Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
|
|
- Esa Aho
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1
2 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti voidaan selittää Rydbergin esittämällä kaavalla: $ 1 " = R H & 2 n # 1 % 1 n 2 2 ' ) R H =109677cm "1 ( 2
3 Vedyn kaltaisilla atomeilla (H, He+, Li2+,...) on vain yksi elektroni mistä johtuen niiden Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista tarkasti (eksaktisti) Elektronin kokema ytimestä (Ze) aiheutuva Coulombin potentiaali: V = " Ze2 4#$ 0 r Atomia kuvaava Hamiltonin operaattori: H ˆ = " h2 # 2 e " h2 # 2 N " Ze2 2m e 2m N 4$% 0 r el. kineettinen energia ytimen kineettinen energia 3
4 3-ulotteinen pyörimisliike (hiukkanen pallon pinnalla) edellyttää aaltofunktiolta kahta syklistä reunaehtoa Schrödingerin yhtälö on muotoa: " 2 = # 2 # 2 #r r " h2 2m # 2 $ = E$ #x 2 + # 2 #y 2 + # 2 #z 2 = # #r + 1 & 1 # 2 r 2 sin 2 $ #% + 1 # 2 sin$ #$ sin$ # ) ( + ' #$ * Koska r = vakio: 1 r 2 "2 # = 2mE # h 2 " 2 ratkaisuna saadaan kulmista riippuva funktio: " #,$ jolle voidaan tehdä muuttujien separointi ( ) = % # ( )& $ ( ) 4
5 Elektroni-ydin systeemi koostuu kahdesta kappaleesta (body). Tämä voidaan muuttaa yhden kappaleen ongelmaksi tarkastelemalla elektronin suhteellista liikettä ytimen suhteen. Nyt tarkastellaan yksittäisten massojen asemasta ns. redusoidun massan µ liikettä 1 µ = m e m N " 1 m e " h2 2µ # 2 $ " Ze2 4%& 0 r $ = E$ radiaalifunktio palloharmoninen funktio ratkaisu "(r,#,$) separoituu kahteen osaan: "(r,#,$) = R(r)Y(#,$) Saadaan kaksi ominaisarvoyhtälöä: " 2 Y = #l(l +1)Y " h2 d 2 u 2µ dr + V u = Eu 2 eff u = rr V eff = " Ze2 l(l +1)h2 + 4#$ 0 r 2µr 2 kuvaa 1-ulotteista liikettä efektiivisessä potentiaalissa 5
6 V eff sisältää Coulombin potentiaalin lisäksi elektronin pyörimismäärästä aiheutuvan keskipakoisvoima-termin. Tällä on suuri vaikutus lähellä ydintä: l=0 elektronilla on suuri todennäköisyys ytimessä 6
7 radiaaliyhtälön ratkaisuna saadaan energia E n = " Z 2 µe 4 32# 2 $ 0 2 h 2 n 2 n=1,2,3,... ns. pääkvanttiluku Radiaaliset ratkaisut R riippuvat pääkvanttiluvun lisäksi ratapyörimismäärään liittyvästä kvanttiluvusta l (huom. efektiivinen potentiaali): a 0 = Bohrin säde a 0 = 4"# 0h 2 m e e 2 = 52.9pm " = 2Zr na 0 R n,l (r) = N n,l " l 2l L +1 n +1 (")e #" / 2 2l L +1 n +1 (") Laguerren (lah gerre) liittopolynomi 7
8 Radiaalifunktioita 8
9 Yhden elektronin aaltofunktiota " n,l,ml (r,#,$) = R n,l (r)y l,ml (#,$) kutsutaan atomiorbitaaliksi Orbitaaliin liittyvät kvanttiluvut: n = pääkvanttiluku, määrittellee energian l = ratapyörimismäärään liittyvä kvanttiluku. Pyörimismääräksi saadaan: { l(l +1) } 1/ 2 h m l = magneettinen kvanttiluku, joka kertoo pyörimismäärän z-komponentin arvon m l h Lisäksi tarvitaan spinkvanttiluvun z-komponentti: m s = ±1/2 9
10 Elektronirakenne jaetaan kuoriin ja alikuoriin energian nollakohta n = K L M N... l s p d f... energia<0 ; ts. elektroni on sitoutunut ytimeen 10
11 s orbitaalit ovat pallosymmetrisiä, koska Y 0,0 =vakio s-orbitaalit sisältävät n-1 kpl solmupintoja joissa aaltofunktion arvo = 0 elektronin keskimääräinen etäisyys ytimestä voidaan laskea odotusarvona: $ 2 r = " * r"d# = r" d# $ 11
12 " 2 = todennäköisyystiheys " 2 d# = todennäköisyys, että elektroni sijaitsee tilavuuselementissä dτ Määritellään tilavuuselementti siten, että se on r-säteisen pallon kuoren tilavuus. Kuoren paksuus on dr. (vrt. tennispallo) d" = 4#r 2 dr Todennäköisyys sille, että elektroni löytyy pallon kuoresta = " 2 4#r 2 dr Yhdistelmää = P(r) = 4"r 2 # 2 kutsutaan radiaaliseksi jakaumafunktioksi vedyn 1s Yleisempi muoto: P(r) = r 2 R(r) 2 missä R(r) on orbitaalin radiaaliosa 12
13 p-orbitaaleja on kolme, koska l=1 ja m l =-1,0,1 Tarkastellaan 2p orbitaaleja: 1 & Z ) " p0 = R 2,1 (r)y 1,0 (#,$) = ( + 4(2%) 1/ 2 ' * a 0 5 / 2 rcos#e,zr / 2a 0 = vakio - rcos#f (r) f(r) on r:stä riippuva funktio ja rcosθ = z (koordinaatistomuunnos) voidaankin kirjoittaa: " pz = zf (r) ( p z orbitaali ) 13
14 Kaksi muuta p-orbitaalia (m l = -1,+1) " p±1 = R 2,1 (r)y 1,±1 (#,$) = m 1 & Z ) ( + 8% 1/ 2 ' * = m 1 2 1/ 2 rsin#e±i$ f (r) a 0 5 / 2 re,zr / 2a 0 sin#e±i$ Nämä aaltofunktiot ovat imaginäärisiä, ja kuvaavat siten elektronia, jolla on nettoliike (pyörimismäärä z-akselin suhteen) Tavallisesti m l = 1 ja m l =-1 ratkaisuista muodostetaan kaksi lineaarikombinaatiota, jotka ovat seisovia aaltoja (ratkaisun m l =0 tavoin): " px = # 1 ( p 2 1/ 2 +1 # p #1 ) = rsin$ cos%f (r) = xf (r) " py = i ( p 2 1/ p #1 ) = rsin$ sin%f (r) = yf (r) p x -orbitaali p y -orbitaali 14
15 Spektroskopisella transitiolla tarkoitetaan elektronin siirtymistä energiatilalta n 1,l 1,m l1,m s1 energiatilalle n 2,l 2,m l2,m s2 Mikäli n 2 > n 1 on kysymyksessä absorptio, ts. siirtymälle "E > 0 Mikäli n 2 < n 1 on kysymyksessä emissio, ts. siirtymälle "E < hν hν 1 1 Spektroskopiset valintasäännöt (selection rules) kertovat mitkä siirtymät tilojen välillä ovat sallittuja Valintasääntö elektronin ja fotonin vuorovaikutukselle pohjautuu pyörimismäärän säilymiseen siirtymässä Fotonin spin s =1, jolloin syntyvän/häviävän fotonin pyörimismäärän pitää kompensoitua elektronin l-kvanttiluvun muutoksena 15
16 Valintasäännöt: "l = ±1 "m l = 0,±1 2 2 "l = +1 hν "l = #1 hν 1 1 Huomaa, että pääkvanttiluvun muutokselle ei ole valintasääntöä 16
17 Monielektronisten atomien Schrödingerin yhtälöä ei voida ratkaista eksaktisti elektronien välisten vuorovaikutusten vuoksi. He atomille (elektronit 1 ja 2): H ˆ = " h2 # 2 1 " h2 # 2 2 " 2e2 " 2e2 + 2m e 2m e 4$% 0 r 1 4$% 0 r 2 e 2 4$% 0 r 12 elektroni-elektroni Coulombin vuorovaikutus elektroni-ydin Coulombin vuorovaikutus monielektronisysteemin aaltofunktio on muotoa: "(r 1,r 2,...) missä r on elektronin paikkavektori Orbitaaliapproksimaation mukaan voidaan kuvitella, että kukin elektroni miehittää oman (vedyn kaltaisen) orbitaalin ja kokonaisaaltofunktio on näiden tulo: "(r 17 1,r 2,...) ="(r 1 )"(r 2 ) ###
18 orbitaaliapproksimaation vuoksi elektronirakenteen kuvauksessa käytetään käsitettä konfiguraatio esim. 1s 2, 1s 2 2s 2 2p 3 jne. Konfiguraatioita muodostettaessa tulee huomioida Paulin kieltosääntö, jonka mukaan kullekin orbitaalille voidaan sijoittaa korkeintaan kaksi elektronia vastakkaisin spinnein Paulin kieltosääntö on erikoistapaus Paulin periaattesta: Fermionisten (esim. elektroni) systeemien kokonaisaaltofunktion tulee olla antisymmetrinen hiukkasten vaihdon " suhteen: "(2,1) = #"(1,2) Orbitaaliapproksimaation mukaan " ="(1)"(2) (avaruudellinen osa) Kokonaisaaltofunktioon pitää sisällyttää spin-osa. Vaihtoehdot: "(1)"(2) #(1)#(2) "(1)#(2) "(2)#(1) " =# m s = +1/2 $ =% m s = "1/2 18
19 Koska emme voi erottaa elektroneja toisistaan, muodostamme kaksi normitettua lineaarikombinaatiota spin-osasta: " + (1,2) = 1 2 " % (1,2) = 1 2 [#(1)$(2) + $(1)#(2) ] [#(1)$(2) % $(1)#(2) ] Voimme nyt muodostaa 4 kokonaisaaltofunktiota: "(1)"(2)#(1)#(2) "(1)"(2)$(1)$(2) "(1)"(2)% + (1,2) "(1)"(2)% & (1,2) Kaikilla sama avaruus-osa, joka on muuttumaton elektronien vaihdossa "(1)"(2) ja#(1)#(2) ovat muuttumattomia elektronien vaihdossa Tarkastellaan σ + ja σ - lineaarikombinaatioita: " # (2,1) = 1 2 " + (2,1) = 1 2 [#(2)$(1) + $(2)#(1) ] = " + (1,2) [ $(2)%(1) # %(2)$(1) ] = # 1 [ $(1)%(2) # %(1)$(2)] = #" # (1,2) 2 antisymmetrinen spin-osa 19
20 ratkaisu "(1)"(2)# $ (1,2) on Paulin periaatteen mukainen Tapauksessa jossa kahden elektronin avaruudelliset aaltofunktiot ψ ovat identtiset, elektronien spinnit ovat vastakkaissuuntaiset Monielektronisilla atomeilla orbitaalit, joilla on sama pääkvanttiluku eivät ole degeneroituneita (vrt. vetyatomi) Ilmiö johtuu elektroni-elektroni vuorovaikutuksesta (repulsiivinen eli hylkivä), joka pienentää elektronin kokemaa ytimen vetovoimaa Tästä varjostuksesta johtuen elektroni näkee ns. efektiivisen ydinvarauksen, joka ei ole vakio kaikille elektroneille Z eff = Z "# 20
21 3s-elektroni viihtyy lähellä ydintä, jolloin sen kokema varjostus on pieni (vrt. 3p elektroni) 21
22 Elektronikonfiguraatioiden muodostamiseen liittyy kaksi sääntöä: 1. Aufbau periaate kertoo missä järjestyksessä orbitaalit miehittyvät 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s 2. Hundin säännön mukaan alin energia saavutetaan kun spin saa maksimiarvon (maksimimäärä ns. parittomia elektroneja degeneroituneilla orbitaaleilla) Monielektronisten atomien spektrit ovat monimutkaisia, erityisesti kun atomin järjestysluku on suuri He atomin perustilan elektronikofiguraatio on 1s 2 ja 1.viritystilan 1s 1 2s 1 1s 1 2s 1 tilassa spinnit voivat olla "" tai ## tai "# (elektronit eri orbitaaleilla) 22
23 tarkastellaan tilannetta, jossa spinnit ovat saman suuntaiset "+" tai #+# molemmissa tapauksissa spinliikemäärää kuvaavan vektorin pituus = 1 avaruuden kvantittumisesta johtuen liikemäärävektorin z-komponentti voi saada vain tietyt arvot: M S = "1,0,1 Kolmesta M S arvosta johtuen tätä tilaa kutsutaan triplettitilaksi triplettitilan kerrannaisuus eli multiplisiteetti = 3 23
24 Kun spinnit ovat vastakkaissuuntaiset spinniin liittyvä liikemäärä = 0 jolloin M S voi saada vain yhden arvon, M S = 0. Tätä tilaa kutsutaan singlettitilaksi. Singlettitilan kerrannaisuus = 1 Triplettitilan energia on matalampi kuin vastaavan singlettitilan. elektronin rataliike indusoi magneettisen momentin r r µ = " e I myös spin indusoi magneettisen momentin r r µ = 2" e s 24
25 Magneettiset momentit vuorovaikuttavat keskenään mistä aiheutuu spin-rata vuorovaikutus, mikä tarkoittaa ratapyörimismäärän ja spinnin kytkeytymistä pyörimismäärän kuvaamiseen tarvitaan kvanttiluku, joka huomioi molemmat. Kokonaispyörimismäärää kuvataan kvanttiluvuilla j ja m j matalin energia saavutetaan j = l +1/2 tai j = l "1/2 kun I ja s vektorit ovat vastakkaissuuntaisia 25
26 Kunkin energiatilan (l, s, j) energia voidaan nyt lausua: E l,s, j = 1 2 hca { j( j +1) " l(l +1) " s(s +1) } missä A on spin-rata kytkeytymisvakio d-elektronin spin-rata kytkeytyminen 26
27 j 1 ja j 2 eivät kytkeytyneet Voimme silti määritellä kokonaispyörimismäärän j, mutta tiedäme vain sen z- komponentin suuruuden (m) Kytkeytyneet pyörimismäärävektorit j 1 :n ja j 2 :n suunnat ovat keskenään korreloituja Lähde: R. N. Zare, Angular Momentum, Understanding spatial aspects in chemistry and physics 27
28 Atomeilla on useita elektroneja, joilla kaikilla kvanttiluvut n,l,j,s. pelkän elektronikonfiguraation kirjoittaminen ei riitä kuvaamaan atomin elektronirakennetta. Tähän kuvaukseen (leimaamiseen) käytetään ns. termisymboleita Kirjain kertoo atomin kokonaisratapyörimismäärä kvanttiluvun L Vasen yläindeksi kertoo tilan kerrannaisuuden eli multiplisiteetin Oikea alaindeksi kertoo atomin kokonaispyörimismäärä kvanttiluvun J 28
29 Termisymboleita muodostettaessa tarkastellaan vain niitä elektroneja jotka ovat osittain miehitetyillä elektronikuorilla Kokonaispyörimismäärä kvanttiluku L liittyy atomin kokonaisratapyörimismäärään ja M L pyörimismäärävektorin mahdollisiin orientaatioihin: M L = L, L-1, L-2,..., -L L arvot saadaan lyksittäisten elektronien l-arvoista Glebsch-Gordan sarjan avulla: L = l 1 + l 2,l 1 + l 2 "1,l 2 + l 2 " 2,..., l 1 " l 2 Saamme useita L:n arvoja koska yksittäisten elektronien pyörimismäärällä on useita eri orientaatioita (useita m l arvoja) 29
30 Kirjainsymboli termissä: L: S P D F G H I esim. p 2 konfiguraatio: l 1 =1 l 2 =1 L =1+1= 2; 1+1"1 =1; 1+1" 2 = 0 D, P ja S termit Kun kysymyksessä on 3 elektronia, niin ensin kytketään kaksi keskenään L ' ' 1,L 2,... Tämän jälkeen kolmannen elektronin l 3 kytketään L ' ' 1,L 2,... kanssa Kerrannaisuus eli multiplisiteetti saadaan kokonaisspinnistä: S = s 1 + s 2,s 1 + s 2 "1,..., s 1 " s 2 Kerrannaisuus = 2S
31 Kokonaispyörimismäärä kvanttiluku saadaan Glebsch-Gordan sarjana J = L + S,L + S "1,..., L " S Käyttämämme menetelmä on ns. Russell-Saunders kytkentä Suljettukuorisille atomeille L = 0, ts. niiden termi on S. Lisäksi S = 0, joten J =0 31
32 Raskaille atomeille parempi malli on ns. jj-kytkentä, missä kytketään j-arvot keskenään J = j 1 + j 2, j 1 + j 2 "1,..., j 1 " j 2 Spektroskopiset valintasäännöt voidaan määritellä seuraavasti: "S = 0 "L = 0,±1 "l = 0,±1 mutta J = 0 # $ J = 0 32
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot5.1 Johdanto 185. 5.2 Helium-atomi 186. 5.3 Keskeiskenttämalli 201. 5.4 Paulin kieltosääntö 206. 5.5 Atomien elektronirakenne 208
MONIELEKTRONIATOMIT 5. Johdanto 85 5. Helium-atomi 86 5.3 Keskeiskenttämalli 0 5.4 Paulin kieltosääntö 06 5.5 Atomien elektronirakenne 08 5.6 L--kytkentä monen elektronin atomeissa 3 5.7 Röntgenspektrien
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotLuento Atomin rakenne
Luento 10 5. Atomin rakenne Vetatomi Ulkoisten kenttien aiheuttama energiatasojen hajoaminen Zeemanin ilmiö Elektronin spin Monen elektronin atomit Röntgensäteiln spektri 1 Schrödingerin htälö kolmessa
LisätiedotKemian syventävät kurssit
Kemian syventävät kurssit KE2 Kemian mikromaailma aineen rakenteen ja ominaisuuksien selittäminen KE3 Reaktiot ja energia laskuja ja reaktiotyyppejä KE4 Metallit ja materiaalit sähkökemiaa: esimerkiksi
Lisätiedot3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)
+ 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti
LisätiedotJakso 8: Monielektroniset atomit
Jakso 8: Monielektroniset atomit Näytä tai palauta tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 9.6.2015. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 6 ja 7. Suunnilleen samat asiat ovat
LisätiedotLuento5 8. Atomifysiikka
Atomifysiikka Luento5 8 54 Kvanttimekaniikan avulla ymmärrämme atomin rakenteen ja toiminnan. Laser on yksi esimerkki atomien ja valon kvanttimekaniikasta. Luennon tavoite: Oppia ymmärtämään atomin rakenne
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi
Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen
LisätiedotKEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli
KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli Aineen rakenteen teoria alkoi hahmottua, kun 1800-luvun alkupuolella John Dalton kehitteli teoriaa atomeista jakamattomina aineen perusosasina. Toki
LisätiedotSpin ja atomifysiikka
Spin ja atomifysiikka Harris luku 8 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Lämmittelykysymys Pohdi parin kanssa 5 min Kysymys Atomin säde on epämääräinen käsite. Miksi?
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotMonen elektronin atomit
Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Heliumin emissiospektri Vety
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotAtomien rakenteesta. Tapio Hansson
Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotMonen elektronin atomit
Jukka Tulkki Luentoja Randy Harrisin luvuista 8.-9 Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen
Lisätiedot7. Atomien rakenne ja spektrit
7. Atomien rakenne ja spektrit Atomien rakenteella tarkoitetaan niiden elektroniverhojen rakennetta, erilaisia jakautumia ja erityisesti elektronien energiatiloja. Atomien spektreillä taas tarkoitetaan
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotMonen elektronin atomit
Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Heliumin emissiospektri Vety
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotKäytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.
1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotKvanttimekaaninen atomimalli. "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman
Kvanttimekaaninen atomimalli "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman Tunnin sisältö 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kvanttimekaaninen atomimalli Orbitaalit Kvanttiluvut Täyttymisjärjestys
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
Lisätiedotpääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"
Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:
Lisätiedot11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen.
11. MOLEKYYLIT Vain harvat alkuaineet esiintyvät luonnossa atomeina (jalokaasut). Useimmiten alkuaineet esiintyvät yhdisteinä: pieninä tai isoina molekyyleinä, klustereina, nesteinä, kiinteänä aineena.
LisätiedotS Fysiikka III (Est) 2 VK
S-37 Fysiikka III (Est) VK 500 Tarkastellaan vedyn p energiatasoa a) Mikä on tämän tason energia Bohrin mallissa? b) Oletetaan että spinratavuorovaikutus voidaan jättää huomiotta Kirjoita kaikki tähän
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotS-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) Viikko 11
S-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) LUENTOSUUNNITELMA KEVÄT 2007, 2. PUOLILUKUKAUSI Toisen puolilukukauden aikana käydään läpi keskeiset kohdat Kvanttifysiikan opetusmonisteen luvuista 3-7. Laskuharjoituksia
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Aine koostuu atomeista Nimitys tulee sanasta atomos = jakamaton (400 eaa, Kreikka) Atomin kuvaamiseen käytetään atomimalleja Pallomalli
LisätiedotOppikirja (kertauksen vuoksi)
Oppikirja (kertauksen vuoksi) Luento seuraa suoraan oppikirjaa: Malcolm H. Levitt: Spin Dynamics Basics of Nuclear Magnetic Resonance Wiley 2008 Oppikirja on välttämätön sillä verkkoluento sisältää vain
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133
ATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133 4.1 Johdanto...133 4. Atomin ydinmallin kehittyminen...134 4.3 Rutherfordin sironta...136 4.4 Rutherfordin sironnan kulmariippuvuus...138 4.5 Makroskooppisen vaikutusalan
LisätiedotLuku 15: Magneettinen resonanssi
Luku 15: Magneettinen resonanssi Ytimen ja elektronin vuorovaikutus ulkoisen magneettikentän kanssa: magneettinen momentti ja energiatilat Ydinmagneettinen resonanssi, NMR (nuclear magnetic resonance)
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotMolekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen
Molekyylit. Johdanto. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit 6. Orgaaniset
LisätiedotMOLEKYYLIFYSIIKAN OPETUKSESTA SEKÄ KEMIALLISEN SIDOKSEN VAIKUTUKSESTA MOLEKYYLIEN AUGER-ELEKTRONISPEKTREIHIN
MOLEKYYLIFYSIIKAN OPETUKSESTA SEKÄ KEMIALLISEN SIDOKSEN VAIKUTUKSESTA MOLEKYYLIEN AUGER-ELEKTRONISPEKTREIHIN PRO GRADU -TUTKIELMA SAKARI MIKKONEN OULUN YLIOPISTO FYSIKAALISTEN TIETEIDEN LAITOS 2005 Sisällysluettelo
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
Lisätiedot9. JAKSOLLINEN JÄRJESTELMÄ
9. JAKSOLLINEN JÄRJESTELMÄ Jo vuonna 1869 venäläinen kemisti Dmitri Mendeleev muotoili ajatuksen alkuaineiden jaksollisesta laista: Jos alkuaineet laitetaan järjestykseen atomiluvun mukaan, alkuaineet,
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotJohdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on
MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"
Lisätiedotn=5 n=4 M-sarja n=3 L-sarja n=2 Lisäys: K-sarjan hienorakenne K-sarja n=1
10.1 RÖNTGENSPEKTRI Kun kiihdytetyt elektronit törmäävät anodiin, syntyy jatkuvaa säteilyä sekä anodimateriaalille ominaista säteilyä (spektrin terävät piikit). Atomin uloimpien elektronien poistamiseen
LisätiedotFysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1
Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)
LisätiedotAlikuoret eli orbitaalit
Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Alkuaineen kemialliset ominaisuudet määräytyvät sen ulkokuoren elektronirakenteesta. Seuraus: Samanlaisen ulkokuorirakenteen omaavat alkuaineen ovat kemiallisesti sukulaisia
LisätiedotLuku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Elektronien liike on hyvin
LisätiedotATOMIFYSIIKAN LUKIO-OPETUKSESTA JA JALOKAASUJEN TUTKIMISESTA ELEKTRONISPEKTROSKOPIAA KÄYTTÄEN
ATOMIFYSIIKAN LUKIO-OPETUKSESTA JA JALOKAASUJEN TUTKIMISESTA ELEKTRONISPEKTROSKOPIAA KÄYTTÄEN PRO GRADU -TUTKIELMA MARJUT PARRILA OULUN YLIOPISTO FYSIKAALISTEN TIETEIDEN LAITOS 005 Sisällysluettelo 1.
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotLuento 11. Elektronin spin
Elektronin spin Luento 11 Spektrimittaukset osoittivat, että energiatasot jakautuvat todellisuudessa useampaan kuin normaalin Zeemanin ilmiön ennustamaan kolmeen. Ruvettiin puhumaan anomaalisesta Zeemanin
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotS Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä)
S-.7 Fysiikka III (st), VK 8.5.008 Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä). Näytä, että sekä symmetrinen aaltofunktio ψn( x ) ψn ( x) + ψn( x) ψn, että antisymmetrinen aaltofunktioψn( x)
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotLuku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 10: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Molekyylien elektronirakennetta
LisätiedotLukion kemia 6 Kemian kokonaiskuva 1.teema
Lukion kemia 6 Kemian kokonaiskuva 1.teema Kuva: The International Society for the Philosophy of Chemistry (ISPC) - Lehti: Hyle Kurssin sisältö Ylioppilaskirjoitukset Tehtävien jakautuminen Tehtävien luonne
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
Lisätiedot1. Materiaalien rakenne
1. Materiaalien rakenne 1.1 Johdanto 1. Luento 2.11.2010 1.1 Johdanto Materiaalit voidaan luokitella useilla eri tavoilla Kemiallisen sidoksen mukaan: metallit, keraamit, polymeerit Käytön mukaan: komposiitit,
LisätiedotNeutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa
Neutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa Graduseminaari Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto 15.6.2012 Joonas Ilmavirta (JYU) Neutriinot ja cqpa 15.6.2012 1 / 14 Osa 1: Neutriinot
LisätiedotHiilen ja vedyn reaktioita (1)
Hiilen ja vedyn reaktioita (1) Hiilivetyjen tuotanto alkaa joko säteilevällä yhdistymisellä tai protoninvaihtoreaktiolla C + + H 2 CH + 2 + hν C + H + 3 CH+ + H 2 Huom. Reaktio C + + H 2 CH + + H on endoterminen,
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 1 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 2011 1 Ytimen rakenne Luentomonisteen sivulla 3 oleva nuklidien N Z-diagrammi
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotAtomin ydin. Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N
Atomin ydin ytimen rakenneosia, protoneja (p + ) ja neutroneja (n) kutsutaan nukleoneiksi Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N saman
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
Lisätiedot