23. KUNNONVALVONTA JA HUOLTO
|
|
- Kari Järvenpää
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 23. KUNNONVALVONTA JA HUOLTO Yleistä kunnoss- j käynnissäpidost Luku 23: Kunnonvlvont j huolto Nykyikisess tuotnnoss on käytettävyys eli prosessien jtkuv toimint tullut entistä tärkeämmäksi j keskeisemmäksi siksi. Litteiden vikntumisist iheutuv korjv kunnosspito iheutt in suurimmt menetykset j kustnnukset, joten uusi kehittyneempiä menetelmiä on etsittävä j niitä kehitettävä. Uusi rtkisuj olln nykyään toteuttmss kokonisvltisen - ldukkn, ympäristömyönteisen j jtkuvn prntmiseen pnostvn - kunnosspidon vull, joss oikeill toimenpiteillä voidn tehokksti vikutt kikkiin tuotnnon os-lueisiin, eikä siis inostn kunnosspitokustnnuksiin. KUVA Kunnosspidon vikutukset Rtkisut ovt entistä usemmss tpuksess kunnosspidon eriytyksiä ( Full service ), jolloin prosessien omistj keskittyy ydinliiketoimintns j siirtää kunnosspidon ulkopuolisen - kunnosspitoon erikoistuneen - yrityksen vstuulle. Näillä järjestelyillä on tvoitteen molemmille sopimusospuol ille hyötyjä tuottv kumppnuus. Kehityksen myötä mittv kunnosspito on noussut sille kuuluvn semn. Tvoitteenhn tulee oll oike-ikinen trpeettomt toimenpiteet eliminoiv kunnosspitotoimint. Tässä osuudess keskitytään pääsiss pyörivien koneiden kunnonvlvontn. Lähes kikiss muisskin nykyikisiss prosessilitteiss on kunnonvlvont-, dignostiikk- j itsedignostiikk ominisuuksi, jotk kilpilun kikkill lisääntyessä nousevt in vn merkittävämpään osn. Myös ne kikki kuuluvt kokonisvltist kunnosspito toteuttvn yrityksen plveluvlikoimn. ABB:n TTT-käsikirj
2 23.2. Johdnto pyörivien koneiden kunnonvlvontn Kunnonnvlvontmittuksin pyritään litteiden vikntuminen hvitsemn jo hyvissä join ennen kuin vik on päässyt niin vkvlle steelle, että se joht koneen pysähtymiseen joko täydellisen särkymisen ti suojusjärjestelmän hälytysten lukemisen tki. Esimerkiksi lkerivit pystytään usein hvitsemn niin ikisin, että lkereill voidn turvllisin mielin j vielä jop kuukusi. Näin lkerin vihto voidn joitt siten, että se ei hitt normli tuotnto. Yleisimmin kunnonvlvonnst puhuttess trkoitetn sellisi mittuksi, jotk tehdään litteiden käydessä normleiss käyntiolosuhteiss niitä pysäyttämättä. Käytännössä pääos kunnonvlvonnst keskittyy pyörivien litteiden meknisen kunnon rviointiin. Kunnonvlvont on ksvv l sekä Suomess että knsinvälisesti. Kunnonvlvontmittuksi on hyvällä menestyksellä tehty Suomess ljemmss mittkvss luvult lken. Erityisesti pperiteollisuudess on kunnonvlvonnn vull svutettu erittäin korket käyttösteet j voidnkin todet, että nykyisin ei esimerkiksi uutt pperikoneprojekti käynnistetä ilmn, että kunnonvlvont on lust sti mukn. Kunnonvlvont on selvästi osoittnut hyödyllisyytensä, jonk vuoksi sitä kivtn yhä pienemmissä litoksiss, joill ei itse ole resurssej litehnkintoihin eikä mittusten tekemiseen. Toinen kunnonvlvonnn käyttöönotto puoltv tekijä on se, että kun mittuksin pystytään tulevt vuriot totemn jo hyvissä join, voidn joittin tehtävistä turhist huolloist luopu. Tvoitteen on siis se, että koneist korjtn inostn epäkuntoisiksi todetut ost. Kunnonvlvont mielletään nykyisin kuuluvksi olennisen osn kunnosspitoon Kunnonvlvont osn kunnosspito Pohjimmiltn kunnosspidon tehtävänä on ollut pitää tehtn pyörät pyörimässä. Tämä tehtävä on kuitenkin nykyisin ljentunut siten, että pyörien olisi pyörittävä yhä nopemmin j yhä pidempään. Tällöin ylläpitävä kunnosspito ei enää riitä, vn trvitn prntvi toimenpiteit riittävän käytettävyyden tkmiseksi. Kunnonvlvonnst j yleensä ennkkohuollost vstvt henkilöt ovt tuotntolitoksiss yleensä sellisi henkilöitä, joill on hyvin suuret mhdollisuudet hvit sellisi puutteit, jotk voidn helposti korjt j sitä kutt sd prosessi ti litett tehokkmmksi. Kuvss on yksi esitystp eri kunnosspitotpojen rippuvuuksist. KUNNOSSAPITO KORJAAVA KUNNOSSAPITO ENNAKOIVA KUNNOSSAPITO PARANTAVA KUNNOSSAPI TO EHKÄISEVÄ KUNNOSSAPITO MITTAAVA KUNNOSSAPI TO TARKASTUSTOIMINTA KUNNONVALVONTA KUVA Kunnonvlvont osn kunnosspito. ABB:n TTT-käsikirj
3 Korjv kunnosspito Korjv kunnosspito on yksinkertisimmilln sitä, että lite huolletn vurion jo synnyttyä. Yleensä vurioituminen iheutt prosessii n ktkoksen. Yllättävästä käyttöktkoksest iheutuvt tuotnnonmenetyskustnnukset ovtkin tvllisesti huomttvsti suuremmt kuin itse kor juksen kustnnukset. Aikisemmin tärkeimmille litteille rkennettiin vrlite nopeuttmn vuriotilnteist selviämistä. Vrlitteet iheuttvt kuitenkin kustnnuksi j usein vrlitett on mhdotont järjestää. Esimerkiksi pperiteollisuudess on mhdotont rkent vrlle esimerkiksi yhtä kuivtusryhmää. Pperiteollisuus onkin ollut yksi edelläkävijöistä ennkoivn kunnosspidon lueell. Ennkoiv kunnosspito Ennkoivn kunnosspidon trkoituksen on ehkäisevillä toimenpiteillä estää yllättävät vuriot j siten myös yllättävät käyttöktkokset. Ennkoivn kunnosspitoon kuuluvt ehkäisevä kunnosspito eli säännöllinen huoltotoimint sekä mittv kunnosspito. Ennkoivll toiminnll on myös tärkeä turvllisuutt lisäävä vikutus. Viime ikoin ennkoivn kunnosspidon luonne on muuttunut yhä enemmän määräikishuolloist oike-ikisiin huoltoihin, joiden jnkoht j sisältö määritellään suurelt osin kunnonvlvonnn mittusten j erilisten trkstusten vull. Mittvn kunnosspidon os- lueit ovt kunnonvlvont, jok on jtkuv säännöllistä toimint sekä muu mittuksin tehtävä trkstustoimint. Mittvss kunnosspidoss hvitut ongelmt johtvt usein myös prntviin toimenpiteisiin. Kunnonvlvont on yleisnimitys kikille tekniikoille, joit on kehitetty koneen kunnon määrittelyyn sen käynnin ikn. Kunnonvlvont perustuu muutosten seurmiseen mittussuureess eli kyseessä on jtkuv toimint. Esimerkiksi lämpötiln ksvu ti tärinän lisääntyminen on yleensä merkk inä koneen kunnon huononemisest. Kunnonvlvont sisältää tämän muutoksen hvitsemisen, sen dignostisoinnin, eli syyn trkemmn selvittämisen sekä lisäksi rvion siitä, kuink vkv vurio on eli jäljellä olevn käyttöiän ennustmisen Prntv kunnosspito Prntv kunnosspito trkoitt litteiden suorituskykyä, käytettävyyttä, luotettvuutt j turvllisuutt lisäävää toimint, jonk vull voidn poist esimerkiksi suunnitteluvirheistä johtuvt ongelmtpukset ti vurioiden perussyyt j siten vähentää kunnosspidon trvett. Usein myös litteiden modernisoinnit j uusinnt voidn luke kuuluvn prntvn kunnosspidon piiriin, mikäli niiden toteuttmisen tustll on kunnosspidollinen ongelm ti suornisesti litteen käytettävyyttä j luotettvuutt lisäävä muutostyö, joll voidn välttää uushnkint. Prntvn kunnosspidon perustn on esimerkiksi ongelmn juurisyynlyysi ( Root Cuse Anlysis ti Root Cuse Filure Anlysis ), jonk vull ongelmn perussyy pyritään ensin trkentmn j tämän jälkeen löytämään rtkisu perussyyn poistmiseen. Juurisyynlyysiin voidn käyttää erilisi tietolähteitä in litteen vikhistorist erilisiin mittustietoihin, j se on monesti vtiv j ikvievä prosessi. Onnistuneen juurisyynlyysin tuloksen on rtkisu, joll sekä korjtn vin iheuttmt seurukset että estetään vin toistuminen tulevisuudess kokonn ti ehkäistään sen iheuttmt seurmukset minimiin esimerkiksi käyttämällä vhvempi osi, eri mterili ti voiteluinett, jne. Trkk rj mittvn j prntvn kunnosspidon välille on vike vetää, sillä esimerkiksi tietyillä kunnonvlvonnn nlyysimenetelmillä ( mm. pkkovärähtelynimtio, resonnssimittus, rkenteen värähtelymuotonlyysi ) kyetään löytämään rkenteelliset perusvit j usein myös keinot niiden poistmiseen. Vstvsti korreltionlyysillä on mhdollist prnt litteen käytettävyyteen liittyviä ongelmi vertmll prosessin eri p- ABB:n TTT-käsikirj
4 rmetrien vikutust toisiins j etsimällä jettvuuden knnlt optimliset rvot eri prmetreille Kunnonvlvontmittukset Kunnonvlvont perustuu yleensä siihen, että pyritään hvitsemn lkvn vikntumisen iheuttm muutos mitttvss suureess. Kunnonvlvonnss olennisin si on siis normlist poikkevn tilnteen hvitseminen. Tämä ei kuitenkn yleensä riitä vn tärkeää on myös selvittää se, mikä on vin vkvuusste j se, millisiin korjuksiin on syytä vrutu. Peritteess kunnonvlvont voidn jk seurviin os-lueisiin: poikkevn tilnteen hvitseminen ( detektio ), poikkemn syyn selvittäminen ( dignoosi ), rvio siitä, kuink vkv poikkem on ( prognoosi ), toimenpidesuositus j poikkemn lkusyyn selvittäminen j mhdollinen prntv toimenpide. Kun poikkem huomtn joiss, jää myöhempien viheiden toimenpiteille riittävästi ik j trvittvt päätökset voidn tehdä perustuen todelliseen tietoon. Tämä tietenkin edellyttää myös sitä, että hvitut poikkemt ovt todellisi poikkemi eli että vääriä hälytyksiä tulee mhdollisimmn hrvoin Kunnonvlvontmittuksiss käytettäviä suureit Kunnonvlvont perustuu erilisten fysiklisten suureiden mittmiseen litteest sen käynnin ikn. Prhseen tulokseen päästään, kun kunnonvlvontmittuksi tehdään säännöllisesti siten, että eri kerroill mittut tulokset ovt keskenään vertilukelpoisi. Näin mittut rvot voidn sett smlle steikolle j seurt niiden kehittymistä eli trendiä. Mikäli smst litteest seurtn useit eri suureit, on nlyysien luotettvuus yksittäisiin mittuksiin verrttun prempi. Tällöin käytetään nimitystä moniprmetrivlvont Kunnonvlvont voi perustu inkin seurvien suureiden mittukseen: tärinä ( useit eri mittussuureit ), lämpötil, voiteluöljyn puhtus j ominisuudet, sähkövirt j pine, virtus, käyntinopeus ym. muut prosessisuureet Näistä tärinän eli värähtelyn mittukset ovt selvästi tärkein kunnonvlvonnn mittusmenetelmä. Jott koneen kunto voidn prhll mhdollisell tvll vlvo, on tunnettv eri mittusmenetelmien edut j rjoitukset. Kunnonvlvontohjelm perustettess on mm. tiedettävä: mitä mittuksi knntt tehdä j miksi, mistä mittukset on järkevintä tehdä j miten ne tehdään. Esimerkiksi tärinämittuksiss nturin pikn j kiinnityksen vlinnll on erittäin suuri merkitys mittuksen onnistumiselle. Seurvss esitetään lyhyesti eri kunnonvlvontmenetelmien ominisuuksi. ABB:n TTT-käsikirj
5 Tärinä Luku 23: Kunnonvlvont j huolto Yleisesti tärinä- eli värähtelymittuksiin perustuvi menetelmiä pidetään tehokkimpin koneiden kunnonvlvonnss silloin, kun rvioidn dynmisi ilmiöitä kuten tspino, lkeroinnin kunto j yleensä voimi, jotk kohdistuvt litteen eri komponentteihin. Tärinän mittuksess käytetään yleisimmin tiedonkeruulitteit ti nlysttoreit. Tietojen tllennus j vrsininen nlysointi tehdään yleensä tietokoneell. Tärinää nlysoimll voidn löytää esimerkiksi epätspino, mekniset välykset, rkenteen resonnssitjuudet, tipunut kseli, sennusvirheitä, ym. Tärinän nlysointiin on olemss moni erilisi menetelmiä, joist yleisimpiä ovt nopeuden tehollisrvon mittminen ( tärinärsitus ) sekä spektrinlyysit. Näitä kht voidn pitää perusmenetelminä, joill suurin os vurioist voidn löytää. Sellisiin tpuksiin, joiden nlysointi em. menetelmillä on todettu vikeksi on kehitetty tehokkmpi menetelmiä. Yhtenä esimerkkinä tällisest on verhokäyränlyysi, joss ennen spektrinlyysiä tehdään signlille toimenpiteitä, jotk helpottvt lkerivikojen hvitsemist. Tärinämittuksen menetelmiin voidn lske myös korketjuisen kustisen värähtelyn mittminen. Korkell tjuuskistll mitttess sdn tieto metllimetlli kosketuksist, jok voi oll merkkinä puutteellisest voitelust ti lkvst lkerivuriost. SKF käyttää menetelmästä nimitystä SEE ( Spectrl Emitted Emission ) Lämpötil Lämpötiln kohominen meknisen litteen käynnin ikn on yleensä merkkinä ksvneest kitkst, jok johtuu vuriost ti voiteluhäiriöstä. Lämpötiln mittus on joissin tpuksiss käyttökelpoinen kunnonvlvonnn menetelmä, mutt usein lämpötil koho vst siinä viheess, kun vurio on jo niin vkvll steell, että korjusten vlmisteluun jäävä ik on liin pieni. Lämpökmern käyttö on viime ikoin tullut teollisuuden kunnosspidon puvälineeksi. Toimint perustuu pintlämpötilltn erilisten kppleiden lähettämän infrpun- eli lämpösäteilyn "kuvmiseen". Sen käyttökohteit ovt olleet lämpövoimlitokset j lämmönjkelu, joiss lämpökmerll pystytään helposti hvitsemn vuodot. Lämpökmer on sovellettu myös voimlinjojen j sähkökytkinten kunnonvlvonnss. Näissä vikntuminen iheutt lämmönnousu, jok on helposti hvittviss lämpökmerll. Pyöriviä koneit mitttess lämpökmern käyttö perustuu kitkn iheuttmn lämpenemisen mittmiseen Sähkövirt Moottorin ottmst sähkövirrst tehtävän spektrinlyysin vull voidn roottorin kunto rvioid luotettvsti. Roottorinlyysi voidn tehdä smll tiedonkeruulitteell kuin tärinämittus. Anlyysiä vrten mittn yhdestä moottori syöttävästä vihejohdost virtpihdin vull virtsignli, jok tllennetn tiedonkeruulitteen muistiin. Virtmittus voidn tehdä joko ensiö- ti toisiovirtpiiristä. Mittust virtsignlist lsketn tjuusspektri, jot trkstelemll roottorin kunto rvioidn. Spektriä trkstelln linjtjuuden 50 Hz ympäristössä käyttäen logr itmist mplitudisteikko. Mikäli roottoriss on vikoj nähdään linjtjuuden molemmin puolin sivunuht jättämän etäisyydellä. Näiden sivunuhojen pikn j voimkkuuden perusteell tehdään lopulliset päätelmät vin tyypistä j vkvuussteest. Mittuksen onnistumisen edellytyksenä on riittävän hyvä resoluutio, mikä mhdollist sen, että jättämätjuuksill näkyvät sivunuht voidn spektrissä erott. Koneen on lisäksi mitttess oltv riittävän voimkksti kuormitettu j käytinopeuden on oltv vkio. ABB:n TTT-käsikirj
6 Moottorin olless hyvässä kunnoss sivunuht ovt erittäin mtli. Usein jop niin mtli, että niitä ei pysty tustkohinst erottmn. Tsoeron ilmistun tämä on 50 db ti enemmän. Vsemmn sivunuhn j perustjuuden tsoeron olless välillä db voidn yleensä olett, että roottoriss on korkeresistnssisi liitoksi ti hyvin lkvss viheess olev suvvurio. Tsojen olless lle 40 db on kyseessä roottorivik. Tällöin roottoriss on todennäköisesti useit ktkenneit roottorisuvoj ti oikosulkurenkn vurio. Vin kehittyminen ei niinkään korreloi koneen käyttötuntien kuin käynnistyskertojen knss. Mitä usemmin villiseksi todettu moottori joudutn prosessin tki käynnistämään, sitä trkemmin vin kehitystä tulisi seurt. Yleensä virt-nlyysi tehdään "ehjälle" moottorille noin vuoden välein Voiteluinenlyysit Prosessiteollisuuden voiteluinenlyysit keskittyvät lähinnä kiertoöljyvoitelujärjestelmien näytteiden nlysointiin lbortorioss. Tälliset nlyysit kertovt öljyn puhtuden j voiteluineen ominisuudet. Öljyssä olevt epäpuhtudet voidn jk syntytpns perusteell kolmeen ryhmään: Koneen kulumisest syntyvät kulumistuotteet ovt yleensä metllihiukksi. Ne syntyvät metllisiss kosketuksiss sekä mhdollisesti väsymisen seuruksen vikk voiteluineklvo ei rikkoontuisikn. Metllihiukksten lisäksi lkereist j tiivisteistä voi irrot kermi- j muovihiukksi. Hyväkuntoisen koneen käydessä normlisti syntyvien hiukksten määrä on vähäinen j niiden koko pieni. Järjestelmän ulkopuolelt tulevt epäpuhtudet, joist yleisimpiä ovt hiekk, prosessipöly sekä kondensoituv vesi. Öljyssä itsestään syntyvät epäpuhtudet sen vnhetess esimerkiksi hpettumll. Nämä eivät liity niinkään koneen kuntoon vn lähinnä öljyn kuntoon. Tvllisimpi voiteluinenlyysin menetelmiä ovt kiintoineiden mittus, hiukkslskent, ferrogrfi j spektrometriset hiukksnlyysit. Käteviä kenttäkelpoisi litteit öljynlyysien tekemiseen ei ole olemss, vn nlyysit ovt lähinnä lbortorio-olosuhteiss tphtuvi Prosessisuureet Erilisten prosessisuureiden käyttö koneiden kunnonvlvonnss on melko vähäistä, vikk ne ovt peritteess helposti stviss prosessin ohjuksest. Prosessitiedon käyttö rinnn esimerkiksi värähtelymittusten knss nt usein lisäpohj päätöksen teolle. Tällisi suureit ovt esimerkiksi prosessist stvt pine, lämpötil, virtus, nopeus ym. tiedot. Prosessiutomtion j kunnonvlvonnn integroiminen näyttää olevn tulevisuuden kehityssuunt. Esimerkiksi pperiteollisuudess tämänsuuntist kehitystä on selvästi nähtävissä. ABB:n TTT-käsikirj
7 23.5. Värähtelymittuksen teori Luku 23: Kunnonvlvont j huolto Kikki litteet värähtelevät käydessään. Värähtelyä iheutuu yleensä epätspinost, vlmistus- ti sennusvirheistä sekä kulumll ti muuten vurioituneist osist. Yleensä roottori ti kseli on se os jok vrsinisesti värähtelee, ti iheutt värähtelyä, mutt värähtelyn mittuspikk on rungoss. Värähtely kulkeutuu litteen runkoon yleensä lkereiden kutt joten prs mittuspikk on mhdollisimmn lähellä lkeripesää. Käytännön tärinämittuksiss tulosten tulkint suoritetn pääsiss eri tjuuslueill mitttujen spektrien j niitä vstvien tärinän kokonistsorvojen perusteell. Peritteess kikki värähtelevät litteet ovt jousi- msssysteemejä, kosk mikään lite ei ole täysin jäykkä. Yksinkertinen esimerkki värähtelevästä systeemistä on jousi- msssysteemi, jok esitetään kuvss jousi k mplitudi k m T=värähdysik mss m ik t KUVA Jousi- msssysteemin pisteen värähtelyn esittäminen iktsoss. Kun mss m stetn liikkumn, liikkuu se tspinosemn molemmin puolin käyden mksimiss sekä positiivisell että negtiivisell puolell kerrn värähdysliikkeen ikn. Yhden värähdysliikkeen ikn mss pl tkisin lähtösemns. Kuvss 23.5 nähdään myös yhteen värähdysliikkeeseen käytettävä ik, jot merkitään kirjimell T ( huom, että ik yleensä merkitään kirjimell t ). Pisteen piirtämän käyrän muoto on sinikäyrä. Kuvn 23.5 signlist käytetään nimitystä iktsosignli. Vk-kselill on siis ik j pystykselill pisteen siirtymä eli liikkeen mplitudi. Värähdysik T vst vihekulm B = 360 eli B = 2 F Tärinäsuureet Edellä esitetyn siirtymän lisäksi yleisesti trkstelln nopeutt ti kiihtyvyyttä. Mtemttisesti nopeus sdn derivoimll siirtymä kertlleen jn suhteen j kiihtyvyys joko derivoimll siirtymä khteen kertn jn suhteen ti nopeus kertlleen. Käänteinen toimitus derivoinnille on integrointi. ABB:n TTT-käsikirj
8 k mplitudi kiihtyvyys nopeus siirtymä k m A m -A vihekulm KUVA 23.5b. Jousi-msssysteemin pisteen siirtymä, värähtelynopeus j -kiihtyvyys. Kuvst 23.5b nähdään, että siirtymällä nopeudell j kiihtyvyydellä muoto on sm, mutt vihekulm poikke 90 stett siten, että kiihtyvyys on 90 stett nopeutt edellä, jok ts on vstvsti 90 stett siirtymää edellä. Kuvss kikkien käyrien mplitudit on piirretty smnkorkuisiksi, mutt on huomttv, että niiden yksiköt eivät vst toisin. Yleensä euroopss käytetään tulukoss 23.5 esitettäviä yksiköitä. Tulukko Euroopss yleensä käytettävät tärinämittukseen liittyvät suureet j yksiköt. Huom, että kiihtyvyyden mittyksikkönä käytetään yleisesti myös mn vetovoimn kiihtyvyyttä g. Mitttv suure Käytettävä lyhenne Yksikkö Siirtymä s m ( = 1 / 1000 mm) Nopeus v mm/s Kiihtyvyys m/s 2 ti g = 9,81 m / s 2 Vihekulm B ste ( ) ti rdini (360 = 2 F rd ) Yleisimmät tärinään liittyvät prmetrit Yleisimmät edellä esitettyihin suureisiin liittyvät prmetrit esitetään oheisess kuvss nopeussignlin vull esitettynä. Smoj prmetrejä voidn käytetään myös siirtymälle j kiihtyvyydelle. v T v p-p v rms v p t T B v p-p v p v rms B = värähdysik eli jkso = nopeuden huipust-huippuun rvo = nopeuden huippurvo = nopeuden tehollisrvo = vihekulm KUVA 23.5c. Yleisimmät värähtelysignliin liittyvät prmetrit. ABB:n TTT-käsikirj
9 Huippurvo kertoo iktsosignlin itseisrvoltn suurimmn rvon. Huipust- huippuun rvo kertoo suurimmn j pienimmän rvon erotuksen j on yleensä n. kksinkertinen huippurvoon verrttun Tehollisrvoll on yhteys tärinän sisältämään tehoon. Se kuv hyvin tärinän vrllisuutt j on yleisimmin käytössä Euroopss. Sinillolle tehollisrvo on huippurvo jettun luvull 2 eli kert huippurvo. Kun signlin muoto poikke sinistä, ei suhdeluku myöskään ole enää sm. Vihekulm kertoo jkson kohdn, johon värähtely on edennyt vertilukohdst. Edellisistä yleisimmin on käytössä tehollisrvon mittus. Sllittuj nopeuden tehollisrvoj käsittelee kotiminen stndrdi PSK 5704, jok perustuu stndrdiin SFS- ISO Lähitulevisuudess edellä minitut stndrdit tulln korvmn ISO sr jll. Vikk tehollisrvo on yleisimmin käytössä, on mittustuloksi verrttess kuitenkin in muistettv, erityisesti jos tulokset huomttvsti poikkevt oletetust, vrmist, että mittukset on tehty smoill setuksill Värähtelyn esittäminen tjuustsoss eli tjuusspektri Värähtelyn tjuus kertoo kuink mont värähdysliikettä sekunniss tphtuu. Tjuudest käytetään lyhennettä f j sen yksikkö on Hz ( Hertsi ) = 1 / s. Tjuden määrittämiseksi iktsosignlist trvitn siis seurvi yhtälöitä. 1 f, joss f on tjuus j T on värähdysik T n f, joss f on tjuus, n on värähdysten lukumäärä j t on ik t Käytännön värähtelymittuksiss iktson käyttö on hrvinist j voidnkin sno, että pääos nlyyseistä tehdään perustuen tjuusspektreihin eli tjuustsoss. Tjuustsoss vk-kselin on tjuus j pystykselin mplitudi. Edellä esitetyt esimerkit kuvvt yksinkertist värähtelytpust, joss mitttu signli sisältää inostn yhden värähtelykomponentin, jok nähdään selvästi iktsoss. Käytännössä tilnne kuitenkin on yleensä sellinen, että mittuspisteeseen tulee useiden eri koneenosien iheuttm värähtelyä, joten iktsosignlist on vike erott yksittäisiä värähtelykomponenttej. Yleensä onkin järkevää tutki värähtelyä tjuustsoss. Tjuustsoesityksestä käytetään nimitystä tjuusspektri. Aiktsosignli muutetn yleensä tjuusspektriksi FFT- muunnoksell, jonk teori tässä sivuutetn. Yleisesti käytössä olevt nlysttorit tekevät FFT- lskennn utomttisesti. ABB:n TTT-käsikirj
10 15 mm/s 15 mm/s -15 mm/s 0,08 s T 0 50 Hz f ) Aiktsosignli b) Tjuusspektri KUVA 23.5d. Yksittäisen sinillon esittäminen ik- j tjuustsoss. Tjuusspektrissä pylvään korkeus kuv sinillon mplitudi j sen pikk vk- kselill tjuutt. Tvllisesti kuitenkin litteest mitttv tärinä sisältää eri tjuuksi, joiden hvitseminen iktsoss on vike. Oheisess kuvss on esimerkki kolmest sinillost koostuvst signlist esitettynä sekä ik- että tjuustsoss. 5 mm/s 0 5 mm/s s 0 ) Aiktsosignli b) Tjuusspektri 1 KUVA 23.5e. Kolmest sinillost koostuv värähtelysignli esitettynä ik- j tjuustsoss. Kuten nähdään kuvn 23.5e iktsosignlist on vike erott, mitä tjuuksi signliss on. Tjuusspektristä yksittäiset tjuudet voidn erott helposti. Kunnonvlvonnss käytetäänkin pääsiss spektriesitystä. On kuitenkin muistettv, että joissin tpuksiss iktsosignli ktselemll sdn sellist tieto, jok ei näy spektrissä. Yleisimmin käytettävä mittussuure on nopeus trksteltun siten, että mplitudit esitetään tehollisrvon eli puhutn tehospektristä Tärinäsuureiden vstvuudet tjuustsoss Seurvss kuvss esitetään siirymän, nopeuden j kiihtyvyyden vstvuudet tjuustsoss. 10 Hz Amplitudi Kiihtyvyys Nopeus Siirtymä Tjuus KUVA 23.5f. Tjuusspektri esitettynä siirtymänä, nopeuten j kiihtyvyytenä. Kuvn perusteell nähdään, että siirtymä korost mtli tjuuksi j kiihtyvyys korkeit. Nopeutt pidetäänk in yleisesti prhn mittussuureen tärinän vkvuutt rvioitess, ABB:n TTT-käsikirj
11 kosk suurin os kiinnostvist tjuuksist sdn kohtlisen hyvin näkymään nopeutt trkselemll. Toislt ei pidä unoht sitä, että usein esimerkiksi korketjuist värähtelyä iheuttvt vit näkyvät huomttvsti premmin ( j ikisemmin ) kiihtyvyyttä kuin nopeutt trksteltess. Esimerkiksi vihteistojen mittuksiss on usein hyvä trkstell mittuksi myös kiihtyvyytenä. Vstvsti mikäli olln kiinnostuneit hyvin mtlist tjuuksist, siirtymän käyttö on suositeltv Mittusten suoritus j nlysointi Mitttvt suureet Kunnonvlvonnss tehtävät värähtelymittukset kttvt tyypillisesti tjuuslueet seurvn kuvn mukisesti. Siirtymämittukset Nopeusmittukset Kiihtyvyysmittukset Äänimittukset Ulträänimitt. Akustisen emission mittukset SPM Lser mittukset 1 Hz 10 Hz 100 Hz 1 khz 10 khz 100 khz KUVA Värähtelymittuksille tyypilliset tjuuslueet. Kuvn plkit esittävät tyypillisimmät lueet, joten myös niiden ulkopuolell olevi mittuksi on käytetty. Äänen j ulträänen mittukset perustuvt värähtelevän koneen lähettämien ilmnpineen muutosten mittukseen. Muut menetelmät mittvt koneen rkenteit pitkin kulkeneit värähtelyjä. Ulträänen mittuksest tosin puhutn usein silloinkin, kun mittn rkenteit pitkin tulevi värähtelyjä ulträänitjuudell. Lsermittus on peritteess siirtymän ti nopeuden mittust, mutt tässä se on esitetty omn kohtnn, kosk lserill svutettv tjuuslue on muit menetelmiä ljempi. SPM eli iskusysäysmenetelmässä käytetään kiihtyvyysnturi, mutt mittus perustuu resonnssin mittmiseen toisin kuin yleensä kiihtyvyysmittuksiss, joten se on minittu tässä erikseen. Tulukoss 23.6 esitetään keskeisimmät piirteet kyseisistä mittuksist. ABB:n TTT-käsikirj
12 Tulukko Tvllisimmt värähtelyyn liittyvät mitttvt suureet. Siirtymä Nopeus Luku 23: Kunnonvlvont j huolto Tvllisesti värähtelymittuksess käytettävät siirtymänturit ovt tyypiltään pyörrevirt-ntureit. Anturiss on oskillttoripiiri, jonk kel muodost tuntopinnn. Kun metlliesine lähestyy kelrungon kutt kulkev, vihtovirrn muodostm mgneettikenttää, iheuttvt kenttään syntyvät pyörrevirrt piirissä impednssinmuutoksen. Se s ikn nturin ulostulojännitteeseen muutoksen, jok riippuu tuntokeln j metlliesineen välisestä etäisyydestä. Kiihtyvyysntureihin verrttun induktiivisen nturin etun on, että se toimii kosketuksettomsti j se, että myös hyvin mtltjuisten värähtelyjen mittminen on mhdollist. Siirtymänturin vikeuten on se, että ne joudutn klibroimn ennen mittust. Nopeusnturi koostuu tvllisimmin kelst j mgneettisydämestä. Värähtelyn iheuttm liike synnyttää keln värähtelynopeuteen verrnnollisen jännitteen. Nopeusnturit ovt isokokoisi j käyttökelpoinen tjuuslue on yleensä välillä Hz. Hittpuolin pidetään niiden suurt koko j kpehko tjuusluett. Nopeusntureiksi minitn joissin lähteissä myös pietsosähköiset kiintyvyysnturit, joihin on sisään rkennettu integrointipiiri, mikä nt nopeuteen verrnnollisen ulostulosignlin. Yleensä nopeuden tehollisrvo (tärinärsitus) mitttess, käytetään yleensä kiihtyvyysnturi, jonk ulostulo integroidn nopeudeksi. Kiihtyvyys Kiihtyvyysnturin toimint perustuu Newtonin toiseen lkiin m = F. Yleisimmin käytetyssä nturiss on mss, jok on kiinnitetty pietsosähköiseen kiteeseen. Värähdellessään mss iheutt kiteeseen vruksen jok on verrnnollinen kiihtyvyyteen. Pietsosähköiset kiihtyvyysnturit ovt kooltn melko pieniä j ne voivt oll herkkiä ljll tjuuslueell. Yleisesti käytettävien kiihtyvyysntureiden linerinen lue on luokk 1Hz khz. Kiihtyvyysnturien kiinnitystä on tutkittu ljsti. Ruuvikiinnityksellä päästään lähes 2 0 khz:n tjuuksiin luotettvsti. Kuitenkin nykyisin mrkkinoill olevill hyvin keveillä ntureill voidn päästä huomttvsti korkempiin tjuuksiin, jolloin kiinnityksen kriittisyys ksv edelleen. Kiihtyvyyden mittukseen käytetään myös venymäliusk- j induktiivisi ntureit. Näiden tjuuslue on huomttvsti pietsosähköisiä kpempi. Kiihtyvyysnturilt nuhoitettu signli voidn myös kuunnell, jolloin hrjntunut mittj pystyy snomn mhdollisest vist hyvinkin pljon. Ääni Ulträäni Akustinen emissio Äänen mittuksess nturin on mikrofoni. Mikrofonill mitttu ääni tllennetn yleensä nuhlle j nlysoidn myöhemmin lbortorioss. Äänen mittust käytetään lähinnä melun mittuksiin, jolloin trvitn sopiv suodtin, jok pinott tjuudet vstmn korvn vstett. Ääntä on käytetty myös kunnonvlvonnss. Anlysointi voi tphtu kuten värähtelyjen nlysointi. Kunnonvlvonnss käytetään yleisesti myös sähköistä stetoskooppi, jost on pu esimerkiksi lkerivikoj etsittäessä. Ulträänellä trkoitetn ilmn pinevihteluin äänen tvoin kulkev värähtelyä, jonk tjuus ylittää ihmisen kuulemn äänen tjuuden ( 2 0 khz ). Ulträäntä käytetään nykyisin lkerien kunnon rviointiin lähinnä "kuuntelemll" erityisellä litteell, jok muutt ulträänen kuultvn muotoon. Ulträänen vull pystytään vik pikllistmn trksti, kosk häiritseviä signleit ei näin korkeill tjuuksill juuri ole. Esimerkiksi lkerivurioiden olless kyseessä ulträänen käytöllä on svutettu hyviä tuloksi. Esimerkiksi lkerivurion lkuviheess vuriokohdn pint väsyy, jolloin vuriokohtn muodostuu pieniä säröjä. Nämä lähettävät kustist emissiot (e) jo ennen kuin ulkoinen vurio on syntynyt. Ae-nturi on pietsosähköinen mittusväline, jok toimii yleensä tjuuslueell 40 khz...1 MHz. Anturin tjuusvste on epälinerinen. Ae-nturi vst rkenteeltn kiihtyvyysnturi, mutt kiteen päällä ei ole yleensä lisämss. Ongelmn kustisen emission käytössä on nturin kiinnittäminen sekä vimentvt tekijät, joit ovt esimerkiksi kikki rjpinnt. Lisäksi sopivn mittuslueen vlinnst ei ole olemss selvyyttä. ABB:n TTT-käsikirj
13 Tulukko (jtkuu) Iskusysäysmenetelmä eli SPM Lserinterferometri Iskusysäysmenetelmä (Shock Pulse Method, SPM ) on yleisesti käytettävä lkerien kunnonvlvonnn menetelmä. Käytettävän kiihtyvyysnturin resonnssitjuus on viritetty n. 3 2 khz:iin. Lkerivuriost iheutuvt sysäykset herättävät nturin resonnssin, jonk voimkkuus on verrnnollinen iskusysäyksen voimkkuuteen. Iskusysäysmenetelmään perustuen on kehitetty myös mittlitteit, jotk ntvt tieto lkeriss olevn voiteluineklvon pksuudest j voitelutilnteest yleensä. Värähtelymittukset lserin vull perustuvt mitttvn kohteen pinnst heijstuvn mittussäteen j vertilusäteen (reference bem) keskinäiseen interferenssiin. Nykyiset lsermittlitteet ovt ilmeisen monikäyttöisiä. Ominisuuksist knntt minit kosketuksettomuus, mittpää voi oll hyvinkin etäällä kohteest. Lsermittuksen luvtn toimivn teollisuusolosuhteiss eikä mitttvn kohteen pinnn trvitse oll erityisesti käsitelty. Mittuslue ulottuu jop stoihin khz:hin j eriliset sknnustoiminnot ovt mhdollisi Mittustulosten nlysointi Yleisimmät tärinän nlysoinnin menetelmät ovt vlittujen tunnuslukujen kehittymisen eli trendin seurnt sekä tjuus- eli spektrinlyysi. Trendiseurnnss mitttvn suureen käytetään tvllisimmin nopeuden tehollisrvo v rms tjuuslueell Hz. Spektrinlyysissä trksteltvn suureen on yleisimmin tärinänopeus. Sekä nopeus- että kiihtyvyysmittuksiss nturin käytetään yleensä pietsosähköistä kiihtyvyysnturi. Spektrinlyysissä kuten myös trendiseurnnss oiken tjuuslueen vlint on tärkeää, jott vin iheuttm tärinä todell sdn mitttu Trendiseurnt Trendiseurnnss seurttvn suureen käytetään tvllisimmin tehollis- ti huippurvo tärinäkiihtyvyydelle, nopeudelle ti siirtymälle. Tehollis- j huippurvon mittuksist käytetään stndrdin PSK 5701 mukn nimitystä kokonistson mittus. Kokonistsojen mittuksi käytetään lähinnä rutiinimittuksiss. Tehollisrvoll ( r ms ) on yhteys mittuspisteeseen tulevien värähtelyn kokonisenergin. Kiihtyvyyden tehollisrvo määritellään seurvsti: T 1 2 r ms ( t )dt, T 0 joss rms on kiihtyvyyden tehollisrvo, on hetkellinen kiihtyvyys, T on mittusjkson pituus j t on ik. Hälytysrjoin käytetään esimerkiksi stndrdin PSK 5704 mukisi rjoj. Muistettv kuitenkin on, että koneiden tärinätsot ovt yksilöllisiä j että soke hälytysrjojen seurnt joht helposti vikeuksiin. Yleensä onkin tärkeämpää seurt muutoksen nopeutt kuin bsoluuttist rvo. Trendiseurnt on luotettv menetelmä monien yleisten viktyyppien seurnnss. Esimerkiksi epätspino, uset sennus-, linjus- j resonnssiongelmt näkyvät yleensä kokonistsotrendissä Spektrinlyysi Spektrinlyysi on yleisin vikdignostisoinnin menetelmä. Nykyikisill litteill spektrilskent on nope j svutettv resoluutio sekä dynmiikk on vikojen hvitsemiseksi yleensä riittävä. Mittliteknnn kikinpuolinen kehitys on johtnut siihen, että mittustyö on helpottunut, kosk enää ei trvitse tehdä monimutkisi mittusjärjestelyjä vin hkemiseksi. Nykyiset litteet hoitvt utomttisesti mm. skluksen j vhvistuksen. Käytännössä hyväkuntoisesskin koneess nähdään yleensä pyörimistjuinen spektrikomponentti, jok johtuu mm. vlmistusepätrkkuuksist. Litteen vikntuminen näkyy t- ABB:n TTT-käsikirj
14 juusspektrissä yleensä viktyypistä riippuen eri tjuuksill olevien spektrikomponenttien voimistumisen. Jos vik iheutt tärinärvojen nousu siten, että normlitilnteess vllitsev esimerkiksi pyörimistjuinen komponentti ei vikntumisen edetessä voimistu, ei muutos käytännössä juurikn näy tehollisrvoss. Kuvss 26.3b nähdään esimerkki siitä, kuink vin kehittyminen näkyy spektrissä selvästi iemmin kuin tehollisrvoss. Useille viktyypeille, kuten esimerkiksi lkerivurioille kokonistsotrendin seurnt ei yleensä ole riittävän luotettv menetelmä. Tärinä Spektrit 1, 2, 3 j 4 Kokonistsot 1, 2, 3 j 4 Tjuus KUVA 23.6b. Spektrissä selvästi näkyvä vik stt näkyä kokonistsorvoss vst myöhäisessä viheess. Kosk joillin tjuuksill jo melko mtlt spektrihuiput ovt vrllisi, on spektrien trkstelu tehtävä huolellisesti, jott mitään olennist ei jäisi huommtt. Tämän ongelmn helpottmiseksi voidn käyttää ns. kist- ti spektrivlvont. Kistvlvonnss setetn tietyille tjuuskistoille rjt, joiden ylittäminen lukisee hälytyksen. Spektrivlvonnss setetn hälytysrj mittun spektrin ympärille siten, että mikäli millä thns tjuudell jokin spektrikomponentti ylittää rjn, luke hälytys. Kosk monet vit näkyvät spektrissä käyntinopeudell ti sen kerrnnisill, stt vin trkempi selvittäminen edellyttää vihekulmn mittmist. Erityisesti vihekulm käytetään epätspinon, lin jusvirheen j resonnssin erottmiseen toisistn Verhokäyränlyysi Vierintälkereiden kunnonvlvont perinteisillä tekniikoill, kuten tärinän kokonistsojen j tjuusspektrien seurnnll, ei usein trjo riittävän luotettv j vrhist indiktiot kehittyvistä vurioist. Alkvt lkerivuriot ovt yleensä värähtelyvoimkkuuksiltn niin heikkoj, että ne peittyvät vllitsevien tärinöiden lle. Verhokäyränlyysi trjo mhdollisuuden lkerivurioiden hvitsemisen riittävän ikisess viheess. Verhokäyrätekniikn etun tvlliseen nopeus- ti kiihtyvyyssignlist tehtävään tjuusnlyysiin verrttun on mhdollisuus suodtt signlist pois esimerkiksi epätspinost j huonost linjuksest iheutuvt tärinät, jotk yleensä peittävät lleen lkvt lkerivit. Verhokäyränlyysi perustuu mplitudimodultioon. Amplitudimodultioll trkoitetn signlin kertomist toisell signlill, jot snotn kntolloksi. Khden signlin summutuess syntyy uusi tjuuskomponenttej, sivunuhoj, jotk muodostuvt kntollon tjuuden molemmille puolille. Esimerkiksi AM-rdiolähetin perustuu juuri mtltjuisen äänisignlin summmiseen suurtjuisen signlin knss, jok toimii kntolton. Myös pyörivien koneiden vierintälkereiss j hmmsvihteiss syntyy mplitu ABB:n TTT-käsikirj
15 dimoduloituneit signlej, joist lkeri- j hmmsvuriot voidn hvit usein vrsin ikisess viheess. Amplitudimoduloituneen signlin erottmist kntollost kutsutn demodultioksi. Amplitudi-demodultio on hyödyllinen nlysoitess signlej, jotk sisältävät jksollisi srjoj suurtjuisi purskeit ( eli impulssej ). Yleensä tälliset signlit syntyvät koneen suurtjuisten resonnssien herätessä. Vikdignostiikn knnlt kiinnostvin informtio löytyy yleensä nimenomn impulssien toistumistjuudelt eikä itse impulssien tjuussisällöstä, jok yleensä muodostuu kikist heränneistä resonnssitjuuksist. Verhokäyrätekniikn perite on esitetty oheisess kuvss 26.3c. Vurio lkerin ulkokehällä s ikn lyhyitä iskuj, jotk toistuvt jn T välein. Ljkistisest spektristä vikoj on usein hnkl erott voimkkn ympäristötärinän j koneen omien vllitsevien tärinöiden, kuten epätspinost j huonost rihtuksest johtuvien tärinöiden, vuoksi. Kuitenkin pienetkin impulssit kykenevät herättämään lkerin oministjuudet. Tvllisess tjuusspektrissä tämä ilmenee ljkistisen resonnssikohtn suuremmill tjuuksill. Suodttmton signli Suodtuslueen vlint t [s] f [Hz] Suodtettu tjuusspektri Suodtettu iktsosignli t [s] f [Hz] Vurio Tssuunnttu j demoduloitu signli Verhokäyräspektri t [s] f [Hz] KUVA 23.6c. Verhokäyränlyysin perite. Lkerivurion iheuttmt impulssit voidn mitt settmll kistnpäästösuodtin resonnssikohdn ympärille. Suodtin toimii meknisen vhvistimen vurion iknsmille impulsseille. Jott impulssien toistumis- eli viktjuus stisiin erotettu kntollost, signli tssuunntn j demoduloidn. Amplitudidemoduloitu signli sisältää vin vurion iheuttmt impulssit. Kun lopuksi demoduloidulle signlille suoritetn FFTnlyysi, tulevt lkerin viktjuuskomponentit selvästi esille verhokäyräspektrissä. Mikäli verhokäyräspektri on tsinen, on lkeri ehjä. Vstvsti "piikit" spektrissä kertovt vist, jok on helppo selvittää lskemll lkerin viktjuudet. Erityyppiset vit, kuten kuuln sekä sisä- j ulkokehävuriot, on helposti erotettviss verhokäyräspektristä. ABB:n TTT-käsikirj
16 ) Villinen lkeri. Ulkokehävurio. Komponentti ( f u ) kerrnnisineen näkyy selvästi. b) Lkerin vihdon jälkeen mittuss verhokäyräspektrissä ei ole hvittviss viktjuuskomponenttej. KUVA 23.6d. Verhokäyräspektri mitttu ennen j jälkeen lkerin vihdon. Verhokäyränlyysi on tehoks sekä vikojen ilmisuss että niiden dignoosiss. Yleisimmin tekniikk on käytetty vierintälkerien vlvonnss, mutt se soveltuu kikille jksollisi impulssej synnyttäville vikmeknismeille. ABB:n TTT-käsikirj
17 Muit nlysoinnin menetelmiä Tulukoss 23.6b on lyhyt yhteenveto muist yleisesti käytössä olevist kunnonvlvonnn mittus- j nlysointimenetelmistä. Tulukko 23.6b. Kunnonvlvonnn värähtelymittusten menetelmiä. Thdistettu ikkeskirvoistus Korreltiomittukset Kurtosis Thdistetull ikkeskirvoituksell pystytään pikllistmn esimerkiksi hmmspyörävurio jop hmmskohtisesti. Menetelmän peritteen on, että värähtelysignli thdistetn nturin vull tutkittvn kselin pyörimisnopeuteen, jolloin signlin keskirvoistmisen jälkeen kunkin hmpn signli on yksilöitävissä premmin kuin keskirvoistmttomll iktsosignlill. Menetelmää on käytetty esimerkiksi hmmsvihteille j puristimen teloille. Lkerivikojen olless kyseessä vikeuten on thdistuksen sminen. Korreltiomittuksill trkoitetn yleensä seurvi kolme mittust: utokorreltio, ristikorreltio j ristispektri. Näistä lähinnä utokorreltioll on merkitystä kunnonvlvonnss. Autokorreltiomittuksill helpotetn iktsosignliss esiintyvän säännönmukisuuden hvitsemist. Autokorreltiomittuksi on käytetty esimerkiksi lkerivurioiden etsimiseen. Kurtosis on tilstollinen menetelmä, jot käytetään iktsosignlin rvioimiseen. Sitä on sovellettu ääni- j värähtelymittuksiin. Kurtosis on erityisesti vierintälkereiden kunnon mittmiseen soveltuv menetelmä j se kuv iktsosignlin "piikikkyyttä". Joidenkin lähteiden mukn kurtosis on muit menetelmiä riippumttommpi koneen käyntiprmetreistä. Hyväkuntoisell lkerill kurtosisrvo on likimin vkio 3,0 j rvon ksvmist tästä pidetään merkkinä lkerivurioist. Kurtosiksen mittminen perustuu siihen oletukseen, että ehjästä lkerist tulev värähtely on stunnisvärähtelyä, jok noudtt Gussin jkum. Sinillolle kurtosisrvo on 1,5. Kurtosisrvon käytön tvoitteen on ollut se, että pystyttäisiin suorn yhden mittuksen perusteell rvioimn lkerin kunto ilmn että sen trendiä trvitsisi seurt. Huippukerroin Rtkäyrämittukset Kepstrinlyysi SEE (Spectrl Emitted Energy) HFD j iskuenergi (Spike Energy ) Crest fctor eli C-rvo määritellään huippurvon j tehollisrvon suhteen. Huippukerroin perustuu, kuten kurtosiskin, mitttujen näytteiden jkumn muuttumiseen. Vurion syntyessä huippurvo ksv lkvn vin iheuttmien terävien iskujen vikutuksest nopemmin kuin tehollisrvo j tämä näkyy myös crest fctorin ksvmisen. Vurion edelleen kehittyessä myös tehollisrvo ksv j smll iskujen voimkkuus pienenee, joten crest fctor pl kohti lkuperäistä rvon. Normlikuntoisess koneess C-rvot ovt yleensä välillä 2-6. Usein crest fctor:i mittn tjuuslueell 1 Hz - 10 khz. C-rvon mittust on pääsiss käytetty kohteiss, joiss signlilähteenä on yksinomn vierintälkeri Rtkäyrän mittus perustuu khteen 9 0 kulmn toisiins nähden setettuun suhteellist siirtymää mittvn nturiin. Näiden ulostuloist sdn piirrettyä X-Y-tsoon esimerkiksi oskilloskoopill kuvio, jonk muodon tulkinnll voidn sd tieto lkerin kunnost. Menetelmää käytetään perinteisesti liukulkereiden kunnonvlvonnss. Kepstri on logritmisen spektrin spektri. Sillä pystytään hvitsemn spektrissä esiintyvä jksollisuus. Vihteiden dignostiikss on käytetty kepstrinlyysiä mm. sivunuhojen hvitsemisen helpottmiseksi. Lkerivurioit on stu myös kepstrinlyysillä esille. Kepstrinlyysissä signli-kohinsuhde prnee kikkien hrmonisten monikertojen kerääntyessä kepstrissä yhdelle "tjuudelle" ( quefrequency ). SEE on vstv menetelmä kuin verhokäyränlyysi, tjuuslue on vin korkempi. Tässä menetelmässä mittn kustist emissiot tjuudell 250 khz khz. Mittun signlin perusteell muodostetn verhokäyrä, jost sdn spektri lskettu. HFD:n j iskuenergin mittus perustuu korketjuisen kiihtyvyyssignlin mittmiseen. Iskuenergi mittvt litteet suodttvt mtltjuiset häiritsevät värähtelyt pois, jolloin jäljelle jäävät iskujen herättämät resonnssivärähtelyt. ABB:n TTT-käsikirj
LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Runkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Sähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat
Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa
ArcGIS Server ArcGIS for Server Luo, j j hllitse pikktieto ArcGIS Serverin vull voidn luod plveluit keskitetysti, hllinnoid näitä plveluit j jk niitä orgnistion sisällä sekä verkoss. Plveluj voidn helposti
Riemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Numeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
Integraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
Huoltotiedote. Letkun vaihto. Mallit. Ilmoitus moottorin omistajalle. Veneliikkeen moottorivarasto. Huolto-osavarasto. Tarkastus
Huoltotiedote N:o 98-16c Letkun vihto Mllit 1999 Mercury/Mriner 6 25 HP (2-thtiset) Srjnumerot 0G818363 0G829089 9.9/15, 25, 30/40, 50 (4-thtiset) Srjnumerot 0G820822 0G822265 135 200 HP (Ks. j EFI) Srjnumerot
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050
OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin
Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)
Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen
Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Euroopan neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnallisesta merkityksestä
Sopimustekstin käännös 30.03.2015 (epävirllinen) Counil of Europe Trety Series - No. 199 Euroopn neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnllisest merkityksestä Fro, 27.10.2005 Johnto Euroopn
RTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia.
RTS 16:2 RT XX-XXXXX KH XX-XXXXX Infr x-x AJONEUVOJEN MITTOJA OHJEET xxxkuu 2016 1 (8) korv RT 98-10914 Tässä ohjeess esitetään joneuvojen j yleisimpien utotyyppien mittoj, mssoj sekä liikenteeseen hyväksymistä
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
Lue Tuotteen turvaohjeet ennen laitteen käyttöönottoa. Lue sitten tämä Pika-asennusopas oikeiden asetusten ja asennuksen onnistumisen takaamiseksi.
Pik-sennusops Aloit tästä ADS-2100 Lue Tuotteen turvohjeet ennen litteen käyttöönotto. Lue sitten tämä Pik-sennusops oikeiden setusten j sennuksen onnistumisen tkmiseksi. VAROITUS VAROITUS ilmisee mhdollisesti
Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET
NASTOLAN YRISPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET YLEISTÄ
Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunt Energitekniikn koulutusohjelm KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN Lppeenrnnss 1.2.2010
Suorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
Jäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä
ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.
YRITYSTEN HENKILÖSTÖKOULUTUS
AIKUISKOULUTUSTILASTOT M Itell Posti Oy YRITYSTEN HENKILÖSTÖKOULUTUS VUONNA 2010 'CONTINUING VOCATIONAL TRAINING SURVEY - CVTS4' TIEDUSTELU PERUSTUU TILASTOLAKIIN (LAKI 280/04) KYSELYLOMAKE SÄHKÖINEN LOMAKE:
Nelikanavainen vahvistin aktiivisella jakosuotimella
Mrkku Kuppinen Neliknvinen vhvistin ktiivisell jkosuotimell Vhvistimen yleisselostus Suunnittelun lähtökohtn on ollut toteutt edullinen mutt kuitenkin lduks ktiivisell jkosuotimell vrustettu stereovhvistin
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
Koestusnormit: VDE 0660 osa 500/IEC Suoritettu koestus: Nimellinen virtapiikkien kestävyys I pk. Ip hetkellinen oikosulkuvirta [ka]
Oikosulkukestoisuus EC:n mukn Oikosulkukestoisuus DN EN 439-1/EC 439-1:n mukn Tyyppikoestus DN EN 439-1 Järjestelmän tyyppikoestuksen yhteyessä suoritettiin seurvt Rittl-virtkiskojärjestelmien sekä vstvien
Kirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
Mittamuuntajien yleiset ominaisuudet
Mittmuuntjien yleiset ominisuudet Eurolite Oy on vuonn 1988 perustettu sähkötekniikn tuotteiden mhntuontiin, mrkkinointiin j myyntiin erikoistunut sintuntijyritys. Keskeisenä tvoitteen on hyvä siksplvelu,
Asennusohje EPP-0790-FI-4/02. Kutistemuovijatkos Yksivaiheiset muovieristeiset. Cu-lanka kosketussuojalla 12 kv & 24 kv.
Asennusohje EPP-0790-FI-4/02 Kutistemuovijtkos Yksiviheiset muovieristeiset kpelit Cu-lnk kosketussuojll 12 kv & 24 kv Tyyppi: MXSU Tyco Electronics Finlnd Oy Energy Division Konlntie 47 F 00390 Helsinki
Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla
YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä
OPINTOPÄil,I^ L2.2. ARVIOINTI VIERAAT KIELET OHJAAJAN OPAS. Suunnittelu. Sauli Takala KOULUTYON ARVIOINTI. Kouluhallitus 1787 /73
r- / OPINTOPÄil,I^ L2.2. ARVIOINTI VIERAAT KIELET OHJAAJAN OPAS Suunnittelu Suli Tkl KOULUTYON ARVIOINTI VIERAAT KIELET 1787 /73 Kouluhllitus -\ 2 SISÄLLYS Ohjeit kouluttjll sivu Arvioinnin merkityksestä
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Syysrypsin kylvö kevätviljaan
Syysrypsin kylvö kevätviljn Antti Tuulos j Pirjo Mäkelä Soveltvn biologin litos, PL 27, 00014 Helsingin yliopisto, emil: ntti.tuulos@helsinki.fi j pirjo.mkel@helsinki.fi Tiivistelmä Syysrypsi on vrteenotettv
VEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.
Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
ELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet
Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
Sarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
Polynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.
Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.