Moniston tangenttiavaruus

Transkriptio

1 Moniston tangenttiavaruus Juho Linna 16. tammikuuta

2 1 Monistot Käytän Jänichin kirjan merkintöjä ja pyrin mainitsemaan eroavaisuudet Manfredon merkintöihin sitä mukaa kun niitä ilmenee. Olkoon X topologinen avaruus. n-ulotteinen kartta h on homeomorfismi avoimelta joukolta U X avoimelle joukolle U R n. Koska karttaan liittyvä määrittelyalue U on tärkeä, merkitään karttaa parilla (U, h). (Manfredo käyttää tässä toisen suuntaista kuvausta, parametrisointia (U α, x α ), avoimelta joukolta U α R n monistolle M.) Olkoot (U, h) ja (V, k) X:n n-ulotteisia karttoja. Kartanvaihtokuvaus h:lta k:lle on homeomorfismi k (h 1 h(u V ) ). Jos kartanvaihtokuvaus on diffeomorfismi (eli sekä kuvaus että käänteiskuvaus ovat C ), kartat ovat keskenään differentoituvat. X:n n-ulotteisten karttojen joukko, joka peittää koko X:n ja jonka kartat ovat keskenään differentoituvat, on X:n n-ulotteinen sileä atlas. Avaruuden X maksimaalinen n-ulotteinen sileä atlas on X:n n-ulotteinen sileä struktuuri. (n-ulotteinen sileä) monisto on pari (M, D), missä M on Hausdorffin avaruus, jonka topologialla on numeroituva kanta, ja D on M:n n-ulotteinen sileä struktuuri. (Manfredon määritelmässä M:lle ei aseteta Hausdorff- ja numeroituvuusvaatimuksia, mutta muilta osin se on sama. Nämä vaatimukset poistavat joitain ikäviä erikoistapauksia, ks. Burns s. 11) Olkoon f : M N jatkuva kuvaus ja (U, h) ja (V, k) karttoja s.e. p U M ja f(u) V N. Kuvaus f on sileä pisteessä p jos palautettu kuvaus := k f h 1 on sileä pisteessä h(p). Vastaavasti f on sileä jos se on sileä jokaisessa pisteessä p M. (Jatkuvuus vaaditaan jotta aina voitaisiin valita sopivat kartat.) Palautetun kuvauksen k f h 1 Jacobin matriisi ei ole riippumaton karttojen valinnasta, mutta sen rangi on. Siksi sileän kuvauksen f : M N rangiksi määritellään kyseinen Jacobin matriisin rangi ja sitä merkitään rk p f. Piste p M on kuvauksen f säännöllinen piste, jos rk p f = dim(n). (outoja faktoja: Burns s. 19) (Whitneyn upotuslause: Jokainen n-ulotteinen monisto on diffeomorfinen jollekin R 2n+1 :n suljetulle alimonistolle.) 2 Tangenttiavaruuden kolme määritelmää Määritellään moniston tangenttivektori ja -avaruus kolmella eri tavalla, joita nimitetään geometriseksi, algebralliseksi ja fyysikkoiseksi määritelmäksi. Jatkos- 2

3 sa M on n-ulotteinen monisto, (U, h) ja (V, k) ovat sen karttoja s.e. p U ja p V. Geometrisessa versiossa moniston tangentit pisteessä p määritellään p:n kautta kulkevien käyrien avulla. Olkoon K p (M) niiden monistolla M olevien sileiden käyrien α joukko, joilla α(0) = p. Käyrät α, β K p (M) ovat ekvivalentit pisteessä p, merkitään α β, jos (h α) (0) = (h β) (0) R n. Huom: jos ehto on voimassa jollain kartalla (U, h), on se voimassa kaikilla kartoilla (jotka sisältävät p:n.) Määritelmä 1 (Geometrinen) Ekvivalenssiluokkia [α] K p (M)/ sanotaan moniston M tangenttivektoreiksi pisteessä p ja niiden joukkoa tangenttiavaruudeksi (p:ssä). Tp geo M := K p (M)/ Algebrallisen määritelmän ideana on, että R n alimoniston tangenttivektori v ja sen määräämä suuntaisderivaatta ovat 1-1 vastaavuudessa, joten yleisen moniston tapauksessa tangenttivektoriksi otetaan suuntaisderivaattaoperaatio. Sileitä reaaliarvoisia funktioita f, g, jotka on määritelty monistolla M jossakin pisteen p ympäristössä, sanotaan (tämän määritelmän ajan) ekvivalenteiksi jos jossakin p:n ympäristössä f g. Näin syntyneitä ekvivalenssiluokkia kutsutaan (M:n sileiksi) funktioviuhkoiksi (p:ssä), merkitään E p (M). Sekä funktiota että sen viuhkaa merkitään jatkossa f:llä. Lineaarista kuvausta v : E p (M) R, jolle on voimassa tulon derivointisääntö sanotaan derivoinniksi (p:ssä). v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) Määritelmä 2 (Algebrallinen) Derivointien E p (M) R joukkoa sanotaan M:n tangenttiavaruudeksi p:ssä, merkitään Tp alg M, ja sen alkioita tangenttivektoreiksi. 3

4 Fysiikassa asiat esitetään usein koordinaattimuodossa tiettyä esitystapaa käyttäen (Ricci calculus). Tällöin vektori esitetään usein muodossa v µ := (v 1,..., v n ), ja tangenttivektoriksi sanotaan kontravarianttia vektoria, joka muuntuu (koordinaatistosta toiseen?) kaavan ṽ µ = xµ x ν vν mukaan (kuva s. 31). Meidän merkintöjä käyttäen, määritelmä näyttää seuraavalta. Määritelmä 3 (Fyysikkoinen) Olkoon D p (M) niiden karttojen joukko, jotka sisältävät p:n. Kuvausten v : D p (M) R n joukkoa, joilla on kartanvaihto-ominaisuus v(v, k) = d(k h 1 ) h(p) v(u, h) sanotaan M:n tangenttiavaruudeksi p:ssä, merkitään Tp fyy M, ja sen alkioita tangenttivektoreiksi. 3 Examples of manifolds If we want to define a manifold in the form given by the definition itself, namely as a pair (M, D), where D is a smooth structure on M, it can be tough. The following lemma brings some hope. Lemma 1 Each smooth atlas is contained in a unique maximal smooth atlas. So now it makes sense to just talk about D as the smooth structure generated by some smaller atlas. The most obvious example of a manifold is (R n, D({Id n })), where D({Id n }) is the smooth structure generated by the identity map on R n. However, in the general case, this method of forming manifolds is not practical. First a few definitions. Let M be n-dimensional manifold. If f : M N is a smooth map between manifolds, then p M is a regular point of f if rk p f = dim(n). The value f(p) is then called a regular value of f. Point p that is not regular is called critical point, and in that case the value f(p) is called critical value of f. 4

5 A subspace(?) M 0 M is a k-dimensional submanifold if around every point of M 0 there is a chart (U, h) on M with h(u M 0 ) = R k h(u) (called flattener for M 0 in M). The number n k is called codimension of M 0 in M. Submanifold M 0 inherits structure (charts, smooth atlas, hausdorff property) canonically from M. The next theorem, called Regular Value Theorem, is useful in constructing examples of manifolds. And maybe for some other things too. Theorem 2 If q is a regular value of a smooth map f : M N, then its preimage f 1 (q) M is a submanifold whose codimension is equal to the dimension of N. For example, the map f : R n R : x x 2 has rank 1 except at x = 0. 1 is a regular value of f, so by the Regular Value Theorem the preimage f 1 (1) is a submanifold of R n with dimension n 1. This is the n-sphere. Similarly the map f : R n R : x x x 2 2 x 2 3 is singular only at x = 0 and every nonzero c R is a regular value. The preimage f 1 (c) is a hyperboloid. Let M := M(n, R) be the space of real n n matrices, which is a n 2 - dimensional real vector space and thus also a n 2 -dimensional manifold. The general linear group GL(n, R) (the set where the determinant function is nonzero) is an open subset of M(n, R), so it is also a n 2 -dimensional manifold. Let N := S(n, R) be the subspace of symmetric matrices, which is 1 2n(n + 1)- dimensional. Let f : M(n, R) S(n, R) : A A T A. Now the identity matrix is a regular value of f, hence the orthogonal group O(n) := {A M(n, R) A T A = I} is a 1 2n(n 1)-dimensional submanifold of M(n, R). The special orthogonal group SO(n) := {A O(n) det(a) = 1} 5

6 is also a 1 2n(n 1)-dimensional submanifold of M(n, R), because it is open in O(n). New manifolds can also be formed as sums, products or quotients of manifolds. A well known example of a product manifold is a torus S 1 S 1, which can be thought of as the product of two one-spheres. An example of a quotient manifold is real projective space RP n := S n / Id, where the involution Id gives rise to the equivalence relation x x. 6

7 Given any topological manifold with dim(m) < 4, its smooth structures are all mutually diffeomorphic. Jänich: alg (+ geo, fyy, sub) Manfredo: alg (ei "germ") Burns: geom (+ ekvivalenssi, alg) Lee: alg 7

8 Viitteet [1] Klaus Jänich: Vector Analysis [2] Keith Burns, Marian Gidea: Differential Geometry and Topology [3] Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry [4] John M. Lee: Riemannian Manifolds [5] John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds 8