pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä..... 0-3 2.2.2 Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä.... 0-4 2.2.3 Reaaliluvun b-kantakehitelmä...... 0-5 2.2.4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä.... 0-10 3 Irrationaaliluvuista 0-22 4 Ketjumurtoluvut 0-27 4.1 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut......... 0-32 4.1.1 Ketjumurtoalgoritmi........... 0-32 4.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut.... 0-36 4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut.... 0-44

4.4 Toisen asteen algebralliset luvut........ 0-54 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut.... 0-56 5 Paras approksimaatio 0-75 6 Sovelluksia 0-81 6.1 Diofantoksen yhtälöitä............. 0-81 7 Yleiset ketjumurrot 0-84 8 Suppenemistarkasteluja 0-87 9 Suppenemisehtoja 0-87 9.1 Rekursioitten ratkaisemista........... 0-91 10 Irrationaalisuusehtoja 0-95 11 Transformaatioita 0-102 12 Kehitelmiä 0-103 12.1 Hypergeometriset sarjat............ 0-104 0-1

12.2 Hypergeometrinen sarja 0 F 1.......... 0-106 12.3 Kehitelmiä Neperin luvulle........... 0-111 13 Irrationaalisuustuloksia 0-120 13.1 Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus.. 0-125 14 Lisää kehitelmiä 0-128 14.1 1 F 1...................... 0-128 14.2 2 F 1...................... 0-129 14.3 π....................... 0-130 14.4 e........................ 0-130 0-2

1 Johdanto 802655S KETJUMURTOLUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksiapäättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatioominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. 0-3

Esitiedot: Pakolliset aineopinnot ja Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Kirjallisuus: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (1992). Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (1913). Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Lukuteorian perusteet. 0-4

2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 2.1 Jakoalgoritmi Algebra I: Lause 2.1. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b 1. (2.1) Kun b Z +, niin q = a b. (2.2) 2.2 Kantakehitelmät 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun b-kantakehitelmä. 0-5

Lause 2.2. (Algebra I) Olkoot b Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n b n, 0 a n b 1, a n N. (2.3) Esitystä (2.3) sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä 1. a m...a 0 = (a m...a 0 ) b = a m b m +... + a 1 b + a 0. (2.4) Todistus. 2.2.2 Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Lause 2.3. Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n n i=1 b i, 0 a n b n+1 1, a n N. (2.5) 0-6

Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause 2.4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys a = n 1 a n n!, 0 a n n, a n N. (2.6) 2.2.3 Reaaliluvun b-kantakehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä. Lause 2.5. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=1 x n b n, 0 x n b 1, x n N, (2.7) joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k = b 1. Merkintä 2. 0, x 1 x 2... = (0, x 1 x 2...) b = x 1 b 1 + x 2 b 2 +... (2.8) 0-7

a m...a 0, x 1 x 2... = (a m...a 0, x 1 x 2...) b = (2.9) a m b m +... + a 1 b 1 + a 0 b 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 +... Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteoria I) 0 y y < 1. (2.10) Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat x k+1 = by k ; (2.11) Tällöin ja y k+1 = by k x k+1 k N. (2.12) x 1 = by 0 = bx (2.13) 0 x 1 = bx bx < b 0 x 1 b 1. (2.14) 0-8

Edelleen y 1 = by 0 x 1 = bx bx 0 y 1 < 1 (2.15) ja x = y 0 = x 1 b + y 1 b. (2.16) Vastaavasti y 1 = x 2 b + y 2 b, 0 y 2 < 1, (2.17) ja siten x = y 0 = x 1 b + x 2 b 2 + y 2 b 2. (2.18) Edelleen x = x 1 b + x 2 b 2 +... + x n b n + y n b n, (2.19) missä 0 x i b 1, 0 y i < 1 i = 1,..., n. (2.20) 0-9

Olkoon x = X n + y n, (2.21) bn missä on kasvava ja rajoitettu. Siten X n = x 1 b + x 2 b 2 +... + x n b n (2.22) lim X n = n=1 x n b n (2.23) ja edelleen lim X n = x. (2.24) Lauseen 2.5 yleistyksenä saadaan. Lause 2.6. Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=1 c n b 1 b n, 0 c n b n 1, c n N. (2.25) esitys. Lauseen 2.6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen 0-10

Lause 2.7. Olkoon x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=2 d n n!, 0 d n n 1, d n N. (2.26) Esimerkki 1. Määrätään luvuille e 2, 1/e (2.27) esitykset (2.26). 0-11

2.2.4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä 2.1. Esitys x = 0, x 1 x 2... (2.28) on päättyvä, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (2.29) Esitys (2.28) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+1, (2.30) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x 1 x 2... = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = 0, x 1...x N x N+1...x N+L x N+1...x N+L..., (2.31) 0-12

missä N on alkutermin pituus. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huom 1. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Huom 2. Reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 (2.32) ja rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. (2.33) Esimerkki 2. a) b = 2. b) b = 10. 1 7 = (0, 001001...) 2 = (0, 001) 2. 3 7 = 0, 428571, 2 7 = 0, 285714, 6 7 = 0, 857142, 0-13

4 7 = 0, 571428, 5 7 = 0, 714285, 1 7 = 0, 142857. Huom 3. Huomaa, että rationaaliluku x Q voidaan esittää supistetussa muodossa x = r s, r s, r Z, s Z+. (2.34) Lause 2.8. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jos rationaaliluvulle x Q, missä x = r s, r s, s = h pätee ehto niin esitys (2.7) on päättyvä. i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (2.35) h p i b, (2.36) i=1 B). Jos reaaliluvun x esitys (2.7) on päättyvä, niin x Q ja 0-14

sen supistetulle esitykselle x = r s, r s, s = h i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (2.37) pätee ehto h p i b. (2.38) i=1 Ehto (2.36) lyhemmin p s p b, p P. (2.39) Todistus. A. Ehdosta (2.36) seuraa, että s b K, K = max{v 1,..., v h }. (2.40) Siten b K x = b K r s Z+, joten b K x = c 0 +c 1 b+...+c m b m, 0 c i b 1, m < K. (2.41) 0-15

Siispä x = c m B. Olkoon esitys päättyvä eli b K m +... + c 0 b K. (2.42) x = x 1 b +...+x N b N = x 1b N 1 +... + x N b N := r, s r s. (2.43) Siten b N r = (x 1 b N 1 +... + x N )s, r s. (2.44) Olkoon p i s. Koska r s, niin p i b N, joten p i b kaikilla s:n alkutekijöillä p i. Määritelmä 2.2. Olkoot n Z 2, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k 1 (mod n). (2.45) Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (2.46) 0-16

alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (2.47) Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = φ(n). (2.48) Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A. Esimerkki 3. n = 7, b = 10, 10 = 3 Z 7. ord 7 10 6 = φ(7). (2.49) Lasketaan siis 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, (2.50) joten ord 7 10 4 ord 7 10 = 6. (2.51) 0-17

Kerrataan vielä, että reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 ja päättyvä esitys on rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. Erityisesti 0 = 0, 00... = 0, 0 = 0 1. Lause 2.9. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = r, r s. (2.52) s B). Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen eli r s = 0, x 1...x N x N+1...x N+L. (2.53) 0-18

C). Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (2.54) s p T p b, p P; (2.55) ja luku N N on pienin, jolle pätee ord U b = L; (2.56) T b N. (2.57) Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T = 1, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. 0-19

A. Tutkitaan ensin puhtaasti jaksollista kehitelmää z = 0, z 1...z L = z 1 b +... + z L b L + 1 ( z1 b L b +... + z L b L + z 1 b L+1 +... + z ) L b 2L +... = d b L + 1 b L z, (2.58) mistä saadaan Siispä z = d b L 1. (2.59) x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = x 1 b +... + x N b N + 1 ( xn+1 b N b B C. +... + x N+L b L = c b N + 1 b N + x N+1 b L+1 +... + x ) N+L b 2L +... d b L 1 := r Q. (2.60) s 0-20

Olkoon sitten 0 < x < 1. Ehdon (2.57) nojalla b N = T V, jollakin V Z +. (2.61) Siten b N x = T V missä jakoalgoritmin nojalla r T U = rv U cu + d = U, (2.62) rv = cu + d, 0 d U 1, c, d N. (2.63) Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (2.64) a) Tapaus U = 1. Nyt s = T, jolloin ehdon (2.55) nojalla p s = T p b, p P. (2.65) Lauseen 2.8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b) Tapaus U 2. Oletuksen (2.56) nojalla b L 1 (mod U), (2.66) 0-21

joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava b L d U = (1 + au)d U = d U + ad. (2.67) Olkoon d U = n=1 d n b n, 0 d n b 1, d n N, (2.68) luvun d/u Lauseen 2.5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (2.68) kaavaan (2.67), jolloin saadaan d 1 b L 1 +...+d L b 0 +d L+1 b 1 +d L+2 b 2 +d L+3 b 3 +... = (2.69) ad + d 1 b 1 + d 2 b 2 + d 3 b 3 +... (2.70) Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla) saadaan d 1 = d L+1, d 2 = d L+2, d 3 = d L+3,... (2.71) 0-22

eli d L+j = d j j = 1, 2,..., (2.72) ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (2.64) nojalla x = c b N + 1 d b N U, (2.73) missä c = c K b K +... + c 0, K < N. (2.74) Niinpä x = x 1 b 1 +... + x N b N + d 1 b (N+1) + d 2 b (N+2) +... + d L b (N+L) + d 1 b (N+L+1) +d 2 b (N+L+2) +...+d L b (N+2L) +... = 0, x 1...x N d 1...d L. (2.75) 0-23

3 Irrationaaliluvuista Määritelmä 3.1. Luku α C Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-adisten lukujen kunta.) Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R Q on irrationaalinen. Esimerkki 4. 5 / Q, i = 1 / Q. (3.1) Tämä yleistyy tulokseksi Lause 3.1. Olkoon D Z neliövapaa. Tällöin D / Q. (3.2) 0-24

Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lause 3.2. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n 1 + rn / Q. (3.3) Todistus, joka perustuu Wilesin tulokseen, kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Esimerkki 5. Todistus. Jos olisi log 2 log 3 / Q. (3.4) log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (3.5) niin mikä on mahdotonta. 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (3.6) 0-25

Esimerkki 6. log 2 / Q. (3.7) Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 5. Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla. Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee e = lim n ( 1 + 1 n) n = k=0 Lause 3.3. Neperin luku e on irrationaalinen. 1 k!. (3.8) Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lauseeseen 2.9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 3.4. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ = (a, τ 1...τ N τ N+1...τ N+L ) b, (3.9) niin τ / Q. 0-26

Esimerkki 7. Osoita, että τ = 0, 101001000100001... / Q. (3.10) Esimerkki 8. Olkoon b Z 2. Osoita, että tällöin τ b = n=0 1 b (n+1 2 ) / Q. (3.11) Esimerkki 9. Muodostetaan sanoja seuraavasti käyttäen kuvausta σ(a) = ab, σ(b) = a, σ(xy) = σ(x)σ(y). (3.12) 0-27

Lähtemällä sanasta b saadaan σ(b) = a, σ 2 (b) = σ(a) = ab, σ 3 (b) = σ(ab) = σ(a)σ(b) = aba, σ 4 (b) = σ(aba) = σ(a)σ(b)σ(a) = abaab, σ 5 (b) = σ(abaab) = σ(a)σ(b)σ(a)σ(a)σ(b) = abaababa,... σ (b) = abaababaabaab... Tulkitaan kirjaimet biteiksi: a = 1, b = 0, ja muodostetaan binääriluku κ = 0, 10110101...(= 0, abaababa...). (3.13) Osoita, että κ / Q. 0-28

4 Ketjumurtoluvut Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta b 1 + a 1 a 2 b 2 +... + a n b n, (4.1) jolle käytetään seuraavia merkintöjä K n k=1 ( ak b k ) = a 1 a 2 b 1 + b... a n. (4.2) 2 + + b n Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia ja luvut b n osanimittäjiä. Lause 4.1. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (4.3) B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (4.4) 0-29

lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Tällöin b 0 + K n k=1 kunhan B n = 0. ( ak b k ) = A n B n n N, (4.5) Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin n = 1, jolloin V.P. = b 0 = b 0 1 = A 0 B 0 = O.P.. (4.6) V.P. = b 0 + a 1 b 1 = b 0b 1 + a 1 b 1 = A 1 B 1 = O.P.. (4.7) Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0, 1,..., l, jolloin b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... a l = A l = b la l 1 + a l A l 2. (4.8) 2 + + b l B l b l B l 1 + a l B l 2 Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään K(x) = b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... a l 2 + + x, (4.9) 0-30

jolle kohdan (4.8) nojalla pätee K(x) = xa l 1 + a l A l 2 xb l 1 + a l B l 2, (4.10) kunhan x = 0 ja nimittäjä = 0. Siten kohdista (4.9) ja (4.10) seuraa ( ak K(b l + a ) l+1 ) = b 0 + K l+1 k=1 b l+1 b k ( ) b l + a l+1 b l+1 A l 1 + a l A l 2 ( ) = b l + a l+1 b l+1 B l 1 + a l B l 2 a l+1 b l+1 A l 1 + b l A l 1 + a l A l 2 a l+1 = b l+1 B l 1 + b l B l 1 + a l B l 2 = a l+1 A l 1 + b l+1 A l a l+1 B l 1 + b l+1 B l = A l+1 B l+1, (4.11) missä on sovellettu rekursioita (4.3) ja (4.4) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. 0-31

Määritelmä 4.1. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun b 0 + K k=1 ( ak b k ) (4.12) n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (4.12) suppenee, mikäli raja-arvo lim n A n B n (4.13) on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (4.12) arvo on raja-arvo (4.13). Ääretöntä ketjumurtolukua (4.12) voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... = b 0 + 2 + a 1 b 1 + a 2 b 2 +.... (4.14) Edelleen käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 ( ) 1 b k ; (4.15) 0-32

[b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 ( ) 1 Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. b k. (4.16) Määritelmä 4.2. Olkoot b 0 N, b k Z +, a k = 1, k Z +. (4.17) Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 ( 1 b k ) (4.18) on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti [b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 ( 1 b k ) (4.19) on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 0-33

4.1 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 4.1.1 Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b 1,...] α (4.20) seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (4.21) α k = α k + {α k }, 0 {α k } < 1; (4.22) b k = α k ; (4.23) Jos {α k } = 0 STOP; (4.24) 0-34

Jos {α k } > 0 ; (4.25) α k+1 = 1 {α k } GO TO 4.22 with k = k + 1; (4.26) Siten algoritmi alkaa seuraavasti: α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < 1; (4.27) Jos Jos b 0 = α 0 ; (4.28) {α 0 } = 0 STOP; (4.29) {α 0 } > 0 ; (4.30) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 }, 0 {α 1 } < 1; (4.31) 0-35

b 1 = α 1 ;... (4.32) Huom 4. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b 1,..., b m ] = b 0 + 1 [b 1 ; b 2,..., b m ] ; (4.33) α k = b k + 1 α k+1 ; (4.34) α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m +{α m }] = [b 0 ; b 1,..., b m, α m+1 ]. (4.35) Esimerkki 10. Olkoon α = 3, 14. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 14/100; (4.36) b 0 = α 0 = 3; (4.37) 0-36

{α 0 } = 14/100 > 0 ; (4.38) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 } = 7 + 1/7; (4.39) b 1 = α 1 = 7; (4.40) {α 1 } = 1/7 > 0 ; (4.41) α 2 = 1 {α 1 } = α 2 + {α 2 } = 7 + 0; (4.42) b 2 = α 2 = 7; (4.43) {α 2 } = 0 STOP; (4.44) 0-37

ja siten [b 0 ; b 1,...] 3,14 = [3; 7, 7]. (4.45) Huom 5. Tärkeä. Numeerisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. 4.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.2. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b 1,..., b m ] Q b 0 N, b 1,..., b m Z +. (4.46) Todistus (Laskarit) induktiolla käyttäen kaavaa (4.33). Lause 4.3. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b 1,..., b m Z +, että r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (4.47) 0-38

Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b 1,..., 1] (4.48) oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi Lukuteorian perusteet: r 0 = r, r 1 = s r 0 = b 0 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = b k r k+1 + r k+2. r m 1 = b m 1 r m + r m+1 m N : r m+1 = 0, r m+2 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r m+1 < r m r m = b m r m+1 r m+1 = syt(r, s). 0-39

Nyt r/s = α 0 ja α 0 = r 0 r 1 = b 0 + r 2 r 1 = α 0 + {α 0 }, (4.49) 0 {α 0 } = r 2 r 1 < 1; (4.50) α 1 = 1 {α 0 } = r 1 r 2 = b 1 + r 3 r 2 = α 1 + {α 1 }, (4.51)... 0 {α 1 } = r 3 r 2 < 1; (4.52) α k = r k r k+1 = b k + r k+2 r k+1, (4.53) α k+1 = 1 {α k } = r k+1 r k+2, (4.54) 0-40

... α m 1 = r m 1 r m = b m 1 + r m+1 r m, (4.55) α m = 1 {α m 1 } = r m r m+1 = b m + 0. (4.56) Siten {α m } = 0 (4.57) ja r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (4.58) Koska b m 2 (totea!), niin r s = [b 0; b 1,..., b m 1, b m ] = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m 1, 1]. Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa (4.59) r s = [b 0; b 1,..., 1] (4.60) 0-41

oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 4.1 erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (4.61) ja (4.62) avulla. Lause 4.4. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + A n, (4.61) B n+2 = b n+2 B n+1 + B n (4.62) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + 1 ja B 1 = b 1. Tällöin [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n n N. (4.63) Lause 4.5. Olkoon (F n ) on Fibonaccin lukujono. Tällöin B n F n+1 ( ) n 1 5 + 1 n Z +. (4.64) 2 0-42

Lause 4.6. Determinanttikaavat. A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n n N. (4.65) A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( 1) n n N. (4.66) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (4.61) ja (4.62). Seuraus 4.1. A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n B n B n+1 n N. (4.67) A n+2 B n+2 A n B n = b n+2( 1) n B n B n+2 n N. (4.68) Seuraus 4.2. A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (4.69) < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (4.70) 0-43

kaikilla k, h N. Todistus. Tuloksen (4.68) nojalla A 2k+2 B 2k+2 A 2k B 2k = b 2k+2 B 2k B 2k+2 > 0 k N (4.71) mikä todistaa epäyhtälöt (4.69). Samaten tuloksen (4.68) nojalla A 2h+3 A 2h+1 = B 2h+3 B 2h+1 b 2h+1 B 2h+1 B 2h+3 < 0 h N (4.72) mikä todistaa epäyhtälöt (4.70). Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (4.69) ja (4.70) välistä epäyhtälöä. a) Tapaus h k. Tällöin A 2h+1 A 2k = A 2h+1 A 2h + A 2h A 2k 4.67 = B 2h+1 B 2k B 2h+1 B 2h B 2h B 2k (4.73) 1 B 2h B 2h+1 + A 2h B 2h A 2k B 2k 4.69 > 0. (4.74) 0-44

b) Tapaus h < k. Tällöin A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k Siten 4.70 > A 2k+1 A 2k 4.67 = B 2k+1 B 2k 1 B 2k B 2k+1 > 0. (4.75) Lause 4.7. A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k > 0 h, k N. (4.76) A n A n+1, B n B n+1, (4.77) A n B n n N. (4.78) Huom 6. Tuloksen (4.78) nojalla konvergentit A n B n ovat supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja. 0-45

4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.8. Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b 1,..., b m Z +, (4.79) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] konvergenttijono. Tällöin lim n A n B n = τ, τ R +, (4.80) ja 0 < τ A m < 1 m N. (4.81) B m B m+1 B m Todistus. Tuloksien (4.69) ja (4.70) nojalla jono ( A 2k B 2k ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A 2h+1 B 2h+1 ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim k A 2k B 2k = α 2, (4.82) 0-46

lim h A 2h+1 Yhtälöstä (4.64) ja (4.67)saadaan B 2h+1 = α 1. (4.83) 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = 1 B 2k B 2k+1 (4.84) 1 F 2k+1 F 2k+2 Edelleen raja-arvona saadaan ( ) 4k 5 1 k Z +. (4.85) 2 0 lim josta k A 2k+1 B 2k+1 lim k A 2k B 2k lim k ( ) 4k 5 1, 2 (4.86) α 1 = α 2. (4.87) Siten lim n A n B n = α 1 = α 2. (4.88) 0-47

Merkitään vielä τ = α 1 = α 2. Tällöin (Laskarit) mistä saadaan τ > 0 ja edelleen 0 < τ A 2k B 2k < 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+1 B 2k+1, (4.89) 1 B 2k B 2k+1 k N. (4.90) Vastaavasti (osoita!) 0 < A 2k+1 B 2k+1 τ < 1 B 2k+1 B 2k+2 k N. (4.91) Siispä 0 < τ A m < 1 m N. (4.92) B m B m+1 B m Lause 4.9. Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n, n N, (4.93) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] = τ konvergenttijono. Tällöin τ = b 0 + n=0 ( 1) n B n B n+1 (4.94) 0-48

ja b m+2 B m B m+2 < τ A m < 1 m N. B m B m+1 B m (4.95) Edelleen 1 (b m+1 + 2)Bm 2 < τ A m B m < 1 b m+1 Bm 2 1 Bm 2 (4.96) kaikilla m N. Huom 7. Usein arvion (4.95) sijasta käytetään väljempää arviota (4.96). Todistus. Summataan yhtälö (4.67) puolittain, jolloin m 1 n=0 ( An+1 A ) n B n+1 B n = m 1 n=0 ( 1) n B n B n+1 (4.97) ja siten A m B m = b 0 + m 1 n=0 ( 1) n B n B n+1. (4.98) 0-49

Raja-arvona saadaan (4.94). Edelleen τ A m B m = n=m ( 1) n B n B n+1, (4.99) missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan 1 B m B m+1 Vielä 1 B m+1 B m+2 < τ A m < 1. B m B m+1 B m (4.100) 1 B m B m+1 1 B m+1 B m+2 = B m+2 B m B m B m+1 B m+2 = b m+2 B m B m+2. (4.101) Lause 4.10. Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b 1, b 2,... Z + pätee τ = [b 0 ; b 1,...] / Q. (4.102) Todistus. Aluksi, Lauseen 4.8 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 4.3 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, 0-50

joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b 1,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (4.103) Tuloksen (4.90) nojalla 0 < r s A 2k B 2k < 1 B 2k B 2k+1 k Z + (4.104) Täten Koska niin 0 < rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (4.105) rb 2k sa 2k Z +, (4.106) 1 rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (4.107) Tuloksen (4.64) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että s B 2k+1 < 1, (4.108) 0-51

joka johtaa ristiriitaan. Lause 4.11. Olkoon α R Q, α > 0 annettu ja olkoon [b 0 ; b 1,...] α (4.109) Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b 1,...] α. (4.110) Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b 1,..., b k ] = A k B k (4.111) [b 0 ; b 1,...] α (4.112) liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin nojalla α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, α m ] = A m B m, (4.113) 0-52

missä A m = α m A m 1 + A m 2, Bm = α m B m 1 + B m 2. Lasketaan seuraavaksi (4.114) B m Am A m Bm = B m (α m A m 1 + A m 2 ) A m (α m B m 1 + B m 2 ) = α m (A m 1 B m A m B m 1 ) + A m 2 B m A m B m 2 = ( 1) m (α m b m ) = ( 1) m {α m }. (4.115) Siten α A m B m = A m B m A m B m = {α m } B m B m m 0. (4.116) 0-53

Lause 4.12. Olkoot b 0, c 0 N, b 1, c 1, b 2, c 2,... Z + ja [b 0 ; b 1,...] = [c 0 ; c 1,...], (4.117) tällöin b k = c k k N. (4.118) Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. Huom 8. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [1, 1, 1,...] = [b 0, b 1,...], (4.119) [b 0, b 1,..., b m ] = A m B m = F m+2 F m+1, (4.120) A k = A k 1 +A k 2, B k = B k 1 +B k 2 k = 2, 3,..., (4.121) 0-54

antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista Lukuteorian perusteet eli ( F k = 1 5 + 1 5 2 ) k ( 1 ) k 5, (4.122) 2 niin raja-arvokin lim m A m B m = lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä F m+2 F m+1 = 5 + 1 2 (4.123) [1, 1, 1,...] = 5 + 1 2. (4.124) Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 4.8 nojalla ketjumurtoluvun (4.119) arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [1, 1, 1,...] = [1, τ], τ R >1, (4.125) 0-55

joten τ = 1 + 1 5 + 1 τ, τ =. (4.126) 2 4.4 Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 4.3. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (4.127) Luku α = a b D (4.128) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (4.127) muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (4.129) 0-56

Huom 9. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (4.130) on rengasmorfismi (2 laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (4.131) α/β = α/β α, β Q( D). (4.132) Lause 4.13. Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (4.133) Määritelmä 4.4. Toisen asteen algebrallinen luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b = 0, D / Q. (4.134) 0-57

Lause 4.14. Irrationaaliluku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A = 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (4.135) 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4.5. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,...] (4.136) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (4.137) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,...] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ] = 0-58

[b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1, b N,..., b N+L 1,...] (4.138) Jos [b 0 ; b 1,...] = [b 0,..., b L 1 ], (4.139) niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huom 10. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Esimerkki 11. Esimerkki 12. [1] = 1 + 5 2 (4.140) [2] = 1 + 2, [1, 2] = 2. (4.141) Esimerkki 13. [3, 3, 6] = 11. (4.142) 0-59

Esimerkki 14. [10, 20] = 101. (4.143) Lause 4.15. Euler. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, c 0,..., c L 1 ] (4.144) on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään β = [c 0,..., c L 1 ], (4.145) jolloin α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β]. (4.146) Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (4.145) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla β = [c 0,..., c L 1, β] = C L D L, (4.147) 0-60

missä C L = βc L 1 +C L 2, DL = βd L 1 +D L 2 (4.148) ja C k = c k C k 1 +C k 2, D k = c k D k 1 +D k 2 (4.149) kaikilla k = 2,..., L 1. Siten josta β = βc L 1 + C L 2 βd L 1 + D L 2, (4.150) D L 1 β 2 + (D L 2 C L 1 )β C L 2 = 0. (4.151) Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β] = A N B N, (4.152) 0-61

missä A N = βa N 1 + A N 2, BN = βb N 1 + B N 2 (4.153) ja A k = b k A k 1 +A k 2, B k = b k B k 1 +B k 2 (4.154) kaikilla k = 2,..., N 1. Siispä α = βa N 1 + A N 2 βb N 1 + B N 2 Q( D). (4.155) Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. Esimerkki 15. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8, 1, 1, 1, 4]. (4.156) Nyt β = [1, 1, 1, 4] (4.157) 0-62

ja siten β = [1, 1, 1, 4, β] = C 4 D 4, (4.158) missä C 0 D 0 = 1, C 1 D 1 = 2, C 0 = D 0 = D 1 = 1, C 1 = 2, (4.159) C 2 = c 2 C 1 +C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 +C 1 = 14, (4.160) D 2 = c 2 D 1 +D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 +D 1 = 9, (4.161) C 4 = βc 3 +C 2 = 14β+3, D4 = βd 3 +D 2 = 9β+2. (4.162) Niinpä β = 14β + 3 9β + 2, 3β2 4β + 1 = 0, (4.163) 0-63

ja siten Edelleen β = 2 + 7. (4.164) 3 α = [2, 3, 8, β] = A 3 B 3, (4.165) A 0 = 2, B 0 = 1, A 1 = 7, B 1 = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (4.166) A 3 = βa 2 +A 1 = 58β+7, B3 = βb 2 +B 1 = 25β+3, (4.167) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β + 7 25β + 3 Q( 7). (4.168) Lemma 4.1. Kun α = [b 0, b 1,..., b n 1, α n ], niin α = α na n 1 + A n 2 α n B n 1 + B n 2 (4.169) 0-64

α n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1. (4.170) Lemma 4.2. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P 2 d, P, Q, d Z. (4.171) Lause 4.16. Lagrange. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 4.2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (4.172) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (4.21) (4.26). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (4.173) missä 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 < 1. (4.174) 0-65

Siten missä α 1 = 1 {α 0 } = P 1 + d, (4.175) Q 1 P 1 = b 0 Q 0 P 0, Q 1 = d P 2 1 Q 0. (4.176) Tässä Q 0 P 2 1 d, (4.177) joten P 1, Q 1 Z. (4.178) Edelleen pätee Q 1 P 2 1 d = Q 1 Q 1. (4.179) Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α 1 = α 1 + {α 1 } = b 1 + {α 1 }... (4.180) ja yleisemmin 1 < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (4.181) 0-66

missä Q n P 2 n d. (4.182) Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } (4.183) missä 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n < 1. (4.184) α n+1 = 1 {α n } = P n+1 + d, (4.185) Q n+1 P n+1 = b n Q n P n, Q n+1 = d P 2 n+1 Q n. (4.186) Tässä Q n P 2 n+1 d, (4.187) joten P n+1, Q n+1 Z. (4.188) 0-67

Edelleen pätee Q n+1 Pn+1 2 d. (4.189) Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P 2 n d Q 2 n = (4.190) αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 = G n G n, (4.191) missä Harjoitustehtävän 18d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 < 0 n Z + (4.192) ja G n = α A n 2 B n 2 α A n 1 B n 1 B n 2 B n 1 (4.193) 0-68

Koska α = α, niin on olemassa sellainen n, että α A k < B k 1 B 2 k < 2 d Q 0 kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko = α α (4.194) α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (4.195) kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P 2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (4.196) josta P 2 k < d d < P k < d k K. (4.197) Edelleen yhtälöstä (4.181) ja (4.197) nähdään, että Q k 1 Q k Q k Q k+1 = d P 2 k+1 d (4.198) 0-69

1 Q k d k K. (4.199) Olkoon B = {(S, T ) Z 2 S d 1, 1 T d}, (4.200) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z 2 k = K, K + 1,...} B. (4.201) Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (4.202) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+1 = α K+L+l+1,... (4.203) 0-70

Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0, 1,... (4.204) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ]. (4.205) Esimerkki 16. Olkoon d Z +. Tällöin d2 + 2 = [d, d, 2d]. (4.206) Todistus. Käytetään ketjumurtoalgoritmia d2 + 2 = d + d 2 + 2 d = b 0 + {α 0 }, (4.207) α 1 = 1 {α 0 } = 1 d2 + 2 d = d2 + 2 + d 3 + 1 > 2 2 > 1, (4.208) 0-71

joten valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } < 1. Edelleen d2 + 2 d α 1 = d + = b 1 + {α 1 }, 2 α 2 = 1 {α 1 } = 2 d2 + 2 d = d2 + 2 + d = 2d + d 2 + 2 d = b 2 + {α 2 }, α 3 = 1 {α 2 } = 1 d2 + 2 d = α 1. (4.209) Siten b 0 = d, b 1 = d, b 2 = 2d, b 3 = b 1 = d, b 4 = b 2 = 2d,... (4.210) Määritelmä 4.6. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) 0-72

on redusoitu, jos α = a + b D > 1, ja 1 < α = a b D < 0. (4.211) Lause 4.17. Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α > 1, ja 1 < α < 0 (4.212) α = [b 0,..., b L 1 ] (4.213) 1 α = [b L 1,..., b 0 ]. (4.214) Lause 4.18. Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (4.215) 0-73

Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (4.216) Joten D = [b0 ; b 1, b 2,...] = [A; b 1, b 2,...] (4.217) ja Edelleen α = A + D = [2A; b 1, b 2,...]. (4.218) α = A D = ( D D ), 1 < α < 0 eli α on redusoitu. Siten tuloksen (4.213) nojalla (4.219) α = A + D = [2A, b 1,..., b L 1 ] (4.220) D = [A, b1,..., b L 1, 2A, b 1,..., b L 1, 2A,...] (4.221) 0-74

eli D = [A, b1,..., b L 1, 2A], (4.222) mistä saadaan D A = [0, b1,..., b L 1, 2A]. (4.223) Tuloksen (4.214) nojalla 1 α = 1 D A = [b L 1,..., b 1, 2A]. (4.224) josta Harjoitustehtävä 17a:n nojalla D A = [0, bl 1,..., b 1, 2A]. (4.225) Verrataan vielä esityksiä (4.223) ja (4.225), joista saadaan b L 1 = b 1, b L 2 = b 2,... (4.226) ja siten D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (4.227) 0-75

Esimerkki 17. 13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6]. (4.228) 31 = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]. (4.229) Huom 11. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 4.19. Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (4.230) Todistus. Myöhemmin, Seuraus 12.4 todistetaan, että e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,...] = [2, 1, 2k, 1] k=1. 1. Välikoe tähän asti eli luvut 1 4. (4.231) 0-76

5 Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla). Määritelmä 5.1. Olkoon α R Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio, jos sα r < uα t t/u Q {r/s}, (5.1) missä 1 u s. Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee α r < s α t u, jos 1 u s. (5.2) ja t/u = r/s. Siispä, jos t/u = r/s ja α t u α r, (5.3) s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. 0-77

Lause 5.1. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, (5.4) niin u B k+1. Todistus. Vastaoletus: u < B k+1. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä u = ab k + bb k+1 ; t = aa k + ba k+1 (5.5) on kokonaislukuratkaisu (a, b) Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k A k B k+1 A k+1 = ( 1)k = 0, (5.6) joten saadaan ratkaisu a = ( 1) k (ua k+1 tb k+1 ); b = ( 1) k ( ua k + tb k ). (5.7) 0-78

Yhtälöistä (5.5) ja vastaoletuksesta saadaan, että 1 u = ab k + bb k+1 < B k+1. (5.8) Näytetään seuraavaksi, että ab = 0. Jos olisi a = 0, niin 1 u = bb k+1 < B k+1, (5.9) johtaen ristiriitaan. Siten a = 0. Jos b = 0, niin u = ab k, t = aa k, (5.10) josta edelleen uα t = a B k α A k > uα t, (5.11) johtaen ristiriitaan. Siten b = 0. Tutkimalla epäyhtälöä (5.8) saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; (5.12) ab < 0. 0-79

Edelleen uα t = a(b k α A k )+b(b k+1 α A k+1 ) = ax +by, missä (laskarit) (5.13) XY = (B k α A k )(B k+1 α A k+1 ) < 0. (5.14) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 kaikissa tapauksissa. Täten (5.15) uα t = a X + b Y X + Y = (5.16) B k α A k + B k+1 α A k+1 > B k α A k. (5.17) Ristiriita. 0-80

Lause 5.2. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s α A k B k (5.18) niin s > B k. Lause 5.3. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin α r < 1 s 2s 2, (5.19) r s = A k B k, (5.20) jollakin k. Todistus. Olkoon r s = A l B l l sa l rb l 1 l. (5.21) 0-81

Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että B k s < B k+1. (5.22) Siten Lauseen 5.1 ja oletuksen (5.19) mukaan B k α A k sα r < 1 2s (5.23) Toisaalta 1 sb k α r + s α A k < 1. (5.24) 2sB k B k sa k rb k sb k = r s A k (5.25) B k α A k < 1 + 1 2sB k 2s 2, (5.26) B k mistä saadaan s < B k. Ristiriita. 0-82

Lause 5.4. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k B k < 1 2B 2 k (5.27) tai α A k+1 B k+1 < 1 2B 2 k+1. (5.28) Todistus laskareissa. 6 Sovelluksia 6.1 Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomija/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 6.1. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = 1 (6.1) 0-83

on Pellin yhtälö. Lause 6.1. Olkoon d Z 2, d / Q ja (Ak /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (6.1) ratkaisu, niin jollakin k N. x y = A k B k, (6.2) Todistus. Yhtälön (6.1) mukaan (x y d)(x + y d) = 1 x y > d; (6.3) Niinpä x y d = 1 x + y d. (6.4) x y d = 1 y 2 (x/y + d) < 1 2y 2, (6.5) joten Lauseen 5.3 nojalla x y = A k B k, (6.6) 0-84

jollakin k N. Esimerkki 18. Tutkitaan yhtälöä x 2 2y 2 = 1. (6.7) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, 2) ja (x, y) = (17, 12) ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n 2 = (3 + 2 2) n. (6.8) Tällöin β n β n = x 2 n 2y 2 n = (3 2 2 2 2 ) n = 1. (6.9) Täten jokainen (x n, y n ) on ratkaisu, joilla on seuraava esitysmuoto x n = 1 2 ((3 + 2 2) n + (3 2 2) n ), (6.10) 0-85

y n = 1 2 2 ((3 + 2 2) n (3 2 2) n ). (6.11) Määrää vielä rekursiot luvuille x n ja y n. 7 Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 4.1 nojalla ketjumurron b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 +... = b 0 + a 1 a 2 b 1 + b = (7.1) 2 +... b 0 + K k=1 ( ak b k ) (7.2) konvergentit b 0 + K n k=1 ( ak b k ) = A n B n n N, (7.3) saadaan laskettua rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (7.4) 0-86

B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (7.5) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Lause 7.1. A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n a 1 a n+1 n N. (7.6) A n+2 B n A n B n+2 = ( 1) n b n+2 a 1 a n+1 n N. (7.7) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (7.4) ja (7.5). Seuraus 7.1. A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n a 1 a n+1 B n B n+1 n N. (7.8) 0-87

A n+2 B n+2 A n B n = ( 1)n b n+2 a 1 a n+1 B n B n+2 n N. (7.9) Todistus laskareissa. Seuraus 7.2. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (7.10) < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (7.11) kaikilla k, h N. Todistus laskareissa. 0-88

8 Suppenemistarkasteluja 9 Suppenemisehtoja Lause 9.1. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ) ( K ak k=1 b k (9.1) suppenee, jos b k a k + 1 k Z +. (9.2) Lause 9.2. Olkoot b k C, 0 < ε < π/2 ja π 2 + ε < arg b k < π 2 ε k Z+. (9.3) Tällöin ketjumurtoluku K k=1 ( 1 b k ) (9.4) suppenee, jos b k =. (9.5) k=1 0-89

Lause 9.3. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ) ( K ak k=1 b k (9.6) suppenee, jos ja erityisesti, jos a 1 a n+1 B n B n+1 0, (9.7) b n+1 n i=1 b2 i n+1 i=1 a i. (9.8) Todistus. Edetään kuten Lauseen 4.8 todistuksessa. Nyt yhtälön (7.8) mukaan pätee 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = a 1 a 2k+1 B 2k B 2k+1. (9.9) Täten suppenemiseen riittää tulos Rekursion nojalla a 1 a n+1 B n B n+1 0. (9.10) B k+2 = b k+2 B k+1 + a k+2 B k > b k+2 B k+1, (9.11) 0-90

joten B k > b k b 1. (9.12) Siispä a 1 a n+1 B n B n+1 < a 1 a n+1 b 1 b n b 1 b n+1 0. (9.13) Esimerkki 19. K k=1 ( k 2 2k + 1 ) R +. (9.14) Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan 1 = 1 + K k=1 1 ( k 2 2k+1 ) (9.15) Esimerkki 20. Ketjumurto π 4 = 1 1 + 12 3+ 22 5+... K k=1 ( 1 ) 1 + i. (9.16) (9.17) suppenee. 0-91

Esimerkki 21. Ketjumurto suppenee. K k=1 ( ) i 2 (9.18) Esimerkki 22. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (9.19) suppenee? Esimerkki 23. τ = 3 + 2 2 3 + 3 +... (9.20) suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö mutta kumpi?? τ = 3 + 2 τ τ = 1 tai 2 (9.21) Toisaalta esimerkkien (20 23) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 0-92

9.1 Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 9.1. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (9.22) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (9.22) yritteellä w n = x n, x C. (9.23) Rekursiosta (9.22) saadaan x 2 rx s = 0, (9.24) jonka ratkaisut ovat α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. (9.25) 2 0-93

Määritelmä 9.2. Polynomi K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (9.26) on rekursion (9.22) karakteristinen polynomi. Lause 9.4. Olkoot a, b C. Tällöin w n = aα n + bβ n (9.27) on rekursion (9.22) ratkaisu. Olkoon r 2 + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (9.22) kaikki ratkaisut ovat muotoa (9.27), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Esimerkki 24. Ketjumurron b + a b + a b +... (9.28) konvergenteille pätee A k+2 = ba k+1 +aa k, B k+2 = bb k+1 +ab k. (9.29) 0-94

Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α)(x β), (9.30) missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (9.31) 2 Siten rekursioitten (9.29) yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (9.32) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A 1 = tα 1 + uβ 1, (9.33) B 0 = vα 0 + wβ 0, B 1 = vα 1 + wβ 1. (9.34) Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (9.35) 0-95

ja siten b + a b + a b +... = t v. (9.36) Esimerkki 25. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä rajaarvo saadaan vastaus τ = 3 + 2 2 3 + 3 = 2 (9.37) +... aikaisemman Esimerkin 23 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β = 1. Siten rekursioitten (9.29) yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u1 k, B k = v2 k + w1 k, (9.38) missä t = 4, u = 1, v = 2, w = 1 saadaan alkuarvoyhtälöistä (9.33) A 0 = 3 = t + u, A 1 = 7 = 2t + u, (9.39) B 0 = 1 = v + w, B 1 = 3 = 2v + w. (9.40) 0-96

Siten A k = 4 2k 1 B k 2 2 k 1 = 4 (1/2) k 4 2 (1/2) k k 2 = 2. (9.41) 10 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 10.1. Ketjumurron τ = K n=1 ( an b n ), (10.1) häntä on ketjumurto ( an ) τ k = K n=k b n. (10.2) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+1. (10.3) 0-97

Huom 12. Mikäli ketjumurron (10.1) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) τ k = 0 a k = 0. (10.4) B) Olkoot a k, b k Q, a k = 0 kaikilla k. Tällöin τ Q τ k Q k Z +. (10.5) Lause 10.1. Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (10.6) niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.7) Lause 10.2. Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (10.8) ja τ k = 1 k Z +, (10.9) 0-98

niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.10) Ennen lauseiden 10.1 ja 10.2 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause 10.3. Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < 1 k Z +, (10.11) niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.12) Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, 1 r k s k 1 k Z +. (10.13) Palautuskaavan (10.3) nojalla r k r k+1 = s k+1 (s k a k b k r k ), (10.14) 0-99

joten välttämättä s k+1 r k s k+1 r k k Z +. (10.15) Edelleen r k+1 s k+1 1 r k 1 k Z +. (10.16) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r 1 > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 10.1 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (10.17) Edelleen 0 < τ k = a k b k + τ k+1 10.17 < a k b k 10.6 1. (10.18) Sovelletaan vielä Lausetta 10.3. 0-100

Lemma 10.1. Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (10.19) niin τ k 1 k Z +. (10.20) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+1, k = n 1,..., 1. (10.21) Oletuksen (10.19) nojalla 1 a k b k 1, k = 1,..., n, (10.22) ja 0 < κ n = a n b n < 1. (10.23) 0-101

Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla b n 1 + κ n b n 1 κ n b n 1 κ n > b n 1 1 a n 1 (10.24) Siispä 0 < κ n 1 = a n 1 b n 1 + κ n < 1 (10.25) eli 0 < a n 1 b n 1 + a n bn < 1,..., (10.26) ja lopulta 0 < a 1 a 2 a n b 1 + b 2 +...+ b n = A n B n < 1. (10.27) Niinpä τ = lim A n B n τ 1 (10.28) 0-102

ja samaten τ k 1 k Z +. (10.29) Lauseen 10.2 todistus. Lemman 10.1 nojalla τ k 1 k Z +. (10.30) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < 1 k Z +, (10.31) joten Lausetta 10.3 käyttämällä saadaan väite. Huom 13. Esimerkin (25) nojalla τ = 3 + 2 2 3 + 3 +... = 2, (10.32) joten τ 1 = 2 2 3 + 3 +... = 1 Q (10.33) vaikka Lauseen 10.2 ehto (10.8) 1 a k < b k k Z +, (10.34) 0-103

toteutuu. Mutta nyt τ 1 = 1. (10.35) 11 Transformaatioita Lause 11.1. Olkoot t k = 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a 1 a 2 b 1 + b = (11.1) 2 +... b 0 + t 1a 1 t 1 t 2 a 2 t 2 t 3 a 3 t 1 b 1 + t 2 b 2 + t 3 b 3 +... (11.2) eli ) ) K k=1 ( ak b k = K k=1 ( ck d k, (11.3) missä d 0 = b 0, c 1 = t 1 a 1, d 1 = t 1 b 1, (11.4) c k = t k 1 t k a k, d k = t k b k, k = 2, 3,... (11.5) 0-104

Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t 1 t n A n, D n = t 1 t n B n n = 1, 2,... Induktiolla käyttäen rekursioita (11.6) C n+2 = d n+2 C n+1 + c n+2 C n, (11.7) D n+2 = d n+2 D n+1 + c n+2 D n, n = 0, 1,... (11.8) 12 Kehitelmiä Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä. 0-105

12.1 Hypergeometriset sarjat Pochhammerin symboli määritellään asettamalla (a) 0 = 1, (a) n = a(a + 1) (a + n 1), (12.1) jolloin esimerkiksi (1) n = n! n Z +. (12.2) Formaalia sarjaa AF B ( a1,..., a A b 1,..., b B ) t = n=0 (a 1 ) n (a A ) n n!(b 1 ) n (b B ) n t n (12.3) kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. Erikoistapauksia: 0-106

Gauss hypergeometric series 2F 1 ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (12.4) Geometric series 2F 1 ( 1, 1 1 ) t = 1 F 0 ( 1 ) t = n=0 t n (12.5) Jos A = 0 tai B = 0, niin käytetään merkintää. Logarithm series 2F 1 ( 1, 1 2 ) t log(1 t) = t = n=0 1 n + 1 tn (12.6) Binomial series: 2F 1 ( 1, α 1 ) t = (1 t) α = n=0 ( ) α ( t) n (12.7) n Arcustangent: 2F 1 ( 1, 1/2 3/2 ) t 2 = arctan t t = n=0 ( 1) n 2n + 1 t2n+1 (12.8) 0-107

Eksponenttifunktio: 0F 0 ( ) t = exp(t) = n=0 1 n! tn (12.9) jonka avulla saadaan sarjaesitykset seuraaville funktioille. Trigonometriset funktiot sin(t) = eit e it, cos(t) = eit + e it, 2i 2 tan(t) = sin(t) cos(t). (12.10) Hyperboliset funktiot sinh(t) = et e t, cosh(t) = et + e t, 2 2 tanh(t) = sinh(t) cosh(t). (12.11) 12.2 Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Sarjalle f(c) = 0 F 1 ( c ) t = n=0 1 n!(c) n t n (12.12) 0-108

pätee palautuskaava f(c) = f(c + 1) + t f(c + 2), (12.13) c(c + 1) josta saadaan f(c+k) = f(c+k+1)+ Niinpä f(c + k) f(c + k + 1) = 1 + Toistetaan yhtälöä (12.15), jolloin f(c) f(c + 1) = 1 + t (c + k)(c + k + 1) f(c+k+2). (12.14) t (c+k)(c+k+1) f(c + k + 1)/f(c + k + 2). (12.15) t (c)(c+1) f(c + 1)/f(c + 2) = (12.16) 1 + 1 + t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) f(c+2)/f(c+3) =... (12.17) 0-109

Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä 1 + 1 + t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) 1+... (12.18) suppenee kaikilla t C kohti funktiota f(c) f(c + 1), (12.19) siten käyttämällä vielä muunnosta (11.3)saadaan Lause 12.1. Olkoon c, t C, c = 0, 1, 2,... Tällöin f(c) f(c + 1) = 1 + 1 + t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) 1+... = (12.20) 1 + c + 1 + t/c t c+2+ t c+3+.... (12.21) Lemma 12.1. sinh z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 4 = n=0 1 (2n + 1)! z2n+1 ; (12.22) 0-110

cosh z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 4 = n=0 1 (2n)! z2n ; (12.23) tanh z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ). (12.24) Lemma 12.2. sin z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 4 = n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 ; (12.25) cos z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 4 = n=0 ( 1) n (2n)! z2n ; (12.26) tan z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ). (12.27) 0-111

Lause 12.2. Kaikilla z C, z = i(π/2 + kπ), k Z pätee tanh z = ez e z e z + e z = z z 2 z 2 z 2 1 + 3 + 5 + 7. (12.28) +... Todistus. Lauseen 12.1 mukaan tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ) = (12.29) z f(1/2)/f(3/2) = 1 + c+1+ z t/c t c+2+ t c+3+... (12.30) t=z 2 /4,c=1/2 = 1 + 3/2+ z z 2 /2 z 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... = (12.31) z 1 + z 2 3+ z2 5+ z2 7+.... (12.32) 0-112

Lause 12.3. Kaikilla z C, z = π/2 + kπ, k Z pätee tan z = z 1 + Todistus laskareissa. z 2 z 2 z 2 3 + 5 + 7 +.... (12.33) 12.3 Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus 12.1. Kaikilla z C pätee e 2z = 1 + 2z z 2 z 2 1 z + 3 + 5. (12.34) +... Todistus. Yhtälön (12.28) nojalla e 2z = 1 + 2 1 tanh z = (12.35) 1 + 2 1 z 1+ z2 3 + z 2 5 +... = (12.36) 1 + 2 1 z 1+τ = 1 + z + τ 1 z + τ (12.37) 0-113

1 + 2z 1 z + τ, (12.38) missä τ = z2 z 2 3 + 5. (12.39) +... Seuraus 12.2. e = 1 + 2[0, 1, 4k + 2] k=1 = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10. (12.40) +... I. Todistus. Asetetaan z = 1/2 kehitelmään (12.34), jolloin e = 1 + 1 1/4 1/4 1/2 + 3 + 5 +... 11.3 = (12.41) Lause 12.4. 1 + 2 1 + 1 6 + e = [2, 1, 2k, 1] k=1 = 2 + 1 1 + 1 10. (12.42) +... 1 2 + 1 1. (12.43) +... 0-114

e 2 = [7, 3k 1, 1, 1, 3k, 12k + 6] k=1. (12.44) Todistus. Todistetaan (12.43), kehitelmä (12.44) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (12.40), missä merkitään α = β 1 = 2 1 + Käytetään myös merkintöjä 1 6 + 1 10. (12.45) +... β k = 1 d k + β k+1, d k = 4k 2, k = 2, 3,... (12.46) ja α 0 = β 1 = 2 = 2. (12.47) d 1 + β 2 1 + β 2 Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b 1,...]. Sijoitetaan β 2 = 1 d 2 + β 3 = 1 6 + β 3 (12.48) 0-115

yhtälöön (12.47), jolloin α 0 = 12 + 2β 3 7 + β 3 = 1 + 5 + β 3 7 + β 3 = b 0 + {α 0 }; (12.49) α 1 = 1 {α 0 } = 7 + β 3 5 + β 3 = 1 + 2 5 + β 3 = b 1 + {α 1 }; (12.50) α 2 = 1 {α 1 } = 5 + β 3 2 = 2 + 1 + β 3 2 = b 2 + {α 2 }; (12.51) Sijoitetaan α 3 = 1 {α 2 } = 2 1 + β 3. (12.52) β 3 = yhtälöön (12.52), jolloin 1 d 3 + β 4 = 1 10 + β 4 (12.53) α 3 = 2d 3 + 2β 4 d 3 + 1 + β 4 = 1 + d 3 1 + β 4 d 3 + 1 + β 4 = b 3 + {α 3 }; (12.54) 0-116

α 4 = 1 {α 3 } = d 3 + 1 + β 4 = 1+ d 3 1 + β 4 2 = b 4 +{α 4 }; d 3 1 + β 4 (12.55) α 5 = 1 {α 4 } = d 3 1 + β 4 2 = d 3 2 + 1 + β 4 2 2 = b 5 +{α 5 }; (12.56) Yleisemminkin α 6 = 1 {α 5 } = 2 1 + β 4. (12.57) α 3l 3 = 1 {α 3l 4 } = 2 1 + β l+1, (12.58) johon sijoitetaan β l+1 = 1 d l+1 + β l+2. (12.59) Tällöin α 3l 3 = 2d l+1 + 2β l+2 d l+1 + 1 + β l+2 = (12.60) 0-117

1 + d l+1 1 + β l+2 d l+1 + 1 + β l+2 = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (12.61) α 3l 2 = 1 {α 3l 3 } = d l+1 + 1 + β l+2 d l+1 1 + β l+2 = (12.62) 1 + 2 d l+1 1 + β l+2 = b 3l 2 + {α 3l 2 }; (12.63) α 3l 1 = 1 {α 3l 2 } = d l+1 1 + β l+2 2 = (12.64) d l+1 2 2 siten jälleen + 1 + β l+2 2 = b 3l 1 + {α 3l 1 }; (12.65) α 3l = 1 {α 3l 1 } = 2. (12.66) 1 + β l+2 0-118

Niinpä b 3l 1 = d l+1 2 2 = 2l, b 3l = b 3l+1 = 1 (12.67) ja siten α = β 1 = [1, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...], (12.68) josta e = 1 + β 1 = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...]. II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa (12.69) missä A n B n = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,..., b n ], (12.70) A 3n+1 = A 3n + A 3n 1, B 3n+1 = B 3n + B 3n 1 ; (12.71) 0-119

A 3n+2 = 2(n+1)A 3n+1 +A 3n, B 3n+2 = 2(n+1)B 3n+1 +B 3n (12.72) A 3n+3 = A 3n+2 + A 3n+1, B 3n+3 = B 3n+2 + B 3n+1. Asetetaan (12.73) α n = 1 n! 1 0 x n (x 1) n e x dx, (12.74) β n = 1 n! 1 0 x n+1 (x 1) n e x dx, (12.75) γ n = 1 n! Lemma 12.3. 1 0 x n (x 1) n+1 e x dx. (12.76) α n = β n 1 γ n 1 ; (12.77) 0-120

β n = 2nα n + γ n 1 ; (12.78) γ n = β n α n. (12.79) Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista 1 ja e, joten merkitään: Lemma 12.4. α n = v 3n 2 e t 3n 2 ; (12.80) β n = t 3n 1 v 3n 1 e; (12.81) γ n = t 3n v 3n e. (12.82) Lemma 12.5. v n = B n n N. (12.83) 0-121

Lemma 12.6. B 3n 2 e A 3n 2 = α n n 0; (12.84) B 3n 1 e A 3n 1 = β n n 0; (12.85) B 3n e A 3n = γ n n 0; (12.86) Todistus. lim A n B n = e e = [2, 1, 2k, 1] k=1. (12.87) 13 Irrationaalisuustuloksia Lause 13.1. Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (13.1) 0-122

nojalla Todistetaan tapaus z = r Z {0}. Yhtälön (12.28) e 2r 1 e 2r + 1 = r r 2 r 2 1 + 3 + Vastaoletus 5 +...+ r 2 2k 1 + τ k+1 = τ. (13.2) e r Q e2r 1 e 2r + 1 Q. (13.3) Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että b k+1 = 2k + 1 > r 2 = a k+1, (13.4) jolloin Lauseen 10.1 nojalla τ k+1 / Q τ / Q. (13.5) Ristiriita. Lause 13.2. π / Q (13.6) 0-123

I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = 1 ja yhtälön (12.33) nojalla z = 1 + z2 z 2 z 2 3 + 5 + 7. (13.7) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = 1 + (r/s)2 (r/s) 2 (r/s) 2 3 + 5 + 7 +... 11.3 = (13.8) missä 1 + r2 r 2 r 2 3s 2 + 5 + 7s 2 +... = τ, (13.9) b k = (2k + 1)s 2 2 k, b k = 2k + 1 2 k, (13.10) Nyt a k = r 2, k Z +. (13.11) b k a k + 1, k k 0 = r2 + 1 2 (13.12) 0-124