Markovin ketju, L26b. Populaatio ja siirtymätodennäköisyydet. Tasapaino. Markovin ketju. Aiheet. Populaatio ja. Mallin rakentaminen

Transkriptio

1 , L26b

2 Teemme mallin markkinaosuuden kehityksestä. Kaupungissa on taloutta, jotka ostavat kerran päivässä litran laktoositonta maitoa. Tarjolla on ollut kaksi perinteistätuotemerkkiä. A-lakto, jota käyttää 8000 taloutta ja Himalaya, jota käyttää 2000 taloutta. Tuomme markkinoille kolmannen tuotemerkin NouLa, jonka käyttäjämäärä alussa on 0. Kun NouLa on tuotu kauppoihin, alkaa markkinaosuuksien vähittäinen muuttuminen. Tämän dynamiikan kuvaamme seuraavaksi.

3 Jaamme asiakaspopulaation kolmeen segmenttiin N, A ja H. N 0 A 8000 H 2000 Eri segmenttien välillä tapahtuu, siirtymiä seuraavasti:

4 Kirjaamme ensin tutkittua tietoa: A-lakto -tuote on kahdesta perinteisestä parempi. Sen käyttäjistä 95% on ostanut seuraavallakin kerralla samaa tuotetta ja 5% ostanut toista tuotetta. (5% A:n käyttäjistä on kyllä harkinnut vaihtamista, mutta eivät sitä tee, koska tietävät H:n huonommaksi.) Himalaya :n käyttäjistä 80% on pysynyt ja 20% on vaihtanut. kuvaan on merkitty siirtymä-todennäköisyydet ja siirtyjien määrät A 8000 (400), p HA = 0,20 H 2000 p AH = 0,05, (400)

5 Teemme seuraavaksi arvioita uudesta tilanteesta, kun NouLa on juuri tuotu markkinoille: 0,12 0,07 0,08 N: 0 k = 0 A: ,04 0,03 0,01 H: 2000 Yhden askelen (1 päivä) jälkeen eri segmenttien suuruuksien odotusarvot ovat: n1 1 = 0,95 0+0, , = 800 N N A N H N

6 0,12 N: 0 k = 0 0,07 0,04 0,01 A: ,08 0,03 H: 2000 n1 1 = 0,95 0+0, , = 800 N N A N H N n2 1 = 0,04 0+0, , = 7360 N A A A H A n3 1 = 0,01 0+0, , = 1840 N A A A H A

7 0,12 N: 800 k = 1 0,07 0,04 0,01 A: ,08 0,03 H: 1840 n1 2 = 0, , , = 1496 N N A N H N n2 2 = 0, , , = 6803 N A A A H A n3 2 = 0, , , = 1700 N A A A H A

8 Sama Matriisimerkinnöin n1 2 = 0, , , = 1496 N N A N H N n2 2 = 0, , , = 6803 N A A A H A n3 2 = 0, , , = 1700 N A A A H A 0,95 0,07 0, n 2 = 0,04 0,90 0, = ,01 } 0,03 {{ 0,80 } P

9 Jatketaan simulointia 0,12 N: 1496 k = 2 0,07 0,04 0,01 A: ,08 0,03 H: ,95 0,07 0, n 3 = 0,04 0,90 0, = ,01 0,03 0,

10 Jatketaan simulointia 0,12 N: 2102 k = 3 0,07 0,04 0,01 A: ,08 0,03 H: ,95 0,07 0, n 4 = 0,04 0,90 0, = ,01 0,03 0,

11 Toteutamme Excelillä rekursiokaavat n k+1 = P n k, missä 0 0,95 0,07 0,12 n 0 = 8000 ja P = 0,04 0,90 0, ,01 0,03 0,80

12

13 Simulointi osoittaa, että NouLa:n myyntimäärät kasvavat, mutta kasvu tasaantuu noin kuuteen tuhanteen. A-lakto:n ja Himalaya:n myyntiluvut pienenät ja lopulta päädytään tasapainotilanteeseen, jossa siirtyvien asiakastalouksien määrät ovat tasapainossa a kuvaavat yhtälöt { P n = n n 1 + n 2 + n 3 = ,95n 1 + 0,07n 2 + 0,12n 3 = n 1 0,04n 1 + 0,90n 2 + 0,08n 3 = n 2 0,01n 1 + 0,03n 2 + 0,80n 3 = n 3 n 1 + n 2 + n 3 = 10000

14 { P n = n n 1 + n 2 + n 3 = ,95n 1 + 0,07n 2 + 0,12n 3 = n 1 0,04n 1 + 0,90n 2 + 0,08n 3 = n 2 0,01n 1 + 0,03n 2 + 0,80n 3 = n 3 n 1 + n 2 + n 3 = ,05n 1 + 0,07n 2 + 0,12n 3 = 0 0,04n 1 0,10n 2 + 0,08n 3 = 0 0,01n 1 + 0,03n 2 0,20n 3 = 0 n 1 + n 2 + n 3 = ,05n 1 + 0,07n 2 + 0,12n 3 = 0 0,04n 1 0,10n 2 + 0,08n 3 = 0 0,00n 1 + 0,00n 2 + 0,00n 3 = 0 n 1 + n 2 + n 3 = pois

15 1,0 1,4 2,4 0 1,0 2,5 2,0 0 1,0 1,0 1, ,0 1,4 2, ,1 4, ,4 3, ,0 1,4 2, ,1 4, , ,4/1,1 + 1,0n 1 + 1,4n 2 + 2,4n 3 = 0 (1) 1,1n 2 + 4,4n 3 = 0 (2) 13,0n 3 = (3)

16 Siis tasapainossa 1,0n 1 + 1,4n 2 + 2,4n 3 = 0 (1) 1,1n 2 + 4,4n 3 = 0 (2) 13,0n 3 = (3) (3) n 3 = = 769,23 (2) n 2 = = 3076,92 n 3 = = 6153,85