Sisällysluettelo 1 Prosenttilaskenta ja verotus 3 Prosenttilaskenta 3 Verotus 12 Kertaustehtäviä 19 2 Hinnat ja rahan arvo 21 Indeksit 21 Euro ja muut valuutat 36 Kertaustehtäviä 43 3 Lainat ja talletukset 48 Korkolasku 48 Lukujonot ja summat 56 Koronkorko 62 Korkokausittain toistuvat suoritukset 69 Lainalaskelmia 74 Sijoittaminen 84 Kertaustehtäviä 92 Harjoituskoe 95 Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 2
1 Prosenttilaskenta ja verotus Prosenttilaskenta 6 1. a) 0,2 20 % 30 4,5 b) 0,3 30 % 15 5 c) 0,13513... 13,5 % 37 2. a) 0,17 250 = 42,50 ( ) b) 0,245 3 600 = 882 (kg) c) 0,0004 3 500 = 1,4 (ml) 3. 0,04 295 000 = 11 800 ( ) 38 950 4. a) 0,85192 85,2 % 45 720 b) 100 % 85,2 % = 14,8 % 5. a) b) c) 0,12 x 78 : 0,12 x 650 ( ) 0,03 x 0,72 x 24 (l) 0,0125 x 22,75 : 0,03 x 1820 ( ) : 0,0125 Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 3
6. 0,08 x 35 000 : 0,08 x 437 500 ( ) 7. a) 0,0044 184 = 0,8096 (mrd. euroa) = 809,6 milj. euroa 810 milj. euroa b) 0,0054 x 926 : 0,0054 x 171481,4... 171000 (milj.euroa) 171(mrd.euroa) 8. a) Muutoksen jälkeinen hinta on 1,15-kertainen eli 115 % alkuperäisestä. Hinta nousi 115 % 100 % = 15 %. b) Muutoksen jälkeinen hinta on 0,934-kertainen eli 93,4 % alkuperäisestä. Hinta laski 100 % 93,4 % = 6,6 %. 43 9. 1,19444... 119,4 % 36 Hinta nousi 119,4 % 100 % = 19,4 % 3,65 10. 1,25862... 125,9 % 2,90 Hinta nousi 125,9 % 100 % = 25,9 %. 392 440 0,89090... 89,1% Hinta laski 100 % 89,1 % = 10,9 %. 50 65,5 0,76335... 76,3 % Hinta laski 00 % 76,3 % = 23,7 %. 13,10 1,10084... 110,1% 11,90 Hinta nousi 110,1 % 100 % = 10,1 %. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 4
56 11. a) 1,51351... 151,4 % 37 Tuote A on 151,4 % 100 % = 51,4 % kalliimpi kuin tuote B. 37 b) 0,66071... 66,1 % 56 Tuote B on 100 % 66,1 % = 33,9 % halvempi kuin tuote A. 12. a) väärin b) väärin c) oikein d) oikein 13. a) Arvonlisävero laski 17 13 = 4 prosenttiyksikköä. b) Lainan korkokanta nousi 2,7 1,9 = 0,8 prosenttiyksikköä. c) Työttömyysaste laski 10,3 8,2 = 2,1 prosenttiyksikköä. 6 800 14. Ennen: 0,2125 21,3 % 32 000 8100 Nyt: 0,20558... 20,6 % 39 400 Asumiskulujen osuus laski 21,3 20,6 = 0,7 prosenttiyksikköä. 15. a) h 0,04h 1, 04h b) h 0,06h 0, 94h 16. a) 100 % + 16,5 % = 116,5 % 1,165 340 = 396,10 ( ) b) 100 % 15 % = 85 % 0,85 56,80 = 48,28 ( ) 17. 100 % 10 % = 90 % 0,9 5 500 = 4 950 ( ) 100 % 5 % = 95 % Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
0,95 4 950 = 4 702,50 ( ) Alennusten vähentämisjärjestyksellä ei ole merkitystä lopputuloksen kannalta. 18. Merkitään hintaa vuoden alussa x:llä. Hinta vuoden lopussa on 1,12 0,95 1,04 1,10 0,91 x 1,10766... x 1, 108x, joka on 110,8 % vuoden alun hinnasta. Hinta nousi 110,8 % 100 % = 10,8 %. 19. a) b) 1,09x 119,90 x 110 ( ) 0,94x 112,80 x 120 ( ) :1,09 : 0,94 20. 21. 0,92x 120 320 : 0,92 x 130 782,60... 130 780 (kpl) 0,16x 6,20 : 0,16 x 38,75 ( ) Hinta korotuksen jälkeen 38,75 + 6,20 = 44,95. 22. Hinta Myynti Myyntitulot Ennen a b ab Muutos + 5 % 2 % Jälkeen 1,05a 0,98b 1,05a 0,98b = 1,029ab Myyntitulot olivat 102,9 % aiemmasta myyntitulojen määrästä. Myyntitulot kasvoivat 102,9 % 100 % = 2,9 %. 23. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
Markkinointikustannukset Liikevaihto Osuus Edellinen vuosi 500 000 12 500 000 500 000 12 500 000 0,04 4 % + 20 % + 4 % Seuraava vuosi 1,2 500 000 = 600 000 ( ) 1,04 12 500 000 = 13 000 000 ( ) 600 000 13 000 000 0,04615... 4,6 % Markkinointikustannusten osuus liikevaihdosta nousi 4,6 4 = 0,6 prosenttiyksikköä. 24. Osaston myynti Osuus Koko myynti Edellinen vuosi 2 960 000 18,2 % 0,182x 2 960 000 : 0,182 x 16 263736,26... 16,26(milj. ) + 8,5 % 2 prosenttiyksikköä Seuraava vuosi 1,085 2 960 000 = 3 211 600 ( ) 16,2 % 0,162x 3 211600 : 0,162 x 19 824 691,36... 19,82(milj. ) 19,82 16,26 1,21894... 121,9 % Marketin myynti oli 121,9 % 100 % = 21,9 % edellistä vuotta suurempi. 25. Reilut banaanit Osuus Banaanit yhteensä Ennen 0,09x 9 % x Muutos + 15 % Jälkeen 0,12 1,15x = 0,138x 12 % 1,15x 0,138x 0,09x 1,53333... 153,3 % Reilun kaupan banaanien myynti kasvoi 153,3 % 100 % = 53,3 %. 26. 0,016 195 000 = 3 120 ( ) Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
9 275 27. 0,035 3,5 % 265 000 28. 0,0465x 7 812 : 0,0465 x 168 000 ( ) 104 29. a) 1,26829... 126,8 % 82 Muutos on 126,8 % 100 % = 26,8 % kasvua. 5,5 b) 0,88709... 88,7 % 6,2 Muutos on 100 % 88,7 % = 11,3 % vähennystä. 16,80 30. Fortum: 0,97334... 97,3 % 17,26 Kurssi laski 100 % 97,3 % = 2,7 %. 24,99 Wärtsilä: 0,98308... 98,3 % 25,42 Kurssi laski 100 % 98,3 % = 1,7 %. 5,33 Nordea: 0,96557... 96,6 % 5,52 Kurssi laski 100 % 96,6 % = 3,4 %. 13,62 Nokian renkaat: 1,04287... 104,3 % 13,06 Kurssi nousi 104,3 % 100 % = 4,3 %. 31. a) 28 % + 2 prosenttiyksikköä = 30 % b) 1,3 % + 0,4 prosenttiyksikköä = 1,7 % c) 3,4 % 0,5 prosenttiyksikköä = 2,9 % 32. 1,06x 551,20 x 520 ( ) :1,06 Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
33. 34. 1,2 x 150 :1,2 x 125 (ml) Vuosi TK-kustannukset Kustannukset yhteensä Osuus 2008 750 000 5 400 000 750 000 5 400 000 0,13888... 13,9 (%) 2010 1 100 000 6 700 000 1100 000 6 700 000 0,16417... 16,4 (%) Osuus kasvoi 16,4 13,9 = 2,5 prosenttiyksikköä. 35. 0,92x 225,40 x 245 ( ) : 0,92 36. Väkiluku Alle 18-vuotiaiden osuus Alle 18-vuotiaita Aiemmin 106 800 16,0 % 0,16 106 800 17 088 2 prosenttiyksikköä 5 vuotta myöhemmin 112 500 17 800 112 500 0,15822... 15,8(%) 17 800 17 800 a) 1,04166... 104,2 (%) 17 088 Määrä nousi 104,2 % 100 % = 4,2 %. b) Osuus laski 16,0 15,8 = 0,2 prosenttiyksikköä. 37. Hinta Myynti Tulot Ennen a b ab Muutos + 15 % 8 % Jälkeen 1,15a 0,92b 1,15a 0,92b = 1,058ab Tulot olivat 105,8 % aiemmasta myyntitulojen määrästä. Myyntitulot kasvoivat 105,8 % 100 % = 5,8 %. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
38. a) Hinta Katsojamäärä Lipputulot Ennen a b ab Muutos 15 % Jälkeen 0,85a ab 0,85a 1,17647... b ab Katsojamäärän pitää olla 117,6 % aiemmasta määrästä. Katsojamäärän pitää kasvaa 117,6 % 100 % = 17,6 %. b) Hinta Katsojamäärä Lipputulot Ennen a b ab Muutos 15 % + 5 % Jälkeen 0,85a 1,05ab 1,05ab 1,23529... b 0,85a Katsojamäärän pitää olla 123,5 % aiemmasta määrästä. Katsojamäärän pitää kasvaa 123,5 % 100 % = 23,5 %. 39. a) Ratkaistaan hinta ennen jälkimmäistä korotusta. 0,05x 25,20 x 504 ( ) : 0,05 Lopullinen hinta oli 504 + 25,20 = 529,20 ( ). b) 1,12 1,05 x = 1,176x Lopullinen hinta on 117,6 % alkuperäisestä. Hinta nousi kaikkiaan 117,6 % 100 % = 17,6 %. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
40. Yhtiövastike Vuokra Ennen a 1,35a Muutos + 8 % Jälkeen 1,08a 1,4 1,08a = 1,512a 1,512a 1,35a 1,12 112 % Uuden vuokran pitää olla 112 % aiemmasta vuokran määrästä. Vuokraa on nostettava 112 % 100 % = 12 %. 41. 1,125 3,20 = 3,60 ( /m 2 ) 3,60 35,5 = 127,80 ( ) 42. x 0,89x 6, 0 1,89x 6,0 :1,89 x 3,174... 3,2 (milj. ) 43. a) Paketin koko Pakettien määrä Murojen määrä Ennen a b ab Muutos + 10 % 10 % Jälkeen 1,10a 0,9b 1,1a 0,9b = 0,99ab Murojen määrä oli 99 % aiemmasta määrästä. Määrä laski 100 % 99 % = 1 %. b) Hinta Pakettien määrä Myynti rahana Ennen a b ab Muutos + 12 % 10 % Jälkeen 1,12a 0,9b 1,12a 0,9b = 1,008ab Myynti rahana oli 100,8 % aiemmasta määrästä. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
Myynti rahana kasvoi 100,8 % 100 % = 0,8 %. 44. 0,88 0,88 0,88 x = 4 200 0,88 3 x = 4200 : 0,88 3 x = 6 163,12 6 163 (mk) 4 0,88 4200 423,61... 424 ( ) 5,94573 45. Euroopan ulkopuolinen myynti on 100 % 60 % = 40 % viennistä. Ratkaistaan viennin määrä. 0,4x 182 : 0,4 x 455 (milj. ) Viennin osuus koko myynnistä on 100 % 30 % = 70 %. Ratkaistaan koko myynti. 0,7x 455 : 0,7 x 650 (milj. ) Verotus 48. a) 0,215 2 425 = 521,375 521,38 ( ) b) 0,215 2 500 + 0,39 (2 960 2 500) = 716,90 ( ) 49. a) 3 057 + 0,215 (42 040 37 800) = 3 968,60 ( ) b) 0,19 39 837,10 = 7 569,049 7 569,05 ( ) c) 0,0175 39 837,10 = 697,1492 697,15 ( ) d) 3 968,60 + 7 569,05 + 697,15 = 12 234,80 ( ) 50. a) 0 ( ) b) 0,125 (4 250 1 210) = 380 ( ) Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 12
51. 3 057 0,215 ( x 37 800) 4 219, 93 3 057 0,215x 8127 4 219,93 0,215x 4 219,93 3 057 8127 52. a) 0,09 25 = 2,25 ( ) b) 1,09 25 = 27,25 ( ) 0,215x 9 289,93 : 0,215 x 43 208,97.. 43 209 ( ) 53. 54. 1,13x 76,80 :1,13 x 67,9646... 67,96 ( ) 1,23x 58 :1,23 x 47,1544... 47,15 ( ) 58 47,15 = 10,85 ( ) 55. a) 0,23x 3,73 : 0,23 x 16,2173... 16,22 ( ) b) 16,22 + 3,73 = 19,95 ( ) 56. Veroton hinta Alv ( ) Alv (%) Verollinen hinta 282,00 0,23 282 = 64,86 23 282 + 64,86 = 346,86 6,00 0,78 0,78 6 0,13 13 (%) 6 + 0,78 = 6,78 26,80 24,5871... 24,59 1,09 26,80 24,59 = 2,21 9 26,80 2 320,70 10 090 0,23 2 320,70 23 10 090 + 2320,70 = 12 410,70 57. Ratkaistaan vaihtopullon veroton hinta. 1,23 x 0,40 :1,23 x 0,3252... 0,33 ( ) Vaihtopullon hinnassa arvonlisäveroa on 0,40 0,33 = 0,07 ( ). Ratkaistaan pullon sisällön veroton hinta. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 13
1,13 x 2,40 :1,13 x 2,1238... 2,12 ( ) Pullon sisällön hinnassa arvonlisäveroa on 2,40 2,12 = 0,28 ( ). Yhteensä Maisa maksaa arvonlisäveroa 0,07 + 0,28 = 0,35 ( ). 58. Tapa 1 Ratkaistaan kirjasarjan veroton hinta. 1,09 x 126 :1,09 x 115,5963... 115,60 ( ) Uusi veroton hinta on 115,60 + 9 = 124,60 ( ). Uusi verollinen hinta on 1,09 124,60 = 135,814 135,81 ( ). Tapa 2 Verollinen hinnan korotus on 1,09 9 = 9,81 ( ) Uusi verollinen hinta on 126 + 9,81 = 135,81 ( ). 59. Ratkaistaan auton veroton hinta. 1,23 x 8 750 :1,23 x 7113,8211... 7113,82 ( ) Uusi verollinen hinta on 1,26 7 113,82 = 8 963,41 8 963 ( ). 60. a) Merkitään verotonta hintaa x:llä. Verollinen hinta ennen muutosta on 1,13x ja muutoksen jälkeen 1,15x. 1,15x 1,13x 1,01769... 101,8 (%) Muutoksen jälkeen verollinen hinta on 101,8 % 100 % = 1,8 % aikaisempaa korkeampi. b) Merkitään verotonta hintaa x:llä. Verollinen hinta ennen muutosta on 1,23x ja muutoksen jälkeen 1,19x. 1,19x 0,96747... 96,7 (%) 1,23x Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 14
Muutoksen jälkeen verollinen hinta on 100 % 96,7 % = 3,3 % aikaisempaa edullisempi. 61. 4 100 + 0,26 (52 000 40 000) = 7 220 ( ) 62. a) 3 500 + 0,13 (65 000 60 000) = 4 150 ( ) b) 65 000 40 000 = 25 000 ( ) 100 + 0,07 (25 000 20 000) = 450 ( ) c) 65 000 : 2 = 32 500 ( ) 100 + 0,07 (32 500 20 000) = 975 ( ) 2 975 = 1 950 ( ) 63. a) 100 + 0,07 (11 400 4 000) = 618 ( ) b) 100 + 0,07 (5 700 4 000) = 219 ( ) 2 219 = 438 ( ) c) 0 ( ) 64. 0,325 4 200 + 0,44 (4 800 4 200) = 1 629 ( ) 65. a) 502 + 0,175 (36 939 23 200) = 2 906,325 2 906,33 ( ) b) 0,1975 34 494 = 6 812,565 6 812,57 ( ) c) 0,015 34 494 = 517,41 ( ) d) 2 906,33 + 6 812,57 + 517,41 = 10 236,31 ( ) 66. a) 0,1725 42 374,25 = 7 309,5581 7 309,56 ( ) b) 0,21 42 374,25 = 8 898,5925 8 898,59 ( ) c) Haapajärvellä kunnallisvero on 21 % 17,25 % = 3,75 prosenttiyksikköä korkeampi. 8898,59 d) 1,21739... 121,7 (%) 7309,56 Haapajärveläinen maksaa veroa 121,7 % 100 % = 21,7 % enemmän. Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
67. Verotulot Kunnallisvero (%) Verotettava tulo Ennen 522,6 (milj. ) 18 Muutos + 12 % + 0,5 prosenttiyksikköä 522,6 2903,3333... 2903,33(milj. ) 0,18 + 4,2 % Jälkeen 0,185 3 025,27 = 5 59,6749 559,7 (milj. ) 18,5 1,042 2903,33 = 3 025,2698... 3 025,27 (milj. ) a) 559,7 522,6 = 37,1 (milj. ) 559,7 b) 1,07099... 107,1 (%) 522,6 Verotulot nousivat 107,1 % 100 % = 7,1 %. 68. Veroton hinta Alv ( ) Alv (%) Verollinen hinta 64,00 8,32 8,32 64 0,13 13 (%) 64 + 8,32 = 72,32 530,00 0,23 530 = 121,90 23 530 + 121,90 = 651,90 12,43 1,43 = 11 1,43 1,43 0,13 13 (%) 11 12,43 99,19 91 1,09 99,19 91 = 8,19 9 99,19 69. a) 1,23 20 400 = 25 092 ( ) b) 25 092 20 400 = 4 692 ( ) 4692 25092 0,18699... 18,7(%) 70. Ratkaistaan veroton hinta 0,09 x 0,99 : 0,09 x 11 Verollinen hinta on 11 + 0,99 = 11,99 12( ). Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
71. Ratkaistaan keilaradan vuokran veroton hinta. 1,09 x 25 :1,09 x 22,9357... 22,94 ( ) Keilaradan vuokrassa arvonlisäveroa on 25 22,94 = 2,06 ( ). Ratkaistaan kenkien veroton hinta. 1,23 x 40 :1,23 x 32,5203... 32,52 ( ) Kenkien hinnassa arvonlisäveroa on 40 32,52 = 7,48 ( ). Ratkaistaan kolmioleivän ja juoman veroton hinta. 1,13 x 6,20 :1,13 x 5,4867... 5,49 ( ) Kolmioleivän ja juoman hinnassa arvonlisäveroa on 6,20 5,49 = 0,71 ( ). Ratkaistaan bussimatkan veroton hinta. 1,09 x 2,5 :1,09 x 2,2935... 2,29 ( ) Bussimatkan hinnassa arvonlisäveroa on 2,50 2,29 = 0,21 ( ). Yhteensä Keijo maksaa arvonlisäveroa 2,06 + 7,48 + 0,71 + 2 0,21 = 10,67 ( ). 72. a) Veroton hinta Alv-% Verollinen hinta Ennen x 22 1,22x Jälkeen x 13 1,13x 1,13x Muutoksen jälkeen verollinen hinta oli 0,92622... 92,6 % aikaisemmasta. 1,22x Verollinen hinta laski 100 % 92,6 % = 7,4 %. b) Veroton hinta Alv-% Verollinen hinta Ennen x 22 1,22x Jälkeen 1,05x 13 1,13 1,05x = 1,1865x Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
1,1865x Muutoksen jälkeen verollinen hinta oli 0,97254... 97,3 % aikaisemmasta. 1,22x Verollinen hinta laski 100 % 97,3 % = 2,7 %. c) Veroton hinta Alv-% Verollinen hinta Ennen x 22 1,22x Jälkeen 0,92x 13 1,13 0,92x = 1,0396x 1,0396x Muutoksen jälkeen verollinen hinta oli 0,85213... 85,2 % aikaisemmasta. 1,22x Verollinen hinta laski 100 % 85,2 % = 14,8 %. 73. a) Merkitään verotonta hintaa x:llä. Arvonlisäveron määrä on tällöin 0,13x ja verollinen hinta x + 0,13x = 1,13x. 0,13x Veron osuus verollisesta hinnasta on 0,11504... 11,5 %. 1,13x b) Merkitään verotonta hintaa x:llä. Arvonlisäveron määrä on tällöin 0,09x ja verollinen hinta x + 0,09x = 1,09x. 0,09x Veron osuus verollisesta hinnasta on 0,08256... 8,3 %. 1,09x 74. Merkitään verotonta hintaa x:llä ja ratkaistaan veroton hinta yhtälöstä. 0,23 x 14,40 : 0,23 x = 62,6086 62,61 ( ). Verollinen hinta on 62,61 + 14,40 = 77,01 77. 75. 3 500 + 0,13 (84 800 60 000) = 6 724 ( ) 76. 140 000 60 000 = 80 000 ( ) 3 500 + 0,13 (80 000 60 000) = 6 100 ( ) 77. a) 100 + 0,07 (5 000 4 000) = 170 ( ) 2 170 = 340 ( ) b) 100 + 0,07 (10 000 4 000) = 520 ( ) Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
Kertaustehtäviä 1,50 80. a) 0,6 60 (%) 2,50 Matkakortilla maksaminen on 100 % 60 % = 40 % edullisempaa. 2,50 b) 1,66666... 166,7 (%) 1,50 Kertamaksu on 166,7 % 100 % = 66,7 % kalliimpi. 81. a 1,12 0,95 1,04 1,1 0,91 = 1,10766 a 1,108a Kurssimuutos oli 110,8 % 100 % = 10,8 %. 82. 0,8x 2 200 : 0,8 x 2 750 ( ) 83. Ratkaistaan veroton hinta. 0,09x 7,28 : 0,09 x 80,8888... 80,89 ( ) Verollinen hinta on 80,89 + 7,28 = 88,17 ( ). 84. verolaji veron määrä valtionvero 3 057 + 0,215 (49 155 37 800) = 5 498,325 5 498,33 kunnallisvero 0,18 46 034 = 8 286,12 kirkollisvero 0,0175 46 034 = 805,595 805,60 yhteensä 14 590,05 85. Vienti Koko myynti Viennin osuus (%) 1 900 000 3 200 000 1900 000 3 200 000 0,59375 59,4 (%) 0,85 1 900 000 = 1 615 000 1,08 3 200 000 = 3 456 000 1615 000 0,46730 46,7 (%) 3 456 000 Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
Viennin osuus laski 59,4 46,7 = 12,7 prosenttiyksikköä. 86. Hinta Myynninmäärä Myyntitulo a b ab 0,8a 1,4b 0,8a 1,4b = 1,12ab Myyntitulo kasvaa 112,0 % 100 % = 12,0 %. 87. 1,09x = 94 : 1,09 x = 86,2385 86,24 ( ) Yöpymisen hinnassa arvonlisäveroa oli 94 86,24 = 7,76 ( ). 1,23x = 24 : 1,23 x = 19,5121 19,51 ( ) Yöpymisen hinnassa arvonlisäveroa oli 24 19,51 = 4,49 ( ). Loppusumma sisälsi arvonlisäveroa 7,76 + 4,49 = 12,25 ( ). 88. 1 500 + 0,10 (52 300 40 000) = 2 730 ( ) 89. a) 100 + 0,07 (9 000 4 000) = 450 ( ) b) 100 + 0,07 (4 500 4 000) = 135 ( ) 2 135 = 270 ( ) Summa 7 Opettajan materiaali Ratkaisut 20