välillä [a, b] m(b a) L(f; P ) U(f; P ) M(b a), missä m on välin [a, b] funktion f alaraja ja M on välin [a, b] funktion f yläraja. Määritellään seuraavaksi jaon hienonnus, joka tarkoittaa alkuperäistä jakoa tiheämpää jakoa ja johon kuuluu alkuperäisen jaon jakopisteet. Määritelmä 1.5. Olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } välin [a, b] jako. Jako P on jaon P hienonnus, jos P P. Kun jakoa P hienonnetaan, päästään rajoitetun funktion f sekä Darboux n yläettä alasummassa tarkempiin arvioihin funktion ja x-akselin välillä [a, b] rajaamasta alueen alasta. Jaon hienontuessa yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa. Lause 1.6. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio ja olkoon P välin [a, b] jako. Jos jako Q on jaon P hienonnus, niin L(f; P ) L(f; Q) ja U(f; Q) U(f; P ). Todistus. Olkoon välin [a, b] jaot P = {a = x 0,..., x n = b} ja Q = {a = x 0,..., x i 1, x, x i,..., x n = b} ja olkoon M k (f) funktion f yläraja välillä [x k 1, x k ].

1.1. RIEMANNIN INTEGRAALI JA JOUKON NOLLAMITTAISUUS 5 Olkoon lisäksi M i(f) välin [x i 1, x ] ja M i+1(f) välin [x, x i ] funktion f ylärajat kyseisillä väleillä. Tällöin n n U(f; P ) = M k (f)(x k x k 1 ) = M k (f)(x k x k 1 ) + M i (f)(x i x i 1 ) k=1 n k=1k i k=1k i M k (f)(x k x k 1 ) + M i(x x i 1 ) + M i+1(x i x ) = U(f; Q), koska M i(f) M i (f) ja M i+1(f) M i (f). Olkoon nyt m i (f) välin [x i 1, x i ], m i(f) välin [x i 1, x ] ja m i+1(f) välin [x, x i ] funktion f alarajat. Koska m i(f) m i (f) ja m i+1(f) m i (f) on n n L(f; P ) = m k (f)(x k x k 1 ) = m k (f)(x k x k 1 ) + m i (f)(x i x i 1 ) k=1 n k=1k i k=1k i m k (f)(x k x k 1 ) + m i(x x i 1 ) + m i+1(x i x ) = L(f; Q), ja näin lause on todistettu jaoille P ja Q, missä jako Q on yhden jakopisteen hienompi kuin jako P. Heinontamalla jakoa Q lisäämällä jakoon P jakopisteitä n 1 kappaletta, saadaan induktiolla todistettua yeinen tapaus, missä jakopisteitä on on n kappaletta enemmän kuin jaossa P. Rajoitetun funktion f Darboux n alasumma ei koskaan ole suurempi kuin yläsumma, valittiinpa välille [a, b] mitkä tahansa jaot. Lause 1.7. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio sekä olkoon P ja Q välin [a, b] jakoja. Tällöin L(f; P ) U(f; Q). Todistus. Olkoon jako R hienompi kuin jaot P ja Q. Tällöin lauseen 1.6 mukaan L(f; P ) L(f; R) ja U(f; R) U(f; Q). Tämä tarkoittaa siis huomautuksen 1.4 mukaan, että L(f; P ) L(f; R) U(f; R) U(f; Q). Edellisestä lauseesta seuraa, että suurin Darboux n alasumma on aina pienempi tai yhtä suuri kuin pienin Darboux n yläsumma riippumatta määrittelyvälin [a, b] jaoista. Seuraus 1.8. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio. Tällöin sup{l(f; P ) P P[a, b]} inf{u(f; Q) Q P[a, b]}, missä P[a, b] on välin [a, b] kaikki mahdolliset jaot. Todistus. Olkoon välin [a, b] jaot P ja Q ja olkoon K = P Q. Tällöin lauseen 1.6 ja huomautuksen 1.4 mukaan L(f; P ) L(f; K) U(f; K) U(f; Q). Koska tämä pätee millä tahansa jaoilla P ja Q, on sup L(f; P ) inf U(f; Q). Nyt voidaan määritellä rajoitetun funktion f Darboux n ylä- ja alasummien avulla funktion f Riemannin ylä- ja alaintegraalin välillä [a, b].

6 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Määritelmä 1.9. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio. Funktion f yläintegraali välillä [a, b] määritellään b a f(x) dx := inf{u(f; P ) P P[a, b]}, missä P[a, b] on välin [a, b] kaikki mahdolliset jaot. Vastaavasti funktion f alaintegraali välillä [a, b] määritellään b a f(x) dx := sup{l(f; P ) P P[a, b]}. Seuraus 1.8 saadaan toiseen muotoon, kun merkitään inf{u(f; P ) P P[a, b]} ja sup{l(f; P ) P P[a, b]} kuten määritelmässä 1.9. Seuraus 1.10. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio. Tällöin b a f(x) dx b a f(x) dx Jos ylä- ja alaintegraalit ovat yhtä suuria, sanotaan, että funktio f on Riemannintegroituva. Määritelmä 1.11. Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b] jos b a f(x) dx = b a f(x) dx. Tällöin funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] määritellään b a f := b Esimerkki 1.12. Funktio on Riemann-integroituva ja a f(x) dx := f(x) = b a f(x) dx = { 0, jos 0 < x 1 1, x = 0 1 0 f(x) = 0. b a f(x) dx. Todistus. Olkoon P = {0 = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n = 1} välin [0, 1] jako. Tällöin kaikille i = {2,..., n} välillä [x i 1, x i ] funktion f ylä- ja alaraja on M i (f) = 0 ja m i (f) = 0, koska f(x) = 0 kaikille x > 0. Jaon P ensimmäisellä välillä [0, x 1 ], missä 0 < x 1 1, on M 1 (f) = 1 ja m 1 (f) = 0, koska f(0) = 1 ja f(x) = 0, kun 0 < x x 1. Tästä seuraa, että U(f; P ) = x 1 ja L(f; P ) = 0. Tällöin määritelmien 1.2 ja 1.9 mukaan b a f(x) dx U(f; P ) ja b a f(x) dx L(f; P ).

1.1. RIEMANNIN INTEGRAALI JA JOUKON NOLLAMITTAISUUS 7 Näin ollen kaikille x 1 > 0 on seurauksen 1.10 mukaan x 1 b a f(x) dx b a f(x) dx 0. Koska väli [0, x 1 ] voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, saadaan b a f(x) dx = b a f(x) dx = 0, joten funktio on määritelmän 1.11 mukaan Riemann-integroituva ja 1 f(x) = 0. 0 Riemann-integroituvuutta voidaan tarkastella seuraavan lauseen mukaan, jossa tarkastellaan ylä- ja alasummien erotusta. Jos tämä erotus saadaan mielivaltaisen pieneksi, niin funktio on integroituva. Lause 1.13 (Riemannin ehto). Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b] jos ja vain jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa välin [a, b] jako P siten, että U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Todistus. Merkitään U(f) = inf{u(f; P ) P P[a, b]} ja L(f) = sup{l(f; P ) P P[a, b]}, missä P[a, b] on välin [a, b] kaikki mahdolliset jaot. Oletetaan, että funktio f on rajoitettu välillä [a, b] ja U(f; P ) L(f; P ) < ɛ ja näytetään, että funktio on Riemann-integroituva. Olkoon ɛ > 0 ja valitaan jako P siten, että se täyttää ehdon U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Tällöin, koska U(f) U(f; P ) ja L(f; P ) L(f) on 0 U(f) L(f) U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Koska tämä pätee kaikille ɛ > 0, on oltava U(f) L(f) = 0. Tämä tarkoittaa määritelmän 1.9 merkinnöin b b f(x) dx = L(f) = U(f) = f(x) dx, a joten funktio f on Riemann-integroituva. Oletetaan nyt, että funktio f on Riemann-integroituva ja rajoitettu välillä [a, b]. Olkoon ɛ > 0. Tällöin on olemassa välille [a, b] jaot Q ja R siten, että U(f; Q) < U(f) + ɛ ja L(f; R) > L(f) ɛ 2 2. Olkoon jako P jakojen Q ja R hienonnus. Tällöin lauseen 1.6 mukaan U(f; P ) L(f; P ) U(f; Q) L(f; R) < U(f) L(f) + ɛ. Koska funktio f on Riemann-integroituva, on määritelmien 1.9 ja 1.11 mukaan U(f) = L(f), joten U(f; P ) L(f; P ) < ɛ ja lause on todistettu. Seuraavassa lauseessa on koottuna Riemannin integraalin ominaisuuksia. Lause 1.14. (1) Jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. (2) Monotoninen funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. (3) Jos funktio f on Riemann-integroituva, niin funktiot f ja f 2 ovat Riemannintegroituvia. a

8 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ (4) Jos funktiot f ja g ovat Riemann-integroituvia, niin funktio f g on Riemannintegroituva. (5) Jos funktio g on Riemann-integroituva ja inf{g(x) x [a, b]} > 0, niin myös funktio 1 on Riemann-integroituva. g Todistus. (1) Olkoon ɛ > 0. Koska funktio f on jatkuva ja väli [a, b] on kompakti, on funktio f tasaisesti jatkuva. Tällöin on olemassa δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ɛ kaikilla x, y [a, b], joille x y < δ. Valitaan b a välille [a, b] jako P = {x 0, x 1, x 2,..., x n }, joka muodostaa välit I 1, I 2,..., I n, joille välin I k pituus on I k < δ kaikilla k = 1, 2,..., n. Koska funktio f on jatkuva, on olemassa pisteet x k, y k I k siten, että f(x k ) = M k (f) ja f(y k ) = m k (f), missä M k (f) ja m k (f) on funktion f ylä- ja alaraja välillä I k. Koska x k y k < δ, niin Siten M k (f) m k (f) = f(x k ) f(y k ) < U(f; P ) L(f; P ) = = n M k (f) I k k=1 k=1 ɛ b a. n m k (f) I k k=1 n ( ) M k (f) m k (f) I k < ɛ b a n I k < ɛ, k=1 joten Riemannin ehdon nojalla funktio f on integroituva. (2) Funktio on monotoninen, jos sen arvot joko kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan. Todistetaan vain tapaus, jossa funktio f on kasvava välillä [a, b]. Vähenevän funktion Riemann-integroituvuuden todistus menee vastaavalla tavalla. Olkoon P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } välin [a, b] jako, joka muodostaa välit I 1, I 2,..., I n siten, että I k δ kaikilla k = 1, 2,..., n. Koska funktio on kasvava jokaisella välillä I k = [x k 1, x k ], on f(x k 1 ) f(x k ). Näin ollen funktion alaraja välillä [x k 1, x k ] on m k (f) = f(x k 1 ) ja vastaavasti yläraja välillä [x k 1, x k ] on M k (f) = f(x k ). Tällöin U(f; P ) L(f; P ) = k=1 n k=1 n ( ) f(x k ) f(x k 1 ) δ = δ ( ) M k (f) m k (f) (x k x k 1 ) n k=1 ( ) f(x k ) f(x k 1 ) ( ) = δ f(x 1 ) f(x 0 ) + f(x 2 ) f(x 1 ) + + f(x n ) f(x n 1 ) ( ) ( ) = δ f(x n ) f(x 0 ) = δ f(b) f(a).

1.1. RIEMANNIN INTEGRAALI JA JOUKON NOLLAMITTAISUUS 9 Valitaan ɛ > 0 ja valitaan n N siten, että δ > ( ) U(f; P ) L(f; P ) = δ f(b) f(a) < ɛ f(b) f(a) ( f(b) f(a) ɛ. Tällöin saadaan f(b) f(a) ) = ɛ. Näin ollen lauseen 1.13 nojalla kasvava funktio on Riemann-integroituva. (3) Todistetaan ensin, että f on Riemann-integroituva: Olkoon ɛ > 0 annettu. Koska f on Riemann-integroituva, on olemassa välin [a, b] jako P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Jako P muodostaa osavälit I 1,... I n, joille I i = [x i 1, x i ] ja välin I i pituus on I i = x i x i 1. Kaikilla i {1, 2,..., n} ja kaikilla x, y I i on f(x) f(y) f(x) f(y). Näin ollen joukon { f(x) f(y) x, y I i } yläraja on enintään M i (f) m i (f). Nyt n ( ) U( f ; P ) L( f ; P ) = M i ( f ) m i ( f ) I i n ( ) M i (f) m i (f) I i = U(f; P ) L(f; P ) < ɛ, joten f on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistetaan seuraavaksi, että f 2 on Riemann-integroituva: Koska funktio f on rajoitettu välillä [a, b], on olemassa B > 0 siten, että f(x) + f(y) B kaikilla x, y [a, b]. Olkoon ɛ > 0 annettu. Koska funktio f on Riemannintegroituva, on olemassa välin [a, b] jako P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Jako P muodostaa siis osavälit I B 1,... I n, joille I i = [x i 1, x i ] ja välin pituus on I i = x i x i 1. Kaikille i {1, 2,..., n} ja x, y I i on (f(x)) 2 (f(y)) 2 = f(x) + f(y) f(x) f(y) B ( M i (f) m i (f) ). Näin ollen joukon { (f(x)) 2 (f(y)) 2 x, y [x i 1, x i ]} yläraja on enintään B ( M i (f) m i (f) ) ja M i (f 2 ) m i (f 2 ) B ( M i (f) m i (f) ). Nyt U(f 2 ; P ) L(f 2 ; P ) = n n = B ( ) M i (f 2 ) m i (f 2 ) I i ( ) B M i (f) m i (f) I i ( ) U(f; P ) L(f; P ) < B ɛ B = ɛ. Näin ollen funktio f 2 on Riemann-integroituva välillä [a, b]. (4) Koska funktiot f ja g ovat rajoitettuja välillä [a, b], on olemassa B > 0 siten, että f(x), g(y) < B kaikilla x, y [a, b]. Olkoon ɛ > 0 annettu. Koska funktiot f ja g ovat Riemann-integroituvia, niin on olemassa välin [a, b] jako P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että U(f; P ) L(f; P ) < ɛ ja U(g; P ) L(g; P ) < 2B ɛ. Jako P muodostaa siis osavälit I 2B 1,... I n, joille I i = [x i 1, x i ] ja välin pituus on I i = x i x i 1. Olkoon lisäksi M i (f), M i (g), m i (f) ja m i (g)

10 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ funktioiden f ja g ylä- ja alarajat välillä I i. Tällöin koska M i (g), m i (f) B ja f(x)g(x) f(y)g(y) = f(x)g(x) f(x)g(y) + f(x)g(y) f(y)g(y) f(x) g(x) g(y) + f(x)f(y) g(y) B M i (g) m i (g) + M i (f) m i (f) B, saadaan n ( ) U(fg; P ) L(fg; P ) = M i (fg) m i (fg) I i n ( B ( M i (f) m i (f) )) I i + ( ) = B( U(f; P ) L(f; P ) + n ( B ( M i (g) m i (g) )) I i ( U(g; P ) L(g; P ) ( ɛ < B 2B + ɛ ) = ɛ. 2B Näin ollen funktio f g on Riemann-integroituva välillä [a, b]. (5) Oletetaan, että m := inf{g(x) x [a, b]} > 0. Tällöin siis g(x) m kaikille x [a, b]. Olkoon välin [a, b] jako P = {x 0,..., x n }, joka muodostaa osavälit I 1, I 2,..., I n, missä I i = [x i 1, x i ] ja välin I i pituus on I i = x i x i 1. Kaikille x, y I i on g(x) m i (g) = inf{g(x) x I i } ja g(y) M i (g) = sup{g(x) x I i }. Kaikilla i {1,..., n} ja kaikille x, y I i on 1 g(x) 1 g(y) Tällöin joten = g(y) g(x) g(x)g(y) ( 1 ) ( 1 ) M i m i g g ( 1 ) ( 1 ) U g ; P L g ; P = M i(g) m i (g) m 2 M i(g) m i (g) m 2, n n ) ) M i(g) m i (g) m 2. ( ( 1 ) ( 1 )) M i m i I i g g ( Mi (g) m i (g) ) I m 2 i U(g; P ) L(g; P ) = < ɛ, m 2 joten 1 on Riemann-integroituva välillä [a, b]. g Käsitellään nollamittaisuuden määritelmä ja muutama nollamittaisuuteen liittyvä lause, joita tarvitaan myöhemmin Lebesguen ehdossa Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen. Määritelmä 1.15. Joukko A R on nollamittainen, jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa kompaktit välit (I k ) k N, I k R siten, että A I k ja I k < ɛ, k N k N

missä I k on välin I k pituus. 1.2. FUNKTION OSKILLAATIO 11 Seuraavan lauseen kaksi kohtaa seuraavat nollamittaisuuden määritelmästä. Lause 1.16. (1) Nollamittaisen joukon osajoukko on nollamittainen. (2) Nollamittaisten joukkojen numeroituva yhdiste on nollamittainen. Todistus. (1) Olkoon joukko A nollamittainen. Nollamittaisuuden määritelmän mukaan on siis olemassa kompaktit välit (I k ) k N, I k R siten, että A k N I k ja k N I k < ɛ. Olkoon lisäksi B A. Tällöin B A k N I k. Koska B k N I k ja k N I k < ɛ on joukko B myös nollamittainen. (2) Olkoon joukot A i R, i Z + nollamittaisia ja olkoon ɛ > 0. Koska joukko A i on nollamittainen, on olemassa kompaktit välit I i,k R, k Z + siten, että A i ja I i,k < ɛ 2. i Tällöin ja k=1 I i,k ( ) I i,k < k=1 Lauseesta 1.16 saadaan seuraus: k=1 ( ) A i I i,k k=1 ɛ 2 = ɛ ( 1 ) i = ɛ. i 2 Seuraus 1.17. Numeroituva joukko on nollamittainen. Todistus. Olkoon( ɛ > 0 ja olkoon joukko ) A = {a 1, a 2, a 3,...} numeroituva joukko. Määritellään I i = a i ɛ, a 2 i+1 i + ɛ. Tällöin A 2 i+1 I i ja I i = ɛ. Nyt 2 i I i = Näin ollen joukko A on nollamittainen. ɛ 2 = ɛ ( 1 ) i = ɛ. i 2 1.2. Funktion oskillaatio Funktion oskillaatio kuvaa funktion arvojen heilahtelua. Otetaan esimerkkinä funktio f : [0, 1] R, joka saa välin [0, 1] rationaalipisteissä arvon 1 ja irrationaalipisteissä arvon 0. Tämän funktion arvot heilahtelevat jokaisessa välin [0, 1] pisteen pienessä ympäristössä arvojen 0 ja 1 välillä, joten kyseisen funktion oskillaatio on 1 jokaisella välin [0, 1] pienelläkin osavälillä. Funktion oskillaatiota tarvitaan myöhemmin tutkittaessa Riemann-integroituvuutta Jordanin ulkosisällön avulla. Määritelmä 1.18. Olkoon f määritelty ja rajoitettu suljetulla välillä [a, b]. Olkoon lisäksi T [a, b] epätyhjä joukko. Funktion oskillaatioksi joukossa T asetetaan ω f (T ) := sup{f(y) f(z) y, z T }.

12 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Lause 1.19. Olkoon f määritelty ja rajoitettu suljetulla välillä [a, b] ja olkoon T [a, b] epätyhjä joukko. Tällöin ω f (T ) = sup f(t ) inf f(t ), missä sup f(t ) on funktion f yläraja joukossa T ja vastaavasti inf f(t ) on funktion f alaraja joukossa T Todistus. Merkitään funktion oskillaatiota joukossa T kuten määritelmässä 1.18 ja todistetaan, että sup{f(y) f(z) y, z T } = sup f(t ) inf f(t ). Todistetaan aluksi, että sup{f(y) f(z)} sup f(t ) inf f(t ). Funktiolle f pätee, että f(y) sup f(t ) ja f(z) inf f(t ) kaikille y, z T. Tällöin f(z) inf f(t ) kaikille z T. Jos epäyhtälön molemmat puolet summataan, saadaan f(y) f(z) sup f(t ) inf f(t ) kaikille y, z T. Koska edellinen yhtälö pätee kaikille y, z T, saadaan sup{f(y) f(z)} sup f(t ) inf f(t ). Todistetaan vielä, että sup{f(y) f(z) y, z T } sup f(t ) inf f(t ). Näytetään siis, että kaikille ɛ > 0 on x, y T, joille f(x) f(y) > sup f(t ) inf(t ) ɛ. Kun 1 ɛ > 0, niin on olemassa x, y T siten, että f(x) > sup f(t ) 1 ɛ ja f(y) > inf f(t )+ 2 2 1 ɛ. Tällöin f(x) f(y) > sup f(t ) 1ɛ (inf f(t )+ 1 ɛ) = sup f(t ) inf f(t ) ɛ. 2 2 2 Kun joukkoa T pienennetään, saadaan tarkempi arvio pisteen x läheisyydessä tapahtuvasta funktion arvojen heilahtelusta. Seuraava lause todistaa, että funktion oskillaatio on pienempi joukossa T kuin joukossa T, kun T T. Lause 1.20. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b]. Jos T T [a, b], niin ω f (T ) ω f (T ). Todistus. Jos T T, niin sup T sup T ja inf T inf T eli inf T inf T. Summaamalla näiden epäyhtälöiden molemmat puolet, saadaan sup T inf T sup T inf T. Näin ollen lauseen 1.19 mukaan ω f (T ) ω f (T ). Seuraus 1.21. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b], x [a, b] ja olkoon I(x, δ) := [x δ, x + δ] [a, b]. Jos 0 < δ < δ, niin ω f ( I(x, δ ) ) ω f ( I(x, δ) ). Edellinen seuraus auttaa seuraavan määritelmän ymmärtämisessä, jossa määritellään funktion f oskillaatio pisteessä x. Funktion f oskillaatio pisteessä x saadaan pienentämällä pisteen x ympäristöä I(x, δ) rajatta. Määritelmä 1.22. Olkoon I(x, δ) määritelty kuten edellä, δ > 0 ja x [a, b]. Funktion f oskillaatio pisteessä x määritellään seuraavasti: ( ) ω f (x) := inf{ω f I(x, δ) δ > 0} = lim ω ( ) f I(x, δ). δ 0+ Funktion f oskillaatio pisteessä x on aina pienempi kuin oskillaatio pisteen x ympäristössä I(x, δ), kun δ > 0. Seuraus 1.23. Olkoon funktio f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b] ja olkoon I(x, δ) määritelty kuten edellä ja δ > 0. Tällöin ω f (x) ω f ( I(x, δ) ).

1.2. FUNKTION OSKILLAATIO 13 Seuraus 1.24. Olkoon välin [a, b] jako P = {x 0,... x n } ja olkoon piste x välin [x k 1, x k ] sisäpiste. Jos [x k 1, x k ] [a, b], niin ω f (x) ω f ( [xk 1, x k ] ) = M k (f) m k (f), missä M k (f) ja m k (f) ovat välin [x k 1, x k ] funktion ylä- ja alaraja. Huomautus 1.25. Olkoon funktio f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b] ja olkoon välin [a, b] jako P, joka muodostaa osavälit I 1, I 2,..., I n. Merkitään osavälin I k pituutta I k. Tällöin Darboux n ylä- ja alasummien erotus voidaan ilmaista oskillaation avulla seuraavasti n ( U(f; P ) L(f; P ) = ω f [xk 1, x k ] ) I k. Jos funktion f oskillaatio pisteessä x [a, b] on pienempi kuin ɛ, niin funktion oskillaatio pisteen x tarpeeksi pienessä ympäristössä on myös pienempi kuin ɛ. Lause 1.26. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b] ja olkoon ɛ > 0 annettu. Oletetaan, että ω f (x) < ɛ kaikilla x [a, b]. Tällöin on olemassa δ > 0 (joka riippuu vain luvusta ɛ) siten, että kaikille suljetuille väleille T [a, b] on ω f (T ) < ɛ, kun välin T pituus on pienempi kuin luku δ. Todistus. Jokaiselle pisteelle x [a, b] on olemassa ( avoin ympäristö J(x, δ x ) = (x δ, x + δ) [a, b], missä δ > 0, siten, että ω f J(x, δx ) ) < ɛ. Kokoelma pisteen x ympäristöjä {J(x, δ x /2) x [a, b]} muodostaa avoimen peitteen välille [a, b]. Heinen ja Borelin peitelauseen mukaan äärellinen määrä näitä joukkoja peittää välin [a, b]. Olkoot ne J(x 1, δ 1 /2), J(x 2, δ 2 /2),..., J(x k, δ k /2). Olkoon lisäksi δ pienin näistä, siis δ p /2 δ. Kun välin T pituus on pienempi kuin δ, peittää vähintään yksi ympäristö väliä T ainakin osittain. Olkoon se J(x p, δ p /2). Kuitenkin ympäristö J(x p, δ p ) peittää ( täysin välin T, sillä δ p 2δ ja välin T pituus on pienempi kuin luku δ. Koska ω f J(xp, δ p ) ) < ɛ ja T J(x p, δ p ) on lauseen 1.20 nojalla ω f (T ) < ɛ. Funktion oskillaatiolla ja jatkuvuudella on yhteys toisiinsa. Funktio on jatkuva jos sen oskillaatio on nolla jokaisessa määrittelyvälin pisteessä. Päinvastainen tulos pätee myös. Lause 1.27. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b]. Funktio f on jatkuva pisteessä x [a, b] jos ja vain jos ω f (x) = 0. Todistus. Oletetaan aluksi että ω f (x) = 0 ja olkoon ɛ > 0. Tällöin on olemassa δ > 0 ja väli T [a, b], jonka pituus on pienempi kuin luku δ siten, että ω f (T ) < ɛ. Näin ollen oskillaation määritelmän mukaan kun y, z T ja välin T pituus on pienempi kuin luku δ, niin f(y) f(z) < ɛ, joten funktio f on jatkuva pisteessä x. Oletetaan nyt, että funktio f on jatkuva pisteessä x [a, b] ja olkoon ɛ > 0. Tällöin on olemassa δ > 0 siten, että y, z T ja koska välin T pituus on pienempi kuin luku δ, niin y z < δ. Koska funktio f on jatkuva pisteessä x [a, b], on f(x) f(y) < ɛ. Tällöin ω f (T ) < ɛ ja siten ω f (x) = 0. Seuraavaa lausetta tarvitaan myöhemmin useamman lauseen todistuksessa. k=1

14 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Lause 1.28. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b]. Kullekin ɛ > 0 määritellään joukko J ɛ seuraavasti: Tällöin J ɛ on suljettu joukko. J ɛ := {x [a, b] ω f (x) ɛ}. Todistus. Olkoon x joukon J ɛ kasautumispiste. Jos x / J ɛ, niin on ω f (x) < ɛ. Tällöin on olemassa δ > 0 ja väli T, jonka pituus on pienempi kuin luku δ, jolle ω f (T ) < ɛ. Näin ollen välin T pisteet eivät voi kuulua joukkoon J ɛ, joten x / J ɛ ei voi olla joukon J ɛ kasautumispiste. Siten täytyy olla, että x J ɛ ja J ɛ on suljettu. 1.3. Jordanin sisältö rajoitetulla välillä Tässä kappaleessa tutustutaan reaaliakselin joukon S Jordanin sisäsisältöön c (S), ulkosisältöön c (S) ja Jordan-mitallisuuteen, sekä lauseeseen Jordanin ehdosta funktion Riemann-integroituvuudelle. Sisäsisällössä tutkitaan jaon P muodostamista osaväleistä niitä jakovälejä, jotka sisältävät vain joukon S sisäpisteitä. Näiden välien pituuksien summa antaa approksimaation joukon S sisällölle sisältäpäin. Ulkosisällössä puolestaan tutkitaan jaon P muodostamista osaväleistä niitä jakovälejä, jotka sisältävät joukon S pisteitä tai sen reunapisteitä. Näiden välien pituuksien summa antaa approksimaation joukon S sisällölle ulkoapäin. Piste x R on joukon S reunapiste, jos kaikilla pisteen x pienilläkin ympäristöillä on sekä pisteitä joukosta S että sen ulkopuolelta. Joukon S reunapisteiden joukkoa eli joukon S reunaa merkitään S. Määritelmä 1.29. Olkoon S [a, b] ja olkoon P = {x 0, x 1,..., x n } välin [a, b] jako. Olkoot [x k 1, x k ], k I, ne välit, jotka sisältävät vain joukon S pisteitä, eli [x k 1, x k ] S kaikilla k I ja merkitään näiden osavälien pituuksien summaa J (P, S). Joukon S Jordanin sisäsisällöksi määritellään luku c (S) := sup{j (P, S) P P[a, b]} = sup{ k I (x k x k 1 ) P P[a, b]}. Vastaavasti olkoot [x k 1, x k ], k I, ne välit, jotka sisältävät joukon S S pisteet, toisin sanoen S S k I [x k 1, x k ] ja merkitään näiden osavälien pituuksien summaa J (P, S). Joukon S Jordanin ulkosisällöksi määritellään luku c (S) := inf{j (P, S) P P[a, b]} = inf{ k I (x k x k 1 ) P P[a, b]}. Joukon S sanotaan olevan Jordan-mitalliseksi, jos c (S) = c (S). Tätä yhteistä arvoa kutsutaan Jordanin sisällöksi, ja merkitään c(s). Huomautus 1.30. Joukon S Jordanin sisä- ja ulkosisällölle on aina voimassa 0 c (S) c (S). Lisäksi, jos joukko S on äärellinen joukko, niin tällöin c (S) = c (S) = 0. Jos joukolla S ei ole sisäpisteitä, niin c (S) = 0, koska J (P, S) = 0. Välin [a, b] pituus on b a, joka on myös välin [a, b] sisältö, toisin sanoen c ([a, b]) = c ([a, b]) = b a. Kun välin [a, b] jakoa hienonnetaan, joukon S [a, b] sisäsisältö kasvaa ja ulkosisältö pienenee. Kun jaon P osavälille [x i 1, x i ] lisätään yksi jakopiste x lisää, saadaan

1.3. JORDANIN SISÄLTÖ RAJOITETULLA VÄLILLÄ 15 osavälit [x i 1, x ] ja [x, x i ]. Jos osavälillä [x i 1, x i ] on joukon S ulko- ja reunapisteitä, ainakin toisessa hienonnuksessa syntyneistä väleistä on myös joukon S ulko- ja reunapisteitä ja kyseisen välin pituutta ei lasketa joukon S sisäsisältöön. Toisessa hienonnuksessa syntyneistä väleistä voi kuitenkin olla vain joukon S sisäpisteitä, jolloin kyseisen välin pituus lasketaan joukon S sisäsisältöön. Näin ollen jaon hienontuessa sisäsisällölle saadaan tarkempi arvio. Jos osavälillä [x i 1, x i ] on vain joukon S sisäpisteitä, niin myös hienonnuksessa syntyneissä väleissä on vain joukon S sisäpisteitä. Vastaavasti jos väli [x i 1, x i ] on hienonnettu kuten aikaisemmin, ulkosisältö voi pienentyä. Jos välillä [x i 1, x i ] on joukon S sisä- tai reunapisteitä, välin pituus lasketaan ulkosisältöön. Välin hienonnuksessa jommallakummalla välillä [x i 1, x ] tai [x, x i ] voi olla vain joukon S ulkopisteitä, jolloin kyseisen välin pituus jätetään pois ulkosisältöä laskettaessa. Näin ulkosisältö pienenee. Esimerkki 1.31. Rationaalilukujen joukolle välillä [a, b] Jordanin sisäsisältö on nolla. Vastaava pätee myös irrationaalilukujen joukolle. Kuitenkin välin [a, b] sekä rationaalilukujen että irrationaalilukujen joukoille Jordanin ulkosisältö on b a. Kummallekin joukolle on J (P, S) = b a kaikilla jaoilla P, sillä jokainen väli sisältää sekä rationaali- että irrationaalilukuja. Kumpikaan joukoista ei siis ole Jordan-mitallinen. Jordanin ulkosisällöllä on seuraavat ominaisuudet: Lause 1.32. Olkoon joukot A, B R rajoitettuja joukkoja. Tällöin Jordanin ulkosisällölle pätee seuraavaa: (1) c (A) = c (A) (2) Ulkosisältö on monotoninen: c (A) c (B), kun A B. (3) Ulkosisältö on äärellisesti subadditiivinen: c (A B) c (A) + c (B). Todistus. (1) Todistetaan väite kahdessa osassa. Todistetaan aluksi, että c (A) c (A). Olkoon A [a, b] R ja olkoon P välin [a, b] jako. Olkoon lisäksi joukkokokoelma I = {I i } N niiden välin [a, b] jaon P määrittämät osavälit, jotka sisältävät joukon A A pisteitä, missä A on joukon A reunapisteet. Koska A A ja kokoelma I on joukon A peite, niin kokoelma I peittää myös joukon A. Tällöin c (A) c (A). Todistetaan vielä, että c (A) c (A). Näytetään siis, että jos kokoelma I = {I i } N peittää joukon A, niin kokoelma I peittää joukon A. Tämä on riittävää, sillä I i = I i kaikilla i {1, 2,..., N}. Olkoon kokoelma I joukon A peite. Oletetaan, että I ei peitä joukkoa A. Tällöin on olemassa x A siten, että x / N I i. Määritelmän mukaan A = A A. Tällöin kaikilla ɛ > 0 on (x ɛ, x+ɛ) A. Koska A N I i niin (x ɛ, x+ɛ) N I i. Tällöin koska x / N I i, niin pisteen x täytyy olla jonkin joukon I i reunapiste. Koska N I i on suljettujen välien yhdiste, se sisältää kaikki reunapisteensä, joten x N I i. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Näin ollen jos A N I i, niin A N I i, joten c (A) c (A). (2) Olkoon B [a, b] R ja olkoon välin [a, b] jako P. Joukkokokoelma {I i } N on ne välin [a, b] jaon P määrittämät välit, jotka sisältävät joukon B B pisteitä. Koska A B ja kokoelma {I i } N peittää joukon B, niin kokoelma {I i } N peittää myös joukon A. Tällöin c (A) c (B).

16 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ (3) Olkoon {I i } N joukon A peite ja olkoon {J j } M j=1 joukon B peite. Nyt joukon A B peite on joukkojen peitteiden yhdiste eli {I i } N {J j } M j=1. Jordanin ulkosisällön määritelmän mukaan on N c (A) I i ɛ M ja c (B) J j ɛ 2 2. j=1 Summaamalla yhtälön molemmat puolet saadaan N M c (A) + c (B) I i + J j ɛ. Siten c (A) + c (B) c (A B) ɛ. Koska ɛ voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, olemme todistaneet väitteen c (A B) c (A) + c (B). j=1 Määritelmä 1.33. Olkoon S R. Funktio χ S : R R { 1, x S χ S (x) := 0, x / S on joukon S karakteristinen funktio. Jordanin sisä- ja ulkosisältö voidaan nyt lausua integraaleina c (S) := b a χ S (x) dx ja c (S) := kun S [a, b] ja χ S on joukon S karakteristinen funktio. eli b a χ S (x) dx, Seuraava tulos antaa hyödyllisen tavan tutkia milloin joukko on Jordan-mitallinen. Lause 1.34. Joukon S reunan ulkosisältö on joukon S ulko- ja sisäsisältöjen erotus c ( S) = c (S) c (S). Tällöin joukko S on Jordan-mitallinen jos ja vain jos c ( S) = 0. Todistus. Olkoon I kompakti väli, joka sisältää joukkojen S ja S pisteet. Tällöin kaikille välin I jaoille P on J (P, S) = J (P, S) J (P, S). Näin ollen koska c (S) J (P, S) ja c (S) J(P, S) on J (P, S) c (S) c (S) ja siten c ( S) c (S) c (S). Todistetaan käänteinen epäyhtälö. Olkoon ɛ > 0 annettu ja valitaan jako P 1 siten, että J (P 1, S) < c (S) + ɛ 2 ja valitaan jako P 2 siten, että J (P 2, S) > c (S) ɛ 2. Olkoon P = P 1 P 2. Huomautuksen 1.30 mukaan kun jakoa hienonnetaan, päästään tarkempaan arvioon joukon ulkosisällöstä eli niiden välien pituuksien summasta, jotka sisältävät joukon S S pisteitä. Jaon hienonnus vähentää joukon ulkosisältöä, siis J (P, S) J (P 1, S). Vastaavasti jaon hienonnuksella päästään tarkempaan arvioon joukon sisäsisällöstä eli niiden välien pituuksien summasta, jotka sisältyvät joukkoon S. Jaon hienonnus kasvattaa joukon sisäsisältöä, siis J (P, S) J (P 2, S). Tällöin c ( S) J (P, S) = J (P, S) J (P, S) J (P 1, S) J (P 2, S) < c (S) c (S) + ɛ.

1.3. JORDANIN SISÄLTÖ RAJOITETULLA VÄLILLÄ 17 Koska ɛ on mielivaltainen tämä tarkoittaa, että c ( S) c (S) c (S). Näin ollen c ( S) = c (S) c (S). Funktion f Riemann-integroituvuuden tutkimiseen oskillaatio ja Jordanin ulkosisältö liittyvät seuraavasti: Lause 1.35 (Jordanin ehto Riemann-integroituvuudelle). Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b]. Kullekin ɛ > 0 määritellään joukko J ɛ kuten lauseessa 1.28 J ɛ = {x [a, b] ω f (x) ɛ}. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b] jos ja vain jos c (J ɛ ) = 0 kaikilla ɛ > 0. Todistus. Todistetaan aluksi, että kun funktio on Riemann-integroituva, niin c (J ɛ ) = 0. Antiteesi: Oletetaan, että c (J ɛ ) 0 jollakin ɛ > 0 ja näytetään, että Riemannin ehto ei päde. Olkoon P = {a = x 0 < x 1 < < x n = b} välin [a, b] jako ja [x k 1, x k ] eräs sen jakoväli. Jos (x k 1, x k ) J ɛ eli jos jokin jakovälin [x k 1, x k ] sisäpiste x J ɛ, on seurauksen 1.24 mukaan ɛ ω f (x) M k (f) m k (f), missä M k (f) ja m k (f) ovat funktion f välin [x k 1, x k ] ylä- ja alaraja. Olkoon nyt I 1 niiden indeksien k {1,..., n} joukko, joille (x k 1, x k ) J ɛ ja olkoon I 2 := {1,..., n} \ I 1. Väleille [x j 1, x j ], missä j I 2, on siis (x j 1, x j ) J ɛ =, joten (x j 1, x j ) J ɛ {x j 1, x j }. Tästä seuraa, että ( ) J ɛ (x k 1, x k ) {x 0, x 1,..., x n 1, x n }. k I 1 Lauseen 1.32 mukaan ulkosisältö on monotoninen eli c (A) c (A {x}) ja ulkosisältö on äärellisesti subadditiivinen eli c (A {x}) c (A) + c ({x}) = c (A). Näin ollen joukon A Jordanin ulkosisällölle on c (A {x}) = c (A) kaikille pisteille x. Induktiolla saadaan c (A {x 0, x 1,..., x n }) = c (A). Edellä olleen inkluusion, lauseen 1.32 ja huomautuksen 1.30 nojalla saadaan (( ) ) c (J ɛ ) c (x k 1, x k ) {x 0, x 1,..., x n 1, x n } k I 1 Nyt Darboux n ylä- ja alasummille on k I 1 c ( (x k 1, x k ) ) = k I 1 (x k x k 1 ). U(f; P ) L(f; P ) = k I 1 ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) + k I 2 ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) k I 1 ( Mk (f) m k (f) ) (x k x k 1 ) k I 1 ɛ(x k x k 1 ) ɛ c (J ɛ ). Näin ollen Riemannin ehto ei päde. Siten funktio f on Riemann-integroituva, kun c (J ɛ ) = 0.

18 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Oletetaan nyt, että funktio f on rajoitettu ja kaikilla ɛ > 0 joukon J ɛ ulkomitta on nolla. Näytetään, että Riemannin ehto pätee. Koska funktio f on rajoitettu, voidaan valita luku M siten, että f(x) M kaikilla x [a, b]. Olkoon P välin [a, b] jako siten, että niiden osavälien pituuksien summa, jotka sisältävät joukon J ɛ/2(b a), on pienempi kuin luku ɛ. Olkoon nämä osavälit {I 4M 1, I 2,..., I k } ja merkitään loppuja jaon P osavälejä {J 1, J 2,..., J l }. Nyt koska kukin joukon J j pisteistä ei kuulu joukkoon J ɛ/2(b a), on ω f (J j ) < ɛ, kun j = 1,..., l. Tällöin seurauksen 1.24 nojalla 2(b a) on k ( U(f; P ) L(f; P ) = Mi (f) m i (f) ) l ( I i + Mj (f) m j (f) ) J j = k ω f (I i ) I i + j=1 l ω f (J j ) J j j=1 < 2M ɛ 4M + ɛ (b a) = ɛ, 2(b a) missä I i on välin I i pituus. Lauseen1.13 mukaan funktio f on Riemann-integroituva. 1.4. Lebesguen ulkomitta välillä Lauseessa 1.17 on todistettu, että jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemannintegroituva. Tunnettaessa tämä tulos, voidaan miettiä kuinka paljon funktiolla saa olla epäjatkuvuuspisteitä ollakseen Riemann-integroituva. Tässä kappaleessa käydään läpi Lebesguen ulkomitan määritelmä ja siihen liittyviä lauseita sekä Lebesguen ehto Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktion on Riemann-integroituva jos ja vain jos epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen. Määritellään aluksi Lebesguen ulkomitta. Määritelmä 1.36. Olkoon S R avointen välien ja tyhjäjoukon muodostama joukko. Numeroituva kokoelma (I 1, I 2,...) avoimia välejä, jotka peittävät joukon S, toisin sanoen S k=1 I k, on joukon S Lebesguen peite. Olkoon lisäksi I k on välin I k pituus. Lukua m (S) := inf{ I k (I 1, I 2,...) on joukon S Lebesguen peite} k=1 kutsutaan joukon S Lebesguen ulkomitaksi. Huomautus 1.37. Kun joukko S [a, b] on rajoitettu, niin 0 m (S) b a. Jos m (S) = 0, niin joukko S voidaan päätellä nollamittaiseksi. Ehdon m (S) = 0 ja edellisen määritelmän mukaan joukon S peittää numeroituva kokoelma avoimia välejä I k ja näille väleille pätee inf{ k=1 I k } = 0, joten määritelmän 1.15 mukaan joukko S on nollamittainen. Päinvastoin jos joukko S on nollamittainen, voidaan päätellä, että m (S) = 0. Nollamittaiselle joukolle ja jokaiselle ɛ > 0 on olemassa kompaktit välit (I k ) k N siten, että S I k ja I k < ɛ. k N k N

1.4. LEBESGUEN ULKOMITTA VÄLILLÄ 19 Tällöin m (S) = inf{ k=1 I k } < ɛ. Koska ɛ voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, on m (S) = 0. Jos m (S) =, niin k=1 I k = kaikilla joukon S peitteillä {I 1, I 2,...}. Lause 1.38. Lebesguen ulkomitalle m pätee: (1) m ( ) = 0 (2) monotonisuus: Jos A B R, niin m (A) m (B). (3) subadditiivisuus: Jos A 1, A 2... R, niin ( ) m A k k=1 m (A k ). k=1 Todistus. (1) Koska tyhjän joukon pituus on 0, on m ( ) = 0. (2) Monotonisuus seuraa infimumin ominaisuuksista. (3) Olkoot A 1, A 2,... R. Voidaan selvästi olettaa, että m (A j ) < kaikilla j = 1, 2,.... Olkoon ɛ > 0. Valitaan avoimet välit I k,j siten, että A j I k,j j=1 k=1 ja I k,j m (A j ) + ɛ 2. j Tällöin A j I k,j = I k,j, j=1 j=1 j=1 k=1 j,k=1 mikä on numeroituva yhdiste, joten ( ) m A j I k,j = I k,j j,k=1 j=1 k=1 ( m (A j ) + ɛ ) = m (A 2 j j ) + ɛ. j=1 j=1 Huomautus 1.39. (1) Lauseen 1.38 ominaisuus (3) ei päde Jordanin ulkosisällölle. Olkoon A = Q [0, 1]. Koska Q on tiheä välillä [0, 1], niin c (A) = c ([0, 1]) = 1. Kuitenkin kaikilla rationaalipisteillä q j Q [0, 1] on c ({q j }) = 0, joka tarkoittaa, että j=1 c ({q j }) = 0. (2) Jordanin ulkosisältö ei ole additiivinen: voi olla c (A B) < c (A) + c (B), kun A B =. Olkoon A = Q [0, 1] ja B = [0, 1] \ Q. Nyt c (A B) = 1 < 2 = 1 + 1 = c (A) + c (B). Seuraavat kolme lausetta kuvaavat Lebesguen ulkomitan ja Jordanin ulkosisällön välistä yhteyttä. Lause 1.40. Kaikille rajoitetuille joukoille S R on voimassa m (S) c (S).

20 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Todistus. Olkoon S [a, b] ja olkoon P = {x 0,..., x n } välin [a, b] jako, joka muodostaa osavälit I 1,..., I n. Olkoon K 1 niiden indeksien k {1,..., n} joukko, joille väli I k = [x k 1, x k ] sisältää joukon S S pisteitä. Tällöin J (P, S) = k K 1 I k. Jos ɛ > 0 on annettu, niin avoimet välit B k = (x k 1 ɛ, x 2m k + ɛ ), missä m on joukon 2m K 1 alkioiden lukumäärä, muodostavat joukon S Lebesguen peitteen, jolle B k = J (P, S) + ɛ. k K 1 Näin ollen m (S) J (P, S) + ɛ eli m (S) ɛ J (P, S) kaikille jaoille P. Tällöin m (S) ɛ c (S). Koska ɛ on mielivaltaisen pieni, on m (S) c (S). Lause 1.41. Olkoon B R rajoitettu joukko ja olkoon A B kompakti joukko. Tällöin c (A) m (B). Todistus. Oletetaan, että B [a, b] ja olkoon ɛ > 0 annettu. Tällöin on olemassa kokoelma {I i }, joka peittää joukon B siten, että I i < m (B) + ɛ. Koska A B, kokoelma {I i } on avoin peite joukolle A. Lisäksi koska A on kompakti joukko, jo äärellinen määrä näitä välejä peittää joukon A. Merkitään tätä joukkoa {J l } n l=1. Näiden välien päätepisteet määrittelevät jaon P välille [a, b], josta saadaan n c (A) J (P, A) J l I i < m (B) + ɛ. Koska ɛ on mielivaltainen, tämä tarkoittaa, että c (A) m (B). Kaksi edellistä lausetta yhdistämällä saadaan seuraava tulos: l=1 Lause 1.42. Jos S R on kompakti joukko, niin c (S) = m (S). Todistus. Tulos seuraa suoraan lauseista 1.40 ja 1.41. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen. Tämän ehdon idea löytyy Riemannin ehdosta. Riemannin ehdon mukaan funktion Darboux n ylä- ja alasummien erotus pitää olla tarpeeksi pieni. Välillä, jossa funktio on jatkuva, kyseinen erotus on mielivaltaisen pieni ja Riemannin ehto pätee. Funktion epäjatkuvuuspisteissä erotus voisi kasvaa liian suureksi sillä funktio ylä- ja alarajan erotus M i (f) m i (f) voi olla hyvinkin suuri. Jotta näillä väleillä, jossa funktio on epäjatkuva, Darboux n ylä- ja alasummien erotus olisi pieni, on kyseisten välien pituuksien summan oltava mielivaltaisen pieni. Lause 1.43 (Lebesguen ehto Riemann-integroituvuudelle). Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio ja olkoon funktion f välillä [a, b] epäjatkuvuuspisteiden joukko D = {x [a, b] f epäjatkuva pisteessä x} = {x [a, b] ω f (x) > 0}. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva jos ja vain jos joukon D Lebesguen ulkomitta on nolla eli m (D) = 0.

1.4. LEBESGUEN ULKOMITTA VÄLILLÄ 21 Todistus. Lause voitaisiin todistaa joko Riemannin ehdon avulla tai käyttäen lausetta 1.35 Jordanin kriteeristä Riemann-integroituvuudelle. Todistetaan lause tässä käyttäen apuna lausetta 1.35, sillä todistus on huomattavasti lyhempi ja johdonmukaisempi. Katso lauseen todistus Riemannin ehdon avulla [8, s. 353-354]. Oletetaan, että funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja olkoon J ɛ = {x [a, b] ω f (x) ɛ} määritelty kuten aikaisemmin. Lauseen 1.35 mukaan c (J ɛ ) = 0 kaikille ɛ > 0. Erityisesti tämä pätee, kun ɛ = 1, n Z n +. Nyt jos x D, niin ω f (x) 0. Joukko J 1 on rajoitettu ja n lauseen 1.28 mukaan suljettu, joten se on kompakti joukko. Koska c (J 1 ) = 0 ja koska n J 1 on kompakti joukko, lauseen 1.42 mukaan kyseisen joukon Lebesguen ulkomitta n on myös nolla eli m (J 1 ) = 0. Lebesguen ulkomitan subadditiivisuuden perusteella n m (D) = 0. Oletetaan, että m (D) = 0 ja näytetään, että funktio on Riemann-integroituva. Oletuksen perusteella m (J 1 ) = 0 ja joukon J 1 kompaktiuden takia myös Jordanin n n ulkosisältö on nolla eli c (J 1 ) = 0. Valitaan ɛ > 0 ja olkoon joukko J ɛ kuten edellä. n Joukko J ɛ on kompakti ja J ɛ D. Näin ollen lauseen 1.41 mukaan c (J ɛ ) m (D) = 0, joten c (J ɛ ) = 0. Näin ollen lauseen 1.35 mukaan funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b]. ja siten ω f (x) > 1 n jollakin n Z +. Siten D n=1 J 1 n Lauseen 1.17 mukaan numeroituva joukko on nollamittainen. Edellisen lauseen nojalla funktiolla voi siis olla ainakin numeroituva määrä epäjatkuvuuspisteitä ollakseen Riemann-integroituva. Seuraavat esimerkit auttavat näkemään, miten Lebesguen ehtoa funktion Riemann-integroituvuudelle voidaan hyödyntää. Esimerkki 1.44. Dirichlet n funktio f D : [0, 1] R, { 1, x Q [0, 1] f D (x) = 0, x [0, 1] \ Q ei ole Riemann-integroituva, sillä epäjatkuvuuspisteiden joukko D = [0, 1] ei ole nollamittainen. Funktion integroituvuus voidaan päätellä myös lauseen 1.35 mukaan. Funktion f D jokaiselle pisteelle x [0, 1] on ω fd (x) ɛ, kun 0 < ɛ < 1, sillä jokainen välin [0, 1] osaväli sisältää sekä irrationaali- että rationaalipisteitä (vertaa esimerkkiin 1.31). Näin ollen joukon J ɛ = {x [0, 1] ω fd (x) ɛ} = [0, 1] ulkosisällölle on c (J ɛ ) = 1 0, joten funktio ei ole lauseen 1.35 mukaan Riemann-integroituva. Esimerkki 1.45. Thomaen funktio T : [0, 1] R 1, kun x [0, 1], x = p, p, q Z q q +, p on supistetussa muodossa q T (x) = 0, x [0, 1] \ Q 1, x = 0 on Riemann-integroituva välillä [0, 1]. Todistus. Thomaen funktio on jatkuva jokaisessa irrationaalipisteessä ja epäjatkuva kaikissa rationaalipisteissä. Todistetaan aluksi, että funktio on jatkuva jokaisessa välin [0, 1] irrationaalipisteessä.

22 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ Kuva 1.2. Thomaen funktion kuvaaja Olkoon x [0, 1]\Q, jolloin T (x) = 0. Olkoon ɛ > 0 ja valitaan q 0 Z + siten, että 1 q 0 < ɛ. Kun q q 0 pätee T ( p ) = 1 1 q q q 0. Määritellään R q0 := { p q Z q +, q q 0, p {0,..., q}}, joka on äärellinen joukko. Olkoon x [0, 1] \ Q ja x / R q0. Määritellään vielä δ := min{ x r r R q0 } > 0. Kun x x < δ niin { T (x 0, x / Q ) = 1., missä x = p ja q > q q q 0 Tällöin siis T (x ) T (x) = T (x ) =< ɛ oli x irrationaali- tai rationaaliluku. Todistetaan seuraavaksi, että funktio on epäjatkuva jokaisessa välin [0, 1] rationaalipisteessä. Olkoon x = p, missä p, q N ja p on supistetussa muodossa. Tällöin q q T (x) = 1. Luku r q k = x+ 1 k on irrationaalinen ja r 2 k x = 1 k ja T (r 2 k) = 0. Olkoon ɛ = 1. Riippumatta siitä kuinka pieni luku δ on, löytyy rationaaliluku r 2q k siten, että r k x < δ, jolle T (r k ) = 0 ja siten T (r k ) T (x) = 1 > 1. Näin ollen Thomaen q 2q funktio ei ole jatkuva missään rationaalipisteessä. Koska rationaalilukujen joukko välillä [0, 1] on numeroituva joukko, se on seurauksen 1.17 mukaan nollamittainen. Näin ollen funktion T epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, joten lauseen 1.43 mukaan funktio T on Riemann-integroituva välillä [0, 1]. Esimerkki 1.46. Cantorin 1 3 -joukko muodostetaan vaiheittain poistamalla välin keskeltä avoimia kolmanneksia. Ensimmäisessä vaiheessa välin [0, 1] keskeltä poistetaan avoin väli ( 1 3, 2 3 ), jonka pituus on siis 1/3. Jäljelle jää kaksi suljettua väliä [0, 1 3 ] ja [ 2 3, 1] merkitään näiden välien yhdistettä C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1].

1.4. LEBESGUEN ULKOMITTA VÄLILLÄ 23 Seuraavaksi näille kahdelle muodostuneelle välille tehdään samoin kuin välille [0, 1] eli välien keskimmäiset kolmannekset poistetaan. Poistettavat välit ovat siis ( 1, 2) ja 9 9 ( 7, 8), joiden pituus on 1/9 = 9 9 1/32. Joukko C 2 on siis jäljelle jääneiden välien yhdiste C 2 = [0, 1] [ 2, 1] [ 2, 7] [ 8, 1]. Kun näin jatketaan loputtomasti, jäljelle jäävät 9 9 3 3 9 9 pisteet muodostavat Cantorin joukon. Kuva 1.3. Cantorin joukon muodostamisen ensimmäiset vaiheet. Kuten aluksi näyttäisi, joukko ei koostu pelkästään poistettujen välien päätepisteistä, joita on numeroituva määrä. Yleisesti Cantorin joukkoon C kuuluvat kaikkien sen muodostamisessa syntyneiden joukkojen C i leikkauksen pisteet eli C = i=0 C i. Koska C C i kaikille i Z + ja joukon C i osavälien pituus 1/3 i 0, kun i, niin joukko C ei sisällä avointa väliä. Cantorin joukolla ei siis ole yhtään sisäpistettä. Poistettujen välien yhteenlaskettu pituus saadaan laskettua geometrisena summana 2 n 3 = 1 n+1 3 + 2 9 + = 1 ( ) 1 3 1 2 = 1, n=0 3 jossa 1 on ensimmäisessä vaiheessa poistetun välin pituus, 2 toisessa vaiheessa poistettujen janojen yhteispituus jne. Jos poistettujen välien pituus vähennetään välin 3 9 [0, 1] pituudesta, saadaan selville Cantorin joukon ulkomitta: m (C) = 1 1 = 0. Itseasiassa Cantorin joukko on ylinumeroituva joukko, jonka todistus löytyy [3, s. 64-65]. Määritellään nyt funktio f : [0, 1] R { 1, x C f = 0, x [0, 1] \ C. Tällöin funktion f epäjatkuvuuspisteet ovat Cantorin joukon pisteet joita on ylinumeroituva määrä. Koska Cantorin joukon ulkomitta on nolla on funktio f lauseen 1.43 mukaan Riemann-integroituva välillä [0, 1]. 1.4.1. Riemannin integraalin ominaisuuksia. Seuraava lause on suora seuraus lauseesta 1.14, jossa lauseen osat on todistettu käyttäen apuna Riemannin ehtoa. Seuraava lause on todistettu käyttäen Lebesguen ehtoa. Lause 1.47. (1) Jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. (2) Monotoninen funktio f : [a, b] R on Riemann- integroituva (3) Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin funktio f on Riemannintegroituva välillä [c, d], kun [c, d] [a, b]. (4) Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin f ja f 2 on Riemannintegroituvia funktioita välillä [a, b].

24 1. RIEMANNIN INTEGRAALI VÄLILLÄ (5) Jos f ja g ovat Riemann-integroituvia funktioita välillä [a, b], niin funktio f g on Riemann-integroituva. (6) Jos funktio g on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja inf{ g(x) x [a, b]} > 0, niin funktio 1 on Riemann-integroituva välillä [a, b]. g (7) Jos f ja g ovat rajoitettuja funktioita välillä [a, b] ja joilla on samat epäjatkuvuuspisteet, niin f on Riemann-integroituva funktio välillä [a, b] jos ja vain jos g on Riemann-integroituva funktio välillä [a, b]. (8) Olkoon g Riemann-integroituva funktio välillä [a, b] ja oletetaan, että m g(x) M kaikilla x [a, b]. Jos f on jatkuva välillä [m, M], yhdistetty funktio h = f g on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistus. (1) Jatkuvan funktion f epäjatkuvuuspisteiden joukko on tyhjäjoukko, joten lauseen 1.38 kohdan (1) mukaan m ( ) = 0. Näin ollen lauseen 1.43 mukaan funktio on Riemann-integroituva. (2) Funktio on monotoninen, jos sen arvot joko kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan. Kasvavalla tai vähenevällä funktiolla f voi olla enintään numeroituva määrä epäjatkuvuuspisteitä, joten funktion f epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen lauseen 1.17 nojalla. Näin ollen lauseen 1.43 mukaan funktio on Riemann-integroituva. (3) Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin lauseen 1.43 mukaan sen epäjatkuvuuspisteiden joukko D f,[a,b] on nollamittainen. Funktion f epäjatkuvuuspisteet välillä [c, d], kun [c, d] [a, b], ovat funktion f välillä [a, b] epäjatkuvuuspisteiden osajoukko, toisin sanoen D f,[c,d] D f,[a,b], joten lauseen 1.16 kohdan (1) mukaan joukko D f,[c,d] on nollamittainen. Näin ollen lauseen 1.43 mukaan funktio f välillä [c, d] on Riemann-integroituva. (4) Funktion f epäjatkuvuuspisteet ovat funktion f epäjatkuvuuspisteiden osajoukko, siis D f D f. Koska funktio f on Riemann-integroituva, sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, joten lauseen 1.16 kohdan (1) mukaan joukko D f on nollamittainen. Näin ollen lauseen 1.43 mukaan funktio f on Riemann-integroituva. Funktion f 2 epäjatkuvuuspisteet ovat funktion f epäjatkuvuuspisteiden osajoukko, toisin sanoen D f 2 D f. Koska funktio f on Riemann-integroituva, sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, joten lauseen 1.16 kohdan (1) mukaan joukko D f 2 on nollamittainen, joten funktio f 2 on Riemannintegroituva. (5) Funktion f g epäjatkuvuuspisteet ovat funktioiden f ja g epäjatkuvuuspisteiden joukkojen yhdisteen osajoukko, eli D fg (D f D g ). Koska funktiot f ja g ovat Riemann-integroituvia, niiden epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen, joten lauseen 1.16 kohdan (2) nojalla joukko D fg on nollamittainen ja lauseen 1.43 mukaan funktio f g on Riemann-integroituva. (6) Funktion 1/g epäjatkuvuuspisteet ovat funktion g epäjatkuvuuspisteiden joukon osajoukko, eli D 1/g D g. Koska funktio g on Riemann-integroituvia, on sen epäjatkuvuuspisteiden joukko nollamittainen, joten lauseen 1.16 kohdan (1) mukaan joukko D 1/g on nollamittainen. Näin ollen funktio 1/g on Riemann-integroituva.

1.4. LEBESGUEN ULKOMITTA VÄLILLÄ 25 (7) Jos f on Riemann-integroituva funktio välillä [a, b], sen epäjatkuvuuspisteiden joukko D f on nollamittainen. Koska funktioilla f ja g on samat epäjatkuvuuspisteet, on funktion g epäjatkuvuuspisteiden joukko D g nollamittainen, joten funktio g on myös Riemann-integroituva. Jos oletetaan, että g on Riemann-integroituva funktio välillä [a, b], niin todistus menee aivan vastaavalla tavalla. (8) Jos funktio g on jatkuva pisteessä x [a, b], myös yhdistetty funktio f g on jatkuva kyseisessä pisteessä, sillä funktio f on jatkuva välillä [m, M] ja m g(x) M. Jos siis x on yhdistetyn funktion f g epäjatkuvuuspiste, se on funktion g epäjatkuvuuspiste. Tämä tarkoittaa, että D f g D g. Koska funktio g ovat Riemann-integroituva, sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on nollamittainen. Tällöin lauseen 1.16 kohdan (1) mukaan joukko D f g on nollamittainen ja siten lauseen 1.43 mukaan yhdistetty funktio f g on Riemann-integroituva. Huomautus 1.48. Lauseen 1.47 kohdat (1), (2), (4), (5) ja (6) on todistettu jo aikaisemmin lauseessa 1.14 käyttäen apuna Riemannin ehtoa. Lebesguen ehdon avulla todistukset yksinkertaistuvat huomattavasti.

LUKU 2 Riemannin integraali tasossa Riemannin integraali b f(x) dx voidaan yleistää korvaamalla yksiulotteinen väli a n-ulotteisella alueella, jossa funktio f on määritelty ja rajoitettu. Avaruudessa R n yksinkertaisin integroitava alue on n-ulotteinen väli. Esimerkiksi tasossa yksinkertaisin alue on suorakaiteen I muotoinen alue, joka jaetaan osasuorakaiteisiin I k. Integraalin/alueen alan tarkastelussa tarkastellaan Darboux n yläsummaa k M k(f) I k ja alasummaa k m k(f) I k, missä I k tarkoittaa osasuorakaiteen I k pinta-alaa, M k (f) funktion pienintä ylärajaa välillä I k ja m k (f) funktion suurinta alarajaa välillä I k. Kolmiulotteisessa avaruudessa R 3 yksinkertaisin tapaus olisi suorakulmainen suuntaissärmiö S, joka jaettaisiin pienempiin suuntaissärmiöihin S k. Alueen tilavuuden tarkastelussa tarkasteltaisiin summia k M k(f) S k ja k m k(f) S k, missä S k tarkoittaa suuntaissärmiön S k tilavuutta, M k (f) funktion pienintä ylärajaa välillä S k ja m k (f) funktion suurinta alarajaa välillä S k. Samalla tavalla voitaisiin laskea integraali avaruudessa R n. Kaksiulotteisessa avaruudessa puhutaan kaksiulotteisesta integraalista tai kaksinkertaisesta integraalista, vastaavasti kolmiulotteisessa avaruudessa integraali nimettäisiin kolminkertaiseksi integraaliksi ja edelleen n-ulotteisessa avaruudessa n-kertaiseksi integraaliksi. Tässä tutkielmassa keskitytään kuitenkin vain kaksiulotteisen integraalin tarkasteluun. Kuten ensimmäisessä luvussa, käytetään lyhyyden vuoksi funktion pienimmästä ylärajasta vain nimitystä funktion yläraja ja vastaavasti suurimmasta alarajasta nimitystä funktion alaraja. 2.1. Rajoitetun funktion Riemannin integraali tasossa Olkoon A 1, A 2 R yksiulotteisia välejä, missä A k, k = 1, 2 voi olla rajoitettu, rajoittamaton, avoin, suljettu tai puoliavoin väli. Kaksiulotteinen väli A R 2 on A = A 1 A 2 = {(x 1, x 2 ) x 1 A 1, x 2 A 2 }. Jos kumpikin väleistä A 1 ja A 2 ovat avoimia, suljettuja tai rajoitettuja, myös kaksiulotteisella välillä A on vastaava ominaisuus. Jos A 1 ja A 2 ovat rajoitettuja, välin A pinta-ala on A = A 1 A 2, missä A k, k = 1, 2 on välin A k pituus. Kaksi väliä on oleellisesti pistevieraita, jos niillä ei ole yhteisiä sisäpisteitä. Yhteisiä reunapisteitä joukoilla voi olla. Joukon S = I 1 I 2 I r pinta-ala on S = I 1 + + I r. Tästä seuraa, että kahden oleellisesti pistevieraan joukon T ja L yhdisteen pinta-ala on T L = T + L. Ainoa olennainen ero yksi- ja kaksiulotteisissa integraaleissa on se, että osavälien [x k 1, x k ] pituus täytyy korvata kaksiulotteisen välin pinta-alalla. Muuten lauseet ja 27

28 2. RIEMANNIN INTEGRAALI TASOSSA niiden todistukset menevät vastaavasti kuin yksiulotteisessa tilanteessa, joten suurin osa tämän luvun todistuksista on jätetty todistamatta. Reaaliakselin välin [a, b] jako määriteltiin aikaisemmin. Välin [a, b] R jako on joukko P = {x 0, x 1,..., x n } siten, että a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Jako P muodostaa siis välille [a, b] osavälit I 1,... I n siten, että I 1 = [x 0, x 1 ],..., I n = [x n 1, x n ]. Tasossa välin [a, b] jako ja jaon hienonnus määritellään seuraavasti. Määritelmä 2.1. Olkoot a = (a 1, a 2 ) ja b = (b 1, b 2 ) ja [a, b] = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] R 2 kompakti väli. Välin [a, b] jako P on karteesinen tulojoukko P := P 1 P 2, missä P 1 jakaa välin [a 1, b 1 ] m 1 osaväliin ja P 2 jakaa välin [a 2, b 2 ] m 2 osaväliin. Tällöin jako P jakaa välin [a, b] m 1 m 2 kappaleeseen kompakteja osavälejä I k, missä k = (k 1, k 2 ), k 1 {1, 2,..., m 1 } ja k 2 {1, 2,..., m 2 }. Väli [a, b] voidaan siis ilmaista osavälien I k avulla seuraavasti: [a, b] = I k = I (k1,k 2 ) k k 1 =1 k 2 =1 Välin [a, b] jaon P sanotaan olevan hienompi kuin jako P, jos P P. Kaikkia mahdollisia jakoja välille [a, b] merkitään P[a, b]. m 1 m 2 Kuva 2.1. Välin [a, b] jako, missä m 1 = 4 ja m 2 = 5. Kuva 2.2. Välien [a 1, b 1 ] ja [a 2, b 2 ] hienonnus.

2.1. RAJOITETUN FUNKTION RIEMANNIN INTEGRAALI TASOSSA 29 Kuvassa 2.2 on havainnollistettu kaksiulotteisen välin jaon hienonnusta. Välin [a 1, b 1 ] jaon hienonnus jakaa kaikki välin [a 2, b 2 ] osavälit, jotka kuuluvat osavälille I (n,k2 ), missä n on se välin [a 1, b 1 ] alkuperäisen jaon osaväli, johon uusi jakopiste tulee ja k 2 {1,..., m 2 } on välin [a 2, b 2 ] jakopisteet. Vastaavasti välin [a 2, b 2 ] jaon hienonnus jakaa vaakasuorassa kaikki välin [a 1, b 1 ] jaon muodostamat osavälit, jotka kuuluvat välin [a 2, b 2 ] osavälille, johon uusi jakopiste tulee. Määritellään seuraavaksi tason joukon I ylä- ja alaraja jaon P muodostamalla osavälillä I k, Darboux n ylä- ja alasummat sekä Riemannin ylä- ja alaintegraalit. Määritelmä 2.2. Olkoon f määritelty, rajoitettu kompaktilla välillä I R 2 ja olkoon välin I jako P = {I 1,..., I n }. Olkoon lisäksi ja M k (f) := sup{f(x k, y k ) (x k, y k ) I k } m k (f) := inf{f(x k, y k ) (x k, y k ) I k }. Funktion f Darboux n ylä- ja alasummat määritellään n U(f; P ) := M k (f) I k ja L(f; P ) := k=1 n m k (f) I k, missä I k on välin I k pinta-ala. Rajoitetun funktion f Riemannin ylä- ja alaintegraalit välillä I määritellään seuraavasti f d(x, y) := inf{u(f; P ) P P(I)} ja I I k=1 f d(x, y) := sup{l(f; P ) P P(I)}, missä P(I) on välin I kaikki mahdolliset jaot. Lisäksi funktio f on Riemann-integroituva välillä I R 2, kun f d(x, y) = f d(x, y). I Huomautus 2.3. Kun Riemannin ylä- ja alaintegraalit ovat yhtä suuret kaksiulotteista integraalia voidaan merkitä f dx, f(x) dx f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 tai f(x 1, x 2 ) d(x 1, x 2 ). I I I Kaksiulotteista integraalia voidaan myös merkitä käyttäen kahta integraalimerkkiä peräkkäin f(x, y) dx dy. I Lause 2.4 (Riemannin ehto). Olkoon f : I R rajoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva välillä I R 2 jos ja vain jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa välin I jako P siten, että U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. I I

30 2. RIEMANNIN INTEGRAALI TASOSSA Todistus. Merkitään U(f) = inf{u(f; P ) P P(I)} ja L(f) = sup{l(f; P ) P P(I)}, missä P(I) on välin I kaikki mahdolliset jaot. Oletetaan, että funktio f on rajoitettu välillä I ja U(f; P ) L(f; P ) < ɛ ja näytetään, että funktio on Riemann-integroituva. Olkoon ɛ > 0 ja valitaan jako P siten, että se täyttää ehdon U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Tällöin, koska U(f) U(f; P ) ja L(f; P ) L(f) on 0 U(f) L(f) U(f; P ) L(f; P ) < ɛ. Koska tämä pätee kaikille ɛ > 0, on oltava U(f) L(f) = 0. Tämä tarkoittaa määritelmän 2.2 merkinnöin I f(x) dx = L(f) = U(f) = I f(x) dx, joten funktio f on Riemann-integroituva. Oletetaan nyt, että funktio f on Riemann-integroituva ja rajoitettu välillä I. Integroituvalle funktiolle on olemassa jako P jolle U(f; P ) f(x) dx < ɛ ja f(x) dx L(f; P ) < ɛ 2 2. I Summaamalla epäyhtälöiden molemmat puolet saadaan Riemannin ehto täyttymään. I Esimerkki 2.5. (1) Olkoon f : [0, 1] [0, 1] R, missä { 1, y Q f(x, y) = 0, muutoin. Olkoon välin I = [0, 1] [0, 1] jako P, joka jakaa välin I osaväleihin I k, missä k = (k 1, k 2 ). Merkitään inf f(x, y) = inf f(i k ), kun (x, y) I k ja sup f(x, y) = sup f(i k ), kun (x, y) I k. Tällöin L(f; P ) = k inf f(i k ) I k = 0 ja U(f; P ) = k sup f(i k ) I k = k I k = 1, I I joten f dx = 0 < 1 = f dx. Näin ollen funktio f ei ole Riemannintegroituva välillä I. (2) Olkoon f : [0, 1] [0, 1] R f = x 2 y 2. Olkoon P k = {0, 1, 2,..., k 1, 1} k k k ja P = P k P k. Merkitään I = [0, 1] [0, 1] ja I (i,j) = [ i 1, i ] [ j 1, j ]. k k k k Merkitään lisäksi inf f(x, y) = inf f(i (i,j) ), kun (x, y) I (i,j) ja sup f(x, y) =

2.2. FUNKTION OSKILLAATIO 31 sup f(i (i,j) ), kun (x, y) I (i,j). Koska sup f(i (i,j) ) = f( i, j ) = i2 j 2, niin k k U(f; P ) = Nyt lim x 0 1 36 k k sup f(i (i,j) ) I (i,j) = j=1 = 1 ( k i 2( k j 2)) k 6 j=1 k k j=1 i 2 j 2 k 4 1 k 2 = 1 k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1) k6 6 6 = (k + 1)2 (2k + 1) 2 ( 1 + 1 k = 1 36k 4 36 ) 2 = 4 = 1. 36 9 ) 2 ( 2 + 1 k Toisaalta inf f(i (i,j) ) = f( i 1 k, j 1 L(f; P ) = k ( 1 + 1 k ) 2 ( 2 + 1 k ) = (i 1)2 (j 1) 2, joten k k 4 k k k inf f(i (i,j) ) I (i,j) = j=1 = 1 k 6 k j=1 k (i 1) 2 (j 1) 2 = 1 k 1 k 1 m 2 l 2 k 6 j=1 ) 2 ) 2. k 4 (i 1) 2 (j 1) 2 k 4 1 k 2 m=1 l=1 = 1 ( (k 1)k(2k 1) k 6 6 = 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2. 1 2 36 k k ( ) 1 Nyt lim x 0 36 1 1 2 ( ) k 2 1 2 k = 1. 9 Koska L(f; P ) f dx f dx U(f; P ) ja L(f; P ) = U(f; P ) on I f dx = I f dx = 1 9. I I I f dx ja funktio f on Riemann-integroituva funktio välillä I ja 2.2. Funktion oskillaatio Funktion oskillaatio kaksiulotteisessa tapauksessa määritellään oleellisesti samoilla kaavoilla kuin yksiulotteisessa tapauksessa. Kaksiulotteisessa tapauksessa yksiulotteisen välin sijaan tutkitaan joukkoa T tason R 2 välin [a, b] = [a 2, b 2 ] [a 2, b 2 ] osajoukkona. Joukot I(x, δ) voidaan tulkitaan pisteen x ympäristöiksi, jotka voivat olla esimerkiksi ympyröitä tai neliöitä. Käydään seuraavassa määritelmässä läpi kaksiulotteisen tapauksen oskillaation määritelmä. Määritelmä 2.6. Olkoon f määritelty ja rajoitettu suljetulla välillä T R 2. Tällöin lukua ω f (T ) := sup{f(y) f(z) y, z T } kutsutaan funktion f oskillaatioksi joukossa T.

32 2. RIEMANNIN INTEGRAALI TASOSSA Jos x T, funktion f oskillaatio pisteessä x määritellään ( ) ω f (x) := inf{ω f I(x, δ) δ > 0} = lim ω ( ) f I(x, δ), δ 0+ missä I(x, δ) := [x δ, x + δ] 2 T. Lause 2.7. Olkoon f määritelty ja rajoitettu suljetulla välillä T R 2. Tällöin f on jatkuva pisteessä x T jos ja vain jos ω f (x) = 0. Todistus. Katso lauseen 1.27 todistus. Lause 2.8. Olkoon f määritelty ja rajoitettu välillä [a, b] R 2 ja olkoon ɛ > 0 annettu. Jos ω f (x) < ɛ kaikilla x [a, b], niin on olemassa δ > 0 (riippuu vain luvusta ɛ) siten, että kaikilla suljetuilla osaväleillä T [a, b] on ω f (T ) < ɛ, kun joukon T halkaisija on pienempi kuin luku δ, siis sup{ z y z, y T } < δ. Todistus. Katso lauseen 1.26 todistus. 2.3. Jordanin sisältö tason rajoitetussa joukossa Tähän asti olemme määritelleet kaksiulotteisen integraalin ainoastaan kaksiulotteiselle välille I, joka on hyvin paljon integroinnin sovelluksia rajoittavaa. Tässä kappaleessa laajennetaan integraalin määritelmää käsittämään yleisempiä kaksiulotteisia Jordan-mitallisia joukkoja. Määritelmä 2.9. Olkoon S I R 2 kompaktin välin I osajoukko. Kaikille välin [a, b] jaoille P määritellään J (P, S), joka on niiden välin [a, b] jaon P muodostamien osavälien pinta-alojen summa, jotka sisältävät vain joukon S sisäpisteitä. Vastaavasti määritellään J (P, S), joka on niiden jaon P muodostamien osavälien pinta-alojen summa, jotka sisältävät joukon S S pisteitä. Tällöin joukon S Jordanin sisäsisältö on c (S) := sup{j (P, S) P P[a, b]}. Vastaavasti joukon S Jordanin ulkosisältö on c (S) := inf{j (P, S) P P[a, b]}. Joukon S sanotaan olevan Jordan-mitallinen, jos c (S) = c (S). Tätä yhteistä arvoa sanotaan joukon S Jordanin sisällöksi ja merkitään c(s). Huomautus 2.10. Jordan-mitalliselle joukolle S R 2 joukon sisältö c(s) on joukon S pinta-ala. Summat J (P, S) ja J (P, S) approksimoivat joukon S alaa sisältäpäin ja ulkoapäin. Tätä on havainnollistettu kuvassa 2.3. On helppo nähdä, että Jordanin sisä- ja ulkosisältö riippuu vain joukosta S, ei välistä [a, b], johon joukko S sisältyy. Lisäksi 0 c (S) c (S). Äärelliselle joukolle S on c (S) = c (S) = 0. Tällöin kaikille ɛ > 0 on olemassa joukon S peite väleistä, joiden mittojen summa on pienempi kuin ɛ. Lause 2.11. Olkoon S R 2 rajoitettu joukko ja olkoon S joukon S reunajoukko. Tällöin c ( S) = c (S) c (S). Näin ollen joukko S on Jordan-mitallinen jos ja vain jos joukon S ulkosisältö on nolla.

2.3. JORDANIN SISÄLTÖ TASON RAJOITETUSSA JOUKOSSA 33 Kuva 2.3. J (P, S) sisältää kuvan punaiset alueet ja J (P, S) sisältää sekä punaiset että siniset alueet. Todistus. Katso lauseen 1.34 todistus. Lause 2.12. Olkoon S R 2 kompakti Jordan-mitallinen joukko. Tällöin integraali S 1 on olemassa ja c(s) = Todistus. Olkoon I kompakti väli, joka sisältää joukon S ja olkoon χ S joukon S karakteristinen funktio, joka määritellään { 1, x S χ S (x) := 0, x I \ S. Funktion χ S epäjatkuvuuspisteiden joukko kompaktissa joukossa I on joukon S reuna S. Koska joukko S on Jordan-mitallinen, lauseen 2.11 ja määritelmän 2.9 mukaan reunapisteiden joukon ulkosisältö on nolla. Näin ollen koska D f J ɛ kaikille ɛ > 0, on lauseen 2.13 mukaan olemassa integraali χ I S ja siten myös integraali 1. Olkoon S P välin I jako, joka muodostaa osavälit I 1,..., I m ja olkoon A niiden indeksien k joukko, joille I k S. Jos k A on M k (χ S ) = sup{χ S (x) x I k } = 1 ja jos k / A, niin M k (χ S ) = 0. Näin ollen m U(P ; χ S ) = I k = J (P, χ S ). S 1. k=1 M k (χ S ) I k = k A Koska tämä pätee kaikilla jaoilla P, on χ I S = c (S) = c(s). Koska χ I S = χ I S, niin c(s) = χ I S = 1. S Lause 2.13. Olkoon f määritelty ja rajoitettu suljetulla välillä T R 2. Kaikille ɛ > 0 määritellään J ɛ := {x T ω f (x) ɛ}. Tällöin (1) J ɛ on suljettu joukko. (2) f on Riemann-integroituva funktio jos ja vain jos c (J ɛ ) = 0 kaikilla ɛ > 0.