DEE Suprajohtavuus Laskuharjoitukset: Suprajohdemagneetin suunnittelu Harjoitus 4(6): Kryostaatti Ehdotukset harjoitustehtävien ratkaisuiksi

Transkriptio

1 DEE-540 Suprajohtavuus Laskuharjoitukset: Suprajohdemagneetin suunnittelu Harjoitus 4(6): Kryostaatti Ehdotukset harjoitustehtävien ratkaisuiksi. Yleisesti ottaen lämpö siirtyy kolmella tavalla: johtumalla, konvektiolla ja säteilemällä. Oletetaan, että kryostaatin pinta on huoneenlämpötilassa (98 K). Tehtävässä yksi tarkastellaan, miten lämpö siirtyy huoneenlämpötilasta nesteheliumtilaan. Johtumalla: Tehtäväpaperin kuvan perusteella voidaan päätellä, että lämpöä johtuu huoneenlämpötilasta heliumtilaan magneetin tuentaa ja virtajohtoja pitkin sekä heliumastian seinää pitkin. Konvektiolla: Konvektio tarkoittaa lämmönsiirtoa kahden faasin välillä, tyypillisesti kiinteän aineen ja nesteen/kaasun välillä. Tehtäväpaperin kuvassa voidaan kuvitella kaksi mahdollisuutta lämpökonvektiolle huoneenlämpötilasta heliumtilaan. ) Lämpökonvektio kryostaatin seinästä heliumastian seinään. Jotta tämä tapahtuisi, kryostaatin seinän ja heliumastian seinän välillä olisi oltava väliaine, joka aikaansaisi konvektion. Nyt väliainetta ei ole, koska kryostaatin seinän ja heliumastian seinän välillä on tyhjiö. Ei siis ole konvektiivista lämmönsiirtymistäkään. ) Lämpökonvektio kryostaatin kannesta heliumtilaan. Kyseisessä tilassa ei ole tyhjiötä, joten siinä mielessä konvektio olisi mahdollinen. Konvektiota ei kuitenkaan tapahdu, sillä kiehuvan nesteheliumin vuoksi nestekylvyn yllä olevassa tilassa on koko ajan pieni ylipaine, ja kaasuvirtaus on siis ylöspäin, heliumtilasta huoneenlämpötilaan. Täten konvektiivista lämmönsiirtymistä huoneenlämpötilasta heliumtilaan ei tapahdu. Säteilemällä: Lämpösäteilyä tapahtuu kryostaatin seinän ja säteilysuojan välillä, ja edelleen säteilysuojan ja heliumastian seinän välillä. Lisäksi lämpöä säteilee kryostaatin kannesta kelluviin säteilysuojiin, joista lämpöä säteilee edelleen heliumtilaan.. Tyhjiön tehtävä tuli jo mainittua tehtävässä yksi: Kun ilmamolekyylit poistetaan kryostaatin seinän ja heliumastian väliltä, samalla eliminoidaan konvektiivinen lämmönsiirto kryostaatin seinästä heliumastian seinään. Säteilysuoja pienentää lämpösäteilyä kryostaatin seinän ja heliumastian seinän välillä. Säteilysuojan lämpötila pyritään saamaan mahdollisimman lähelle nestekylvyn lämpötilaa, jotta lämpösäteily säteilysuojasta heliumastiaan tulisi minimoiduksi. Yksi kerros supereristettä koostuu alumiinilla päällystetystä muovikalvosta ja nylonharsosta. Harson tehtävä on estää lämmönjohtuminen alumiinifoliosta toiseen. Itse supereristeen tehtävä on pienentää lämpösäteilyä kryostaatin seinän ja säteilysuojan välillä. Supereristeestä käytetään myös lyhennettä MLI (Multi Layer Insulation). 3. Lämpöä johtuu huoneenlämpötilasta suprajohdemagneetin operointilämpötilaan myös virtajohtojen kautta. Jos virtajohdot tehdään normaalijohtavasta materiaalista (esim. kupari), magneetin syötön aikana syntyvät resistiiviset häviöt lisäävät lämpökuormaa entisestään. Virrattomassa tilanteessa virtajohtojen aiheuttamaa lämpökuormaa Q voidaan arvioida Fourier'n lämmönjohtavuusyhtälöllä: dt Thuone Top Q T A A, () dx l

2 jossa on virtajohdon lämmönjohtavuus, A virtajohdon poikkipinta-ala, T huone huoneenlämpötila, T op magneetin operointilämpötila ja l virtajohdon pituus. Lausekkeesta nähdään, että virtajohtojen lämpökuorma kasvaa poikkipinta-alan A kasvaessa ja pienenee pituuden l kasvaessa. Siksi virtajohdot suunnitellaankin tyypillisesti siten, että A/l on mahdollisimman pieni. Jos virtajohdot tehdään normaalijohtavasta materiaalista, vaihtoehdot ovat yleensä kupari ja messinki. Kuparin lämmönjohtavuus on noin kaksi kertaluokkaa suurempi kuin messingillä, mutta toisaalta kuparin resistiivisyys on vastaavat kaksi kertaluokkaa messingin arvoa pienempi. Täten siis johtumishäviöt ovat kuparijohtimilla suuremmat kuin messinkijohtimilla, mutta resistiiviset häviöt ovat messinkinjohtimilla kuparijohtimia suuremmat. Sovelluksesta riippuen on tarkasteltava, kumpaa materiaalia käyttämällä virtajohdoista aiheutuvat kokonaishäviöt ovat pienemmät. Virtajohtojen resistiivisistä häviöistä aiheutuva lämpökuorma eliminoidaan yleensä HTSjohtimia hyödyntämällä. Tällöin virtajohtojen alapäässä (esim. 77 K T op ) käytetään tyypillisesti Bi-pohjaisia HTS-nauhoja (esim. HT:ssä esitelty Bi-3/Ag-johdin). Samalla johtumishäviöt pienenevät, sillä Bi-3/Ag-johtimen poikkipinta-ala (ja erityisesti hopeamatriisin, jota pitkin lämpö käytännössä johtuu) on pienempi kuin virtajohdoissa käytettävillä kuparijohtimilla. HTS-virtajohtoja voidaakin H:ssa tarkastellun MRI-laitteen ohella pitää jossain määrin kaupallistuneena suprajohdesovelluksena. HTS-virtajohtojen markkinat vaan ovat ainakin toistaiseksi pienehköt. 4. Tarkastellaan ensin, saavutetaanko säteilysuojan tavoitelämpötila. Homman idea on selvittää, kuinka suuri teho lämmittää säteilysuojaa, ja verrata tuota lämmitystehoa siihen tehoon, jolla säteilysuojaa jäähdytetään. Säteilysuojaan kohdistuva lämmitysteho koostuu kryostaatin seinästä säteilysuojaan tulevasta lämpösäteilystä. Unohdetaan aluksi kryostaatin seinän ja säteilysuojan välissä oleva supereriste. Kahden sisäkkäisen sylinterin väliselle lämpösäteilylle pätee: Q A T T 4 4 sisä 0 sisä sisä Asisä sisä A, () jossa A sisä ja A ovat säteilevien pintojen (sisempi ja ulompi sylinteri) pinta-alat, T sisä ja T ovat vastaavien pintojen lämpötilat, sisä ja ovat pintojen emissiviteetit, ja on Stefan- Boltzmannin vakio. Kun tarkasteltavina sisäkkäisinä sylintereinä ovat säteilysuoja ja kryostaatin seinä, lausekkeeseen () sijoitetaan: Asisä rssh ss, A rkryo h kryo, T sisä = 30 K, T = 98 K, sisä = kupari = 0.05, = teräs = 0., = W/(m K 4 ). Kahden sisäkkäisen sylinterin (kryostaatin seinän ja säteilysuojan) väliseksi lämpösäteilyksi saadaan Q W. Säteilysuojaan kohdistuu lämpösäteilyä myös kryostaatin pohjasta. Unohdetaan edelleen supereristeet, ja lasketaan lämpösäteily kahden tasomaisen levyn (kryostaatin pohja ja säteilysuojan pohja) välillä. Tasomaisten levyjen väliselle lämpösäteilylle pätee sama lauseke kuin sisäkkäisille sylintereille, joten lämpösäteily voidaan taas laskea lausekkeesta (). Sijoitettavat arvot ovat nyt:

3 A r, sisä ss A r, T sisä = 30 K, T = 98 K, sisä = kupari = 0.05, = teräs = 0., = kryo W/(m K 4 ). Kryostaatin pohjan ja säteilysuojan pohjan väliseksi lämpösäteilyksi saadaan Q W. Täten ilman supereristystä säteilysuojaan kohdistuva kokonaislämpösäteily Q tot on: Q tot = Q 0 + Q W W = 6 W. Kysyttiin, onko säteilysuojan tavoitelämpötila, 30 K, saavutettavissa, kun kyseisessä lämpötilassa kryojäähdytin jäähdyttää säteilysuojaa 55 W:n teholla. Koska säteilevä lämmitysteho on suurempi kuin kryojäähdyttimen jäähdytysteho, säteilysuojaa ei saada 30 K:n lämpötilaan, jos supereristettä ei käytetä. Supereristeen käyttö pienentää merkittävästi lämpösäteilyä. Hyvä nyrkkisääntö on, että yhdellä kerroksella superistettä (nylonharso kahden alumiinipäällysteisen muovikalvon välissä) lämpösäteily puolittuu. Kun supereristekerroksia on n kappaletta, lämpösäteily Q on Q 0 Q, (3) n jossa Q 0 on lausekkeesta () laskettu supereristeettömän tapauksen lämpösäteily. Tarkasteltavassa kryostaatissa n = 0, joten nyt kokonaislämpösäteily Q tots kryostaatin seinän ja säteilysuojan välillä on: Q tots = Q tot /(n + ).9 W. Nyt kryojäähdyttimen 55 W riittänee säteilysuojan tavoitelämpötilan saavuttamiseen. Pari huomiota: Lausekkeen (3) perusteella näyttäisi siltä, että supereristekerroksia kannattaa laittaa valtaisa määrä. Käytännössä raja tulee kuitenkin vastaan siinä, että supereristekerroksia ei saa pakata liian tiiviisti. Mitä suuremmalla voimalla vierekkäisiä supereristekerroksia painetaan toisiaan vastaan, sitä merkittävämmäksi muodostuu vierekkäisten kerrosten välinen lämmönjohtavuus. Ja mitä paremmin lämpö johtuu supereristekerroksesta toiseen, sitä huonommin koko supereristepaketti toimii. Supereristetyssä tapauksessa pääteltiin, että koska jäähdytysteho on suurempi kuin lämmitysteho, säteilysuoja saavuttaa tavoitelämpötilansa. Kun päätellään näin, samalla tulee tehtyä oletus, että jäähdytys- ja lämmitysteho ovat tasaisesti jakautuneita koko säteilysuojaan. Lämmitystehon osalta kyseinen oletus on ehkä ok, mutta jäähdytystehon kannalta se ei sitä ole. Säteilysuojaahan jäähdytetään tässä siten, että se on yhdestä pisteestä kontaktissa kryojäähdyttimeen, jolloin säteilysuojan jäähtyminen tapahtuu siis lämmönjohtavuuden kautta. Säteilysuoja valmistetaan yleensä erikoispuhtaasta kuparista, joten sillä on erityisen korkea lämmönjohtavuus, mutta silti säteilysuojan yläja alareunan välille jää mahdollisesti huomattavakin lämpötilaero. Jotta voitaisiin varmuudella sanoa, riittääkö kryojäähdyttimen jäähdytysteho tietyn lämpötilan saavuttamiseen, tehtävää tulisi tarkastella numeerisesti. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että ratkaistaan numeerisesti lämpotasapainoyhtälöä säteilysuojassa. Kryojäähdyttimen jäähdytysteho ja säteilyn kautta tuleva lämmitysteho otettaisiin tällöin huomioon tehtävän reunaehtoina. 3

4 Lasketaan vielä, kuinka paljon kryostaatti kiehuttaa heliumia yhden tunnin aikana. Tätä varten tarvitaan heliumastiaan kohdistuva kokonaislämpöteho. Se koostuu seuraavista komponenteista: liumastian seinää pitkin johtuva lämpöteho. Säteilysuojasta heliumastiaan säteilevä lämpöteho. Virtajohtoja pitkin johtuva lämpöteho. Tukirakenteita pitkin johtuva lämpöteho. Kryostaatin kannesta heliumtilaan säteilevä lämpöteho. Näistä kaksi viimeistä häviötehoa ovat tyypillisesti merkityksettömän pieniä, maksimissaan luokkaa watin kymmenesosia, joten ne voidaan yleensä jättää huomioimatta yksinkertaistettua laskelmaa tehtäessä. Sen sijaan ensimmäiset kolme häviötehoa on otettava huomioon. Tarkastellaan niitä seuraavassa. liumastian seinää pitkin johtuvaa lämpötehoa voidaan arvioida Fourier n lain (lauseke ()) avulla. Nyt lämmönjohtavuus = teräs, johtumispituus l on kryostaatin kannen ja heliumnesteen pinnan välinen etäisyys, ja johtumispoikkipinta-ala A saadaan lausekkeesta: A r r d. Kun annetut arvot sijoitetaan paikalleen lausekkeeseen (), heliumastian seinää pitkin johtuvaksi lämpötehoksi saadaan Q 8. W. Säteilysuojasta heliumastiaan säteilevä lämpöteho saadaan lausekkeesta (). Tarkastellaan taas erikseen sisäkkäisiä sylintereitä ja tasomaisia pintoja. Sisäkkäisten sylintereiden tapauksessa lausekkeeseen () tehdään seuraavat sijoitukset: Asisä r h, A rssh ss, T sisä = 4. K, T = 30 K, sisä = teräs = 0., = kupari = 0.05, = W/(m K 4 ). Kahden sisäkkäisen sylinterin (säteilysuojan ja heliumastian) väliseksi lämpösäteilyksi saadaan Q 4.6 mw. liumastiaan kohdistuu lämpösäteilyä myös säteilysuojan pohjasta. Lasketaan lämpösäteily näiden kahden tasomaisen levyn (säteilysuojan pohja ja heliumastian pohja) välillä. Lauseke () pätee tässäkin tapauksessa. Sijoitettavat arvot ovat nyt: A r, A r, T sisä = 4. K, T = 30 K, sisä = teräs = 0., = kupari = 0.05, = sisä ss W/(m K 4 ). Säteilysuojan ja heliumastian pohjien väliseksi lämpösäteilyksi saadaan Q mw. Tarkastellaan vielä virtajohdoista aiheutuvaa lämpökuormaa virrattomassa tapauksessa. Virtajohtojen yläpää on huoneenlämpötilassa (98 K) ja alapää 4. K:n operointilämpötilassa. Oletetaan, että virtajohdot on tehty messingistä. Nyt lämmönjohtavuus = messinki, johtumispituus l on kryostaatin kannen ja suprajohdemagneetin välinen etäisyys ja johtumispoikkipinta-ala on messinkijohtimen poikkipinta-ala, joten lausekkeesta () saadaan messinkivirtajohtoja pitkin johtuvaksi lämpötehoksi Q W. Täten heliumtilaan tuleva kokonaislämpöteho on messinkivirtajohtojen tapauksessa: Q tot = Q + Q + Q 3 + Q W. 4

5 liumin höyrystymislämpö (H = 0.9 kj/kg) tarkoittaa sitä, että tarvitaan 0.9 kj energiaa, jotta kg nestemäistä heliumia muuttuu kaasuksi. Jos heliumtilaan tulee tunnin ajan lämpöenergiaa 8.8 W:n teholla, kokonaisenergia W tot on W tot = 8.8 J/s 3600 s = 3680 J. Tämä energia kiehuttaa nestemäistä heliumia massan m, joka on m = W tot /H = (3680 J) / (0900 J/kg).5 kg. Koska nestemäisen heliumin tiheys saadaan on 0.5 kg/l, kiehuneen nesteen tilavuudeksi V V = m / (.5 kg) / (0.5 kg/l). l. Koska helium maksaa noin 0 euroa litralta, kryostaatin käyttäminen maksaa noin 0 euroa tunnilta. Vaikuttaa kovin kalliilta... Kaupallisissa MRI-laitteissa heliumin hävikki on kuitenkin hyvin lähellä nollaa. Yleisesti suprajohtavan MRI-laitteen huoltoväli on yksi vuosi, mikä tarkoittaa sitä, että laitteeseen lisätään nestemäistä heliumia vuoden välein. Näin pieni heliumhävikki on mahdollista ns. kondensoivan järjestelmän ansiosta. Kondensoiva järjestelmä tarkoittaa hieman yksinkertaistaen sitä, että kryostaatin kannen alapuolella on kuparilevy, joka jäähdytetään kryojäähdyttimellä alle 4. K:n lämpötilaan. Kun nyt nestemäinen helium kiehuu, heliumkaasu nousee kohti kryostaatin kantta ja osuu kylmään kuparilevyyn. Kylmä levy aiheuttaa heliumkaasun nesteytymisen, jolloin heliumpisarat putoavat takaisin nestemäisen heliumin sekaan. 5