2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.

Transkriptio

1 2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin: f() = f 0 (22) Intuitiivisesti raja-arvon käsite on varsin selvä Matemaattisesti se määritellään seuraavasti: funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0, jos ǫ δ > 0 siten että f() f 0 < ǫ jos 0 < 0 < δ Tässä merkintä : kaikille, : on olemassa Eli: f on mielivaltaisen lähellä f 0 :aa, jos on riittävän lähellä 0 :aa Raja-arvo on selkeä esim tapauksissa 2 + = 2, = 0, sin = sin π/4 = / 2, π/4 a e = 0, a R (Huom: eksponenttifunktio pesee minkä tahansa potenssin!) Kavalia ovat esim tapaukset jotka lähenevät muotoa Esim: 0 0, 0,,, 00, = = 2 (23) 4 Suurin potenssi voittaa kun (vastaavasti pienin jos 0) Usein raja-arvojen laskemisessa auttavat seuraavat approksimaatiot, kun on pieni: sin = O( 5 ) (24) cos = O( 4 ) (25) ( + ) a = + a + O( 2 ) (26) ln( + ) = + O( 2 ) (27) e = + + O( 2 ) (28) Tässä merkintä O( n ) tarkoittaa että kaikissa lopuissa termeissä :n potenssi on vähintään n Esim + = + /2 + O( 2 ) Esim sin 0 = 0 3 /6 + O( 5 ) = 0 ( 2 /6 + O( 4 )) = Määritellään vielä oikeanpuoleinen raja-arvo: f 0 = f() (29) + tai f() f 0, kun 0 + Merkintä tarkoittaa että lähestyy arvoa 0 oikealta (positiiviselta) puolelta Vastaavasti vasemmanpuoleinen: f 0 = f() (20) Eli lähestyy arvoa 0 vasemmalta (negatiiviselta) puolelta Epäjatkuvalla funktiolla oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen raja-arvo voivat olla erilaiset: Esim askelfunktio eli Heavisien funktio: θ() =, > 0 /2, = 0 0 < 0 (2) Ilmeisesti 0+ θ() =, mutta 0 θ() = 0 Huom: askelfunktiolla ei ole tavallista raja-arvoa pisteessä = 0! Huom: merkitään myös ilmeiset raja-arvot 0+ =, 0 =, = 22 Jatkuva funktio Funktio f() jatkuva pisteessä 0, jos f on määritelty jossain pisteen 0 ympäristössä ja f() = f( 0 ) (22) Fysiikassa funktiot ovat jatkuvia (melkein) kaikkialla Esim Heavisien askelfunktio (2) ei ole jatkuva pisteessä = 0, mutta on jatkuva kaikissa pisteissä 0 Esim Funktio f() = / 2 ei ole jatkuva pisteessä = 0 (ei ees määritelty) Raja-arvoille pätevät myös seuraavat ominaisuuet: jos funktioilla f() ja g() on raja-arvot kun 0, niin [f() + g()] = f() + g() [f()g()] = f() g() [f()/g()] = f()/ g() missä viimeisin eellyttää että 0 g() 0 0

2 23 Derivaatan määritelmä Funktion f() erivaatalla f ( 0 ) pisteessä 0 tarkoitetaan raja-arvoa f ( 0 ) = f() f( 0 ) 0 (23) = h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h (24) Geometrisesti erivaatta on funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin erivointipisteessä N N N N! = O B N B N J = = Kuva 2 Derivaatan geometrinen tulkinta Määritelmässä (24) ei ole spesifioitu lähestymissuuntaa, ts voi olla joko > 0 tai < 0 Molempien lähestymistapojen täytyy johtaa samaan lopputulokseen Raja-arvo (24) ei välttämättä aina ole yksikäsitteinen tai sitä ei ole olemassa Tällaisessa tapauksessa erivaattaa ei ole määritelty Jos raja-arvo (24)on (yksikäsitteisenä) olemassa, sanotaan, että funktio on erivoituva pisteessä 0 Esim funktio f() = on jatkuva kaikilla R Jos > 0, on f f(y) f() () = =, y y ja vastaavasti jos < 0 on f() = Pisteessä = 0 ei raja-arvoa ole olemassa (on vain vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot), eikä ole erivoituva pisteessä = 0 Merkintöjä Olkoon y = f() jokin erivoituva funktio Derivaattaa f () merkitään usein myös f () = y = f() f() = = Dy = Df() Monesti jätetään funtion f argumenttikin merkitsemättä Kun halutaan painottaa, että erivaattafunktio f () halutaan laskea nimenomaan pisteessä 0, merkitään joskus f ( 0 ) = f() = 0 Kun kyseessä on erivointi ajan suhteen, käytetään fysiikassa usein merkintää f(t) = ḟ(t) t Leibnitzin merkintätapa f funktion muutos muuttujan muutos on intuitiivisin: kun muutos 0 Huom: f () = 0: funktio vaakasuora pisteessä f () = : funktion kulmakerroin = (45 ) pisteessä ) f () : funktio lähestyy pystysuoraa 24 Derivaattojen lasku Derivaatta suoraan määritelmästä Lasketaan esimerkiksi potenssifunktion f() = n erivaatta Määritelmän mukaan erivaatta f () on raja-arvo f f(y) f() () = y y = f( + ) f() Tässä tapauksessa on siis laskettava raja-arvo f () = ( + ) n n Käyttäen ( + δ) a = + aδ + O(δ 2 ) (26) saamme ( + ) n = n ( + )n = n [ + n + O(( )2 )] joten ( + ) n n = [nn + n O( )] = n n Siis saimme n = nn Käsitellään toisena esimerkkinä funktion f() = sin erivaatan laskua Nyt sin( + ) = sin cos + cos sin, joten erivaatan määritelmän mukaan on f () = sin( + ) sin sin cos + cos sin sin = = [ sin cos + cos ] sin, missä olemme käyttäneet sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja Pienillä argumentin arvoilla trigonometriset funktiot käyttäytyvät kuten (24,25): sin δ = δ 6 δ3 + O ( δ 5) cos δ = 2 δ2 + O ( δ 4),

3 joten ja cos sin Derivaataksi saamme siis 2 = ()2 + O ( () 4) = O () = 0 O ( () 3) = [ ( = O () 2 )] = sin = cos Trigonometristen funktioien yhteenlaskukaavoja Sini- kosinifunktiot toteuttavat yhteenlaskukaavat sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y Koska tan = sin cos, voiaan tangentin yhteenlaskukaava kirjoittaa mm muotoon tan( + y) = sin cos y + cos sin y cos cos y sin sin y = tan + tan y tan tan y Erikoistapauksena saaaan kaksinkertaisille kulmille kaavat sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 tan 2 = Pythagoraan lauseen perusteella on 2 tan tan 2 sin 2 + cos 2 y = Kaksinkertaisen kulman kosini voiaan siten kirjoittaa myös muotoihin cos 2 = 2 cos 2 = 2 sin 2 Muutamien tavallisimpien funktioien erivaattoja on esitetty taulukossa f() Df() c (vakio) 0 n e n n e ln / (25) sin cos cos sin tan /cos 2 = + tan 2 Derivaatan laskusääntöjä Olkoot f ja g erivoituvia funktioita ja a ja b vakioita Tällöin on voimassa [af() + bg(y)] = af () + bg () (26) Derivointi on lineaarinen operaatio Funktioien tulo f()g() erivoiaan kuten [f()g()] = f ()g() + f()g () (27) ja osamäärä f()/g() kuten f() g() = f ()g() f()g () g 2 (28) () Tulon erivointi Osoitetaan tulon erivoimissääntö Suoraan erivaatan määritelmästä nähään Nyt (f()g()) f( + h) f() = hf () + O(h 2 ) = h 0 f( + h)g( + h) f()g() h (f() + hf ())(g() + hg ()) f()g() + O(h 2 ) = h 0 h h(f ()g() + f()g ()) + O(h 2 ) = h 0 h = f ()g() + f()g () Yhistetyn funktion f(g()) erivointiin soveltuu ketjusääntö f(g()) = f (g())g () (29) Tämä tulee erityisen selväksi käyttäen Leibnitzin notaatiota: jos merkitään y = f(z) ja z = g(), saaaan y f(g()) = = y z z y = f (g())g () Tämän avulla nähään muun muassa että Esimerkkejä: [f()]µ = µ[f()] µ f () ef() = e f() f () ln f() = f () f() 2 e = e 2 2 = e 2 2 2

4 sin e = cos(e ) e = cos(e )e = e ln = e ln ln = ( ln + ) = ( + ln ) Käänteisfunktion erivaatta Olkoon meillä funktion y = f(), käänteisfunktio = f (y) Nyt käänteisfunktion erivaatta saaaan funktion erivaatan avulla seuraavasti: Df (y) = f (f (y)) = f () (220) Leibnitzin notaatiolla tämä on yksinkertaisesti y = y (22) (miten toistetaankin käänteisfunktion erivoimissääntö, kun ajatellaan raja-arvoja, y) Esim Johetaan logaritmin erivoimissääntö Nyt y = e, = ln y: ln y y = y = y = e tai D ln y = /(De ) = /e = /y Sa Syklometriset funktiot Trigonometrisillä funktioilla ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiota Esimerkiksi yhtälön sin = 2 = e = y ratkaisee mikä tahansa äärettömän joukon { π = 6 + 2nπ 5π 6 + 2nπ, n kokonaisluku luvuista Kun rajoitetaan sinin argumentti välille π 2 π 2, on yhtälöllä sin = a yksikäsitteinen ratkaisu, jota nimitetään arkussiniksi ja merkitään = arcsin a, π 2 π 2 Arkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonka arvoalue on rajoitettu välille π 2 + π Kosinilla puolestaan on 2 yksikäsitteinen arkuskosiniksi sanottu käänteisfunktio, kun rajoitetaan kosinin argumentti välille 0 π Tästä käytetään merkintää = arccos z, 0 π Tangentin käänteisfunktio on nimeltään arkustangentti Sen arvoalue on y = arctan, π 2 y π 2 Koska sinin ja kosinin arvoalueet kattavat välin [, ], voivat arkussinin ja arkuskosinin argumenttit olla väillä [, ] Arkustangentin argumentti taas voi olla mikä tahansa reaaliluku, sillä tangentin arvoalueena on koko reaaliakseli Joskus halutaan määritellä trigonometristen funktioien käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim halutaan että z = arcsin antaa kaikki ne arvot z, joilla sin z = Tällöin arvoalueelle π 2 arcsin π rajattua arkussiniä sanotaan ko 2 funktion päähaaraksi Päähaarasta käytetään merkintää arcsin Vastaavat nimitykset ja merkinnät ovat käytössä muillekin trigonometrisille käänteisfunktioille Trigonometristen funktioien käänteisfunktioita sanotaan syklometrisiksi funktioiksi tai useimmiten niien nimen mukaisesti tuttavallisesti arkus-funktioiksi Lasketaan esimerkkinä funktion arcsin erivaatta Nyt arcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts jos = sin y niin y = arcsin Säännön (220) perusteella on D arcsin = D sin y = cos y Trigonometristen funktioien ominaisuuksien perusteella voiaan kirjoittaa cos y = sin 2 y = 2, joten saamme Samoin voiaan osoittaa arcsin = 2 (222) arctan = + 2 (223) Kaavat (222,223) ovat hyöyllisiä integraalien laskuissa 25 Korkeamman kertaluvun erivaatat Jos funktion f() erivaatta f () on myöskin erivoituva, voimme laskea senkin erivaatan: Df () = f ( + ) f () (224) Sanomme, että funktio f() on kahesti erivoituva ja suure Df () funktion f() toinen erivaatta Jos vielä tämä toinen erivaattakin on erivoituva, voisimme eelleen määrätä sen erivaatan DDf () jne Vastaavasti funktion sanotaan tällöin olevan kolmesti,, n kertaa, erivoituva ja puhutaan kolmansista,, n:stä erivaatoista Merkintöjä Olkoon funktio f() n-kertaisesti erivoituva Sen n:ttä erivaattaa merkitään mm kuten f (n) () = D n f() = n f() n Alhaisen kertaluvun erivaatoista voiaan myös käyttää sellaisia merkintöjä kuin f (2) () = f () = DDf() Jos kyseessä on erivointi ajan suhteen, merkitään usein 2 f(t) t 2 = f (t) 3

5 N N 26 Sovelluksia Differentiaalilaskennan lukemattomista käyttökohteista käsitellään muutamia fysiikan kannalta ehkä tärkeähköjä sovelluksia Suureien muoostus Intuitiivisesti nopeuella ymmärretään aikayksikössä kuljettua matkaa Matemaattisen täsmälliseksi nopeuen käsite saaaan määrittelemällä se rajarvona v(t) = t 0 (t + t) (t), (225) t kun oletetaan tarkasteltavan objektin liikkuvan pitkin -akselia ja sen olevan paikassa (t) hetkellä t Derivaatan määritelmästä (24) nähään, että nopeus v(t) hetkellä t on v(t) = (t) t = ẋ(t) (226) Kiihtyvyys puolestaan on nopeuen muutos aikayksikössä Derivaattojen avulla ilmaistuna on siis pitkin -akselia liikkuvan kappaleen kiihtyvyys a kirjoitettavissa kuten a(t) = v(t) t = 2 (t) t 2 = v(t) = ẋ(t) (227) Muista lukemattomista erivaattojen avulla määritellyistä fysiikan käsitteistä mainittakoon vaikkapa sähkövirta I = Q t sähkövarauksen Q muuttuessa ajan t funktiona tai teho Väliarvolause Tarkasti ottaen on voimassa ns väliarvolause: Olkoon f erivoituva funktio Tällöin pisteien ja + välissä on olemassa sellainen piste 0 että f ( 0 ) = f( + ) f() Lauseen mukaan on siis tarkasti voimassa f( + ) = f() + f ( 0 ), missä < 0 < + (olettaen, että > 0) Esim sin kun on pieni Kaavan (228) mukaan on sin sin 0 = cos 0 = Esim Newton-Raphsonin menetelmä Tehtävänä on etsiä funktion f() nollakohta, ts ratkaista yhtälö f() = 0 Oletetaan, että f() on erivoituva Olkoon 0 jokin likiarvo ratkaisulle (saatu esim arvaamalla tai piirtämällä funktion kuvaaja) Approksimoiaan funktiota pisteen 0 läheisyyessä (ks kuva 22) lineaarisella kuvaajalla f() f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Tämän suoran ja -akselin leikkauspiste = 0 f( 0) f ( 0 ) on (yleensä) parempi nollakohan likiarvo kuin alkuperäinen 0 B N P = W t, missä W on hetkeen t mennessä tehty työ tai, kolmantena esimerkkinä kappaleen tilavuuen V muutoksesta aiheutuvasta paineen P muutoksesta kertova puristusmouuli (kompressibiliteetti) N N B = V Approksimaatio Derivaatan määritelmästä (24) P V f f( + ) f() () = voiaan ratkaista f( + ) likimääräisesti: f( + ) f() + f () (228) Tämä relaatio on sitä tarkempi mitä pienempi on Kuva 22 Newton-Raphsonin iteraatio Toistetaan sama menettely käyttäen pistettä lähtöarvona, jolloin saaaan taas (toivottavasti) parempi likiarvo 2 Jatketaan samalla tavoin iteroien, ts lasketaan likiarvosta n likiarvo n+ = n f( n) f ( n ), niin kauan kunnes f( n ) on halutulla tarkkuuella nolla tai kunnes n+ poikkeaa riittävän vähän eellisestä arvosta n 4

6 N Ääriarvot Funktion maksimikohta on sellainen piste, että poistuttaessa siitä mihin tahansa suuntaan funktion arvo pienee Vastaavasti minimikohasta poistuttaessa funktion arvo kasvaa Maksimi (minimi) on paikallinen eli lokaali, jos funktiolla on muita arvoltaan tätäkin suurempia (pienempiä) maksimeja (minimejä) Jos kyseessä on funktion suurin (pienin) arvo, puhutaan globaalista tai absoluuttisesta maksimista (minimistä) Esim kuvassa 23 minimi kohassa 0 ja maksimi kohassa ovat paikallisia Kohan 2 minimi saattaisi olla globaali B N N N N N! Kriittiset pisteet saaaan asettamalla f () = 0, ts ratkaistaan yhtälö 2 2 ( ) = 0 Kriittiset pisteet ovat siten 0 ja Funktion toinen erivaatta on f () = , joten f (0) = 0 ja f () = 2 Piste on siis minimi mutta piste 0 ei ole maksimi eikä minimi l Hospitalin sääntö Hyvin monesti raja-arvoja laskettaessa pääytään muotoa 0/0, / tai 0 oleviin lausekkeisiin Jos kyseessä ovat erivoituvat funktiot, voiaan useimmiten soveltaa l Hospitalin sääntöä Jos f () a g () = A ja jos joko f() 0 ja g() 0 kun a Kuva 23 Funktion ääriarvot Derivoituvan funktion f() ääriarvokohissa, ts maksimeissa ja minimeissä funktion tangentti on -akselin suuntainen (ks kuva 23) eli Derivoituvan funktion erivaatta ääriarvopisteissä on nolla Tarkasti ottaen erivaatta häviää sellaisissa ääriarvopisteissä, jotka sijaitsevat funktion määrittelyalueen sisällä Jos esim funktio f() on määritelty siten, että f() = 2, kun, maksimit (arvoltaan ) sijaitsevat reunapisteissä = ± Pisteitä, joissa erivaatta häviää sanotaan kriittisiksi pisteiksi Derivaatan häviäminen on siis ääriarvon välttämätön ehto Se ei kuitenkaan ole riittävä Esim kuvassa 23 kohan 3 vasemmalla puolen funktio on pienempi ja oikealla puolen suurempi kuin pisteessä 3 Jos funktio on kahesti erivoituva, voimme toisesta erivaatasta päätellä kriittisen pisteen luonteen: siirryttäessä maksimikohan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen erivaatta pienenee, ts toinen erivaatta on negatiivinen, siirryttäessä minimikohan yli vasemmalta oikealle ensimmäinen erivaatta kasvaa, ts toinen erivaatta on positiivinen, jos toinen erivaatta on nolla kriittisessä pisteessä, kyseessä ei ole maksimi eikä minimi Esim Funktion f() = kriittiset pisteet Derivaatta on nyt f () = = 2 2 ( ) tai niin Perusteluja g() ± kun a, f() a g() = A Tarkastellaan esimerkkinä tapausta, missä a on äärellinen ja missä sekä f(a) = 0 että g(a) = 0 Voimme siis kirjoittaa f() a g() f() f(a) = a g() g(a) [f() f(a)]/( a) = a [g() g(a)]/( a) = a[f() f(a)]/( a) a[g() g(a)]/( a) = f () g () jos erivaatat ovat olemassa Esim 0 sin / Sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nollaa argumentin lähestyessä nollaa ja funktiot ovat erivoituvia Voimme siis soveltaa l Hospitalin sääntöä: sin 0 = cos = 0 = Esim 0 sin 2 2/ 2 l Hospitalin sääntö on ilmeisestikin sovellettavissa ja saamme sin sin 2 cos = 0 2 sin 2 2 = 2 cos 2 = 2sin 0 0 5

7 Pääymme siten eelleen muotoa 0/0 olevaan lausekkeeseen Sovelletaan tähän uuelleen l Hospitalin sääntöä, jolloin saaaan 2 cos 2 2sin = 4 = Esim 0+ ln Tässä merkintä 0+ tarkoittaa, että lähestyy nollaa positiiviselta puolelta Tämä rajoitus on asetettu, jotta logaritmifunktio olisi määritelty Nyt 0 ja ln, joten l Hospitalin säännön soveltamiseksi kirjoitetaan raja-arvo muotoon ln = ln Nyt sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät ääretöntä ja l Hospitalin sääntö on jälleen käyttökelpoinen: ln = = ( ) = 0 0+ Hieman ryhmittäen voiaan kirjoittaa ( + cos(y)) y = y cos(y), josta saamme erivaataksi y = y cos(y) + cos(y) Parametrisesti annetun funktion erivaatta Esim = cos t ja y = sin t määrittelee parametrisesti funktion (yksikköympyrän kaari) y() (kun 0 t π) Yleisemmin: olkoon annettu = g(t) ja y = f(t) = f(g ()) Nyt ketjusäännön mukaan y = f (t) g = f (t) g (t) = y (t) (t) Tai yksinkertaisesti y y = t t (23) (232) Implisiittinen erivointi Joskus funktiota y() määritellään esim eholla F (, y) = F (, y()) = c, (229) missä c on vakio Periaatteessa tästä yhtälöstä voitaisiin (ehkä) ratkaista muuttuja y Tämä ratkaisu riippuisi tietenkin muuttujasta Voimme siis ajatella, että yhtälö (229) määrää implisiittisesti funktion y() Funktion y() erivaatta voiaan usein ratkaista suoraan erivoimalla ehtoa F : F (, y()) = 0 (230) ja ratkaisemalla y () Esim Tason origokeskeinen ympyrä 2 + y 2 = a 2 määrittelee implisiittisesti funktion y()nyt (2 + y() 2 ) = 2 + 2y()y () = 0 y () = /y mikä on ympyrän tangentin kulmakerroin Esim Muoosta implisiittisesti erivaatta y yhtälöstä sin(y) + y = Tässä tapauksessa siis F (, y()) = sin(y) + y = 0, ja F (, y()) = = 0 = cos(y) (sin(y) + y ) ( y + y ) + y Ympyrälle siis y = cos t sin t = 2 6