Fraktionaalisen volatiliteettimallin arbitraasivapaus ja täydellisyys

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Antti Aro Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos Fraktionaalisen volatiliteettimallin arbitraasivapaus ja täydellisyys Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Helmikuu 17 39 s. Tiivistelmä Referat Abstract Mendesin et. al. esittää julkaisussa No-arbitrage, leverage and completeness in a fractional volatility model (15) markkinamallin, jossa osakkeen hinnan volatiliteettiprosessi on rakennettu fraktionaalisesta Brownin liikkeestä. Mendes et. al. todistaa tällaisen markkinamallin olevan arbiraasivapaa. Markkinamallin täydellisyys puolestaan riippuu siitä, onko log-hinnan ja volatiliteettiprosessin satunnaisuus luotu samasta vai kahdesta riippumattomasta prosessista. Tässä työssä käydään läpi nuo todistukset, ja niiden vaatima matematiikka: stokastinen integraali, Itôn kaava ja rahoitusteorian kaksi ensimmäistä päälausetta. Käsittelemme lisäksi Girsanovin lauseen sekä lukuisia ehtoja, joiden pätiessä lokaalista martingaalista muodostettu stokastinen eksponentiaali on martingaali. Avainsanat Nyckelord Keywords stokastinen integraali, fraktionaalinen Brownin liike, Girsanovin lause, martingaali Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Fraktionaalisen volatiliteettimallin arbitraasivapaus ja täydellisyys Antti Aro 3. helmikuuta 17 Sisältö 1 Johdanto Todennäköisyysteorian perusteet 3 3 Brownin liike 6 4 Stokastinen integraali 7 5 Fraktionaalinen Brownin liike 15 6 Rahoitusteorian perusteet 18 7 Girsanovin lause 3 8 Log-hintaprosessi 31 9 Väite I 33 1 Väite II 35 11 Väite III 36 1 Lähdeluettelo 39 1

1 Johdanto Black-Scholes -markkinamalli Osakkeen hintaa on klassisessa markkinamallissa pitkään kuvattu stokastisella dierentiaaliyhtälöllä: ds t = µs t dt + σs t db(t) Tässä ensimmäinen termi on deterministinen osa kun taas toinen termi tuottaa hinnan satunnaisvaihtelun. Satunnaisvaihtelussa integraattorina toimivalla Brownin liikkeellä on niinsanottu martingaaliominaisuus: E P (X(t) F s ) = X(s) Eli prosissin käyttäytyminen tulevaisuudessa riippuu siis vain sen hetkisestä tilasta, ei tarkasta historiasta. Mendes et. al. kuvailee kuitenkin mallin ongelmia näin: On havaittu, että osakemarkkinoilla on jonkinlainen pitkän aikavälin muisti, jota tämä yhtälö ei kykene mallintamaan. Lisäksi epävarmoina aikoina sijoittajat ovat haluttomampia sijoittamaan. Näin siis volatiliteetin eli epävarmuuden pitäisi olla oma satunnaisprosessinsa. Fraktionaalisen volatiliteetin malli Ratkaisuna tähän on Mendesin et. al. julkaisussa No-arbitrage, leverage and completeness in a fractional volatility model (15) dataan sovittamalla löydetty malli, jossa volatiliteettiprosessi σ t on rakennettu fraktionaalisesta Brownin liikkeestä. Tavallisesta Brownin liikkeestä poiketen fraktionaalinen Brownin liikkeen lisäykset eivät ole riippumattomia, ja sitä kautta malliin voidaan tuoda mukaan autokorrelaatiota ja muita klassisesta mallista puuttuvia mutta todellisuudessa havaittuja ominaisuuksia. Dataan sopivuuden lisäksi malli on myös matemaattisesti toimiva. Mendes et. al. ovat päätyneet malliinsa, jonka esittelemme kappaleessa 8, lähtemällä liikkeelle kahdesta oletuksesta: Näistä ensimmäinen on, että log-hintaprosessi log S t kuuluu todennäköisyystuloavaruuteen (Ω 1 Ω, P 1 P ), joista ensimmäinen (Ω 1, P 1 ) sisältää Brownin liikkeen ja toinen todennäköisyysavaruus rakennetaan datasta. Merkitään näiden todennäköisyysavaruuksien alkioita (polkuja): ω 1 Ω 1 ja ω Ω. Nyt log-hintaprosessin tietty, toteutunut arvo on: log S t (ω 1, ω ) Toinen oletus puolestaan on, että jokaiselle kiinteälle ω :lle, log S t (, ω ) on P 1 - neliöintegroituva satunnaismuuttuja Ω 1 :ssä, eli: E P1 [(log S t (, ω )) ] < Volatiliteettiprosessi, johon on päädytty on siinä mielessä yksikäsitteinen, että se on yksinkertaisin, datan kanssa konsistentti prosessi. Näin saatu malli on muotoa: ds t = µ t S t dt + σ t S t db(t) log σ t = β + k δ [B H(t) B H (t δ)] Missä B H (t) on fraktionaalinen Brownin liike.

Tämän työn sisältö Mendes et. al. todistaa, että tällainen markkinamalli on arbitraasivapaa, eli siinä ei voi tehdä riskitöntä voittoa, ja epätäydellinen mikäli volatiliteettiprosessin σ t fraktionaalinen Brownin liike ja integraattorina toimiva Brownin liike ovat riippumattomia. Markkinamalli on kuitenkin täydellinen mikäli näiden satunnaisuus syntyy yhdestä ja samasta Brownin liikkeestä. Käymme seikkaperäisesti läpi nämä todistukset, ja niissä käytettävän matematiikan. Mallin muita tilastollisia ominaisuuksia tai dataan sopivuutta emme tässä työssä käsittele. Aloitamme stokastisten dierentiaaliyhtälöiden, stokastisen integraalin, ja niihin läheisesti liittyvän Itôn kaavan huolellisella käsittelyllä. Käymme läpi myös hintaprosesseissa esiintyvät Brownin liikkeen ja fraktionaalisen Brownin liikkeen. Tämän jälkeen työn todistuksissa keskeisessa asemassa ovat rahoitusteorian kaksi ensimmäistä päälausetta, jotka sitovat markkinamallin arbitraasivapauden ja täydellisyyden yhtäpitävien martingaalimittojen löytämiseen. Tavoitteenamme on siis löytää todennäköisyysmittoja, joissa hintavektori toteuttaa edellä mainitun martingaaliominaisuuden. Näitä martingaalimittoja etsiessä hyödynnetään Girsanovin lausetta, missä lokaalista martingaalista M rakennetaan stokastinen eksponentiaali: exp (M 1 ) M Martingaalius on pelkkää lokaalia martingaaliutta vahvempi ominaisuus. Tiettyjen ehtojen vallitessa kuitenkin lokaalista martingaalista muodostettu stokastinen eksponentiaali on aito martingaali. Käsittelemme näistä ehdoista yleisimmin käytetyt Kazamakin ja Novikovin ehdot, mutta myös harvinaisemmat Kallianpurin ehdon ja ehdon, jossa M kuuluu luokkaan BMO (bounded mean oscillation). Nämä ehdot ovat merkittäviä, koska aidon martingaaliuden toteutuessa voidaan stokastisesta eksponentiaalista rakentaa uusi todennäköisyysmitta ja määritellä Brownin liike tässä uudessa todennäköisyysmitassa. Tavoitteena on rakentaa todennäköisyysmitta, jossa hintavektori voidaan esittää stokastisena integraalina tämän uuden Brownin liikkeen suhteen. Brownin liikkeen martingaaliominaisuus nimittäin säilyy integroitaessa Brownin liikkeen suhteen. Näin on siis löydetty martingaalimitta hintavektorille. Todennäköisyysteorian perusteet Kertaamme tässä lyhyesti osakkeen hintaprosessin ja rahoitusteorian ymmärtämisen kannalta tärkeät todennäköisyysteorian perusteet, keskeiset suppenemiskäsitteet ja epäyhtälöt. Suuri osa määritelmistä on poimittu Baksteinin ja Capasson kirjasta (15), mutta samanlaiset käsitteet löytyvät muualtakin. Nämä luovat pohjan työssä käytettävälle matemaattiselle koneistolle. Erityisen tärkeässä asemassa tulevat olemaan martingaalit. Ero martingaalin ja lokaalin martingaalin välillä on myös keskeinen. Todennäköisyysavaruus Määritelmä.1 (Todennäköisyysavaruus). Todennäköisyysavaruuden muodostaa kolmikko (Ω, F, P ), missä Ω on joukko, F on Ω:n alijoukkojen σ-algebra 3

ja P : F [, 1] on F:n todennäköisyysmitta joka toteuttaa: 1. P (Ω) = 1 ja P ( ) =. Kaikille A 1,..., A n F joille A i A j =, i j: P ( ) A i = P (A i ) i i Määritelmä.. Olkoon (Ω, F, P ) todennäköisyysavaruus. Reaaliarvoinen satunnaismuuttuja X on mikä tahansa Borel-mitallinen kuvaus X : Ω R jolle kaikilla B B R : X 1 (B) F. Jatkossa emme tyypillisesti kirjoita todennäköisyysavaruutta eksplisiittisesti näkyviin. Satunnaismuuttujien suppeneminen m.v. Määritelmä.3. X (n) suppenee P -melkein varmasti kohti X:ää, X (n) X jos on olemassa S F siten että P (S ) = ja kaikilla ω Ω \ S : lim n X(n) (ω) = X(ω). Toisin sanoen lim n X(n) = X todennäköisyydellä 1 ja sallimme P -mitallisen alueen jossa lim n X(n) joko eroaa X:stä tai ei ole määritelty. Määritelmä.4. X (n) suppenee P-mielessä kohti X:ää, lim mikäli jokaisella ɛ > toteutuu: n X(n) P X lim P n ( X(n) X > ɛ) = Lause.5. lim n X(n) P X Jos ja vain jos on olemassa n:n deterministinen alijono n k jolle X (n) m.v. X. Määritelmä.6. X (n) suppenee L p -mielessä kohti X:ää, X (n) X (n), X L p kaikilla n N + sekä: Lp X mikäli lim n X(n) X p = Määritelmä.7. Sarja todennäköisyyksiä P (n) suppenee heikosti kohti P :tä mikäli kaikille jatkuville ja rajoitetuille funktioille f : R R pätee: fdp (n) = fdp lim n Tätä merkitään lim P (n) W P n Määritelmä.8. X (n) suppenee jakauman mielessä kohti X:ää jos todennäköisyyksien sarja P X (n) suppenee heikosti kohti P X :ää. Tätä merkitään lim n X(n) d X. 4

Lause.9. X (n) suppenee jakauman mielessä kohti X:ää jos ja vain jos jokaiselle jatkuvalle ja rajoitetulle funktioille f : R R pätee: lim n E P [f(x (n) )] = E P [f(x)] Lause.1. Jos 1 r p ja X (n) Lp X niin siitä seuraa X (n) Lr X. Lause.11 (Dominoitu konvergenssi). Jos lim n X(n) Y kaikilla n N + ja Y L p niin siitä seuraa X (n), X L p sekä X (n) P X ja X (n) Lp X Epäyhtälöitä Lause.1 (Hölderin epäyhtälö). Jos 1 r = 1 p + 1 q, niin: {E P XY r } 1 r {EP X p } 1 p {EP Y q } 1 q Lause.13 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). {E P XY } {E P X } 1 {EP Y } 1 Tämä on erikoistapaus Hölderin epäyhtälöstä valinnoilla r = 1, p =, q =. Lause.14 (Jensenin epäyhtälö). Jos X on integroituva ja f konveksi funktio, pätee: f(e P [X]) E P [f(x)] Lause.15 (Fatoun lemma). Olkoon X (n) ei-negatiivinen kaikilla n N +. Silloin pätee: E P {lim inf(x (n) )} lim inf E P (X (n) ) n n Satunnaisprosessi Määritelmä.16. Olkoon (Ω, F, P ) todennäköisyysavaruus, T indeksijoukko ja (E, B) mitallinen avaruus. Tässä työssä on tyypillisesti joko T = R + tai T = [, T ]. Nyt (E, B)-arvoinen satunnaisprosessi X (Ω, F, P ):ssä on perhe satunnaismuuttujia X t, t T, X t : (Ω, F) (E, B), t T. Määritelmä.17. Kaksi reaaliarvoista satunnaisprosessia, X t ja Y t ovat modikaatioita tai versioita toisistaan jos: P (X t = Y t ) = 1, t Määritelmä.18. Satunnaisprosessi X t on integroituva, eli X t L 1 jos E P X t < kaikille t. Vastaavasti X t L p jos X t p L 1 Jos X t L puhutaan neliöintegroituvuudesta. Määritelmä.19. Reaaliarvoinen satunnaisprosessi X t on jatkuva P-mielessä jos, kun t t, niin X t P Xt Vastaavalla tavalla voidaan määritellä myös P- melkein varma jatkuvuus. 5

Lause.. (Kolmogorovin jatkuvuuslause). Jos X on jatkuva P- mielessä, jos on olemassa r, c, ɛ, δ > siten että kaikilla h < δ, t > siten että pätee: E P [ X t+h X t r ] ch 1+ɛ Niin on olemassa versio X:stä, joka eroaa siitä vain nollamitallisessa joukossa ja jolle X:n polut ovat jatkuvia P-melkein varmasti. Lisäksi X:n polut ovat β- Hölder-jatkuvia jokaiselle < β < ɛ r. Määritelmä.1. Satunnaisprosessi X t, t on kasvava, jos P-melkein varmasti se on ei-vähenevä, ei-negatiivinen ja oikealta jatkuva. Määritelmä.. Määritellään ltraatio F t joka on kasvava perhe F:n ali-σ-algebroja, eli F F t... F. Satunnaisprosessin X t sanotaan olevan sovitettu ltraatioon F t jos X t on F t -mitallinen. Ellei toisin mainita ltraatio on jatkossa X t :n generoima tai luonnollinen ltraatio: F t = σ(x s, s t). Prosessin X t generoima augmentoitu ltraatio on lisäksi oikealta jatkuva. Määritelmä.3. Prosessi X t, t on progressiivisesti mitallinen ltraatiossa F t, t, jos kaikille t kuvaus (s, ω) [, t] Ω X(s, ω) on (B [,t] F t )-mitallinen. Progressiivinen mitallisuus on pelkkää mitallisuutta vahvempi ominaisuus. Määritelmä.4. Satunnaisprosessi M t on P -martingaali ltraatiossa F t jos 1. M t on F t -sopiva kaikilla t. E P ( M t ) < t 3. E P (M t F r ) = M r aina kun r t Mikäli ltraatio ja todennäköisyysmitta ovat ilmeisiä jätämme ne jatkossa eksplisiittisesti mainitsematta kun jatkossa puhumme martingaaleista. Mikäli kolmas ehto toteutuu muodossa E P (X t F r ) X r aina kun r t Kyseessä on ylimartingaali. Vastaavasti jos E P (X t F r ) X r, X t on alimartingaali. Määritelmä.5. Pysähdyshetki ltraatiossa F t on satunnainen ajanhetki τ jolle {τ t} F t kaikille t > Toisinsanoen jokaisella ajanhetkellä t tiedetään, onko prosessi pysähtynyt vai ei. Määritelmä.6. Prosessi X t on lokaali (F t, P )-martingaali jos on olemassa sarja pysähdysaikoja, {τ n : n N + ; τ 1 < τ... < τ n } Joilla lim τ n = T n P-melkein varmasti, ja lokalisoitu prosessi M (τn) t := M t τn on martingaali jokaiselle n N +. Vastaavasti määritellään lokaalit yli- ja alimartingaalit. 3 Brownin liike Brownin liike on tärkeä esimerkki niin stokastisesta prosessista kuin martingaalistakin. Toisinaan Brownin liikettä kutsutaan myös Wienerin prosessiksi. Se esiintyy myös eksplisiittisesti osakkeen hintaprosessia kuvaavassa stokastisessa 6

dierentiaaliyhtälössä. Myöhemmin toteamme, että mikä tahansa, tietyt yleiset ehdot täyttävä martingaali voidaan esittää stokastisena integraalina Brownin liikkeen suhteen. Määritelmä 3.1. Brownin liikkeen määritelmä Partzschin ja Schillingin kirjasta (1, s. 4): B(t), t R + on reaaliarvoinen satunnaisprosessi jolle 1. Polku lähtee liikkeelle origosta, eli B() = P-melkerin varmasti. B(t):n lisäykset ovat riippumattomia, eli kaikilla t 1 <... < t n satunnaismuuttujat B(t 1 ), B(t ) B(t 1 ),..., B(t n ) B(t ) ovat riippumattomia. 3. B(t) B(s) on normaalijakautunut odotusarvolla ja varianssilla t s, s t E P [B(t)] = kaikilla t >. Lisäksi Cov[B(t), B(s)] = min{t, s}. Brownin liike on stationaarinen eli B(t) ja B(t + h) B(h) ovat samoin jakautuneita kaikilla t, h. Suoraan määritelmästä seuraa että Brownin liike on martingaali. Lause 3.. Brownin liikkeestä on versio, jonka polut ovat jatkuvia. Todistus Baksteinin ja Capasson kirjasta (15, s.134) : Olkoon t, h >, nyt B(t+h) B(t) N(, h). Määritellään Z t,h := B(t+h) B(t) h. Nyt Z t,h N(, 1) ja on olemassa r > siten että E P [ Z t,h r ] > mistä seuraa E P [ B(t+h) B(t) r ] = E P [ Z t,h r ]h 1. Valinnoilla r = (1+ɛ) ja c = E P [ Z t,h ] tämä saadaan muotoon E P [ B(t + h) B(t) r ] = ch 1+ɛ ja väite seuraa Kolmogorovin jatkuvuuslauseesta.. Lause 3.3 (Brownin liikkeen Lèvyn karakterisaatio). Olkoon X t jatkuva, reaaliarvoinen stokastinen prosessi. Nyt X t on Brownin liike todennäköisyysmitassa Q jos ja vain jos X t on Q-martingaali sekä X t t on Q-martingaali. 4 Stokastinen integraali Pystymme nyt ymmärtämään muotoa dx t = a t (X t, ω)dt + b t (X t, ω)db(t); olevat stokastiset dierentiaaliyhtälöt. X = x Stokastista dierentiaaliyhtälöä ei sinänsä ole määritelty, sillä Brownin liike ei ole dierentioituva missään. Voimme kuitenkin ymmärtää stokastisen dierentiaaliyhtälön lyhyempänä tapana kirjoittaa stokastinen integraali. X t X = a t (X s, ω)dt + a t (X s, ω)db(s) Ensimmäinen integraali on tavallinen Lebesgue-Stieltjesin integraali. Nyt meidän pitää enää määritellä stokastinen integraali: a t (X s, ω)db(s) 7

Stokastinen integraali on tässä työssä hyvin keskeisessä osassa, ja siksi käytämme sen käsittelyyn runsaasti aikaa. Stokastisia dierentiaaliyhtälöitä ratkaistaan Itôn kaavalla, minkä tulemme todistamaan. Määritelmä 4.1. Prosessi f t (ω) on paloittain määritelty ja ennustettava, jos on olemassa välin [, T ] ositus = t < t 1 <... < t n = T ja kokoelma F t - mitallisia funktioita e i (ω) joille: f t (ω) = e i (ω)i (ti,t i+1](t) i= Missä I (ti,t i+1](t) on indikaattorifunktio, se saa arvon 1 kun t (t i, t t+1 ] ja arvon muulloin. f t (ω) on siis satunnaismuuttuja, jonka aikakehitys tapahtyy askelissa. Ennustettavuus tarkoittaa, että jokaisella t > X t on F t -mitallinen. Tämä ominaisuus seuraa siitä, että funktion arvo välillä (t i, t i+1 ] on nimenomaan funtktion arvo välin oikeassa päätepisteessä. Määritelmä 4.. Paloittain määritellyn prosessin stokastinen integraali määritellään: T f s (ω)db(s) := e i (ω)(b(t i+1 ) B(t i )) i= Integraali voidaan määritellä vastaavasti myös muun satunnaisprosessin, kuin Brownin liikkeen suhteen. Lause 4.3. Jos f t (ω) on jatkuva funktio, on olemassa paloittain määritelty f (n) t (ω) osituksella = t < t 1 <... < t n = T jolle f (n) t (ω) L f t (ω) kun n todennäköisyysavaruudessa ([, T ] Ω, dt dp ) jolle stokastisen integraalin jatkuvuuden nojalla pätee: (ω)db(s) L T T f (n) s f s(ω)db(s) kun n. L -suppenemisesta seuraa P -suppeneminen mistä seuraa, että on olemassa alijono n k jolla P-melkein varmasti: T T lim f (n k) s (ω)db(s) = k f s (ω)db(s) Määritelmä 4.4. Prosessin X t p-heilahtelu välin [, t] osituksella Π, missä Π = {t, t 1,..., t n } ja = t t 1 t... t n = t: sekä Π = max i+1 t i. i V (p) t (Π) := X ti+1 X ti p i= Jos p = puhutaan neliöllisestä heilahtelusta ja arvolla p = 1 pelkästä heilahtelusta. p-heilahtelun sanotaan olevan rajoitettu, jos sup V (p) t (Π) < 8

Lause 4.5 (Doob-Meyerin hajotelma). Olkoon X t, t T jatkuva, tasaisesti integroituva ylimartingaali. Nyt on olemassa kasvava, jatkuva prosessi A t jonka heilahtelu on rajoitettu ja jolle pätee A =, sekä jatkuva martingaali M t jotka toteuttavat: X t = M t A t Alimartingaalin tapauksessa tämä saadaan muotoon: X t = M t + A t Doob-Meyerin hajotelma on yksikäsitteisesti määritelty. Määritelmä 4.6. Olkoon M t ja A t kuten Doob-Meyerin hajotelmassa 4.5. edellä. Nyt määritellään martingaalin (jatkuva-aikainen) neliöllinen heilahtelu: M t = A t ja Mt M t on martingaali. Martingaaline neliöllinen heilahtelu toteuttaa kaavan: kaikilla s t E P ((M t M s ) F s ) = E P ((Mt E P (M s M t F s ) + Ms ) F s ) = E P ((Mt Ms ) F s ) = E P ( M t M s F s )) Seuraus: Brownin liikkeen neliöllinen heilahtelu: E P ((B(t) B(s)) F s ) = E P ((B(t) B(s) ) F s ) = E P ((t s) F s ) = E P ( B t B s F s )) Eli B t = t Lause 4.7. lim V () P t M t Π Todistus Karatzasin ja Shreven (199, s.3-34) kirjaan perustuen: Todistamme lauseen kahden lemman kautta: Lemma 4.8. Jos M on neliöintegroituva martingaali jolle M s K < kaikilla s [, t] P-melkein varmasti. Olkoon Π = {t, t 1,...t m } joille = t t 1... t m = t välin [, t] ositus. Sitten E P [V () t (Π)] 48K 4 Todistus: E P [V () t (Π)] [ = E P M ti+1 M ti 4] [ n + E P (M ti+1 M ti ) (M tk+1 M tk ) ] (4.1) i= k= i=k Lähdemme nyt etsimään termeille ylärajoja. Toteamme ensin että laskettaessa martingaalien lisäysten toisten potenssien odotusarvoja voimme sivuuttaa ristitermit koska kaikille s t u v toteutuu: E P [(M v M u )(M t M s )] = E P {E P [M v M u F u ](M t M s )} = Lisäksi pätee: E P [(M v M u ) F t ] = E P [M v M u E P [M v F u ] + M u F t ] = E P [M v M u F t ] = E P [ M v M u F t ] Termien M v M v (M u M u ) ja (X v X u ) ( M v M u ) odotusarvo ehdolla F t on nolla, joten odotusarvo tuota muotoa olevien termien tulosta on 9

myös nolla niin kauan, kun välit ovat erilliset. Nyt kaikille k n 1 pätee: E P [ (M ti+1 M ti ) F k ] = E P [{ (M ti+1 M ti } F k ] i=k Yhtälöstä (4..) seuraa: i=k = E P [(M tn M tk ) F k ] 4K (4.) Sekä: [ n E P (M ti+1 M ti ) (M tk+1 M tk ) ] k= i=k { n } = E P (M tk+1 M tk ) E P [(M ti+1 M ti ) F tk ] k= i=k n 4K E P (M tk+1 M tk ) 16K 4 (4.3) k= [ E P M ti+1 M ti 4] [ 4K E P M ti+1 M ti ] 16K 4 (4.4) i= i= Sijoittemalla (4.3) ja (4.4) yhtälöön (4.1) saadaan: E P [V () t (Π)] 48K 4 Lemma 4.9. Todistus: lim E P V (4) t (Π) = Π lim E P V (4) t (Π) lim E P V () t (Π) m t (M; Π ) (4.5) Π Π missä m t (M; Π ) := sup{ M r M s ; r s t, s r Π } Missä mitallisuus taataan rajoittamalla s ja t rationaalisiksi. Soveltamalla Hölderin epäyhtälöä (.1.) yhtälöön (4.5):een saadaan: E P V (4) t (Π) {E P [V () t (Π)] } 1 EP [m 4 t (M; Π )] 1 Π :n lähestyessä nollaa ensimmäinen tekijä pysyy rajoitettuna lemman 1 nojalla ja toinen tekijä lähestyy nollaa M t :n jatkuvuuden ja dominoidun konvergenssin takia. Näiden kahden lemman avulla todistamme itse lauseen (4.7.): Oletamme ensin että M s K < ja M s K kaikille s [, t] P- melkein varmasti. Jokaiselle ositukselle Π = {t, t 1,..., t n }. 1

M t i+1 M t i ( M ti+1 M ti ) on martingaali joten korotettaessa tällaisten termien summaa toiseen potenssiin ristitermit voidaan sivuuttaa samalla tavalla kuin olemme sivuuttaneet odotusarvon sisällä olevat M ti M tj, j i-muotoa olevat termit. Näin voimme kirjoittaa: E P (V () t [ (Π) M t ) = E P {(M ti+1 M ti ) ( M ti+1 M ti )} i= = E P [(M ti+1 M ti ) ( M ti+1 M ti )] i= E P [(M ti+1 M ti ) 4 ( M ti+1 M ti ) ] i= ] E P V (4) t (Π) + E P [ M t m t ( M ; Π ) Ensimmäinen termi menee kohti nollaa lemman (4.9) nojalla kun Π lähestyy nollaa. Näin käy toisenkin termin kohdalla, koska dominoidun konvergenssin ja M t :n jatkuvuuden takia. Suppenemisesta L -mielessä seuraa P-suppeneminen. Oletetaan nyt että M t ei välttämättä ole rajoitettu. Määritellään sarja pysähdysaikoja τ n, n = 1,,... τ n = inf{t ; M t n tai M t n} Nyt M (n) t := M t τn on rajoitettu martingaali ja Mt τ n M t τn on martingaali. Doob-Meyrerin hajotelman yksikäsitteisyydestä seuraa M (n) t = M t τn Nyt välin [, t] osituksille pätee lim E P [ (M ti+1 τ n M ti τ n ) M t τn ] = Π i= Missä τ n P-melkein varmasti. Itôn kaava Lause 4.1. Jokaiselle muotoa X t = X +M t +C t olevalle prosessille, missä M t on lokaali martingaali ja C t = A + t A t, A + t := max{a t, }, A t := max{ A t, } ja A t :t ovat kasvavia, F t -mitallisia prosesseja. C t :n kokonaisheilahtelu on siten Č t := A t + A t, toteuttaa P-melkein varmasti: df(x t ) = f(x t, ) x dm t + f(x t, ) dc t + 1 f(x t, ) x x d M t, t T Missä f(x t ) on jatkuva, kahdesti derivoituva funktio. Todistus Karatzasin ja Shreven kirjaa mukaillen (199, s.149-153), kolmeen vaiheeseen jaettuna: Vaihe 1.: Lokaalius. Määrittelemme jokaiselle k 1 pysäytysajat jos X k τ k = inf{s ; M s k tai ˇB k tai M s k} t muulloin ] 11

Pysähdysaikojen sarja on ei-vähenevä ja lim τ k t P-melkein varmasti. k Voimme siis määritellä pysäytetyn prosessin X (k) t := X t τk ja saamme halutut tulokset raja-arvona k. Pysäytetylle prosessille voimme olettaa, että X :lla ja satunnaisfunktioilla M, Č ja M on yhteinen yläraja K. Näin voimme rajoittua arvoihin joita f(x) saa välillä x [ 3K, 3K]. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan näin olettaa että f ja sen osittaisderivaatat ovat rajoitettuja. Vaihe. Valitaan välin [, t] ositus Π = {t, t 1,...t n } jolla = t < t 1 <... < t n = t. Nyt Taylorin sarjasta saadaan: f(x t ) F (X ) = f(x ti+1 ) f(x ti ) = i= i= f(x ti ) (X i+1 X i ) + 1 f(η i ) x x (X i+1 X i ) (4.6) i= Missä η i = X ti 1 + θ i (X ti X ti 1 ) sopivasti valituilla θ i :n arvoilla, θ i 1 kaikilla i n 1. Kirjoitetaan yhtälö (4.6) muodossa: Missä J 1 (Π) := J 3 (Π) := i= i= f(x t ) F (X ) = J 1 (Π) + J (Π) + 1 J 3(Π) f(x ti ) (C i+1 C i ), J (Π) := x i= f(η i ) x (X i+1 X i ) f(x ti ) (M i+1 M i ), x Termi J 1 (Π) suppenee kohti Lebesgue-Stieltjesin integraalia f(x t) x dc s kun Π = max t i+1 t i i Satunnaisprosessi Y s := f(xs) x on F-mitallinen, jatkuva ja rajoitettu. Approksimoimme sitä paloittain määritellyllä prosessilla. Ys Π f(x ti ) := I [ti,t x i+1)(s) Koska Y s ja Ys Π Π. ovat rajoitettuja, pätee E P Y Π s Y s Π Π dm s Y sdm s i= Y s d M s kun Ja nyt J (Π) = Termi J 3 (Π) voidaan jakaa osiin J 3 (Π) = J 4 (Π) + J 5 (Π) + J 6 (Π) Missä J 4 (Π) := J 6 (Π) := i= i= f(η i ) x (C i+1 C i ), J 5 (Π) := f(η i ) x (M i+1 M i ) i= f(η i ) x (C i+1 C i )(M i+1 M i ), 1

Nyt J 4 (Π) + J 5 (Π) C ti+1 C ti f(η i ) x i= ( max C t i+1 C ti + max M t i+1 M ti ) (4.7) i i i= missä C ti+1 C ti K Sillä olemme rajoittaneet B t :n kokonaisheilahtelun. Koska prosessit C t ja M t ovat jatkuvia, (4.7) konvergoi kohti nollaa kun P-melkein varmasti Π. Määritellään nyt Joten J 6 (Π) := i= f(x ti ) x (M ti+1 M ti ) J6 (Π) J 6 (Π) = ( f(x ti ) x f(η i ) x )(M ti+1 M ti ) Lemmasta (4.8.) seuraa: i= V () t (Π) max i ( f(x ti ) x f(η i ) x ) E P J6 (Π) J 6 (Π) 48K E 4 f(x P ( max i ti ) x f(η i ) x ) Tämä lähestyy nollaa kun Π koska X on jatkuva ja f:n derivaatat rajoitettuja. Määritellään J 6(Π) := i= f(x ti ) x ( M ti+1 M ti ) Muistetaan odotusarvon sisällä olevien ristitermien katoavan kuten lemmoja (4.8.) ja (4.9.) todistettaessa: E P J6 (Π) J 6(Π) = i= f(x ti ) x {(M ti+1 M ti ) ( M ti+1 M ti )} = [ [ f(x ti ) x ] {(M ti+1 M ti ) ( M ti+1 M ti )} ] i= f(x ti ) x ] E P [ (M ti+1 M ti ) 4 + i= ( M ti+1 M ti ) ] f(x ti ) x ] E P [V (4) t (Π) + M t max i ( M t i+1 M ti )] 13 i=

V (4) t (Π) menee kohti nollaa lemman (4.9.) nojalla. Toinen termi suppenee kohti nollaa, koska M on rajoitettu. Koska L -suppenemisesta seuraa L 1 - suppeneminen, toteutuu: L 1 -mielessä. i= f(η i ) t x (X i+1 X i ) Π f(x ti ) x d M s Vaihe 3.: Nyt {Π (n) } n=1 on jono välin [, t] osituksia joilla Π (n) n. L 1 -suppenemisesta seuraa suppeneminen P-mielessä mistä seuraa, että on olemassa deterministinen ositusten alijono {Π n k } k=1 joilla suppeneminen on P- melkein varmaa. Lause 4.11. Olkoon Y t = X sdm s stokastinen integraali martingaalin suhteen missä M ja X ovat jatkuvia ja integroituvia, nyt Y t on martingaali kaikille t [, T ]. Todistus Baksteinin ja Capasson kirjasta yleistäen (15, s 199-1): Määrittelemme ensin kuten edellä, jokaiselle k 1 pysäytysajat jos X k tai M k τ k = inf{t ; X t k tai tai M t k} T muulloin Pysähdysaikojen sarja on ei-vähenevä ja lim τ k T P-melkein varmasti. k Määritellään nyt pysäytetty prosessi Y (k) t := Y t τk ja josta saamme tulokset raja-arvoina k. Pysäytetylle prosessille voimme olettaa, että X, M ja M ovat rajoitettuja vakiolla K. Valitaan sitten välin [, T ] ositus, Π = {t, t 1,...t n } jolla = t < t 1 <... < t n = T ja arvioidaan prosessia X t paloittain määri- tellyllä prosessilla Xt Π := X ti I [ti,t i+1)(s). Koska X on rajoitettu, on olemas- i= sa paloittain määritelty prosessi jolle pätee: t T. Paloittain määritellylle prosessille pätee: lim E P X t Xt Π = kaikille Π Y Π t = j 1 Xs Π dm s = X ti (M i+1 M ti ) + X tj (M t M tj ) i= Missä j toteuttaa t j t < t j+1 Nyt meidän on osoitettava, että E P [Yt Π F s ] = Ys Π E P [Yt Π Ys Π F s ] = P-melkein varmasti, eli 14

Y Π t Nyt pätee, t h s < t h+1 ja t j t < t j+1 sekä h j: Y Π j 1 s = X ti (M i+1 M ti ) + X tj (M t M tj ) i= X ti (M i+1 M ti ) + X th (M s M th )] h 1 [ = i= j 1 i=h+1 X ti (M i+1 M ti ) + X tj (M t M tj ) X th (M th+1 M s ) (4.8) Nyt s < t j kaikille j {h + 1,..., k} joten F s F tj. Ottamalla odotusarvo (4.8):sta ehdolla F s ja käyttämällä Tower-ominaisuutta 7.6. saadaan: E P [ = j 1 i=h+1 j 1 i=h+1 X ti (M ti+1 M ti ) F s ] + E P [X tj (M t M tj ) F s ] E P [X th (M th+1 M s ) F s ] E P [E P [X ti (M i+1 M ti ) F ti ] F s ] + E P [E P [X tj (M t M tj ) F tj ] F s ] E P [X th E P [(M th+1 M s ) F s ] F s ] = j 1 i=h+1 E P [X ti E P [(M ti+1 M ti ) F ti ] F s ] + E P [X tj E P [(M t M tj ) F tj ] F s ] E P [X th E P [(M th+1 M s ) F s ] F s ] = Missä lauseke menee nollaksi, koska martingaaliominaisuudesta seuraa: E P [M ti+1 M ti F ti ] =. Osoitetaan sitten että E P [ Y t Y s F s ] =, jokaisella osituksella Π pätee: E P [ Y t Y s F s ] = E P [ Y t Ys Π F s ] + E P [ Yt Π Ys Π F s ] + E P [ Yt Π Y s F s ] (4.9) Koska Yt Π on martingaali, (4.9):n keskimmäinen termi menee nollaksi Jensenin epäyhtälöstä (.14) puolestaan saadaan: E P [(E P [Y t Yt Π [ = E P (X s Xs Π ] )dm s = F s ]) ] E P [E P [ Y t Y Π t F s ]] = E P [ Y t Y Π t ] E P [ X s X Π s ]d M s (4.1) Missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa stokastisen integraalin määritelmästä. Nyt E P [ X s Xs Π kun Π ja M s on rajoitettu. (4.1) siis menee kohti nollaa, mistä seuraa E P [ Y t Ys Π F s ] suppeneminen L -mielessä. Vastaava päättely voidaan toistaa termille E P [ Yt Π Y s F s ]. Nyt L -suppenemisesta seuraa suppeneminen P-mielessä. Nyt {Π (n) } n=1 on jono välin osituksia, ja P- suppenemisesta seuraa, että on olemassa ositusten deterministinen alijono, jolla suppeneminen on P-melkein varmaa. 5 Fraktionaalinen Brownin liike Fraktionaalinen Brownin liike on Brownin liikkeen yleistys. Käsittelemässämme osakkeen hintaprosessissa volatiliteettiprosessi on määritelty fraktionaalisen 15

Brownin liikkeen avulla. Määritelmä 5.1. Mukaillen Sottisen kirjaa: (s.8, 3) Fraktionaalinen Brownin liike Hurstin indeksillä H (, 1) on reaaliarvoinen satunnaisprosessi jolle 1. Polku lähtee liikkeelle origosta eli B H () = P-melkein varmasti.. B H (t) on normaalijakautunut eli Gaussinen prosessi odotusarvolla E P (B H (t)) = kaikilla t ja E P (B H (1)) = 1, yleisemmin varianssin määrää kovarianssifunktio (15). 3. Fraktionaalinen Brownin liike on H-itsesimilaarinen, eli B H (at) on jakautunut samoin kuin a H B H (t) kaikilla a, t >. Gaussisuudesta seuraa, että fraktionaalisen Brownin liikkeen polut ovat stationaarisia. Fraktionaalisen Brownin liikkeen kovarianssifunktio on: Lause 5.. E P [B H (t)b H (s)] = 1 { t H + s H t s H} (5.1) Embrachtsin ja Maejiman todistus (s. 1, ): E P [B H (t)b H (s)] = 1 { } E P [B H (t) ] + E P [B H (t) ] E P [(B H (t) B H (s)) ] = 1 { } E P [B H (t) ] + E P [B H (t) ] E P [(B H t s ) ] = 1 {t H + s H t s H} Missä viimeisessä vaiheessa on hyödynnetty itsesimilaarisuutta, polkujen stationaarisuutta ja tietoa E P (B H (1)) = 1. Huomio: Nähdään, että sijoittamalla yhtälöön (5.1) H = 1 sekä t = s saadaan tavallisen Brownin liikkeen kaava: E P (B H (t) ) = t. Brownin liike on siis tosiaankin fraktionaalisen Brownin liikkeen erikoistapaus. Lause 5.3. Fraktionaalisella Brownin liikkeellä on jatkuva versio. Lisäksi se on β-hölder-jatkuva jos ja vain jos β < H, eli on olemassa P-melkein varmasti äärellinen satunnaismuuttuja K siten että: B H (t) B H (s) sup s,t [,1];s t t s β K Todistus Sottisen mukaan (3, s.1): Todistetaan ensin polkujen jatkuvuus mikäli β<h. Itsisimilaarisuutta ja stationaarisyyttä hyödyntämällä saadaan: E P [ B H (t+h) B H (t) r ] = E P [h H B H (1) r ] = h rh E P [B H (1) r ] Missä E P [B H (1) r ] on N(, 1)-jakautuneen satunnaismuttujan r:s momentti. Nyt polkujen jatkuvuus seuraa Kolmogorovin jatkuvuuslauseesta.. Todistetaan sitten, että fraktionaalinen Brownin liike ei ole β-hölder-jatkuva mikäli β H. Stationaarisyyden vuoksi vuoksi voidaan yleisyyttä rajoittamatta 16

asettaa t =. Sottinen viittaa Arconesin kirjaan (Arcones, M. A. (1995)) On the law of iterated logarithm for gaussian processes) kuvatessaan, että B H (h) toteuttaa seuraavan iteroidun algoritmin: P ( lim sup t B H (h) h H log log(1/t) = 1) = 1 Tästä nähdään että B H(h) h H nollaa. kasvaa P-melkein varmasti rajatta, kun t lähestyy Fraktionaalisen Brownin liikkeen integraaliesitys Lause 5.4. Embrechts ja Maejima (s.6, ) esittävät, että fraktionaalisella Brownin liikkeellä B H (t), < H < 1 on integraaliesitys muotoa: C H { Missä ( ) (t u) H 1 ( u) H 1 db(u) + C H = E P { Todistus: Merkitään lauseketta (5.) X t :llä. E P [X t ] = E P [C H = E P [C H = t H { { (t H 1 ) (t u) H 1 db(u) } ( ) (1 u) H 1 ( u) H du 1 1 } 1 + H (5.) ( ) (t u) H 1 ( u) H du }] 1 + (t u H 1 )du ( (1 u t )H 1 u ) du ( t )H 1 t H + H Ristitermit odotusarvon sisällä häviävät. Tulos saadaan tekemällä ensimmäiseen integraaliin muuttujanvaihto s = u t. Lisäksi integraaliesityksen polut ovat stationaarisia, sillä: [ E P (X(t + h) X(h)) ] = E P [C H + +h h = E P [C H + +h h = E P [C H = t H { h ( ) (t + h u) H 1 (h u) H 1 db(u) (t + h u) H 1 db(u) } ] { h ( (t + h u) H 1 (h u) H 1 ) du }] (t + h u) H 1 du { ( ) (t u) H 1 ( u) H du }] 1 + (t u) H 1 du 17 }]

Koska kyse on Gaussisesta prosessista jonka odotusarvo on, tämä kovarianssirakenne määrää täysin jakauman. Lause 5.5. Embrechts ja Maejiman kirjasta (s.6, ) saadaan fraktionaaliselle Brownin liikkeelle toinenkin integraaliesitys muotoa: Missä B H (t) d = C K(t, s)db(s) {( t H 1 ( K(t, s) = (t s) s) H 1 H 1 } )s 1 H (u s) H 1 u H 3 du Ja C on normitusvakio. Yhtäsuuruus toteutuu jakauman mielessä. Mikäli pätee < H < 1, K(t, u) saadaan hieman yksinkertaisempaan muotoon: 1 ( K(t, s) = H 1 )s 1 H (u s) H 3 u H 1 du (5.3) 6 Rahoitusteorian perusteet s Tavoitteenamme on osoittaa tietyn markkinamallin arbitraasivapaus. Tämä tarkoittaa, että mahdollisuutta tehdä riskitöntä voittoa, eli rahaa tyhjästä ei ole. Tehdäksemme tämän meidän on ymmärrettävä, mitä arbitraasilla tarkoitetaan. Keskeisessä asemassa on rahoitusteorian ensimmäinen päälause. s Osakesalkku Määritelmä 6.1. Oletetaan, että on käytettävissä n sijoitusinstrumenttia, joiden arvot hetkellä t muodostavat vektorin S t = (S 1 t,..., S n t ) ja riskitön instrumentti, jonka arvo on A t ja jolle pätee A t > P-melkein varmasti. H t = (H t,..., H n t ) on ennustettava sijoitusstrategia missä H t on riskittömän instrumentin, ja H i t on instrumentin i määrä hetkellä t. Nyt osakesalkun arvo hetkellä t, t [, T ] on: V (t) = H t A t + n HtS i t i = H t (A t, St 1,..., St n ) i=1 Määritelmä 6. (Diskonttaus). Mikä tahansa sijoitusinstrumentti, jonka arvo on > P-melkein varmasti voidaan valita numerääriksi ja suhteuttaa muiden arvopaperien arvot siihen. Tätä sanotaan diskonttaamiseksi. Valitaan numerääriksi riskitön instrumentti. Nyt diskontattu hintavektori on Z t : Z t := S t A t Merkitsemme osakesalkun diskontattua arvoa V (t) :llä, V (t) := V (t) A t 18

Tässä työssä meillä on tyypillinen, determinististä korkoa kasvava A t, jonka määrittelee yhtälö: da t = ra t dt, A = 1 Lause 6.3. Baksteinin ja Capasson (15, s.315-316) mukaan realistisen markkinoita kuvaavan, äärellisellä horisontilla varustetun matemaattisen mallin pitäisi täyttää ainakin seuraavat ehdot: 1. Sijoitussalkut ovat itsensä rahoittavia, eli niistä ei nosteta eikä niihin lisätä rahaa ulkopuolelta. Itsensä rahoittavan salkun arvolle hetkellä T, T pätee: T n T V (t) = V () + Ht da t + HtdS i t i Minkä lisäksi vaaditaan: T i=1 V (t)dt < P-melkein varmasti.. Arbitraasivapauden vaatimus. Sijoitussalkku on arbitraasi-salkku jos sille pätee V () = ja V (T ) >, tai yhtäpätevästi V () < ja V (T ) P-melkein varmasti. Arbitraasi-salkulla olisi siis mahdollista tehdä riskitöntä voittoa. Tällaistet salkut eivät saa olla mahdollisia. 3. Luottoraja. Joko H t, t T on neliöintegroituva ja sen heilahtelu on rajoitettu, tai V (t) c kaikilla t T missä < c on mielivaltainen vakio. Määritelmä 6.4. Q on S:n yhtäpitävä martingaali-mitta mikäli Q ja P ovat yhtäpitävät, Q P, mikä tarkoittaa, että P (ω) = Q(ω) = eli P-mahdottomat tapahtumat ovat mahdottomia myös todennäköisyysmitassa Q ja toisinpäin, ja S on Q-martingaali, eli: E Q (S t F r ) = S r Aina kun r t. Tässä E Q on odotusarvo uudessa todennäköisyysmitassa, jolle pätee E Q [X t ] = E P [X t Λ t ] Missä Λ t on Radon-Nikodymin derivaatta: Filtraatiossa F t. dq dp = Λ t Lause 6.5 (Rahoitusteorian ensimmäinen päälause). Markkinamalli on arbitraasivapaa jos ja vain jos mielivaltaiselle, diskontatulle osakesalkulle V (t), t [, T ] on olemassa yhtäpitävä martingaali-mitta, Q P. Rahoitusteorian ensimmäisen päälauseen yleinen todistus on tämän työn ulottumattomissa, mutta esitämme todistuksen yksinkertaisessa tapauksessa, missä todennäköisyysavaruus Ω sisältää vain äärellisen määrän, N kappaletta 19

alkeistapauksia ja meillä on yksi, diskreetti aika-askel. Tarkastelemme siis osakesalkun arvon muutosta hetkestä hetkeen T. Todistus Delbaenin ja Schachermayerin mukaan (s. 18 6): Merkitsemme L (Ω, F, P ):llä kaikkien F-mitallisten funktioiden joukkoa ja L +(Ω, F, P ):llä niitä funktioita, jotka ovat P-melkein varmasti. Olkoon Z t diskontattu hintavektori, jonka nollanneksi komponentksi on sisällytetty numerääri, siis Z t = (1, S1 S,..., S N S ) t {, T } ja H kaikkien sellaisten sijoitussalkkujen joukko, joille V () =. Määrittelemme joukon K L (Ω, F, P ): K := {(H Z T ) H H} Lisäksi merkitsemme f = H Z T ja konveksin kartion C L + (Ω, F, P ): C := {g L + (Ω, F, P ) f K jolle P-melkein varmastif g} C on siis niiden sijoitussalkkujen joukko, jotka ovat ylisuojattavissa nollasijoituksella. Nyt hintasysteemi on arbitraasivapaa mikäli: Tai yhtäpitävästi: K L +(Ω, F, P ) = {} C L +(Ω, F, P ) = {} Todistus että yhtäpitävästä martingaali-mitasta seuraa arbitraasivapaus: Martingaalimitan ja f:n määritelmästä seuraa suoraan, että E Q [f] =. Koska g f kaikissa alkeistapauksissa, pätee E Q [g]. Oletetaan sitten, että on olemassa g C L +(Ω, F, P ), g. Tästä ja P :n sekä Q:n yhtäpitävyydestä seuraa, että E Q [g] >, mistä seuraa ristiriita. Todistus että arbitraasivapaudesta seuraa yhtäpitävän martingaali-mitan olemassaolo: Arbitraasivapaus-ehdosta seuraa, että L + \ {} ja K ovat täysin erilliset, konveksit joukot. Pyrimme erottamaan ne hypertasolla. Määritellään: { N P := µ i I {ωi} µi, i=1 N i=1 } µ i = 1 Nyt P on konveksi, kompakti L +(Ω, F, P ):n alijoukko joka on arbitraasivapauden määritelmän nojalla täysin erillinen K:sta. Voimme siis erottaa konveksin, kompaktin joukon P konveksista, suljetusta joukosta K lineaarisella funktionaalilla Q L 1 +(Ω, F, P ). On siis olemassa α < β siten, että: Q f α Q h β f K h P Koska K on lineaarinen avaruus johon kuuluu nollavektori, pätee α ja voimme korvata α:n :lla. Siis β >. Valitsemalla vuorotellen h:n jokainen komponentti ykköseksi ja muut nolliksi ehdosta Q h > seuraa, että Q:n kaikki

komponentit ovat aidosti positiivisia. Otetaan ykkösistä koostuva vakiovektori 1 = (1,..., 1) ja Q 1 > Voimme nyt normalisoida Q:n siten että Q 1 = 1 Nyt koska Q:n komponentit summautuvat ykköseksi, se on todennäköisyysmitta, jos koska ne ovat aidosti positiivisia, se on P :n kanssa yhtäpitävä. Olemme siis löytäneet ekvivalentin martingaalimitan. Markkinamallin täydellisyys Määritelmä 6.6. Johdannaisinstrumentti D t (S i t), t [, T ], 1 i n on reaaliarvoinen, ltraatiolla varustettuun todennäköisyysavaruuteen (Ω, F, P, F t ) sovitettu sijoitusinstrumentin hinnan S i t funktio. Määritelmä 6.7. Diskontattu johdannaisinstrumentti D t (S i t), t [, T ] on toistettavissa, mikäli on olemassa itsensä rahoittava osakesalkku H t, jonka diskontatulle arvolle V (t) pätee: D t (S i t) = V (t), P-melkein varmasti. t [, T ] Sijoitusstrategian ei välttämättä tarvitse olla yksikäsitteinen. Määritelmä 6.8. Markkinamalli on täydellinen jos ja vain jos jokainen diskontattu johdannaisinstrumentti D t (S i t), t [, T ] on toistettavissa. Lause 6.9 (Rahoitusteorian toinen päälause). Jos mielivaltaiselle diskontatulle osakesalkulle V (t), t [, T ] on olemassa yksikäsitteinen yhtäpitävä martingaalimitta Q, Q P, niin markkinamalli on täydellinen. Todistus: Todistamme tämän samoilla, yksinkertaisilla oletuksilla kuin lauseen 6.5.: Tarkastelemme yksinkertaisuuden vuoksi sijoitusstrategioiden arvoa hetkellä T ja oletamme edelleen, n riskillistä sijoitusinstrumenttia, sekä että Ω sisältää vain N alkeistapausta, missä N on äärellinen ja kiinnitetty. Todistus Pasuccin kirjasta (s.33-34, 11) : Meidän on todistettava, että jos markkinamalli on arbitraasivapaa ja yhtäpitävä martingaalimitta Q numeräärin A valinnalla on yksikäsitteinen, markkinamali on täydellinen. Todistamme tämän ristiriidalla. Oletamme, että markkinamalli on epätäydellinen ja rakennamme yhtäpitävän martingaalimitan numeräärillä A, ja osoitamme, että tämä eroaa Q:sta. Olkoon A kaikkien itsensä rahoittavien ja ennustettavien sijoitusstrategioiden joukko. Merkitsemme niiden lopullista arvoa K:lla. K := {(A Z T ) A A} Ajattelemme satunnaismuuttujien eri alkeistapauksissa saamia arvoja R N - vektorin alkioina. Nyt markkinamallin epätäydellisyys tarkoittaa ehtoa: K R N Määrittelemme sitten skalaaritulon R N :ssä: N X, Y Q := E Q [XY ] = X i Y i Q({ω i }) 1 i=1

Nyt ehdosta K R N seuraa, että on olemassa ξ R N \ {} joka on kohtisuorassa K:ta kohti, eli: ξx Q = E Q [ξx] = Jokaiselle X K. Nyt voimme valita X = 1 (esimerkiksi valitsemalla sijoitusstrategian, jossa numeräärin määrä on 1 ja muiden sijoitusinstrumenttien määrä ) ja saamme: E Q [ξ] = Määrittelemme kiinteälle δ > 1: ( Q δ ({ω i }) := 1 + ξ ) i Q({ω i }), δ ξ i = 1,..., N Missä: ξ := max ξ i 1 i N Todistamme nyt, että jokaiselle δ > 1, Q δ määrittelee yhtäpitävän martingaalimitan, joka eroaa Q:sta jollain i = 1,..., N, koska ξ R N \ {}. Huomataan, että kaikille i pätee Q δ ({ω i }) >, mistä seuraa Q P, koska: Lisäksi pätee: i=1 1 + ξ i δ ξ > N N ( Q δ (Ω) = Q δ ({ω i }) = 1 + ξ ) i Q({ω i }) δ ξ = N i=1 i=1 Q({ω i }) + 1 δ ξ N ξ i Q({ω i }) i=1 = Q(Ω) + 1 δ ξ E Q [ξ] = 1 Q δ on siis todennäköisyysmitta, joka on P :n kanssa yhtäpitävä. Seuraavaksi todistamme, että diskontattu hintavektori Z on Q δ -martingaali, eli jokaiselle rajoitetulle, ennustettavalle prosessille α pätee: T E Qδ α t dz j t = j = 1,..., n Kiinteälle j:lle käytämme merkintää G(α) := T α tdz j t. Nyt saadaan: E Qδ [G(α)] = = N i=1 N i=1 ( 1 + ξ i δ ξ ) G i (α)q({ω i }) G i (α)q({ω i }) + 1 δ ξ N ξ i G i (α)q({ω i }) i=1 = E Q [G(α)] + 1 δ ξ E Q [ξg(α)] Nyt ensimmäinen termi on, sillä oletuksen mukaan Z on Q-martingaali. Toinen termi taas on, sillä G(α) on erään sijoitusstrategian arvo hetkellä T, ja siten G(α) K

7 Girsanovin lause Rahoitusteorian kaksi päälausetta liittävät arbitraasivapauden ja täydellisyyden todistukset ekvivalenttien martingaalimittojen löytämiseen diskontatulle hintavektorille. Keskeinen käsite Girsanovin lauseessa on lokaalista martingaalista muodostettu stokastinen eksponentiaali, jonka todetaan olevan lokaali martingaali. Tiettyjen ehtojen pätiessä stokastinen eksponentiaali on kuitenkin aito martingaali. Tällöin Cameron-Martin-Girsanovin lause sallii meidän muodostaa stokastisesta eksponentiaalista uuden todennäköisyysmitan ja kertoo meille, miten muodostaa Brownin liike tässä uudessa todennäköisyysmitassa. Koska integraalin Brownin liikkeen suhteen tiedetään olevan martingaali, pyrimme löytämään alkuperäisen kanssa yhtäpitäviä todennäköisyysmittoja, joissa voimme esittää hintavektorin integraalina Brownin liikkeen suhteen. Lause 7.1 (Martingaalin integraali-esitys). Jatkuva, lokaali martingaali M t voidaan esittää stokastisen integraalin avulla muodossa: M t = M + Missä X on ennustettava prosessi. X s db(s) Lause 7.. Jos M t on jatkuva, lokaali martingaali niin sen stokastinen eksponentiaali: On jatkuva, lokaali martingaali. Z t := exp{m t 1 M t} Todistus: Lauseen 7.1. nojalla M t :llä on integraali-esitys M t = M + X sdb(s). Merkintöjen yksinkertaistamiseksi asetamme M =. Nyt stokastinen eksponentiaali saadaan muotoon: [ Z t := exp X s db(s) 1 ] Xs ds Ottamalla logaritmi ja esittämällä kaava dierentiaalimuodossa se saadaan muotoon: d log(z t ) = X t db(t) 1 X t dt Nyt Itôn kaavan 4.1. sovellus funktiolle f(x) = e x missä x = log(z t ) antaa: Eli integraalimuodossa: dz t = ( 1 X t e x 1 X t e x )dt + X t e x db(t) = X t e x db(t) Z t = Z + X s Z s db(s) Stokastisena integraalina Brownin liikkeen suhteen tämä on lokaali martingaali. Jatkuvuus seuraa käsiteltyjen funktioiden jatkuvuudesta. 3

Lause 7.3. Olkoon Z t stokastinen eksponentiaali kuten lauseessa 7.. Z t on martingaali jos ja vain jos E P (Z t ) = 1 kaikille t [, T ]. Todistus Kallianpurin mukaan (198, s.16): Koska Z t on jatkuva, lokaali martingaali, on olemassa sarja pysähdysaikoja τ n T joilla pysäytetty prosessi Z (n) t := Z t τn on martingaali. Koska Z (n) t kaikilla n N ja Z (n) t Z t P-melkein varmasti, Fatoun lemma.15. ehdolliselle odotusarvolle antaa kaikilla t > s : Missä lim inf A n := n E P {lim inf n n=1 i=n (Z (n) t F s )} lim inf E P (Z (n) t F s ) n A i Toisinsanoen, lim inf:iin kuuluvat tapahtumat ta- n pahtuvat aina, paitsi äärellisellä määrällä indeksejä. Ottamalla raja-arvot saadaan: E P (Z t F s ) Z s, joten Z t on supermartingaali. Jos E P (Z t ) = 1 kaikille t [, T ], ottamalla odotusarvot epäyhtälöstä se saadaan muotoon E P Z t E P Z s, jonka molemmat puolet ovat = 1, epäyhtälön on siis toteuduttava yhtälönä ja Z t on martingaali. Lause 7.4 (Kallianpurin ehto). Olkoon N t jatkuva, lokaali martingaali jolle N = ja Z t := exp{n t 1 N t}. Jos on olemassa jokin δ > jolle pätee E P (exp[(1 + δ) N T ]) <, niin silloin E P (Z T ) = 1 Todistus Kallianpurin kirjasta (198, s.17): Valitaan t 1, t [, T ], t 1 < t ja määritellään M t := N t N t1 ja A t := N t N t1 Nähdään, että M t on jatkuva, lokaali martingaali ja M = A. Lisäksi M t1 = A t1 =. Otetaan stokastinen eksponentiaali: Z t = exp(m t 1 A t). Määritellään pysähdysajat τ n = inf{t : t 1 t t : Y t n tai A t n} Nyt pysäytetty prosessi Z t τn := Z (n) t on martingaali. Vastaavasti määritellään A t τn := A (n) t ja M t τn := M (n) t. Lisäksi E P (Z (n) t ) = 1, mikä seuraa martingaaliominaisuudesta sekä siitä, että määritelmän mukaan Z (n) t = 1 Olkoon ɛ >. [ (Z (n) t ) 1+ɛ = exp (1 + ɛ)m (n) t 1 ] [ (1 + ɛ)3 A (n) 1 ] t exp ɛ(1 + ɛ)( + ɛ)a(n) t Nyt valinnoilla r = 1, p = 1 + ɛ, q = 1+ɛ ɛ Hölderin epäyhtälöstä.1. saadaan: E P (Z (n) t )) 1+ɛ [ E P exp{(1 + ɛ )M (n) t 1 ] (1 + ɛ)4 A (n) 1 [ 1+ɛ t } E P exp{ 1 ] (1 + ɛ) ( + ɛ)a (n) ɛ 1+ɛ t } Ensimmäinen tekijä yhtälön oikealla puolella on 1, voidaan valita N t = (1 + ɛ) N t ja muodostaa tästä Z (n) t, jolle pätee edellä todettu E P Z (n) t = 1. Valitaan 4

sitten ɛ niin pieneksi että 1 (1 + ɛ) ( + ɛ) < 1 + δ Silloin toiselle tekijälle pätee E P exp{ 1 (1 + ɛ) ( + ɛ)a (n) t } E P exp{ 1 (1 + δ)a(n) t } exp{ 1 (1 + δ) N t} Oletuksen mukaan tämä on < Näin siis kaikilla n N ja t [t 1, t ] E P (Z (n) t ) 1+ɛ :lle löytyy integroituva yläraja. Dominoidusta konvergenssista seuraa E P (Z t ) = lim E P (Z t τn ) = 1 Väite seuraa valitsemalla t 1 = ja t = T Nyt siis jokaiselle t 1 < t pätee E P (Z t F t1 ) = 1. n Ehdollinen odotusarvo Määritelmä 7.5. Olkoon G σ-algebra joka toteuttaa G F, olkoon Y reaaliarvoinen, integroituva satunnaismuuttuja. Nyt ehdollinen odotusarvo E P [Y G] on mikä tahansa satunnaismuuttuja Z, joka toteuttaa ehdon: Y dp = ZdP, G G G G Lause 7.6 (Tower-ominaisuus). Olkoon G ja H σ-algebroita joille G H. Sitten: E P [E P [X G] H] = E P [X G] = E P [E P [X H] G] Lemma 7.7. Olkoon Z satunnaismuuttuja, jolle pätee Z > P-melkein varmasti ja E P [Z] = 1. Määritellään satunnaismuuttuja dq = ZdP. Jos G on σ- algebra jolle G F, niin jokaiselle satunnaismuuttujalle X, joka on integroituva Q:ssa pätee: E Q [X G] = E P [XZ G] E P [Z G] Øksendalin todistus (1995 s.146) Ehdollisen odotusarvon määritelmän mukaan jokaiselle G G pätee: E Q [X G]ZdP = E Q [X G]dQ = XdQ G G G = XZdP = E P [XZ G]dP G Toisaalta pätee myös E Q [X G]ZdP = E P [E Q [X G]ZI H ] = E P [E P [E Q [X G] ZI H H]] G = E P [I H E Q [X G] E P [Z]G] = E Q [X G] E P [Z G]dP Yhdistämällä tuloset saadaan: E Q [X G] E P [Z G]dP = G G G G E P [XZ G]dP 5

Koska tämä pätee kaikille H H saadaan väite. Lemma 7.8. Olkoon Z t, t T aidosti positiivinen P-martingaali jolle E P [Z t ] = 1 kaikilla t [, T ]. Riittävä ehto sille, että Y t, t T on Q- martingaali kun todennäköisyysmitan Q määrittelee dq = Z T dp on, että Z t Y t on P-martingaali. Todistus: Olkoon s t T, Tower-ominaisuudesta 7.6. ja Z t Y t :n P-martingaaliudesta seuraa: E P [Z T Y t F s ] = E P [E P [Z T Y t F t ] F s ] = E P [Y t E P [Z T F t ] F s ] = E P [Y t Z t F s ] = Y s Z s Nyt sijoittamalla tämä mitanvaihtokaavaan saadaan: E Q [Y t F s ] = E P [Z T Y t F s ] E P [Z T F s ] = Z sy s Z s = Y s Lause 7.9 (Cameron-Martin-Girsanovin teoreema). Olkoon Z t, t T stokastinen eksponentiaali muotoa: [ Z t := exp X s db(s) 1 ] Xs ds Missä X t toteuttaa: [ T ] P (X s ) ds < = 1, T < Jos Z t on P-martingaali, niin satunnaisprosessi Y t : Y t := B(t) X s ds on Brownin liike todennäköisyysmitassa dq = Z T dp. Todistus Baksteinin ja Capasson kirjasta (15, s.57-58): Brownin liikkeen Lévyn karakterisaatioon 3.3. perustuen riittää osoittaa, että Y t ja Yt t ovat Q-martingaaleja. Lemman 7.8. nojalla Y t on Q-martingaali mikäli M t = Y t Z t on P-martingaali. dm t = dy t Z t + Y t dz t + dy t dz t Aikaisemmin laskimme Itôn kaavasta 4.1., että dz t = X t Z t db(t). Lisäksi nähdään, että dy = db(t) X t dt. Sijoittamalla nämä ja muistamalla, että db(t) db(t) = dt sekä unohtamalla kaikki db(t) 3 ja dt -muotoa olevat tai niitä pienemmät termit saadaan: dm t = dy t Z t + Y t dz t + dy t dz t ( = (db(t) X t dt)z t + B(t) = [ ( Z t + B(t) ) X s ds X t Z t ]db(t) 6 ) X s ds X t Z t db(t) + X t Z t dt

Tämä on stokastinen integraali Brownin liikkeen suhteen, ja siten P-martingaali. Osoitetaan samoin, että on P-martingaali. N t = (Y t t)z t dn t = Y t dy t Z t + (Yt t)dz t + Y t dy t dz t = Y t Z t (db(t) X t dt) + (Yt t)x t Z t db(t) + Y t X t Z t dt = [Y t + (Yt t)x t ]Z t db(t) Mikä tämäkin on stokastinen integraali Brownin liikkeen suhteen, ja siten P- martingaali. Y t täyttää siten Brownin liikkeen Lévyn karakterisaation ehdot. Lause { 7.1 (Kazamakin ehto). Olkoon Z t ja X t kuten lauseessa 7.9. Nyt 1 T jos exp sdb(s)} X on tasaisesti integroituva alimartingaali niin Z t on tasaisesti integroituva martingaali, t T. Revuzin ja Yorin todistus (1994, s 317-318): Valitaan < a < 1. Määritellään nyt prosessit: Nyt pätee: [ { Z (a) T T = exp = [ exp Z (a) T Y (a) T { T := exp := exp { a 1 + a ax s db(s) 1 T } X s db(s) }] a [ { X s db(s) exp 1 T T }] a [ { T X s db(s) 1 = (Z T ) a (Y (a) T )1 a X s ds T }] a Xs ds } a Xs ds { T }] a 1+a exp X s db(s) (1 a ) Käytämme nyt seuraavaa Zitkovicin (15) tulosta osoittaaksemme, että Z τ (a) on tasaisesti integroituva: Satunnaismuuttujien perhe X t, t T on tasaisesti integroituva jos ja vain jos: 1. On olemassa vakio, K jolle E P X t K kaikilla t T ja. Jokaiselle ɛ > on olemassa δ > siten että jokaiselle Γ F pätee: P [Γ] δ sup E P [ X t I Γ ] ɛ t T Olkoon nyt Γ F ja τ pysähdyshetki. Nyt Hölderin epäyhtälöstä.1. valinnoilla r = 1, 1 p = a, 1 q = 1 a saadaan ensimmäinen epäyhtälö: E P [I Γ Z τ (a) ] E P [Z τ ] a [E P I Γ Y τ (a) ] 1 a E P [I Γ Y τ (a) ] 1 a (7.1) 7

Toinen epäyhtälö puolestaan seuraa siitä, että lauseen 7.3 todistuksessa osoitimme, että Z t on aina supermartingaali. Kun otamme odotusarvot supermartingaalin ominausuudesta E P (Z τ F ) Z sekä muistamme, että Z = 1 päädymme tulokseen: E P (Z τ ) 1 Nyt koska oletuksen mukaan Y τ (a) on tasaisesti integroituva, seuraa tästä, että Z τ (a) on tasaisesti integroituva martingaali. Nyt siis toteutuu: 1 = E P [Z (a) T ] E P [Z T ] a E P [Y (a) T ]1 a Oletuksen mukaan T X sdb(s) on olemassa melkein varmasti ja exp{ 1 on integroituva. Nyt pätee: Y (a) T I Y (a) T 1 + exp { 1 T } X s ds I (a) Y T 1 T X sdb(s)} Tämä on integroituva yläraja Y (a) T :lle. Nyt dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan: lim[e P (Y (a) T = 1 )]1 a a 1 Antamalla a:n lähestyä ykköstä, ja sijoittamalla nämä tulokset epähtälöön (7.1) saadaan: 1 E T [(Z T )] 1 Eli E T [(Z T )] = 1 ja Z t on martingaali. Lause 7.11 (Novikovin ehto). Olkoon edelleen Z t ja X t kuten lauseessa 7.9. Jos pätee: [ { 1 T }] E P exp Xs ds < Nyt Z t on tasaisesti integroituva martingaali. Todistus Revuzin ja Yorin kirjan mukaan (1994, s 318): Suoraviivaisesti nähdään, että toteutuu: { 1 T exp = [ exp } X s db(s) { T X s db(s) 1 T Nyt Cauchy-Schwarzin epäyhtälöstä.13. saadaan: }] 1 [ { Xs 1 T }] 1 ds exp Xs ds [ { 1 T }] [ { E P exp X s db(s) (E P [Z T ]) 1 1 T }]) 1 (E P exp X s ds Nyt siitä, että (E P [Z T ]) 1 1 ja oletuksesta seuraa: [ { 1 T }] E P exp X s db(s) 8