Simuloinnin strategisia kysymyksiä
|
|
- Laura Saaristo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos riippuu mallin syöttötiedoista. Miten tulos riippuu mallin rakenteellisista vaihtoehdoista. Miten parametrien epävarmuus vaikuttaa tuloksen luotettavuuteen. Mikä systeemivariantti tai parametrikombinaatio antaa parhaan tuloksen. Miten kysymyksiin vastataan systemaattisemmin kuin tekemällä runsaasti kokeita ja vertailemalla tuloksia silmämääräisesti (graaen ja yhteenvetojen avulla). 0
2 Metamallinnus Metamallinnuksessa Kiinnitetään yksinkertainen malliluokka selittämään tutkittavaa ilmiötä. Sovitetaan apumalli eri simulointikokeista saatuun dataan. Tutkitaan selittääkö apumalli havainnot. Tarvitaanko kaikkia apumallin muuttujia. Tuotetaan pieni malli, joka selittää havainnot. 1
3 Formaali metamallinnus Todellinen systeemi voidaan kuvata funktiolla y = f 0 (V 1, V 2,...), missä, f 0 on tuntematon ja vain osa muuttujista V i tunnetaan. Simulointimalli on muotoa y = f 1 (z 1,..., z k, R 0 ), jossa funktio f 1 tunnetaan implisiittisesti (evaluoidaan simulointikoodilla), R 0 kuvaa satunnaislukujen siemenarvoa. Etsittävä metamalli on yleensä muotoa y = q 1 i=0 β i x i + e, missä x i :t ovat tunnettuja funktioita z j :stä (potensseja, logaritmeja, jne). (Tarvittaessa myös y voi olla muunnos oikeasta tuloksesta). Tällaista mallia kutsutaan regressiomalliksi, x i :t ovat regressiomuuttujia ja β i :t regressiokertoimia. e on nollakeskiarvoinen stokastinen virhe. 2
4 Regressioanalyysi Regressioanalyysissä suoritetaan n (n q) koetta eri z k :den arvokombinaatioilla. Tällöin myös x j :den arvot vaihtelevat. Merkitään X ij = x j kokeessa i, i = 1,..., n, j = 0,..., q 1. (X i0 = 1, i). X = {X ij } ij. Kokeiden tuloksia merkitään vektorilla Y = {y i } i, i = 1,..., n. Tavoitteena on määrätä kertoimet β = {β l } l, l = 0,..., q 1. Yleensä yhtälö Y = Xβ ei ole ratkeava (jos n > q). Etsitään ns. PNSratkaisu β, joka minimoi virheen Y Xβ 2, β = (X t X) 1 X t Y. Koska Y on satunnaismuuttuja, myös β on satunnaissuure. 3
5 Millainen malli on hyvä ja miten se määrätään: Tarvitaanko kaikki muuttujat x i (onko β i 0). Selittävätkö x i :t tuloksen (onko Y Xβ pieni). Miten luotettavia ovat β:t. Miten β:t löydetään tehokkaasti ja luotettavasti. Analysoidaan kertoimien määräämistä tapauksessa, jossa malli on tarkka. Ts. annetuille X, y i = (Xβ) i + e i, jollekin β, e i :t riippumattomia N(0, σ 2 ) muuttujia. Siis, kokeet ovat riipumattomia ja V ar(y) = σ 2 kaikissa koepisteissä. 4
6 Tällöin ˆβ = (X t X) 1 X t Y on harhaton estimaatti β:lle. β:n komponentit ovat keskenään korreloituneita koska Cov(Y ) = σ 2 I. Cov(β) = Cov(β i, β j ) ij = (X t X) 1 X t Cov(Y )[(X t X) 1 X t ] t = (X t X) 1 σ 2 Yksittäisen koepisteen varianssi σ 2 voidaan määrätä toistamalla yksittäisiä kokeita riittävän usein tai tekemällä n >> q koetta, jolloin ˆσ 2 = n i=1 (y i (X ˆβ) i ) 2. n q 5
7 Oletukset Onko tehty oletus y = Xβ +e, e:t riippumattomia ja N(0, σ 2 ) realistinen. Jos koepisteet valitaan sopivasti ja valitaan riittävän rikas joukko regressiomuuttujia x, perusoletus y = Xβ on OK. Riippumattomuus voidaan taata valitsemalla riippumattomat satunnaislukujonot eri kokeisiin (jos näin halutaan). Havaintoarvojen normaalisuus pätee yleensä, jos simuloinnit ovat riittävän pitkiä. Varianssia ei käytännössä ole mahdollista vakioida koepisteiden välillä. Varianssin vaihtelujen huomioimiseksi jokainen koepiste on uusittava useaan kertaan, jotta varianssi voidaan estimoida. 6
8 Riippuvat kokeet Jos koepisteet ovat keskenään riippuvia (samat satunnaisluvut), myös kovarianssi on estimoitava. Jos tehdään m toistoa jokaiselle kokeelle, kovarianssille saadaan estimaatti 1 m ˆσ ij = (y il ȳ i )(y jl ȳ j ). m(m 1) Regressiokertoimet määrätään yleistetystä PNS-tehtävästä l=1 min(y Xβ) t (Cov(y)) 1 (y Xβ) β jonka ratkaisun kovarianssimatriisi on Cov(β) = (X t (Cov(y)) 1 X) 1 Miten yhteiset satunnaisluvut vaikuttavat. Tarkastellaan yksinkertaisinta regressiomallia y = β 0 + β 1 x. Voidaan olettaa, että kokeessa x = 0 ja (merkintöjen helpottamiseksi) ȳ = 0. Oletetaan, että varianssi on vakio (σ 2 ) jokaisessa koepisteessä. Tällöin PNS-estimaatit ovat i ˆβ 1 = (x i x)(y i ȳ) i (x = i x iy i i x) 2 ja ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x. i x2 i 7
9 Merkitään a i = x i j x2 j, jolloin ˆβ 1 = i a iy i. Jos kokeet riippumattomia, V ar(ˆβ 1 ) = i a2 i V ar(y i) = σ 2 i a2 i. Jos kokeet ovat riippuvia, V ar(a t Y ) = ACov(Y )A t, V ar(ˆβ 1 ) = σ 2 i a 2 i + i j a i a j Cov(y i, y j ) Nyt i j a ia j < 0. Jos Cov(y i, y j ) on ei-negatiivinen i, j, ˆβ 1 :n varianssi on pienempi, kuin riippumattomille kokeille. Positiivinen korrelaatio saadaan mm. käyttämällä samoja satunnaislukuja eri koepisteissä. Vastaavasti V ar(ˆβ 0 ) on suurempi, jos kokeilla on positiivinen korrelaatio. 8
10 Mallin validointi Regressiomallin rakentaminen ja validointi etenevät seuraavasti Määritetään mallin yleinen muoto (y = Xβ + e), Määrätään mallin kertoimet (ˆβ = (X t X) 1 X t y). Testataan mallin ennustuskykyä. Suoritetaan uusi koe pisteessä x n+1 ja verrataan tulosta y n+1 ennusteeseen x t n+1 ˆβ. Testisuureen z n+1 = y n+1 x t n+1 ˆβ V ar(yn+1 ) + V ar(ˆβx n+1 ) tulisi noudattaa N(0, 1) jakaumaa. Jos z n+1 hylätään. liian suuri, regressiomalli Yleensä kertoimien β määräämiseen käytetään input muuttujien äärimmäisiä arvoja, testaamiseen puolestaan keskimääräisiä arvoja. (Paljastaa kvadraattisen riippuvuuden). 9
11 Toinen suosittu tapa on ristiin validointi. Jätetään vuorotellen yksi koe huomioimatta mallia kalibroitaessa ja ennustetaan sen tulos. Saadaan n eri validointitestiä. Jos riittävän moni testi menee läpi, hyväksytään malli. Kun malli on validoitu, voidaan testata, mitkä yhteisvaikutukset ovat merkittäviä (vastaava β poikkeaa merkittävästi nollasta). Poistamalla muut yhteisvaikutukset saadaan pienempi (vähemmän kertoimia/tuntemattomia) malli, joka selitää havainnot. Jos malli ei ole validi, sitä voidaan joko täydentää (korkeamman asteen termeillä ja yhteisvaikutuksilla) tai muokata (muuttamalla regressiomuuttujia). Esimerkki: haetaan mallia jonosysteemin odotusajalle w palveluajan s ja saapumisajan a funktiona. Malli w = β 0 + β 1 s + β 2 a ei ole luonteva (odotusaika kasvaa oikeasti rajatta jos s ylittää a:n). as Sopivampi malli on esim. w = (β 0 ) + aβ 1 + β 2. Tässä w kasvaa rajatta a s kun s lähestyy a:ta. 10
12 Koesuunnittelu Koesuunnittelun (Experiment design) tavoite on määrittää koejärjestely, jolla konstruoidaan tehokkaasti ja luotettavasti sopiva regressiomalli selittämään todellista systeemiä/simulointimallia. Alunperin kehitetty vaativia, pitkäkestoisia ja ulkoisista olosuhteista riippuvia koejärjestelyjä varten (esim. kasvinjalostuskokeet). Simulointikokeiden yhteydessä koesuunnittelu on periaatteessa helppoa. Kaikkia koeparametreja voi hallita täydellisesti. Jokainen koe(piste) on tarvittaessa toistettavissa. Yksittäisen kokeen vaatima aika on yleensä kohtuullisen lyhyt. 11
13 Tavoitteena on sovittaa malli y = q i=1 β ix i käyttäen n (n q) koetta. Minimiehto on, että q q matriisi X t X on kääntyvä. Muuten koepisteet ovat vapaasti valittavissa. Jos regressiomuuttujat ovat simulointimallin parametrien potensseja, tuloja jne, kaikkia x:n arvoja ei voi varioida vapaasti toisista riippumatta. Tekijää, jonka arvoa varioidaan itsenäisesti koesarjan aikana, kutsutaan faktoriksi. Tasolla puolestaan tarkoitetaan faktorin mahdollista arvoa (koesarjassa). Yksittäisen faktorin osalta lineaarisen riippuvuuden havaitseminen edellyttää kahta tasoa, kvadraattisen kolmea jne. Jos meillä on k faktoria, i:nnellä faktorilla L i tasoa, täydellisen mallin määrääminen edellyttää (kaikkine yhteisvaikutuksineen) L 1 L 2... L k kerrointa/koetta, mikä yleensä on liikaa, jos vaikuttavia tekijöitä (faktoreita) on paljon. 12
14 Koesuunnittelulla pyritään siihen, että Halutut vaikutukset voidaan määrätä luotettavasti. Kokeiden määrää minimoidaan jättämällä vähäisiksi arvioituja yhteisvaikutuksia määrittämättä. Yhteisvaikutukset eivät sekoita päävaikutusten arviointia. Havaittujen vaikutusten luotettavuus on suuri (kerrointen kovarianssimatriisi on pieni). Kaksi äärimmäistä lähestymistapaa ovat: yksi faktori kerrallaan (yhteensä 1 + i (L i 1) koetta, joilla saadaan päävaikutukset, mutta yhteisvaikutuksia ei pyritä hallitsemaan mitenkään. Kaikki faktori-taso kombinaatiot (täydellinen koe, joka on kallis ja antaa kaiken tarvittavan tiedon). Näiden väliin sijoittuvat menettelyt kuuluvat koesuunnittelun piiriin. 13
15 Esimerkki Tarkastellaan yksinkertaista tapausta, jossa kaikilla faktoreilla on kaksi tasoa. Ts vain lineaariset efektit (ja niiden yhteisvaikutukset) esiintyvät mallissa. Yleensä tasoja merkitään + ja - (+1 ja 1 riippumatta siitä, mitä arvoja oikea faktori saa (reaalinen, kokonaisluku, looginen)). Tarkastellaan esimerkkinä kolmen faktorin mallia, y = β i=1 β ix i. Yksi faktori kerrallaan koejärjestely voi olla esim. Koe x 1 x 2 x Faktorin j vaikutusta voi arvioida laskemalla estimaatin ˆβ j y j )/2. (Oletettiin faktorien tasoiksi +1 ja 1). = (y j+1 14
16 Jos lineaarinen malli on validi (ei yhteisvaikutuksia), estimaatti on harhaton E(ˆβ j ) = 1 2 (E(y j+1) E(y j )) = β j. Jos kokeet ovat riippumattomia ja y i :n varianssi on σ 2, V ar(ˆβ j ) = σ 2 /2. Jos malli sisältääkin yhteisvaikutuksia (y = β 0 i β ix i + i j β ijx i x j, estimaatti on harhainen. Koe x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x E(ˆβ 1 ) = β 1 β 13 β 12 (+β 123 ) 15
17 Tekemällä kaikki faktori-taso kombinaatiot Koe x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x teemme kaksi kertaa enemmän työtä. Jotta kaikki informaatio tulee käytettyä, estimoimme ˆβ j = i x ij y j /n Koska matriisille X pätee x ij = 0 j, saamme i x ij x il = 0, j q i 16
18 E(ˆβ j ) = 1 n = 1 n x ij E(y i ) i x ij (β 0 + i l β l x il ) = β j Vastaavasti varianssi on V ar(ˆβ j ) = 1 x 2 n ijv ar(y 2 i ) = σ 2 /n i Kolmen faktorin tapauksessa varianssi pieneni neljäsosaan kaksinkertaisella työllä, joten täysi koe on tehokkaampi kuin faktoreittain tehty. Lisäksi yhteisvaikutukset eivät aiheuta harhoja (ja ne voidaan jopa ratkaista). 17
19 Miten samaan tehokkuuteen päästään muilla kuin täysillä kokeilla. Tehdään ns valikoitu koe (2 3 1 ) koe. Valitaan täydestä kokeesta ne, joille x 1 x 2 x 3 = +1. Ts suoritetaan kokeet Koe x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x Päävaikutuksille saadaan estimaatit samalla tavalla kuin täydessä kokeessa ˆβ j = x ij y j /n i Estimaatin varianssi V ar(ˆβ) = σ 2 /4 on pienempi kuin yksi faktori kerrallaan kokeessa, vaikka työmäärä on sama. Jos yhteisvaikutukset ovat merkittäviä, aiheuttavat ne harhan päävaikutuksiin. Esimerkiksi E(ˆβ 1 ) = β 1 + β
20 2 k p - kaaviot Edellä valitsimme neljä (q + 1) koetta kahdeksasta (2 q ) mahdollisesta. Yleisessä tapauksessa (suuremmille q) tämä voidaan tehdä hyvin monella tavalla. Miten valinnalla voidaan hallita malliin jääviä harhoja. Esimerkissä valittiin kokeet, joissa x 1 x 2 x 3 = 1. Tällöin kolmen muuttujan yhteisvaikutus samaistuu vakiotekijään x 0 ja aiheuttaa vastaavan harhan kertoimeen β 0. Vastaavasti x 1 ja tulo x 2 x 3 samaistuvat (kuten mikä tahansa päävaikutus kaikkien muiden faktorien yhteisvaikutukseen). Jos faktoreita on enemmän, valitsemalla osakokeet, joissa kaikkien faktorien tulo saa vakioarvon, kokeiden määrä puolittuu ja päävaikutukset samaistuvat kaikkien muiden faktorien yhteisvaikutukseen. (Eivät siis sekoitu esim. kahden faktorin yhteisvaikutuksiin). Puolet täydestä kokeesta on yleensä vielä liikaa, joten kokeiden määrää halutaan rajoittaa enemmän. Yleinen menettely on ns 2 k p kokeiden konstruointi. Näissä valitaan p yhteisvaikutusta, jotka samaistetaan vakiotapaukseen. (Edellä p = 1 ja samaistettavana kaikkien faktorien yhteisvaikutus.) Samaistettavia yhteisvaikutuksia kutsutaan kaavion generaattoreiksi. 19
21 Esimerkiksi, jos q = 5, tarvitsemme minimissään n = q + 1 = 6 < 2 q 2 koetta. Tällöin päävaikutusten ratkaisemiseksi voimme luoda kaavion, jossa on kaksi vakiotapaukseen samaistettavaa yhteisvaikutusta. Nämä voidaan valita monella tavalla. Jos valitaan 1 = x 1 x 2 x 3 = x 1 x 4 x 5, seuraa, että samaistetaan myös mm. x 1 = x 2 x 3 = x 4 x 5, x 2 = x 1 x 3, jne. Jos voimme perustellusti olettaa, että jokin yhteisvaikutus on pieni ja toisaalta haluamme saada luotettavan arvion tietylle päävaikutukselle, voimme valita samaistettavat vaikutukset sopivasti. Jos halutaan välttää kahden muuttujan yhteisvaikutusten sekoittuminen päävaikutuksiin, kokeita on tehtävä enemmän kuin q + 1. Tarkastellaan tapausta q = 5 ja luodaan koe samaistamalla x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 vakioon. Tällöin päävaikutukset samaistuvat neljän faktorin yhteisvaikutuksiin ja kahden faktorin yhteisvaikutukset kolmen faktorin yhteisvaikutuksiin, joten sekä päävaikutukset että kahden faktorin yhteisvaikutukset saadaan suhteellisen harhattomiksi. Hintana on 16 koetta 6 kerrointa varten. Yleisessä tapauksessa 2 k p ei ole aina tehokain tapa luoda kaaviota. Yleiset kaaviot luokitellaan erottelukykynsä mukaisesti seuraavasti: Resoluutio III, joille mitkään päävaikutukset eivät sekoitu Resoluutio IV, joille päävaikutukset eivät sekoitu kahden faktorin yhteivaikutuksiin. 20
22 Resoluutio V, joille kahden faktorin yhteisvaikutukset eivät sekoitu keskenään Luokkien nimillä on yhteys vastaavan erottelukyvyn omaavien 2 k p kaavioiden generaattoreiden pituuksiin. R-III kaaviossa on vähintään q + 1 koetta, (vrt faktori kerrallaan). Optimaalinen varianssi voidaan saavuttaa, jos kokeita on neljällä jaollinen määrä (n = 4m). Jos 4m = 2 s, saadaan kaavio 2 k p tekniikalla. Muille arvoille yleistä menettelyä ei ole, mutta kaavioita on taulukoitu eri lähteissä. R-IV kaavio saadaan toistamalla R-III kaavio vaihtamalla kaikki faktorit vastaluvuikseen (päävaikutusten merkki vaihtuu, mutta yhteisvaikutusten ei). R-V kaaviossa tarvitaan minimissään 1 + q + (q 1)q/2 koetta. 21
Simuloinnin strategisia kysymyksiä
Simuloinnin strategisia kysymyksiä Timo Tiihonen Tietotekniikan laitos 2010 Simuloinnin strategisia kysymyksiä Miten toimitaan, kun halutaan tietää enemmän kuin yhden simulointimallin tulos. Miten tulos
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotSimuloinnin taktisia kysymyksiä
Simuloinnin taktisia kysymyksiä Simuloinnilla on aina tavoite. Simuloitaessa on käytössä ohjelma, joka tilastollisesti riittävän yhtenevä alkuperäisen systeemin kanssa. Miten simulointi järjestetään niin,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotSimuloinnin taktisia kysymyksiä
Simuloinnin taktisia kysymyksiä Timo Tiihonen Tietotekniikan laitos 2010 Simuloinnin taktisia kysymyksiä Simuloinnilla on aina tavoite. Simuloitaessa on käytössä ohjelma, joka tilastollisesti riittävän
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotBatch means -menetelmä
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotHarjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus 24.1.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot