SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Harjoituksen 1 ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 SMG-400 Sähkömagneettiten järjetelmien lämmöniirto Harjoituken 1 ratkaiuehdotuket 1. Vata 1800-luvun puoliväliä ymmärrettiin, että lämpöenergia on atomien ja molekyylien atunnaieen liikkeeeen, värähtelyyn, liittyvää energiaa. Mitä enemmän materiaalilla on lämpöenergiaa, itä nopeammin ja uuremmalla amplitudilla en atomit ja molekyylit värähtelevät. Tämä lämpöliike loppuu, kun materiaali jäähdytetään aboluuttieen nollapiteeeen, nollaan Kelviniin. (a) Tarkatellaan enin johtumalla tapahtuvaa lämmöniirtoa: Johtumalla tapahtuva lämmöniirto tarkoittaa itä, että atomien ja molekyylien lämpöliike iirtyy materiaalin kiderakenteen välitykellä viereiiin atomeihin ja molekyyleihin. Kiinteillä aineilla lämmönjohtavuu on yleenä parempi kuin kaauilla, koka kiinteää aineea atomit ja molekyylit ovat tiukemmin idokia toiiina kuin kaaua. Lämmönjohtuminen vaatii ii väliaineen. Johtumalla iirtyvää lämpövirtaa q cond (ykikkönä watti) mallinnetaan Fourier'n lailla: T = λ, q A cond n joa λ on lämmönjohtavuu (W/(mK)), T lämpötila (K), ja n on pinta-alaa A (m ) vataan kohtiuora uunta. Lauekkeea eiintyvä miinumerkki on eurau iitä, että lämpö iirtyy aina negatiivien lämpötilagientin uuntaan, eli korkeammata lämpötilata matalampaan lämpötilaan. Yki havainnollinen käytännön eimerkki lämmönjohtavuudeta on luikka, jonka toinen pää on upotettu kuumaan kahvi- tai teekylpyyn. Jo luikka on hopeaa tai kuparia, e lämpenee nopeati niin kuumaki, ettei iihen mielellään enää ormillaan koke. Jo luikka on terätä, lämpeneminen on hitaampaa kuin kuparin tai hopean tapaukea. Muoviluikan tapaukea lämpeneminen on hädin tukin havaittavia. Kye on iitä, että lämmönjohtavuu λ on materiaaliominaiuu, eli kullekin materiaalille ominainen uure. (b) Tarkatellaan itten konvektion kautta tapahtuvaa lämmöniirtoa: Konvektiolla tarkoitetaan lämmöniirtoa kiinteän aineen ja neteen tai kiinteän aineen ja kaaun välillä. Oleellinen ero lämmönjohtumieen on iinä, että konvektioa lämpöä iirtyy liikkuvan neteen tai kaaun mukana. Myö konvektio, kuten edellä eitelty johtuminenkin, vaatii väliaineen. Konvektiiviella lämmöniirrolla kuvataan ii itä, miten lämpöä iirtyy kiinteätä aineeta neteeeen tai päinvatoin, tai miten lämpöä iirtyy kiinteätä aineeta kaauun tai päinvatoin. Lämpövirran uunta on aina korkeammata lämpötilata matalampaan lämpötilaan. Konvektiolla iirtyvää lämpövirtaa q conv (ykikkönä watti) mallinnetaan lauekkeella: qconv = ha T, joa h on konvektiivinen lämmöniirtokerroin (W/(m K)), A on kiinteän pinnan ja neteen/kaaun välinen kontaktipinta-ala (m ), ja T on kiinteän pinnan ja neteen/kaaun välinen lämpötilaero (K). Konvektion tarkka mallintaminen on vaikeaa, koka h on vaikea määrittää. Konvektiivinen lämmöniirtokerroin riippuu ainakin euraavita tekijöitä: 1

2 neteen/kaaun vikoiteetti, neteen/kaaun lämmönjohtavuu, neteen/kaaun tihey, neteen/kaaun ominailämpökapaiteetti, neteen/kaaun virtaunopeu, kiinteän pinnan geometria, kiinteän pinnan rooiuu. Sen ijaan h ei riipu kiinteän pinnan materiaalita, mikä aattaa ainakin nopeati aiaa ajatellen tuntua hieman yllättävältä. Tyypilliiä h:n arvoja ovat: kaaun luonnollinen konvektio (lämpötilaeron aikaaaama virtau): -5 W/(m K), neteen luonnollinen konvektio: W/(m K), kaaun pakotettu konvektio (virtau aikaanaadaan eim. pumpun avulla): 5-50 W/(m K), neteen pakotettu konvektio: W/(m K). Konvektiota on helppo löytää havainnolliia eimerkkejä. Tarkatellaan eimerkkihenkilöä, joka eioo tyynellä äällä paikallaan ulkoilmaa 0 o C:n lämpötilaa. Kun alkaa tuulla, eimerkkihenkilömme kokee tilanteen viileämpänä kuin hetki itten tyyneä äää. Kye ei ole iitä, että ilman lämpötila olii alentunut, vaan kye on iitä, että konvektiivinen lämmöniirto ihmietä ympäröivään ilmaan on kavanut. Tuuliella äällä h on uurempi kuin tyynellä äällä, koka liikkuva ilma iirtää tehokkaammin lämpöä kuin eiova ilma. Tarkatellaan euraavaki tilannetta, joa eimerkkihenkilömme kyllätyy ulkona eiokeluun ja pulahtaa läheieen järveen, jonka veden lämpötila on 0 o C. Käy niin, että vei tuntuu huomattavati kylmemmältä kuin ilma hetkeä aiemmin, vaikka molempien lämpötila on ama. Kye on jälleen iitä, että konvektio ihmien ja veden välillä on huomattavati tehokkaampaa kuin ihmien ja ilman välillä. Huomaa, että konvektioa, kuten kaikea lämmöniirroa, lämpövirran uunta on kuumemmata kylmempään. Havainnollinen eimerkki tätä aadaan tavallien pöytätuulettimen avulla. Jo huoneilman lämpötila on pienempi kuin ihmien kehon lämpötila, ihminen kokee pöytätuulettimen ilmavirtauken viilentävänä, koka liikkuva ilma tehotaa lämmöniirtoa, ja lämpövirran uunta on ihmietä ympäröivään ilmaan. Jo itä vatoin attuii olemaan niin, että huoneilman lämpötila olii vaikkapa 40 o C, eli ihmien kehon lämpötilaa uurempi, ihminen kokii tällöin pöytätuulettimen ilmavirtauken kuumentavana. Tämä johtuu iitä, että lämpövirran uunta on nyt ympäröivätä ilmata ihmieen. Tilanne on demontroitavia helpohkoti kotioloia käyttämällä pöytätuuletinta enin tavalliea huoneea ja en jälkeen aunaa. :) (c) Tarkatellaan itten äteilemällä tapahtuvaa lämmöniirtoa: Lämpöäteily lienee lämmöniirron mekanimeita vaikeimmin ymmärrettävä. Kye on kuitenkin ykinkertaieti vain iitä, että kaikki kappaleet, joiden lämpötila poikkeaa aboluuttieta nollapiteetä, lähettävät lämpöäteilyä. Lämpöäteily on ähkömagneettita äteilyä, jonka aallonpituu ouu infrapuna-alueelle (IR). Oheinen kuva eittää auringota maapallolle tulevaa ähkömagneettita äteilyä.

3 kuvan lähde: ( ) Infrapunaäteilyn aallonpituu on uurempi kuin näkyvällä valolla, mutta lyhyempi kuin ioaalloilla. Kun ähkömagneettien äteilyn aallonpituu on välillä 750 nm - 1 mm, kyeeä on IR-äteily. Kun tällä aallonpituudella oleva ähkömagneettinen äteily ouu ihmieen, ihminen kokee äteilyn lämmittävänä. Säteilemällä iirtyvää lämpövirtaa q emit (ykikkönä watti) mallinnetaan lauekkeella q = εσ AT, 4 emit joa ε on äteilevän pinnan emiiviteetti (ykikötön luku), σ on Stefan-Boltzmannin vakio ( W/(m K 4 ), A on äteilevän pinnan pinta-ala (m ), ja T on äteilevän pinnan lämpötila (K). Ideaalinen pinta, joka lähettää lämpöäteilyä mahdolliimman tehokkaati, on täyin muta. Kun puhutaan "mutan kappaleen äteilytä", tarkoitetaan äteilylähdettä, jolle emiiviteetin arvo on yki (ε = 1). Käytännöä mutaki maalatun pinnan emiivitetti on likimain Erilaiten pintojen emiiviteettien päättely ei välttämättä onnitu maalaijärjellä, mutta yleiääntönä voidaan todeta, että mitä kiiltävämpi pinta on, itä pienempi on en emiiviteetti. Seuraavaan taulukkoon on kerätty muutamia tyypilliiä emiiviteetin arvoja. materiaali emiiviteetti alumiinifolio 0.07 kiillotettu kupari 0.03 kiillotettu hopea 0.0 muta maali 0.98 valkoinen maali 0.90 ihmien iho 0.95 vei 0.96 Havainnollinen käytännön eimerkki lämpöäteilytä on auringota maapallolle tuleva äteily. Avaruudea on tyhjiö, eli iellä ei ole väliainetta. Täten avaruudea ei tapahdu lämmönjohtumita eikä lämpökonvektiota. Ainoa vaihtoehto auringota maapallolle tulevan lämmön mekanimiki onkin lämpöäteily. Toinen havainnollinen eimerkki lämpöäteilytä on infrapunakamera tai - 3

4 kiikarit. Noiden toiminta perutuu iihen, että eri lämpötilaa olevat kappaleet lähettävät lämpöäteilyä eri taajuukilla. Oleellinen ero äteilylämmön ja johtumien/konvektion välillä on iinä, että lämpöäteily ei tarvite väliainetta. Lämmönjohtuminen ja lämpökonvektio eivät en ijaan voi toteutua ilman väliainetta.. Termodynamiikan 1. lain, joka myö energian häviämättömyyden lakina tunnetaan, mukaan uljetulle tilavuudelle pätee euraava laueke: tilavuuteen tilavuudeta tilavuuden =. tuleva energia lähtevä energia iäenergian muuto Kun tämä kirjoitetaan kakkotehtävän vaemmanpuoleielle kuvalle, aadaan: E + E E = E, in g out t joa E in kuvaa tilavuuteen tulevaa energiaa, E g on tilavuudea generoituva energia, E out on tilavuudeta lähtevä energia, ja E t on tilavuuteen varatoituva energia. Kun yllä oleva laueke derivoidaan puolittain ajan uhteen, energiatermit muuttuvat tehotermeiki, joita tehtävänannoa on käytetty. Saadaan ii: + =. in g out t Tehtäväpaperin kakkotehtävän oikeanpuoleien kuvan peruteella iäänmenevä teho on in = 5 W, ja varatoituva teho on t = W. Järjetelmää generoituvan tehon g kuvaaja muituttaa kovati paraabelia, joten ille voidaan kirjoittaa: = at + bt + c g g ( 0) = c = 10 g ( 10) = 100a + 10b + 10 = 0 dg ( 0) = b = 0 dt = 0.1t g Ratkaitaan out : t = + = out in g t 0.1t 13 out = + W. (a)-kohdaa kyytty out :n arvo ajanhetkellä on 13.4 W, ja (b)-kohdaa kyytty out :n arvo ajanhetkellä 8 on 19.4 W. 4

5 Tilanne, jota edellä eitetty yhtälö kuvaa, voii olla vaikkapa jotain euraavanlaita. Huomaa, että tää on vain tarkoitu eittää karkea eimerkki tilanteeta, jota tehtävänannon kakkotehtävän kuva voii likimain eittää. Tää eimerkiä uljettu tilavuu on ähköjohdin, joa on virrantihey J. Johtimen läheiyydeä on kuuma kappale, jota äteilee väkiolämpöteho in kohti johdinta. Johtimea generoituva lämpöteho g aadaan lauekkeeta g ρ = J V, joa ρ on johtimen reitiiviyy (Ωm) ja V tilavuu (m 3 ). Koka generoituva teho noudatti ajan funktiona paraabelin laueketta, tarkoittaa e itä, että johtimen virrantihey kavaa uoran yhtälöä noudattaen. Järjetelmään varatoituva teho t oli vakio. Toiaalta t :lle voidaan kirjoittaa: t dt =, C V p dt joa C p on johtimen ominailämpökapaiteetti vakiopaineea (J/(m 3 K)), T on johtimen lämpötila (K), ja t on aika (). Koka t on vakio, tarkoittaa e käytännöä itä, että johtimen lämpötila nouee ajan funktiona uoran yhtälöä noudattaen. 3. Koka tää tarkatellaan 1D-lämmönjohtumita, ykkötehtävän (a)-kohdaa eitelty Fourier'n laki aadaan muotoon: q '' dt cond = λ. dx Huomaa, että yllä oleva laueke poikkeaa tehtävän 1 (a) lauekkeeta myö iten, että poikkipintaala, jonka läpi johtuminen tapahtuu, puuttuu. Yllä oleva laueke antaa ii lämpövirrantiheyden, jonka ykikkö on W/m, kun tehtävän 1 (a) laueke antaa lämpövirran, jonka ykikkö on W. Tehtävänannoa mainittujen materiaalien lämmönjohtavuudet lähellä huoneenlämpötilaa ovat: (a) kupari λ = 398 W/(mK), (b) rauta λ = 80 W/(mK), (c) VC-muovi λ = 0.16 W/(mK), 5

6 (d) puu λ = 0.14 W/(mK), (e) lai λ = 0.9 W/(mK). Kyytyiki lämpövirrantiheykiki aadaan ii: W ( + 73) ( ) K W MW (a) q '' = 398 = , cond 3 W ( + 73) ( ) K W MW (b) q '' = 80 = , cond 3 W ( + 73) ( ) K W kw (c) q '' = 0.16 = 70.7, cond 3 W ( + 73) ( ) K W kw (d) q '' = 0.14 = 380.4, cond 3 W ( + 73) ( ) K W kw (e) q '' = 0.9 = = cond 3 4. Tarkoitu on lakea levyn taapainolämpötila. Kye on iitä, että kun aurinko alkaa aamulla paitaa, levyn lämpötila alkaa nouta. Jo levyä ei jäähdyttäii mikään, levyn lämpötila nouii niin kauan, kuin aurinko paitaa. Tällöin levyllä ei olii taapainolämpötilaa. Tää tehtävää tarkatellaan kuitenkin tilannetta, joa ympäröivä ilma jäähdyttää levyä. Siki käy niin, että joain vaiheea levyn lämpötilan nouu pyähtyy ympäröivän ilman jäähdytyvaikutuken vuoki. Tätä lämpötilaa kututaan taapainolämpötilaki, joka on tää tehtävää tarkoitu lakea. Tää tehtävää eiintyy liäki termi aborptiokerroin, joka kaivannee hieman liäelvitytä. Aborptiokerroin α liittyy läheieti tehtävän 1 (c) termiin emiiviteetti ε. Ykkötehtävää kerrottiin, että täyin muta kappale on täydellinen lämpöäteilijä, jolle pätee ε = 1. Samaa pätee myö lämpöäteilyn aborptioon, eli täyin muta kappale on täydellinen aborboija, jolle α = 1. Aborptiokerroin kuvaa ii itä, kuinka hyvin pinta aborboi lämpöäteilyä. Mitä kiiltävämpi ja kirkkaampi pinta on, itä huonommin e aborboi lämpöäteilyä, ja tällöin α :n arvo on lähellä nollaa. Levy on taapainolämpötilaaan, kun levyä lämmittävä teho on yhtäuuri kuin levyä jäähdyttävä teho. Tällainen tilanne aavutetaan, koka levyä jäähdyttävä teho nouee levyn ja ympäröivän ilman välien lämpötilaeron kavaea. Lähdetään liikkeelle uljetun järjetelmän tehotaapainota, jota tarkateltiin tehtävää kaki: + =. in g out t Levyä ei generoidu lämpöä, joten g = 0 W. Levyyn varatoituvalle teholle t voidaan kirjoittaa: t dt C V dt =, p joa C p on levyn ominailämpökapaiteetti, V on tilavuu, ja T on levyn lämpötila. Tarkateltavaa tilanteea lämpötilan aikaderivaatta menee kuitenkin nollaki, koka taapainolämpötila on e lämpötila, johon levy lopulta aettuu. Tämän jälkeen levyn lämpötila ei ii ajan funktiona enää muutu. Täten tarkateltavaa tilanteea levyyn varatoituva lämpöteho on 6

7 nolla wattia. Levyyn tuleva lämpöteho aadaan aborptiokertoimen, auringonäteilyyn liittyvän lämpövirrantiheyden ja levyn pinta-alan A tulona, eli: in = α A. Levyä jäähdyttää ympäröivä ilma, eli levytä lähtevä lämpöteho aadaan lauekkeeta: ( ) ha T T out =, joa h on konvektiivinen lämmöniirtokerroin, ja T on ympäröivän ilman lämpötila. Tehotaapainon laueke on nyt ii aatu muotoon: in = αa ha( T T ) out = : A α h( T T ) =. Ratkaitaan levyn lämpötila T, joka on yhtälön ainoa tuntematon termi: T α + ht h 0 ( ) o = = 33.3 K = 59.3 C. Levyn taapainolämpötila on ii noin 59.3 o C. Liähuomio tehtävään neljä: Saattoi jäädä ihmetyttämään, miki nelotehtävää ei konvektiojäähdytyken liäki huomioitu levytä ilmaan äteilevää lämpöä. Vatau on iinä, että käytännöä Tromben einä on aina päällytetty lailla. Lai on iinä mieleä mielenkiintoinen materiaali, että e päätää hyvin läviteen lyhyen aallonpituuden lämpöäteilyä, mutta ei juurikaan päätä läviteen pitkän aallonpituuden lämpöäteilyä. Auringota tuleva lämpöäteily edutaa pääoin lyhyttä aallonpituutta, eli äteilyn aallonpituu on IR-alueen alapäää. Lämmenneiden kappaleiden (tää tapaukea tarkatelun kohteena oleva levy) äteilemä lämpö on en ijaan aallonpituudeltaan pitkää, eli ijoittuu IR-alueen yläpäähän. Koka Tromben einä on käytännöä aina päällytetty lailla, levytä lähtevä lämpöäteily voidaan jättää huomiotta. Kye on ii iitä, että auringota tuleva lyhytaaltoinen lämpöäteily pääee lähe vaimentumattomana levylle ati, mutta lämmennyt levy ei juurikaan äteile lämpöään poi, koka tämä pitkäaaltoinen äteily ei juurikaan läpäie laia. 7