Johdantoa. Mustan kappaleen sšteily. Musta kappale (black body): absorboi kaiken sšteilyn emittoi StefanÐBoltzmannin lain mukaisesti
|
|
- Sofia Majanlahti
- 2 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MF, kl MF, kl Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittšmššn uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtšlšn Schršdingerin yhtšlšllš, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtšlš" "korvataan nolla Planckin vakiolla h" antaa rajatapauksena klassillisen mekaniikan johtaa aaltofunktion kšsitteeseen ja energian kvantittumiseen: aaltoðhiukkasdualismi, epštarkkuusperiaate, todennškšisyystulkinta kaikki kokeelliset havainnot tukevat kvanttiteoriaa, ainakin toistaiseksi Mustan kappaleen sšteily Musta kappale (black body): absorboi kaiken sšteilyn emittoi StefanÐBoltzmannin lain mukaisesti M = st 4, (0.1) missš s = Wm -2 K -4 Esim. 1 cm 2 pinta-ala emittoi 1000 K lšmpštilassa tehon 6 W. Mustan kappaleen sšteilyn taajuus Ð aallonpituus-jakautumaa ei voda selittšš klassillisen fysiikan avulla. Tarkastellaan seuraavaksi niitš "uusia" kokeellisia havaintoja, jotka johtivat tarpeeseen "kvantittaa energia" ja siten lopulta kvanttiteorian syntyyn. 1 Wienin siirtymšlaki jakautuman maksimille on l max T = vakio = 2.9 mmk. (0.2)
2 MF, kl MF, kl Voidaan olettaa, ettš sšhkšmagneettinen kenttš koostuu všršhtelijšistš, joiden energia riippuu taajuudesta, taajuusjakautuma on jatkuva ja jokaisella taajuudella všršhtelijšiden energia on Boltzmannin jakautuman mukainen p(e) ~ e -e/kt. Planckin hypoteesi: všršhtelijšiden energiat voivat saada vain arvoja, jotka ovat energian hn monikertoja, missš h on vakio. TŠssŠ hn on energian kvantti. Kiinteiden aineiden ominaislšmpš Dulong ja Petit esittivšt (1819) kiintešn aineen ominaislšmmšlle teorian, joka perustuu siihen, ettš aineen atomit ovat všršhtelijšitš, vrt. sšhkšmagneettinen kenttš edellš. TŠmŠn perusteella voidaan kiintešn aineen sisšinen energia ja ominaislšmpš kirjoittaa klassillisesti muotoon, joka pštee eristeille huoneen lšmmšssš, mutta ei alhaisissa lšmpštiloissa. Einstein huomasi 1906 analogian materian všršhtelevien atomien ja sšhkšmagneettisen kentšn všršhtelijšiden kanssa, "kvantitti" všršhtelevien atomien energiat ja sai kokeellisiin tuloksiin sopivan teorian kiinteille aineille myšs alhaisissa lšmpštiloissa. ValosŠhkšinen ilmiš Einstein selitti 1906 valosšhkšisen ilmišn siten, ettš sšhkšmagneettinen kenttš voi luovuttaa energiaa vain tietyn suuruisina kvantteina hn ja siten valon metallista irroittamat elektronit voivat saada vain tietyn suuruisen kineettisen energian 1/2 m v 2 = hn Ð f. (0.6) Planckin jakautumalaki (v. 1900) mustan kappaleen sšteilylle TŠstŠ seuraa, ettš valon kvanttien on oltava "lokalisoituneita" ja valon itsensš siten erššnlaista hiukkasvirtaa. du = 8phn3 c 3 e -hn/kt dn, 1-e-hn/kT (0.4) U = J/m 3 Esim. 2.7K taustasšteilyssš on n. 400 fotonia / cm 3.
3 MF, kl MF, kl Compton-ilmiš Jos fotonit ovat hiukkasia, joiden energia on hn ja massa on nolla, tulisi niillš olla liikemššrš p = hn / c. (0.8) Vuonna 1922 Compton teki kokeita kšyttšen Ršntgen sšteitš ja osoitti nšin olevan. Atomien spektrit Atomien absorptio- ja emissiospektrit koostuvat diskreeteistš "viivoista", mikš voidaan selittšš vain sallimalla atomeille tietyt energiatilat, so. kvantittuminen. Balmer havaitsi jo 1885, ettš vedyn spektriviivat (nškyvšllš alueella) noudattavat lakia 1 l = R H n 2, (0.10) missš R H = cm Ð1 ja n = 3, 4, 5,.... TŠllšin 2 ja n vastaavat eri tiloja. TŠltŠ pohjalta Bohr kehitti 1913 atomimallin kvantittamalla elektronien energiat atomissa. Aineen aaltoluonne Havaittuaan analogian Fermat'n periaatteen (optiikka) ja Hamiltonin periaatteen (mekaniikka) všlillš de Broglie ehdotti 1924, ettš liikkuvaan kappaleeseen liittyy aalto, jonka aallonpituus on l = h / p. (0.13) Davisson ja Germer saivat aikaan 1925 diffraktion elektroneilla ja he totesivat myšs yhtšlšn (1.6.1) olevan voimassa. G. P. Thomson havaitsi v elektronien diffraktion ohuessa muovikalvossa. EpŠtarkkuusperiaate Seurauksena tšllaisesta aineen aaltoðhiukkas-dualismista on mm. ns. epštarkkuusperiaate (uncertainty principle, tai principle of indeterminacy, Heisenberg 1926), jonka mukaan tiettyjen, ns. komplementššristen, suureparien arvoista ei molempia voi mššrittšš samanaikaisesti "tarkasti". On huomattava, ettei kyse ole mittausvaikeuksista, vaan siitš, ettei kyseisillš suureilla todellakaan ole olemassa tarkkoja arvoja samanaikaisesti.
4 MF, kl MF, kl Kvanttimekaniikan perusteet Seuraavassa kšydššn lyhyesti lšpi kvanttimekaniikan peruskšsitteet ja postulaatit. LisŠksi esitellššn tavallisimmat merkinnšt ja postulaattien suorat seuraukset. Jos useat ominaisfunktiot vastaavat samaa ominaisarvoa w, sanotaan, ettš tila w on degeneroitunut. Degeneroituneen tilan ominaisfunktioiden lineaarikombinaatiot ovat myšs samaa tilaa vastaavia ominaisfunktioita. Esim. Vetyatomin p-orbitaalit ja d-orbitaalit. Kvanttimekaniikan operaattorit Kvanttimekaniikan kuvauksessa mitattavia fysikaalisia suureita vastaavat operaattorit. Tavallisesti voidaan ilman sekaannuksen vaaraa kšyttšš sekš suureille ettš operaattoreille samoja merkintšjš, esim. W Ominaisfunktiot ja ominaisarvot Funktio f on operaattorin W ominaisfunktio (eigenfunction) jos W f = w f (1.1) ja tšllšin w on funktiota f vastaava ominaisarvo (eigenvalue). Operaattorin W ominaisfunktiot { f n } muodostavat tšydellisen joukon (complete set) jonka avulla lineaarikombinaationa voidaan esittšš jokin toinen funktio g = å c n f n. (1.2) n TŠllaista kehitelmšš voidaan kšyttšš esim. silloin, kun tarvitaan Wg lauseke. Jos operaattorin ominaisarvot ja -funktiot tunnetaan, niin Wg = W å n c n f n = å c n W f n n å = c n w n f n. n Funktioiden g 1, g 2,..., g n sanotaan olevan lineaarisesti riippumattomia, jos ei ole olemassa sellaisia kertoimia c 1, c 2,..., c n, joilla S i c i g i = 0. Muutoin funktiot g i ovat lineaarisesti riippuvia ja tšllšin jokin funktioista g i voidaan esittšš muiden lineaarikombinaationa.
5 MF, kl MF, kl EsityksistŠ Fysikaalisia suureita vastaavat operaattorit voidaan valita usealla eri tavalla. Tavallisimmin operaattoreiksi valitaan differentiaalioperaattorit tai matriisit. YleensŠ (hiukkasen) paikkaa vastaavaksi operaattoriksi valitaan paikkakoordinaatti x (tai -vektori r), jolloin x x ja p x Ðih / x. (1.4) TŠtŠ sanotaan paikkaesitykseksi. Ns. liikemššršesityksessš taas x ih / p x ja p x p x. (1.5) Muunkinlaisia esityksiš voidaan valita Kommutoivat operaattorit Operaattoreille A ja B yleensš on voimassa AB ¹ BA. TŠllšin sanotaan, ettš operaattorit eivšt kommutoi. Jos operaattorit kommutoivat, niin niiden kommutaattori [A, B] = AB Ð BA (1.6) hšvišš. Esim Kommutaattori [x, p x ] paikkaesityksessš Operaattoreiden konstruointi Tavallisimpia fysikaalisia suureita vastaavat operaattorit voidaan konstruioda paikan ja liikemššršn operaattoreista. Koska kineettinen energia T = p 2 / 2m, saadaan vastaava operaattori T = p x 2 2m = 2m 1 Ð ih d 2 = Ð dx 2m h2 d2 (1.7) dx 2 x-akselille rajoitetun liikkeen tapauksessa. Kolmiulotteisessa avaruudessa tapahtuvan liikkeen kineettisen energian operaattoriksi taas saadaan (1.8) Potentiaalienergiaa vastaava operaattori on potentiaalifunktio, jolla kerrotaan "kohde"funktio. Esim. elektronin kokema potentiaali ytimen sšhkšstaattisessa kentšssš on V = Ð 1 Z e 4pe 0 r 2, (1.9) missš r on elektronin etšisyys ytimestš. Kokonaisenergiaa eli Hamiltonin funktiota H = T + V (1.10) vastaava operaattori saadaan kahden yllš mššritellyn operaattorin summana (1.11) (1.12)
6 MF, kl MF, kl Lineaariset operaattorit Operaattori W on lineaarinen operaattori, jos kaikille kyseeseen tuleville funktioille f ja g on voimassa Esim Normita funktio f n = N sin(npx/l) všlillš 0 < x < L. Tarkastele myšs funktioiden f n ortogonaalisuutta. W (af+bg) = awf + bwg, missš a ja b ovat vakioita Funktioiden "skalaaritulo" ja normitus Usein, esim. matriisielementtejš laskettaessa, tarvitaan funktioiden ja operaattoreiden integraaleja I = ò f* W g dt, (1.13) missš f* on funktion f kompleksikonjugaatti ja dt on tilavuuselementti. Integrointi suoritetaan yli koko kyseeseen tulevan tilavuuden. Funktioiden pelkkšš skalaarituloa S = ò f* g dt (1.14) sanotaan peittointegraaliksi. Jos funktiot on normitettu siten, ettš ò f* f dt = 1 ja ò g* g dt = 1, (1.15) kuvaa peittointegraali funktioiden samankaltaisuutta, pššllekkšisyyttš tai toistensa peittšmistš. TŠllšin 0 S 1. Jos S = 0, sanotaan funktioiden f ja g olevan ortogonaalisia keskenššn. Funkitoiden g 1, g 2,..., g n sanotaan olevan ortonormaaleja keskenššn, jos ò g n * g m dt = d nm, missš d nm on Kroneckerin deltafunktio. (1.16)
7 MF, kl MF, kl Kvanttimekaniikan postulaatit 1.7. Tila ja aaltofunktio Postulaatti1: Systeemin tilan kuvaa tšysin sen aaltofunktio Y m,n,... (r 1, r 2,... ; t) º m, n,... ; t ñ. Diracin braðket -merkintštapa Kñ = Y K ja ák = Y K *, missš missš K ja L ovat kvanttilukujoukkoja Suureet ja operaattorit Postulaatti 2: Havaittavia suureita vastaavat operaattorit, jotka noudattavat kommutointisššntšjš. Esim. xp x Ð p x x = ih, yp x Ð p x y = 0, xp y Ð p y x = 0, jne Mittaustulokset Postulaatti 3: Kun systeemi on tilassa y, on mitatun suureen keskiarvo sama kuin suuretta vastaavan operaattorin W odotusarvo, ^W&. Operaattorin W odotusarvo tilassa y on ja jos y on normitettu W = y* W y dt y* y dt W = y* W y dt., (1.17) (1.18) Jos funktio y on operaattorin W ominaisunktio eli W y = w y, niin ^W& = (1.19) Jos taas funktio y ei ole operaattorin W ominaisunktio, niin voidaan kirjoittaa y = S n c n y n, missš W y n = w n y n. TŠllšin ^W& = Odotusarvo on siis ominaisarvojen painotettu keskiarvo, jossa painokertoimina ovat c n 2. Postulaatti 3': (1.20) Kun y on operaattorin W ominaisfunktio, vastaava ominaisarvo w saadaan vastaavan fysikaalisen suureen mittaustulokseksi. Jos taas y ei ole operaattorin W ominaisfunktio, saadaan mittaustulokseksi jokin operaattorin ominaisarvoista w n todennškšisyydellš c n Aaltofunktion tulkinta Bornin tulkinta: Postulaatti 4: TodennŠkšisyys sille, ettš tilassa y oleva hiukkanen lšytyy paikasta r tilavuuselementistš dt, on y(r) 2 dt, kun y on normitettu. Funktio y on todennškšisyysamplitudi ja y = y* y on todennškšisyystiheys. Jotta todennškšisyystiheys voidaan mššritellš, on aaltofunktion oltava normitettavissa. Oletetaan tšstš eteenpšin, ettš y on normitettu.
8 MF, kl MF, kl Aaltofunktio ja sen yhtšlš Postulaatti 5: Aaltofunktio Y m,n,... (r 1, r 2,... ; t) noudattaa differentiaaliyhtšlšš TŠmŠ on Schršdingerin yhtšlš (1926), jossa H on kokonaisenergiaa vastaava Hamiltonin operaattori (1.10). Yksidimensioisessa (x-akselilla) ja ulkoisessa potentiaalissa V(x) Schršdingerin yhtšlš tulee muotoon Schršdingerin yhtšlšn separoiminen Schršdingerin yhtšlš voidaan separoida ns. muuttujien erottamisella kšyttšen yritettš TŠllšin saadaan Ð h2 1 d 2 y + V(x) = ih 2m y dx 1 dq, 2 q dt missš yhtšlšn vasen puoli riippuu vain paikasta ja oikea puoli vain ajasta. Sen vuoksi molempien puolien tšytyy olla kaikilla muuttujien arvoilla vakio, jota merkitššn E, jolloin saadaan ja ih Y t ih Y t Ð h2 2m = H Y + V(x) Y. = Ð h2 2m 2 Y x 2 + V(x) Y. Y(x,t) = y(x) q(t). d 2 y dx 2 + V(x) y = E y ih dq dt = E q. (1.21) (1.22) (1.23a) (1.23b) JŠkimmŠisen yhtšlšn ratkaisu on q(t) = C e ÐiEt/h (1.24) ja jos edellisen yhtšlšn ratkaisu on "seisova aalto" y(x), tulee yhtšlšn (1.22) ratkaisuksi YhtŠlš (1.23a) on ns. ajasta riippumaton Schršdingerin yhtšlš d Ð 2 y 2m h2 dx + V(x) y = E y 2 ja sen ratkaisut "seisovat aallot" y ovat stationššristen tilojen aaltofunktioita. StationŠŠristen tilojen aikariippuvuus on yhtšlšn (1.25) mukaan kompleksisen vaihetekijšn exp(ðiet/h) modulaatio, mutta todennškšisyystiheys Y* Y = y* y ei riipu ajasta. SiitŠ nimi. Kolmiulotteisessa avaruudessa ajasta riippumaton Schršdingerin yhtšlš on missš Y(x,t) = y(x) e ÐiEt/h. (1.25) Ð h2 2m Ñ2 + V(x, y, z) y(x, y, z) = E y(x, y, z), Ñ 2 = 2 x y z 2.
9 MF, kl MF, kl Hermiittiset operaattorit Hermiittisten operaattoreiden ominaisarvot ovat reaalisia, ja ne ovat sopivia esittšmššn fysikaalisia suureita Hermiittisen operaattorin mššritelmš Operaattori W on hermiittinen, jos ò y m * W y n dt = { ò y n * W y m dt }* kaikille aaltofunktioille y m ja y n. Vaihtoehtoisesti ò y m * W y n dt = ò {y m W}* y n dt Diracin braðket-merkintštapa MerkitŠŠn ^m W n& = ò y m * W y n dt, (1.28) ja ^m n& = ò y m * y n dt = d mn. (1.29) TŠllšin ortogonormaalisuusehto voidaan kirjoittaa muotoon ^m n& = d mn. (1.30) VielŠ on tapana merkitš W n&= w n n&, kun n&= y n, ja edelleen ^n = y*, joten ^m n&= ^n m&*. Esim Totea, ettš operaattorit x ja p x ovat hermiittisiš. (1.26) (1.27) Hermiittisten operaattoreiden ominaisuuksia Hermiittisyysehto braðket-merkinnšillš on Ominaisuus 1: Ominaisuus 2: ^m W n&= ^n W m&*. Hermiittisen operaattorin ominaisarvot ovat reaalisia. Hermiittisen operaattorin ominaisfunktiot, jotka vastaavat eri ominaisarvoja ovat keskenššn ortogonaalisia. Komplementaarisuus Ominaisuus 3: Kahdella fysikaalisella suureella on samanaikaisesti tarkat arvot vain, jos niitš vastaavat operaattorit kommutoivat. (1.31) MikŠli suureita vastaavat operaattorit eivšt kommutoi, sanotaan suureita komplementššrisiksi. KomplementŠŠriset suureparit voidaan etsiš tutkimalla operaattoreiden kommutaattoreita, esim. [x,p x ] = ih ¹ 0.
10 MF, kl MF, kl Heisenbergin epštarkkuusperiaate KomplementŠŠriset suureparit noudattavat ns. Heisenbergin epštarkkuusperiaatetta, esim. Dx Dp x ³ h/2. (1.32) (Heisenberg, 1927) 1.16 EpŠtarkkuusperiaatteen yleinen muoto Jos kaksi operaattoria A ja B eivšt kommutoi, vaan [A, B] = i C, niin DA DB ³ ^C& / 2, missš DA = {^A 2 &Ð ^A& 2 } 1/ Aaltopaketin epštarkkuus (1.34) (1.33) Esim Tarkastele operaattoreiden x ja p x epštarkkuusrelaatiota, kun hiukkanen on tilassa y = N exp(ðx 2 / 2G) Energian ja ajan všlinen epštarkkuusrelaatio Kvanttimekaniikassa ei ole operaattoria, joka vastaa aikaa. Siten aika ei ole mitattava fysikaalinen suure, vaan "klassillinen" parametri. Sen vuoksi aikaan (ja energiaan) ei voida liittšš samanlaista epštarkkuusrelaatiota, kuin muihin komplementššrisiin suurepareihin. Myšhemmin, kappaleessa 6.18, tarkastellaan viritettyjen tilojen elinajan t ja energian epštarkkuuden všlistš relaatiota de» h / 2t. Liikevakiot ja klassilliset liikeyhtšlšt Voidaan osoittaa, ettš d (1.35) dt áwñ = h i á[h,w]ñ ja W sanotaan liikevakioksi, jos d dt áwñ = 0. Liikevakioa vastaava operaattori siis kommutoi Hamiltonin operaattorin kanssa. On helppo osoittaa, ettš [H,p x ] = Ð h dv (1.36) i dx ja yhtšlšn (1.35) perusteella d dt p x = h i [H,p x] = Ð dv dx, (1.37) joten d dt p x = F. (1.38) TŠmŠ on Newtonin II laki. Samoin voidaan osoittaa, ettš m dt d x = p x. (1.39) NŠmŠ kaksi relaatiota ovat ns. Ehrenfestin teoreema.
11 MF, kl MF, kl Matriiseista kvanttimekaniikassa Kvanttimekaniikan operaattorit ja niiden kommutaatiorelaatiot voidaan kuvata myšs matriiseilla, samoin kuin differentiaalioperaattoreillakin Matriisielementit Kahden matriisin A ja B tulo C = AB on matriisielementtien avulla ilmaistuna C rc = å s A rs B sc. (1.40) Ja siis yleisesti AB ¹ BA. EdellŠ esiintyneet integraalit ám W nñ voidaan koota matriiseiksi W, joiden matriisielementit ovat W mn = ám W nñ. Siten esim. ár C cñ = å s ár A sñás B cñ = ár AB cñ, (1.41) koska C = AB. Siksi tavallaan å s sñás = 1. (1.42) TŠtŠ sanotaan tšydellisyysrelaatioksi (completeness, closure), koska ortogonaaliset funktiot sñ virittšvšt koko tarkasteltavan funktioavaruuden. MikŠ tahansa funktio yñ tšssš avaruudessa voidaan kirjoittaa kehitelmšnš yñ = å s c s sñ. Kertomalla tšmš vasemmalta funktiolla ár, saadaan 1.20 Hamiltonin operaattorin diagonalisointi Tarkastellaan vielš S-yhtŠlšŠ Hy = Ey matriisiyhtšlšnš. Sijoitetaan tšhšn y = å c n nñ, n jolloin saadaan H å c n nñ = å c n H nñ = E å c n nñ. n n n Kerrotaan tšmš vasemmalta bra-vektorilla ám, jolloin å c n ám H nñ = E å c n ám nñ = E c m, n n ja kun samaistetaan ám H nñ = H mn, saadaan å H mn c n = E c m, (1.43) n MikŠli lšydetššn sellainen funktiojoukko { nñ }, ettš H mn = 0, jos m ¹ n eli H-matriisi on diagonaalinen, niin yhtšlšstš (1.43) seuraa H mn c m = E c m. (1.44) Ominaisarvot ovat siis Hamiltonin matriisin diagonaalielementtejš ja mñ ovat niitš vastaavia ominaisfunktioita. TŠmŠn vuoksi Schršdingerin yhtšlšn ratkaisemista sanotaan usein Hamiltonin matriisin diagonalisoimiseksi. Esim. "1.7" 2 2-matriisin diagonalisointi. ja siten ár yñ = c r yñ = å r ár yñ rñ.
12 MF, kl MF, kl Schršdingerin yhtšlš ja etenevšt aallot Vaikka Schršdingerin yhtšlš voidaankin vain postuloida kvanttimekaniikkaan, voidaan sitš myšs "perustella" aaltoðhiukkasdualismin perusteella Valoaallon eteneminen Geometrisessa optiikassa valoaallot etenevšt suoraviivaisesti ns. Fermat'n periaatteen mukaisesti: valonsšde kulkee tietš, jonka optinen matka on lyhin. Fysikaalisessa optiikassa tšmš voidaan selittšš Huygensin periaatteen ja interferenssin avulla: lšhekkšiset valoaallot interferoivat konstruktiivisesti siellš missš optinen matka saa ŠŠriarvonsa Hiukkasten eteneminen aaltona Jos hiukkaseen liitetššn (aallon) amplitudi samoin kuin valoon fysikaalisessa optiikassa ja sovelletaan sitten Hamiltonin periaatetta, saadaan ajasta riippuva Schršdingerin aaltoyhtšlš. Siten Schršdingerin aaltoyhtšlš voidaan johtaa aineaaltohypoteesista lšhtien. Alkeishiukkasten, esim. elektronien, spin ei ole johdettavissa nšistš oletuksista vaan se on postuloitava kokeellisten havaintojen selittšmiseksi. Schršdingerin aaltoyhtšlšn suorassa yleistšmisessš suhteellisuusteoreettiseksi on ongelmana se, ettš aika- ja paikkakoordinaattien "rooli" on erilainen: yhtšlšssš paikan suhteen esiintyy 2. kertaluvun derivaattoja, mutta ajan suhteen vain 1. kertaluvun derivaatta. Schršdingerin aaltoyhtšlš onkin itseasiassa diffuusioyhtšlšn f = D Ñ 2 f t kaltainen. ih Y t = Ð h2 2m Ñ2 Y + V(x) Y (1.52) Hiukkasten eteneminen Klassillisessa mekaniikassa hiukkaset etenevšt Newtonin liikeyhtšlšiden mukaisesti. Ne voidaan kuitenkin johtaa ns. Hamiltonin periaatteesta, joka on analoginen Fermat'n periaatteen kanssa.
13 MF, kl MF, kl Suoraviivainen liike ja harmonien oskillaattori Tarkastellaan seuraavassa lyhyesti ensin aaltofunktion ja Schršdingerin aaltoyhtšlšn yleisiš ominaisuuksia ja sitten etenevšš liikettš ja vibraatiota yhdessš dimensiossa (x-akselilla). "HyvinkŠyttŠytyvŠt" aaltofunktiot Altofunktio tšytyy voida normittaa ja sen tšytyy olla yksiarvoinen todennškšisyystulkinnan vuoksi, sen tšytyy olla jatkuva ja kahdesti derivoituva eikš se saa olla ŠŠretšn ŠŠrellisellŠ alueella. AaltoyhtŠlšn ominaisuuksia Schršdingerin aaltoyhtšlšstš d 2 y = dx 2m 2 h (VÐE) y (2.2) 2 voidaan pšštellš aaltofunktion kaarevuus Aaltofunktion kaarevuus Y* Y dt = 1 (2.1) 2.2.Ð2.3. Kvalitatiiviset ratkaisut ja kvantittuminen Jos potentiaalifunktio rajoittaa hiukkasen vain tiettyyn osaan avaruutta, tulee S-yhtŠlšlle reunaehdot, jotka sallivat vain tietyt ratkaisut ja niitš vastaavat energiat ==> KVANTITTUMINEN Matriisimekaniikan formalismissa reunaehdot ja kvantittuminen tulevat implisiittisesti kantafunktioiden mukana Tunneloituminen Kvanttimekaniikan mukaan hiukkanen voi tunkeutua myšs ns. kielletylle alueelle, jossa kineettinen energia on negatiivinen. TŠtŠ kutsutaan tunneloitumiseksi. EtenevŠ liike Vapaan hiukkasen (V(x) º 0) Hamiltonin operaattori on ja S-yhtŠlš jonka ratkaisu on missš k = (2mE/h 2 ) 1/2, tai vaihtoehtoisesti H = Ð h2 2m d2 dx 2 Ð h2 2m d 2 y dx 2 = E y, y(x) = A e ikx + B e Ðikx, y(x) = C cos(kx) + D sin(kx). (2.3) (2.4) (2.5) (2.6)
14 MF, kl MF, kl Energia ja liikemššrš Koska E = kh 2 ja klassisesti E = p2 voidaan kirjoittaa 2m 2m, p = hk. YhtŠlšssŠ (2.6) sin- tai cos-funktion aallonpituudelle pštee kl = 2p, josta voidaan kirjoittaa aaltovektorin k itseisarvolle k = 2p l. Sijoittamalla tšmš yhtšlššn (2.7a) seuraa de Broglien relaatio p = h/l. Huomaa, ettš vapaan hiukkasen energia ei ole kvantittunut! (2.7a) (2.7b) (2.8) 2.6. EtenevŠ liike Tilassa y olevan hiukkasen jonkin fysikaalisen suureen arvo saadaan operoimalla tilan aaltofunktioon ko. suuretta vastaavalla operaattorilla (ominaisarvoyhtšlš). Siten esim. vapaalle hiukkaselle y = A e ikx p y = h d i dx A eikx = h i ik A eikx = hk y (2.9) eli p = hk ja A e ikx on positiivisen x-akselin suuntaan etenevš vapaa hiukkanen (ja B e Ðikx vastaavasti negatiivisen x-akselin suuntaan). TŠydellinen ajasta riippuva aaltofunktio liikemššršn ominaistilalle on Y k (x,t) = A e ikx e ÐiEt/h ja positiivisen x-akselin suuntaan etenevšlle aaltopaketille Y(x,t) = g(k) Y k (x,t) dk, Harmoninen oskillaattori Tarkastellaan seuraavaksi harmonista oskillaattoria. Esim. molekyylissš olevat atomit všršhtelevšt usein likimššrin harmonisesti tasapainoasemiensa ympšristšissš. Harmoninen voima on muotoa F = Ðkx ja sen potentiaalifunktio on V(x) = 1 k koska Ð dv dx = F. 2 x2, (2.39) Hamiltonin operaattori on nyt ja S-yhtŠlš on H = Ð h2 2m d2 dx k x2 (2.40) d Ð 2 y 2m h2 dx + 1 k 2 2 x2 y = E y, (2.41) jonka ominaisarvot (energiat) ovat E v = (v+ 1) hw ; v = 0, 1, 2,..., (2.42) 2 missš w = (k/m) 1/2 ja kahden alimman tilan aaltofunktiot ovat y 0 (x) = N 0 e -y 2 /2 ja y missš y = (mw/h) 1/2 1 (x) = N 1 2y e -y 2 /2, x. TŠmŠ on helppo todeta sijoittamalla aaltofunktiot yhtšlššn (2.41)! Huom! Pienin energian arvo ei ole nolla vaan 1/2 hw, joka on ns. nollapiste-energia. missš g(k) on muoto- tai spektraalifunktio. Ð
15 MF, kl MF, kl Suurilla kvanttilukujen v arvoilla harmonisen oskillaattorin tn. tiheys lšhestyy klassillista jakautumaa. TŠmŠ on esimerkki ns. vastaavaisuusperiaatteesta (correspondence principle). Yksi-dimensioisen harmonisen oskillaattorin aaltofunktioiden yleinen muoto on y v (x) = N v H v (y) e Ðy2 /2, (2.43) missš H v (y) ovat Hermiten polynomeja, joille H 0 (y) = 1, H 1 (y) = 2y ja H v+1 = 2y H v Ð 2n H vð1. Viriaaliteoreema: Jos hiukkasen potentiaalienergia voidaan kirjoittaa muotoon V(x) µ x s, niin keskimššršisen kineettisen ja potentiaalienergian riippuvuus on 2 T = s V. (2.45) Viriaaliteoreema pštee myšs klassillisesti. Esim. harmoniselle oskillaattorille s = 2 => Coulombin potentiaalille s = Ð1 => Kaikki harmonisen oskillaattorin aaltofunktiot ovat ortogonaalisia. Kun normitusvakio on N v = 1 1/2 Ð1/2 v! p ovat 2 v aaltofunktiot (3.5.5) ortonormaaleja (2.44) - y v * (x) yu (x) dx = d vu.
16 MF, kl MF, kl Pyšrimisliike ja vetyatomi Pyšrimisliike ympyršradalla tai kiintešn akselin ympšri Tarkastellaan hiukkasen liikettš tasossa ympyršrataa pitkin. TŠmŠ on muodollisesti ekvivalenttia kappaleen pyšrimisliikkeen kanssa kiintešn akselin ympšri. Liiketilat mššršš tšllšin hitausmomentti I, joka ympyršrataa kiertšvšn hiukkasen tapauksessa on I = m r 2, missš m ja r ovat hiukkasen massa ja sen radan sšde Hamiltonin operaattori ja Schršdingerin yhtšlš Vapaassa pyšrimisliikkeessš z-akselin ympšri (V(x,y)=0) Hamiltonin operaattori on (kun r on vakio) H = Ð 2m h2 2 x (3.1) y 2 ja napakoordinaateissa x = r cosf ja y = r sinf MerkitŠŠn aaltofunktiota F(f), jolloin S-yhtŠlš on TŠmŠn ratkaisut ovat H = Ð h 2 d 2 2mr 2 df = Ð h2 2 2I d 2 F df 2 = Ð 2IE h 2 F. d 2 df 2. F(f) = A e im lf + B e Ðim lf, (3.3) (3.4) (3.5) Esim. Hiukkanen "ŠŠrettšmŠn syvšssš pyšrešssš kaivossa" kuvataan aaltofunktiolla, joka separoituu siten, ettš toinen tekijšistš on (3.5) ja toinen kuvaa radiaaliliikettš. Reunaehtona aaltofunktiolle (3.5) on yksikšsitteisyys F(f) = F(f+2p), josta seuraa, ettš A e im lf + B e Ðim lf = A e im lf e i2pm l + B e Ðim lf e Ði2pm l ja edelleen e i2pm l = 1 ja m l = 0, ±1, ±2,.... Siten energia kvantittuu niin, ettš E = m l 2 h2 2I. TŠstŠ nšhdššn, ettš energiatilat ovat kaksinkertaisesti degeneroituneet, paitsi alin tila m l = 0 eikš nollapiste-energiaa esiinny Impulssimomentti (liikemššršmomentti) Kun klassinen lauseke rotaatioenergialle on J 2 / 2I voidaan edellisen yhtšlšn perusteella kirjoittaa J 2 = m 2 h 2, missš J on impulssimomentti (liikemššršmomentti, pyšrimismššrš, engl. angular momentum). Klassisesti z-akselin ympšri pyšrivšn kappaleen impulssimomentti on J z = x p y Ð y p x ja sitš vastaavaksi operaattoriksi tulee J z = x h i y Ð y h i x = h i f. (3.6) (3.8) (3.9) Jos operoidaan tšllš funktioon F A = A e im lf saadaan ominaisarvoyhtšlš J z F A = A h i f eim lf = m l h A e im lf = m l h F A. (3.10) missš m l = 2IE/h 2 1/2 on laaduton luku.
17 MF, kl MF, kl Aaltofunktion muoto Siten F A vastaa impulssimomentin arvoa m l h ja siis pyšrimistš. Samoin F B vastaa impulssimomentin arvoa Ðm l h eli pyšrimistš vastakkaiseen suuntaan. Aaltofunktiot F A ja F B ovat ortonormaaleja ja normitusvakio on A = B = 1 2p. On huomattava, ettš nšiden impulssimomentin ominaistilojen aaltofunktioiden tn. tiheys on vakio (ja paikka/kulma tšysin epšmššršinen), vrt. seisova aalto ja kiertoliikettš suorittava aaltopaketti Klassillinen raja Pyšrimisliike pallon pinnalla 3.5. AaltoyhtŠlš ja -funktio Kun ulkoinen potentiaali on nolla, tulee myšs pyšrimisliikkeen Hamiltonin operaattoriksi kolmessa dimensiossa H = Ð 2m h2 Ñ2. (3.16) Laplacen operaattori on nyt parasta kirjoittaa pallokoordinaateissa x = r sin q cos f, y = r sin q sin f ja z = r cos q, (3.17) jolloin Ñ 2 = 1 2 r r r r 2 L2, (3.18) missš (3.19) L 2 = 1 2 sin 2 q f sinq q sinq q on Laplacen operaattorin kulmaosa, ns. Legendren operaattori. Kun radiaaliliikettš (sšteen suuntaista) ei tarkastella, tulee Hamiltonin operaattori muotoon H = Ð h 2 (3.20) 2mr 2 L2 ja koska mr 2 = I on hitausmomentti, tulee S-yhtŠlšksi L 2 y = Ð 2IE h y. 2 (3.21) TŠmŠn yhtšlšn ratkaisuja ovat palloharmoniset funktiot Y lml (q,f) (spherical harmonics), joille pštee L 2 Y lml = Ð l(l+1) Y lml, (3.22) missš l = 0, 1, 2,... ja m l = l, lð1, lð2,..., Ðl.
18 MF, kl MF, kl Hiukkasen impulssimomentti Vertaamalla tštš klassiseen rotaatioenergiaan J 2 / 2I voidaan kirjoittaa J = h l(l+1) (3.25) eli myšs impulssimomentti on kvantittunut. Suure l onkin impulssimomenttikvanttiluku. Palloharmoniset funktiot ovat myšs operaattorin l z ominaisfunktioita l z Y lml (q,f) = m l h Y lml (q,f), (3.26) missš m l = Ðl, Ðl+1,..., l. Sen sijaan palloharmoniset funktiot eivšt ole operaattoreiden l x ja l y ominaisfunktioita Palloharmonisten funktioiden graafinen esittšminen Vertaamalla yhtšlšitš (3.21) ja (3.22) nšhdššn kvantittuminen E = h2 l(l+1) ; l = 0, 1, 2,... 2I ja ettš jokainen energiataso on (2l+1)-kertaisesti degeneroitunut: m l = l, lð1,..., Ðl. (3.24)
19 MF, kl MF, kl JŠykkŠ roottori Kahden hiukkasen m 1 ja m 2 liikkuessa vapaasti H = Ðh 2 /2m 1 Ñ 2 1 Ð h 2 /2m 2 Ñ 2 2, joka voidaan separoida massakeskipisteen (CM) ja suhteellisen liikkeen vastaaviin osiin. TŠllšin (3.28) 1/m 1 Ñ /m 2 Ñ 2 2 = 1/mÑ 2 CM + 1/mÑ 2, missš m = m 1 + m 2 ja 1/m = 1/m 1 + 1/m 2. (3.29) Suure m on ns. redusoitu massa. Schršdingerin yhtšlšksi saadaan nyt Ðh 2 /2m Ñ 2 CMY Ð h 2 /2m Ñ 2 Y = E tot Y (3.30) joka voidaan separoida yritteellš Y = y CM y yhtšlšiksi Ðh 2 / 2m Ñ 2 CMY = E CM Y (3.31) Ð h 2 / 2m Ñ 2 Y = E Y missš E tot = E CM + E. Edellinen yhtšlšistš on vapaan hiukkasen S-yhtŠlš, jonka ratkaisut ovat tasoaaltoja (2.5), (2.6) tai 3- ulotteisina y CM (R) = A exp(ikár). JŠlkimmŠinen yhtšlšistš yksinkertaistuu muotoon Ð h 2 / 2mr 2 L 2 Y = E Y (3.32) kun otetaan huomioon se, ettš r = r = vakio, jolloin Ñ 2 L 2 /r 2 yhtšlšn (3.18) mukaan. Kun nyt merkitššn I = mr 2 (3.33) saadaan tšstš yhtšlš (3.21), jonka ratkaisut ovat palloharmoniset funktiot ja energiatilat E J MJ = J(J+1) h 2 / 2I (3.27) (3.34) Liike Coulombin keskeiskentšssš Elektronin kokema sšhkšstaattinen potentiaali vetyatomissa on keskeispotentiaali ja siten vakio jokaisella ydinkeskeisellš pallokuorella. NiinpŠ edellš kšsitelty yleinen 3-ulotteinen pyšrimisliike soveltuu sellaisenaan elektronin "kiertoliikkeen" kuvaamiseen ja sen lisšksi tarvitaan vain tarkastelu elektronin "liikkeelle radiaalisuunnassa" (sšteen suunnassa) Vetyatomin Schršdingerin yhtšlš Elektronin Hamiltonin operaattori on H = Ð 2m h2 Ñ2 Ð 1 e 4pe o r 2, missš redusoidun massan m = m e m p m e + m» m e p avulla otetaan huomioon ytimen rekyyliliikkeestš aiheutuva pieni korjaus. Vetyatomin S-yhtŠlšksi tule Ð 2m h2 Ñ2 y Ð 1 e 4pe o r 2 y = E y (3.37) eli 1 2 r r r y + 1 me 2 r 2 L2 y + 2 2pe o h 2 r y = Ð 2mE h y. (3.38) Radiaali- ja rotaatioliikkeiden separointi Nyt voidaan "pyšrimisliike" ja radiaaliliike separoida yritteellš y(r,q,f) = R(r) Y(q,f), joka sijoitetaan yllš olevaan S-yhtŠlššn. Koska L 2 Y = Ð l(l+1) Y (3.22) saadaan (3.35Ð36) 1 r 2 r 2 r R Y Ð 1 r 2 l(l+1) R Y + me 2 2pe o h 2 r R Y = Ð 2mE h 2 R Y. (3.39)
20 MF, kl MF, kl TŠstŠ voidaan Y "jakaa pois" ja kun vielš otetaan kšyttššn funktio P(r) = r R(r) saadaan Ð 2m h2 d2 P dr + V eff(r) P = E P, (3.40) 2 missš V eff (r) = Ð 1 e 2 l(l+1) h2 4pe o r + 2mr 2 on ns. effektiivinen potentiaali. (3.41) Kun l = 0 (ns. s-tila), on S-yhtŠlšn (3.40) ratkaisu muotoa P ~ Ar + Br 2, kun r Ð> 0 ja silloin R = P/r Ð> A, eli elektronin tn. tiheys ytimessš on A 2 ¹ 0. Kun l ¹ 0, P A r l+1 ja R = P/r A r l, kun r Ð> 0. Vetyatomin aaltofunktiot voidaan esittšš ns. Laguerren liittofunktioiden avulla Radiaalinen Schršdingerin yhtšlš Radiaalista "liikettš" voidaan tarkastella yksiulotteisena effektiivisessš potentiaalissa. Effektiivisen potentiaalin toinen termi on "keskipakoispotentiaali".
21 MF, kl MF, kl MittayksikkšnŠ viereisissš kuvissa on ns. Bohrin sšde a 0 = (4pe 0 h 2 )/(m e e 2 ), joka on Bohrin atomimallin elektronin radan sšde. (3.43) Atomiorbitaalit Vetyatomin aaltofunktiot ovat siis muotoa y nlml (r,q,f) = R nl (r) Y lml (q,f) ja niitš kutsutaan elektronin orbitaaleiksi. l = (0, 1,..., nð1) degeneraatio (2l+1) n = 1 1s 2 2s 2p 3 3s 3p 3d 4 4s 4p 4d 4f Vetyatomin tilat ovat n 2 -kertaisesti degeneroituneita ja jos elektronin spin otetaan huomioon, niin 2n 2 -kertaisesti. (2l+1)- degeneraatio on symmetriasta aiheutuvaa, ja n-degeneraatio ns. satunnaista (accidental) degeneraatiota. Lauseketta 4pr 2 y(r) 2 kutsutaan radiaaliseksi jakautumafunktioksi, koska se antaa elektronin tn. tiheyden sšteen funktiona. Vetyatomin tilojen energiat ovat E n = Ð 1 2 e 2 2 m 4pe 1 o h 2 n ; n = 1, 2, E 1 = 1 Ry (Rydberg) = 13.6 ev = 1/2 H (Hartree). (3.44) s-orbitaalit ovat pallosymmetrisiš. p 0 -orbitaali on reaalinen funktio, ns. p z -orbitaali, mutta p +1 ja p Ð1 ovat kompleksisia. Niiden reaaliset lineaarikombinaatiot ovat p x = p +1 + p Ð1 ja p y = i (p +1 Ð p Ð1 ), ks. kuvat.
22 MF, kl MF, kl Esim. Vetyatomin perustilan aaltofunktio on missš a 0 = a) MissŠ on elektronin todennškšisin paikka? y(r) = 1 1/2 pa0 3 e -r/a 0, b) MikŠ on todennškšisyys lšytšš elektroni tilavuudesta 1 fm 3, kun (i) r = 0 ja (ii) r = a 0? c) MikŠ on todennškšisyys lšytšš elektroni a 0 - sšteisestš pallosta ytimen ympšriltš?
Johdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on
MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotKvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi
Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLuento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli
Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotLuento Atomin rakenne
Luento 10 5. Atomin rakenne Vetatomi Ulkoisten kenttien aiheuttama energiatasojen hajoaminen Zeemanin ilmiö Elektronin spin Monen elektronin atomit Röntgensäteiln spektri 1 Schrödingerin htälö kolmessa
LisätiedotAtomien rakenteesta. Tapio Hansson
Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Laskuharjoitukset: Lauri Nykänen; lauri.j.a.nykanen@.jyu.fi
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
Lisätiedot3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)
+ 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Vastaanotto torstaisin klo 13-15 Laskuharjoitukset: FM
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotKvanttisointi Aiheet:
Kvanttisointi Luento 5 4 Aiheet: Valosähköilmiö Einsteinin selitys Fotonit Aineaallot ja energian kvantittuminen Bohrin kvanttimalli atomille Bohrin malli vetyatomille Vedyn spektri Mitä olet oppinut?
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotFYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden
LisätiedotOpettajaopiskelijoiden käsityksiä kvanttimekaniikasta
Opettajaopiskelijoiden käsityksiä kvanttimekaniikasta Eetu Laukka Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2015 Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto i Eetu Laukka Työn ohjaajat Opettajaopiskelijoiden
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57
KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
LisätiedotSPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotLyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY
Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotKvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa
Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotVaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1
Heikot periodiset potentiaalit Useiden metallien (alkuaineryhmissä I, II, III ja IV) johde-elektronit liikkuvat heikossa kiteen ionien muodostamassa potentiaalissa, sillä näillä metalleilla on s- tai p-elektroni
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotKorrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin
Lisätiedot