Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla

Transkriptio

1 Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla (valmiin työn esittely) Henri Tuovila Ohjaaja: VTM Ville Hemmilä Valvoja: Prof. Ahti Salo

2 Sisältö Tausta ja tavoitteet Historiaa COP-malli Copula-funktiot Tulokset Paras copula-funktio Empiirinen esimerkki Yhteenveto ja johtopäätökset Viitteet

3 Tavoitteet Työn tarkoituksena esitellä COP-malli Copula Opinion Pooling Sijoittajanäkemysten ja markkinajakauman yhdistely copulafunktioita hyödyntäen Motivaationa paremman portfolioanalyysityökalun käyttöönotto Ei-normaaliset markkinajakaumat Sijoittajanäkemysten huomioiminen Aineistona CAC 40- ja DAX-indeksit Alkuperäinen suunnitelma korkokäyrän mallintamisesta COPmallin avulla osoittautui liian haastavaksi

4 Historiaa Markowitz 1952 (moderni portfolioteoria) Tuotto-varianssi optimointi Normaalisuus, lineaarinen korrelaatio Black-Litterman malli 1992 Subjektiiviset sijoittajanäkemykset Normaalisuus, lineaarinen korrelaatio Meucci: COP-malli (Copula Opinion Pooling) 2006 Subjektiiviset sijoittajanäkemykset Copula-funktiot korrelaation sijaan Ei normaaliusoletusta

5 COP-malli M~f M Markkinajakauma P = P P Sijoittajanäkemykset P, täydennys P V Prior = M Prior P Kannanvaihto F k = c k F k + 1 c k F k, k = 1,2, K (tässä k = 1,2) Näkemysten lisääminen markkinajakaumaan Luottamustaso c k [0,1] F k V Prior V Post interp(c; F k, V Prior ), Copula ei muutu M Post = V Post P Painotettu markkinajakauma

6 Copula-funktiot: kaavoina Satunnaismuuttujat (X 1, X 2 ) Marginaalijakaumien kertymäfunktiot F i x = P X i x Muunnos U 1, U 2 = (F 1 x 1, F 2 (x 2 )) Copula: C u 1, u 2 = P U 1 u 1, U 2 u 2 Sklar n teoreema F x 1, x 2 = C F 1 x 1, F 2 x 2 Esimerkki: Gaussin Copula C Σ (u 1, u 2 ) = Φ Σ (Φ 1 (u 1 ), Φ 1 (u 2 )) T-copula, Arkimeediset copulat (Gumbel, Clayton )

7 Copula-funktiot: kuvina A. Meucci. A Short, Comprehensive, Practical Guide to Copulas saatavissa: (viitattu )

8 Tulokset geneerinen esimerkki osaketuottojakaumilla CAC 40-indeksi ja DAX-indeksi Indeksien tuottojakaumien normaalisuus? Eivät ole normaalisia Marginaalijakaumien mallinnus ydinestimaatein Minkälaiset jakaumat olisivat perusteltuja asiantuntijanäkemyksinä? Yksinkertaisuuden vuoksi tasajakauma vain toiselle tuottoindeksille P matriisiksi valitaan triviaali yksikkömatriisi

9 Tulokset riippuvuutta parhaiten kuvaava copula-funktio Estimoitiin SU-menetelmällä erilaisten copulafunktioiden parametrit Verrattiin mikä sovitteista vastaa parhaiten empiiristä dataa nk. L 2 -normilla d 2 C E, C = C E C L 2 Parhaat sovitteet: t-copula, Gaussinen copula Huonoimmat: synteettiset Clayton, Frank ja Gumbel Copula T (ν, ρ) Gauss (ρ) Clayton (θ) Frank (θ) Gumbel (θ) Parametri (4.94,0.85) L 2 -normi

10 Tulokset riippuvuutta parhaiten kuvaava copula-funktio

11 Tulokset näkemyksien mukaan muokatut jakaumat Lopputulos: näkemyksien mukaan painotetut jakaumat, joita voisi käyttää lähtökohtana esimerkiksi portfolion optimointiin

12 Tulokset Prior-, näkemys- ja posteriorjakaumat CAC 40-indeksin Prior, näkemys ja posterior samaan kuvaan piirrettynä Luottamustaso c = 0.2 Jakauma Prior Posterior Ka Hajonta Vinous Huipuk

13 Huomioita Simuloidusta copula-funktiosta yhteisjakaumaan marginaalifunktioiden ydinestimaateilla Voitaisiin myös sovittaa jokin jakauma, esim normaali- tai t- jakauma Ydinestimaatti: ei tarvitse tehdä jakaumaoletusta Normaalijakaumaoletus ja normaaliset näkemykset: yhtenevyys Black-Litterman -mallin kanssa

14 Yhteenveto ja kritiikki COP-menetelmällä voidaan yhdistää sijoittajan subjektiiviset näkemykset neutraaliin markkinajakaumaan Osaketuottojakaumat eivät ole normaalisia Hienostuneempien mallien (vrt. Markowitz) tutkiminen perusteltua Copula-funktiot eivät ole dynaamisia Jatkotutkimuskohteita Markkinanäkemysten muodostaminen Portfolion optimointi posterior-jakaumien perusteella Copula-funktion valinta

15 Lähteet F. Black ja R. Litterman. Global Portfolio Optimization. Financial Analysts Journal, 28-43, V. Durrleman, A. Nikeghbali ja T. Roncalli. Which Copula is the right one H. Markowitz. Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1):77-91, A. Meucci. Beyond Black-Litterman: Views on non-normal markets. Risk Magazine, 2005 M. Stein, R. Fuss ja W. Drobetz. Fixed-income portfolio allocation including hedge fund strategies: A copula opinion pooling approach. The Journal of Fixed Income, 2009