/9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa alueella, jota integoinajat kuvaavat. Muita vaihtoehtoja: f = konsentaao, integaali = ainemäää f = lukumäääheys, integaali = lukumäää f = todennäköisyysjakauma, integaali = todennäköisyys Tilavuusintegoin Huom: integoimisjäjestyksen määihely voi olla myös toinen: x 2 y 2 z 2 f(x, y, z)dxdydz x y z Vamista aina, mitä mekintää käytetään... Esim: laske kokonaismassa alueella x, y, z, kun massaheys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = ρ(x,y,z)dxdydz = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = ( x + xy 2 + xz 2 )dydz ( + y2 + z 2 )dydz = ( y + y + yz 2 )dz = ( + + z2 )dz = ( z + z + z ) = = (kg) = ( + y2 + z 2 )dydz
/9/ Pallokoodinaat Ei tapoja mekitä - uloheisen avauuden piste Pallokoodinaat Ei tapoja mekitä - uloheisen avauuden piste Kateesiset koodinaat (x,y,z) Y Pallokoodinaat (R,θ,φ) tai (,θ,φ) X Pallokoodinaat Muunnoskaavat R (tai ) = pisteen P etäisyys oigosta O θ = OP- vektoin ja z- akselin välinen kulma φ = OP- vektoin pojeko xy- tasoon ja x- akselin välinen kulma Pallokoodinaateista kateesisiin: x = sin(θ)cos(φ) y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) Huom: määitelmät saahavat vaihdella kijasta iippuen; takista aina mitä käytetään! 2
/9/ Muunnoskaavat Kateesisista pallokoodinaaheihin x 2 + y 2 + z 2 = 2 sin 2 (θ)cos 2 (φ) + 2 sin 2 (θ)sin 2 (φ) + 2 cos 2 (θ) = 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) + sin 2 (φ)) + 2 cos 2 (θ) = 2 sin 2 (θ) + 2 cos 2 (θ) = 2 (sin 2 (θ) + cos 2 (θ)) = 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) x = sin(θ)cos(φ) y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) y x = sin(θ)sin(φ) sin(θ)cos(φ) = tan(φ) φ = actan( y x ) jos x > φ = actan( y x ) + jos x < z = cos(θ) cos(θ) = z θ = accos( z ) x = sin(θ)cos(φ) y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) Integoin pallokoodinaateissa Integoinnin lavuuselemen[: dxdydz= 2 sin(θ)ddθdφ Pallokoodinaa[en määihelyalueet: : θ: 8 φ: 6 HUOM! Esim: muuta pallokoodinaaheihin: (x,y,z) = (,2, ) Ratkaisu: = x 2 + y 2 + z 2 = ( ) 2 + (2) 2 + ( ) 2 = 4 θ = accos( z )=accos( 4 )=4. φ = actan( y x )+8 =actan( 2 )+8 =6.6 Muuta kateesisiin koodinaaheihin (,θ,φ) = (,/,/2) Ratkaisu: x = sin(θ)cos(φ) = y = sin(θ)sin(φ) = 2 z = cos(θ) = 2
/9/ Esim: Esitä funko x 2 y 2 pallokoodinaateissa. Ratkaisu: x 2 -y 2 =(sin(θ)cos(φ)) 2 (sin(θ)sin(φ)) 2 = 2 (sin 2 (θ)cos 2 (φ) sin 2 (θ)sin 2 (φ)) = 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) sin 2 (φ)) = 2 sin 2 (θ)cos(2φ) Integoin pallokoodinaateissa Halutaan integoida jokin funko f(x,y,z) pallokoodinaateissa. Ennen integaalin laskemista pitää tehdä kolme asiaa: )Muunna funk,o pallokoodinaaheihin f(x,y,z) f(,θ,φ) 2)Muunna,lavuuselemen2 pallokoodinaaheihin: dxdydz 2 sin(θ) ddθdφ )Mikäli kyseessä on määähy integaali, muunna integoin,ajat pallokoodinaahehin Integoin pallokoodinaateissa Integoin yli koko avauuden Myös integoinalueen ajat muunnehava pallokoodinaaheihin! z 2 y 2 x 2 f(x, y, z)dxdydz z y x φ 2 θ 2 2 = f(,θ,φ) 2 sin(θ)ddθdφ φ θ + + + f(x,y,z)dxdydz = f(,θ,φ) 2 sin(θ)ddθdφ Täkeää! Integoinnin lavuuselemen[ muuhuu: dxdydz= 2 sin(θ) ddθdφ Integoina yli koko avauuden mekitään usein lavuuselemenllä dτ, muha tämä ei vielä määihele, mitä koodinaaheja käytetään... 4
/9/ Esim: laske kokonaismassa a- säteiselle pallolle jonka keskipiste on oigossa ja jonka massaheys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue Pallonmuotoisen alueen määihely x,y,z koodinaateissa vaikeaa è käytetään pallokoodinaaheja! x 2 + y 2 + z 2 = 2 ρ(,θ,φ) = 2 dxdydz = 2 sin(θ)ddθdφ Integoimisajat: : a, θ: 8, φ: 6 M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue a = 2 2 sin(θ)ddθdφ dφ sin(θ)dθ 4 d = = φ a ( cos(θ)) a = ( ) ( cos( ) + cos()) ( a ) = 2 a = 4a (kg) Vetyatomiin liihyviä laskuja pallokoodinaateissa Vetyatomin la (aaltofunko) voidaan atkaista diffeenaaliyhtälöstä (Schödingein yhtälö) 2 e2 2 ψ n 2m e 4ε ψ n = E nψ n Ψ n on lan n aaltofunko ja E n sen enegia Koska vetyatomi on pallosymmetinen (potenaalitemissä esiintyy etäisyys ymestä ), yhtälö on helpointa atkaista pallokoodinaateissa. Tällöin myös aaltounko esitetään myös pallokoodinaateissa. ψ s = Vetyatomin atomiobitaalit Yhtälön takkaa atkaisumenetelmää ei tässä käydä läpi, muha atkaisuna saatavat ns atomiobitaalit ovat tämän näköisiä (tässä ensimmäiset ): a e a ψ 2s = 4 a (2 - )e a 2a ψ 2 px = 4 a e 2a sin(θ)cos(φ) ψ 2 py = 4 a e 2a sin(θ)sin(φ) ψ 2 pz = 4 a e 2a cos(θ)
/9/ Tyypillisiä laskuja )Todennäköisyys löytää elektoni jostakin lavuudesta V: ψ * n ψ n 2 sin(θ)ddθdφ V φ 2 θ 2 2 = ψ * n ψ n 2 sin(θ)ddθdφ φ θ Ψ*on aaltofunkon kompleksikonjugaa[; edellä esitellyt atomiobitaalit ovat kaikki eaaliavoisia, eli Ψ* = Ψ 2)Nomitusvakion etsiminen eli lasku, jossa vaaditaan ehä elektoni on % todennäköisyydellä jossakin: Nψ * n Nψ n 2 sin(θ)ddθdφ = laske N Tyypillisiä laskuja )Elektonin etäisyyden ymestä odotusavo: = ψ n * ψ n 2 sin(θ)ddθdφ Yleises minkä tahansa opeaahoin odotusavo (huom: opeaahoi opeoi oikealla puolellaan olevaan aaltofunkoon): A = ψ n * ˆ A ψ n 2 sin(θ)ddθdφ Vetyatomilaskuissa hyvin hyödyllinen taulukkointegaali e -a n n! d = a n+ Tämä osataan sinänsä laskea n ketaa osihaisintegoimalla, muha menee työlääksi, kun n on suui... Huom! Integoinajojen oltava ja, muuten ei päde! Toinen hyödyllinen taulukkointegaali e b n d = eb b (n nn- n(n -)n-2 + b b 2... ( )n n! b n ) n oltava posiivinen kokonaisluku, b mikä tahansa eaaliluku (yleensä b = - /a tai jotain vastaavaa) Huom: tämä on määäämätön integaali, äskeinen oli määähy Hyödyllinen esim. silloin, kun integoinajat ovat jotain muuta kuin ja 6
/9/ Esimekki: vetyatomin s- obitaali Integoi s- obitaalin todennäköisyysheys Ψ*Ψ yli koko avauuden: Ratkaisu: s- obitaali on ψ s = Lasketaan integaali: ψ * s ψ s dτ = = a a e a 2 e a e a a 2 sin(θ)ddθdφ a e a 2 sin(θ)ddθdφ a 2 e = a e 2 a 2 a 2 sin(θ)ddθdφ dφ d sin(θ)dθ Lasketaan integaalit. Integaali :n suhteen edellyhää 2 ketaa osihaisintegoina, tai atkaisu voidaan katsoa taulukosta: e 2 a 2 d = 2! ( 2 ) a dφ = φ = = sin(θ)dθ = - cos(θ) = -cos() - -cos() = 2 Sijoitetaan saadut tulokset: ψ * s ψ s dτ = a 2! ( 2 2 ) a = Eli todennäköisyys ehä elektoni löytyy jostakin on %. Esimekki: nomitusvakion lasku Laske vetyatomin 2p z - obitaalin nomitusvakio N: ψ 2 pz = Ne 2a cos(θ) Nomitusvakio lasketaan edellyhämällä ehä ψ 2 pz dτ = Ne 2a cos(θ) Ne 2a cos(θ) 2 sin(θ)ddθdφ = = N 2 4 e a cos 2 (θ)sin(θ)ddθdφ = N 2 4 e a d cos 2 (θ)sin(θ)dθ dφ * ψ 2 pz 7
/9/ Lasketaan taas integaalit eikseen. Integaali :n suhteen otetaan taulukosta (tai osihaisintegoidaan 4 ketaa): e a 4 d = 4! ( dφ = φ = = ) a cos 2 (θ)sin(θ)dθ = - cos (θ) = - (cos ( ) - cos ()) = - (--) = 2 Sijoitetaan: N 2 4! # & 2 = N2 a = % ( $ ' a N = a = 4 a 8