Tilastollisen päättelyn perusteet
|
|
- Väinö Ketonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Motivointiako? opiskelijoiden, jotka kammoavat matematiikkaa tai eivät katso ehtivänsä tai haluavansa tehdä harjoitustehtäviä, neuvon ajoissa siirtymään opiskelemaan jotain pehmeämpää tiedettä. Anders Ekholm, Johdatus tn-laskentaan (1997) 1
2 Ilmiöiden luonteesta Deterministinen ilmiö Ilmiön alkutilan perusteella voidaan ennustaa tarkasti sen lopputila eli tulos Satunnaisilmiö Alkutilasta ei voi tarkasti ennustaa tulosta, mutta tulosvaihtoehtojen esiintyminen ei ole mielivaltaista Epävarmuus Ilmiöön liittyvää epävarmuutta voidaan kuvata todennäköisyyksien avulla Todennäköisyys on epävarmuuden numeerinen mitta Päätetään, että tapahtuman uskottavuus on luku väliltä [0,1] 0 = mahdoton tapahtuma 1 = varma tapahtuma 2
3 Todennäköisyyden subjektiivisuus? Uskottavuus on tapahtuman (subjektiivinen) todennäköisyys Mittaa henkilökohtaista uskottavuuden astetta tapahtuman toteutumiselle Toistettavissa oleville tapahtumille todennäköisyys on tulkittavissa tapahtuman suhteelliseksi frekvenssiksi Millä todennäköisyydellä Häkkinen voittaa seuraavan F1-osakilpailun? Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta muodostaa matemaattisen mallin satunnaisilmiöiden käyttäytymiselle Väistämätön ominaispiirre on kurssin teoreettisuus, sitä eivät kevennä pikantit esimerkit todennäköisyyslaskennan sovelluksista arkielämään tai luonnontieteisiin, siinä ei anneta malleja rationaaliselle päätöksenteolle tai kokeellisesti kerätyn aineiston, datan, analyysille eikä kritikoida epärationaalista päätöksentekoa. Pekka Tuominen, Todennäköisyyslaskenta II (1977) 3
4 Todennäköisyysmalli Satunnaisilmiöiden todennäköisyysmallissa on kaksi osaa: Mahdollisten tulosvaihtoehtojen kuvaus Tulosvaihtoehtoihin liittyvien todennäköisyyksien kuvaus Perusjoukko S on kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen joukko Perusjoukko, jossa satunnaisilmiötä tarkastellaan Tapahtuman todennäköisyys Mikä tahansa satunnaisilmiön tulosvaihtoehtojen joukko on tapahtuma Tapahtuma on perusjoukon osajoukko Nopan heitossa perusjoukko S = { 1,2,3,4,5,6 } Tapahtuma A voisi olla esimerkiksi: A = Nopan silmäluku on parillinen = { 2,4,6 } Tapahtuman A todennäköisyyttä merkitään P(A):lla 4
5 Todennäköisyyden peruslait Tapahtuman A todennäköisyys P(A) on luku 0:n ja 1:n välissä: 0 P(A) 1 Perusjoukon S todennäköisyys on 1: P(S) = 1 Erillisten tapahtumien A ja B yhdisteen todennäköisyys on niiden tn:ien summa: P(A tai B) = P(A) + P(B) Erikoistapaus äärettömälle perusjoukolle pätevästä aksioomasta Todennäköisyyden lakeja Todennäköisyys on normeerattu täydellisesti additiivinen mitta Todennäköisyydelle voidaan perustella erilaisia sääntöjä, kuten esim. Yleinen yhteenlaskusääntö Komplementtitapahtuman todennäköisyys Ehdollinen todennäköisyys Tulosääntö ja riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava 5
6 Ehdollinen todennäköisyys Mikä on tapahtuman A:n todennäköisyys sillä ehdolla, että B on tapahtunut? Tätä tn:ää kutsutaan A:n ehdolliseksi todennäköisyydeksi ehdolla B ja sitä merkitään: P(A B) Olkoon E kiinnostuksen kohteena oleva tapahtuma ja H siihen liittyvä taustatietämys Tällöin P(E H) on tapahtuman E (subjektiivinen) tn ennakkoehdoilla H H:n voi käsittää käytettävissä olevaksi aineistoksi Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja on kuvaus perusjoukosta reaaliakselille Satunnaismuuttuja on muuttuja, jonka arvot määräytyvät todennäköisyyksien avulla Satunnaismuuttujalla on jakauma, joka määrää minkälaisilla tn:illä erilaisia arvoja saadaan 6
7 Tilastotiede & todennäköisyysteoria Tilastotieteessä on tavoitteena tehdä johtopäätöksiä ilmiöstä havaintoaineiston perusteella Havaintoaineiston ajatellaan kuvastavan yleisempää tilannetta Yleistämisen takia ei voida olla varmoja johtopäätöksien oikeellisuudesta Epävarmuutta hallitaan todennäköisyyksiä (todennäköisyysteorian keinoja) käyttäen Tilastollinen päättely? Frekventistinen tilastollinen päättely Eilispäivän havainnot analysoidaan tänään laaditulla tai tänään korjatulla mallilla ja raportoidaan luottamuksena reaalimaailman tilasta Luottamus perustuu ilmiön oletettuun tilastolliseen stabiliteettiin ja periaatteelliseen mahdollisuuteen toistaa aineistonkeruu huomenna ja kaikkina seuraavina päivinä Bayes-päättely Toissapäivänä kvantifioitu uskomus muuntuu eilispäivän empiiristen havaintojen perusteella tämän päivän kvantifioiduksi uskomukseksi 7
8 Frekventistisiä lähtökohtia.. Tilastollisen muuttujan havaitut arvot voidaan tulkita satunnaismuuttujan arvoiksi Vaikka satunnaisilmiön tulos ei olisikaan suoraan numeerinen, voidaan tulos aina kuitenkin koodata numeeriseksi Tn-teoria antaa mallin vaihtelulle, jos ilmiön taustalla olevan perusjoukon olosuhteet pysyvät samana Tulosvaihtoehtojen suhteellisen frekvenssin stabiliteetti ilmiön toistuessa mahdollistaa satunnaisilmiöiden mielekkään tutkimisen Tunnusluku Mikä tahansa tilastollisen muuttujan havaintoarvoista laskettava luku on tunnusluku havaintoarvojen summa, keskiarvo, hajonta, korrelaatiokerroin jne. Tunnusluvut ovat havaintoarvojen funktioina satunnaismuuttujia 8
9 Todennäköisyysjakauma Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma on sääntö, joka kertoo, millä todennäköisyyksillä satunnaismuuttuja saa arvonsa voidaan määritellä satunnaismuuttajan saamien arvojen ja niiden todennäköisyyksien avulla antamalla sääntö (tilastollinen malli), jonka perusteella ko. satunnaisilmiön tapahtumiin voidaan liittää todennäköisyydet Kertymäfunktio Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) määritellään kaavalla P(X x) = F(x) F(x) kuvaa paljonko todennäköisyysmassaa on kertynyt vasemmalta pisteeseen x saakka satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F(x) avulla voidaan määrätä kaikki satunnaismuuttujaan X liittyvät todennäköisyydet: kertymäfunktio määrittelee ko. satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman 9
10 Kertymäfunktion ominaisuuksia F(- ) = 0 F(+ ) = 1 Funktio F(x) on ei-vähenevä: F(x 1 ) F(x 2 ), jos x 1 x 2 Funktio F(x) on oikealta jatkuva: F(x+h) F(x), jos h 0 oikealta Todennäköisyysjakauman kuvailu Koko jakaumaa tylsä tarkastella joka tilanteessa Jakauman ominaisuuksia voi yrittää tiivistää jakaumaa sopivasti kuvaileviin lukuihin odotusarvo varianssi vinous huipukkuus 10
11 Odotusarvo Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) kuvaa X:n todennäköisyysjakauman paikkaa samaan tapaan kuin (painotettu) aritmeettinen keskiarvo kuvaa muuttujan havaittujen arvojen jakauman paikkaa Odotusarvo sijoittuu jakauman painopisteeseen Odotusarvon ominaisuuksia Vakion odotusarvo: Jos X = a (vakio), niin E(X) = a. Lineaarimuunnoksen odotusarvo: Olkoot a ja b vakioita ja olkoon Y = a+ bx. Tällöin E(Y) = a + be(x). 11
12 Varianssi Jakauman paikan lisäksi kiinnostuksen kohteena on usein jakauman keskittyneisyys (hajaantuneisuus) Satunnaismuuttujan X jakauman hajaantuneisuutta voidaan kuvata jakauman varianssin avulla: var(x) = E[X-E(X)] 2 = E(X 2 ) - [E(X)] 2 tai paremminkin sen standardipoikkeaman std(x) eli varianssin neliöjuuren avulla Varianssin ominaisuuksia Vakion varianssi: Jos X = a (vakio), niin var(x) = 0. Lineaarimuunnoksen varianssi: Olkoot a ja b vakioita ja olkoon Y = a + bx. Tällöin var(y) = b 2 var(x). 12
13 Variaatiokerroin Satunnaismuuttujan hajonnan mittana voidaan käyttää variaatiokerrointa C(X) = std(x) / E(X) Saadaan eri suuruusluokkaa olevien (positiivisten) satunnaismuuttujien hajonnat vertailukelpoisiksi Satunnaismuuttujien oltava vertailtavissa! Monta satunnaismuuttujaa? Tarkasteltaessa samanaikaisesti montaa satunnaismuuttujaa, on lähtökohtana niiden yhteisjakauma Satunnaismuuttujien välillä voi olla riippuvuuksia! Reunajakaumien perusteella voidaan määrätä yhteisjakauma vain kun komponentit ovat toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia 13
14 Lineaarinen riippuvuus Satunnaismuuttujien X ja Y lineaarisen riippuvuuden mittana käytetään niiden välistä kovarianssia cov(x,y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY)-E(X)E(Y) Kovarianssin arvo riippuu muuttujien mittaasteikosta eikä sen vaihteluväli ole rajoitettu Korrelaatiokerroin Satunnaismuuttujien X ja Y välinen korrelaatiokerroin on niitä vastaavien standardoitujen satunnaismuuttujien tulon odotusarvo: cor(x,y) = E([(X-E(X))/std(X)][(Y-E(Y))/std(Y)]) = cov(x,y)/[std(x)std(y)] korrelaatiokerroin välillä [-1,1] riippumattomuudesta seuraa, että sekä kovarianssi että korrelaatio ovat nollia ei päde yleisesti toisinpäin 14
15 Summan odotusarvo ja varianssi Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvoille pätee: E(X+Y) = E(X) + E(Y) Satunnaismuuttujien X ja Y summan varianssi voidaan aina lausua X:n ja Y:n varianssien ja kovarianssien avulla: var(x+y) = var(x) + var(y) + 2cov(X,Y) riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa var(x+y) = var(x) + var(y) Otosjakauma? Havaitut arvot satunnaismuuttujan toteutuneita arvoja Havaittujen arvojen jakaumaan voidaan liittää empiirinen todennäköisyysjakauma Havaintoja tuottava todennäköisyysjakauma tuntematon Voidaan tehdä erilaisia oletuksia Parametriset menetelmät Ei-parametriset menetelmät 15
16 Parametrinen vai ei-parametrinen Parametrinen lähestymistapa Oletetaan, että satunnaismuuttuja noudattaa jotain tiettyä parametrista jakaumaperhettä Jakaumaperhe määrää jakauman tyypin, parametrit tarkan muodon Ei-parametrinen lähestymistapa Satunnaismuuttujalle ei oleteta mitään tiettyä jakaumaa Parametreina kaikki havainnot Bernoulli-jakauma Todennäköisyysmalli, jossa tulosvaihtoehdot 0 = ei tapahdu 1 = tapahtuu Todennäköisyydet P(tapahtuu) = p P(ei tapahdu) = 1-p X B(p) Satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrillä p (0 p 1). 16
17 Binomijakauma Olkoot X 1,X 2,,X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja X i B(p), i = 1,2,,n Jos Y = X 1 +X 2 + +X n, niin Y Bin(n,p) Y noudattaa binomijakaumaa parametrein n, p Kuinka monta onnistumista n:ssä kokeessa, jos yhdessä kokeessa onnistumisen tn on p P ( Y E(Y) = np var(y) = np(1-p) n = k ) = p k 1 p k ( ) n k Binomijakauma, kun n on iso Valitaan p=0.5 ja n>> Keskistetään: E(X)=0 Standardoidaan: var(x)=1 Tulokseksi saadaan symmetrinen kellomainen käyrä Standardoitu normaalijakauma 17
18 Normaalijakauma X N(µ,σ 2 ), E(X)=µ, var(x)=σ 2 f ( x) 1 2π 1 e x µ 2 = σ σ Yllä oleva tiheysfunktio määrittelee kokonaisen parven normaalijakaumia, kun vakioille µ ja σ annetaan erilaisia arvoja 2 Normaalijakauman keskeinen asema tilastotieteessä johtuu siitä, että monien satunnaismuuttujien on havaittu noudattavan normaalijakaumaa empiirisesti Keskeinen raja-arvolause Olkoot satunnaismuuttujasta X tehtyjen riippumattomien havaintojen X 1, X 2,, X n odotusarvo E(X i )=µ ja varianssi var(x i )=σ 2 kaikille i. Tällöin havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo X = n 1 n X i i= 1 on suurille havaintojen lukumäärille n approksimatiivisesti normaalinen N(µ,σ 2 /n). 18
19 Normaalijakauman yhteyksiä muihin jakaumiin χ 2 -jakauma Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,, X k noudattavat standardoitua normaalijakaumaa ja ovat keskenään korreloimattomia, noudattaa niiden neliösumma U = X 12 + X X 2 k χ 2 -jakaumaa vapausastein k: U χ 2 (k) t-jakauma Olkoon satunnaismuuttujan X jakauma standardoitu normaalijakauma N(0,1) ja satunnaismuuttujan U jakauma χ 2 (k). Oletetaan lisäksi, että ne ovat stokastisesti riippumattomia. Silloin satunnaismuuttuja X t = U / k noudattaa t-jakaumaa vapausastein k: t t(k) F-jakauma Olkoot satunnaismuuttujat U χ 2 (k) ja V χ 2 (m) riippumattomia. Silloin satunnaismuuttuja U / k F = V / m noudattaa F-jakaumaa vapausastein k ja m: F F(k, m) Multinormaalijakauma Olkoot Z 1, Z 2,, Z p riippumattomia, standardoitua normaalijakaumaa N(0,1) noudattavia muuttujia. Muodostetaan uudet muuttujat X 1, X 2,, X p Z-muuttujien lineaarisina yhdistelminä X 1 =c 11 Z 1 +c 12 Z 2,+ +c 1p Z p + µ 1 X 2 =c 21 Z 1 +c 22 Z 2,+ +c 2p Z p + µ 2... X p =c p1 Z 1 +c p2 Z 2,+ +c pp Z p + µ p eli matriisimuodossa X = CZ + m. Muuttujien X 1, X 2,, X n yhteisjakaumaa sanotaan multinormaalijakaumaksi ja sen määrittelevät täydellisesti parametrit m ja C. Itse asiassa jakauman määrittelemiseksi riittää tuntea odotusarvovektorin m ohella kovarianssimatriisi S = CC. Multinormaalijakauman voi aina ajatella syntyvän (0,1)-normaalisista muuttujista kolmessa vaiheessa. Ensin tehdään muuttujittain venytyksiä ja kutistuksia, sitten kierretään koordinaatistoa ja lopuksi siirretään jakauman keskipiste pois origosta. 19
20 Estimointi Oletetaan, että havainnot noudattavat tutkimuksen kohteena olevan ilmiön satunnaisia piirteitä kuvaavassa tn-mallissa määriteltyä tn-jakaumaa Oletetaan, että satunnaismuuttujan havaitut arvot ovat peräisin tietystä jakaumaperheestä Jakauman tarkan muodon määräävät parametrit pyritään estimoimaan havaintojen perusteella Parametrin estimaattori Valitaan sopiva havaintojen funktio (tunnusluku), joka kuvastaa parametria eli on parametrin estimaattori Merkitään tuntemattoman parametrin a estimaattoria â:lla ( hatulla ) Estimaattori on havaintojen funktiona satunnaismuuttuja! Parametrin a estimaattorilla â on todennäköisyysjakauma, johon (parametrinen) tilastollinen päättely suurelta osin perustuu 20
21 Hyvin estimaattorin ominaisuuksia (1/2) Harhattomuus Jos E(â) = a, niin estimaattori â on harhaton Tyhjentävyys â on tyhjentävä, jos se käyttää kaiken otokseen sisältyvän parametria a koskevan informaation Järjestystunnusluku on triviaali tyhjentävä tunnusluku Hyvin estimaattorin ominaisuuksia (2/2) Tarkentuvuus â on tarkentuva, jos estimaattorin â arvot lähestyvät parametrin a todellista arvoa siinä mielessä, että suuret poikkemat todellisesta arvosta tulevat yhä epätodennäköisemmiksi otoskoon kasvaessa Tehokkuus Olkoot â 1 ja â 2 kaksi parametrin a harhatonta estimaattoria. Tällöin â 1 on tehokkaampi kuin â 2, jos var(â 1 ) var(â 2 ) 21
22 Estimointimenetelmiä Suurimman uskottavuuden menetelmä â on parametrin a suurimman uskottavuuden estimaattori (maximum likelihood estimator), jos se maksimoi otoksen X 1, X 2,, X n todennäköisyyden Maksimoidaan riippumattomien samaa - parametrista a riippuvaa - jakaumaa noudattavien havaintojen yhteisjakauma (uskottavuusfunktio) parametrin a suhteen Derivoidaan uskottavuusfunktio a:n suhteen ja määrätään a:n arvo maksimia vastaavassa derivaatan nollakohdassa Lisää estimointimenetelmiä Pienimmän neliösumman menetelmä (Ordinary Least Squares) minimoidaan jäännösvaihtelutermien neliösummaa maksimoidaan mallin ja aineiston yhteensopivuutta Momenttimenetelmä asetetaan otosmomentit vastaamaan jakauman momentteja ja näin saatujen yhtälöiden avulla estimoidaan parametrit Bayes-estimointi priori uskottavuus posteriori 22
23 Piste-estimointi Lasketaan havainnoista vastaava (otos)tunnusluku, jota sitten käytetään parametrin estimaattina Mallin parametreilla on yleensä tutkittavan ilmiön ominaisuuksiin liittyvät tulkinnat Väliestimointi Estimaattori on satunnaismuuttuja, joten siihen liittyy epävarmuutta Väliestimoinnissa parametrille määrätään havainnoista riippuva väli, joka peittää tietyllä, tutkijan valittavissa olevalla todennäköisyydellä tuntemattoman parametrin arvon ko. väliä kutsutaan luottamusväliksi ja tutkijan valitsemaan todennäköisyyttä luottamustasoksi luottamustaso kuvaa eräässä mielessä sitä varmuutta, jonka voimme havaintojen perusteella saada siitä, että tuntematon parametrin arvo sijaitsee luottamusvälillä 23
Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotTilastotiede käytännön tutkimuksessa, kesä 2003
Tiedosta hyvinvointia Reijo Sund - Tilastotiede käytännön tutkimuksessa 1 Tilastotiede käytännön tutkimuksessa, kesä 2003 Reijo Sund Sosiaali- ja terveysalan tutkimus- ja kehittämiskeskus (Stakes)
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotMallipohjainen klusterointi
Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot