T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ke , 12:15 14:00 Puheentunnistus ja kielimallien evaluointi Versio 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ke , 12:15 14:00 Puheentunnistus ja kielimallien evaluointi Versio 1."

Transkriptio

1 T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ke , 12:1 14:00 Puheentunnistus ja kielimallien evaluointi Versio Käytämme siis jälleen viterbi-algoritmia todennäköisimmän tilasekvenssin selvittämiseen kätketystä Markov-mallista. Eroja aikaisemman laskarin säätilamalliin on kolme: Emissiot tapahtuvat kaarissa eli tilojen välillä, mallissa on nollatransitiota ja lopetustila on määrätty. a) Alustetaan hila siten, että lähtötila on aina S 1. Merkitään ylös vain nollasta poikkeavat todennäköisyysarvot. δ 0 (1) = 1 Ensimmäinen havainto Aloitustilasta pääsee vain toiseen ja neljänteen tilaan, joten lasketaan niiden todennäköisyydet: δ 1 (2) = a 12 b 12 (o 1 ) = 0. 1 = 2 ψ 1 (2) = 1 δ 1 (4) = a 14 b 14 (o 1 ) = 0. 3 = 4 ψ 1 (4) = 1 Toinen havainto Toisesta tilasta päästään vain kolmanteen ja neljännestä vain viidenteen tilaan, joten vieläkään ei tarvita reittivalintoja. δ 2 (3) = δ 1 (2)a 23 b 23 (o 2 ) = = 3 ψ 2 (3) = 2 δ 2 () = δ 1 (4)a 4 b 4 (o 2 ) = = 8 ψ 2 () = 4 Tässä vaiheessa pitää kuitenkin huomata, että tiloista S 3 ja S pääsee nollasiirtymällä aloitustilaan. Toisen havainnon jälkeen voidaan siis päätyä myös sinne. Lasketaan tilaan tulevista reiteistä todennäköisempi: Kolmas havainto δ 2 (1) = max(δ 2 (3)a 31, δ 2 ()a 1 ) ψ 2 (1) = 3 = max( 3 0.9, 8 1.0) = 4. 3

2 Nyt mahdollisia ovat siirtymät tilasta S 1 tilaan S 2 tai S 4 sekä tilasta S 3 tilaan S 4. δ 3 (2) = δ 2 (1)a 12 b 12 (o 3 ) = = ψ 3 (2) = 1 δ 3 (4) = max(δ 2 (1)a 14 b 14 (o 3 ), δ 2 (3)a 34 b 34 (o 3 )) ψ 3 (4) = 3 = max( , ) = Neljäs havainto Jälleen toisesta tilasta päästään vain kolmanteen ja neljännestä vain viidenteen tilaan. δ 4 (3) = δ 3 (2)a 23 b 23 (o 4 ) = = ψ 4 (3) = 2 δ 4 () = δ 3 (4)a 4 b 4 (o 4 ) = = 6 ψ 4 () = 4 Lopetus Lopuksi piti päästä takaisin tilaan S 1, mikä onnistuu nollasiirtymällä. Reittivaihtoehtoja on kaksi: δ 4 (1) = max(δ 4 (3)a 31, δ 4 ()a 1 ) ψ 4 (1) = = max( , 6 1.0) = 6 Laskettu hila on kuvassa 1. Palaamalla lopusta alkuun saadaan todennäköisin tilasekvenssi S 1 S 2 S 3 S 4 S S 1. Tämä vastaa sanaa jaon. 2

3 δ(1) δ(2) δ(3) δ(4) 0 4 δ() t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 Kuva 1: Viterbi-haun hila lopetustilaan saavuttaessa. 3

4 b) Nyt pitää ottaa huomioon myös kielimallin antamat todennäköisyydet. Lasketaan todennäköisyysarvot ehdollisina mahdollisille eri sanavaihtoehdoille w j : δ t (i, w j ). Kielimallitodennäköisyys kerrotaan mukaan aina kun sanan valinta tehdään. Kuljettaessa uudestaan aloitustilan kautta valinnat pitää ottaa huomioon käyttämällä bigrammitodennäköisyyksiä. Tämän jälkeen ne voidaan tyhjentää, koska kielimalli ei tarvitse pidempiä historioita. Alustetaan hila samoin kuin a)-kohdassa. Tässä vaiheessa ei ole vielä sanavalintoja. δ 0 (1, _) = 1 Ensimmäinen havainto Aloitustilasta pääsee toiseen ja neljänteen tilaan. Toinen tila voi päätyä sanaan ja tai jaon, joten kumpikin vaihtoehto pitää laskea erikseen. δ 1 (2, ja) = P(ja)a 12 b 12 (o 1 ) = = 4 ψ 1 (2, ja) = 1 δ 1 (2, jaon) = P(jaon)a 12 b 12 (o 1 ) = 0. 1 = 7 ψ 1 (2, jaon) = 1 δ 1 (4, on) = P(on)a 14 b 14 (o 1 ) = = 6 ψ 1 (4, on) = 1 Toinen havainto Toisesta tilasta päästään vain kolmanteen ja neljännestä vain viidenteen tilaan. Lisäksi kummastakin pääsee nollasiirtymällä ensimmäiseen tilaan. Tämä voidaan luonnollisesti tehdä vain sanoille jotka ovat käsitelty loppuun. δ 2 (3, ja) = δ 1 (2, ja)a 23 b 23 (o 2 ) = = ψ 2 (3, ja) = 2 δ 2 (3, jaon) = δ 1 (2, jaon)a 23 b 23 (o 2 ) = = 8 ψ 2 (3, jaon) = 2 δ 2 (, on) = δ 1 (4, on)a 4 b 4 (o 2 ) = = ψ 2 (, on) = 4 δ 2 (1, ja) = δ 2 (3, ja)a 31 = 0.9 = 4. ψ 2 (1, ja) = 3 δ 2 (1, on) = δ 2 (, on)a 1 = 1.0 = ψ 2 (1, on) = Kolmas havainto 4

5 Mahdollisia ovat siirtymät tilasta S 1 tilaan S 2 tai S 4 sekä tilasta S 3 tilaan S 4. Tilasta S 1 lähtevät siirtymät aloittavat uuden sanan, joten otamme kielimallitodennäköisyydet huomioon. Lisäksi pitää huomioida että tilassa S 1 oli kaksi eri sanavaihtoehtoa, joista nyt voidaan valita todennäköisempi. δ 3 (2, ja) = max(p(ja ja)δ 2 (1, ja), P(ja on)δ 2 (1, on)) a 12 b 12 (o 3 ) ψ 3 (2, ja) = 1 = max( 4 4., 2 ) 0. 1 = 2.2 δ 3 (4, on) = max(p(on ja)δ 2 (1, ja), P(on on)δ 2 (1, on)) a 14 b 14 (o 3 ) ψ 3 (4, on) = 1 = max( 2 4., 4 ) 0. 2 = δ 3 (4, jaon) = δ 2 (3, jaon)a 34 b 34 (o 3 ) ψ 3 (4, jaon) = 3 = = Neljäs havainto Toisesta tilasta päästään vain kolmanteen ja neljännestä vain viidenteen tilaan. Kummastakin päästään vielä nollasiirtymällä ensimmäiseen tilaan. δ 4 (3, ja) = δ 3 (2, ja)a 23 b 23 (o 4 ) = = ψ 4 (3, ja) = 2 δ 4 (, on) = δ 3 (4, on)a 4 b 4 (o 4 ) = = 2.2 ψ 4 (, on) = 4 δ 4 (, jaon) = δ 3 (4, jaon)a 4 b 4 (o 4 ) = = 11 ψ 4 (, jaon) = 4 δ 4 (1, ja) = δ 4 (3, ja)a 31 = = ψ 4 (1, ja) = 3 δ 4 (1, on) = δ 4 (, on)a 1 = = 2.2 ψ 4 (1, on) = δ 4 (1, jaon) = δ 4 (, jaon)a 1 = 1.0 = 11 ψ 4 (1, jaon) = Laskettu hila on kuvassa 2. Eri sanavaihtoehdot on piirretty kuvaan erilaisilla nuolilla. Kolmesta lopetustilaan päätyneestä polusta todennäköisin on δ 4 (1, on).

6 Palaamalla siitä taaksepäin saadaan todennäköisin tilasekvenssi S 1 S 2 S 3 S 1 S 4 S S 1. Nyt todennäköisimmäksi saatiin siis kahden sanan sekvenssi, ja on. δ(1) δ(2) δ(3) δ(4) δ() t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 ja on jaon Kuva 2: Hila lopetustilaan saavuttaessa. Eri sanavaihtoehdot on merkitty erilaisilla nuolilla. 6

7 2. Mallissa A on noin kolme kertaa vähemmän yksiköitä kuin mallissa B. Yksiköt ovat myös keskimäärin pienempiä, ja testidata sisältää enemmän mallin A yksiköitä. Tämän takia mallien yksikkökohtaisia entropialukuja ei voi verrata suoraan toisiinsa. Jos malli esimerkiksi käyttäisi yksiköinään kirjaimia, niin jokainen yksikkö olisi keskimäärin suhteellisen helppo ennustaa, mutta koko datan todennäköisyydestä ei luultavasti tulisi kovin hyvä. Sen sijaan voimme laskea malleille entropiat sanaa kohti. Risti-entropia testidatalle D voitiin laskea H M (D) = 1 n n log P M (D i ) = 1 n log P M(D). (1) i=1 Jos yksiköiden määrän n sijaan jaamme datan uskottavuuden P M (D) logaritmin datan sanojen määrällä W D, saamme normalisoidun entropian, joka ei riipu siitä minkälaisilla yksiköillä mallinnus tehdään: H W M (D) = 1 W D log P M (D). (2) Tiedämme luvut H M (D), n ja W D, joiden avulla sanakohtaiseksi normalisoitu entropia voidaan kirjoittaa muodossa Muutetaan annetut entropiat sanakohtaisiksi: H W M (D) = n W D log H M (D). (3) H W A1(D) = = 1.66 HA2 W (D) = 4.39 = 1.14 HA3 W (D) = 4.31 = HB1 W (D) =.19 = 1.64 HB2 W (D) = H W B3(D) =.02 = = 14.8 Pilkonnan B entropiat ovat siis kaikissa kokoluokissa hieman parempi kuin pilkonnan A. Pitää kuitenkin ottaa huomioon myös mallien koot, jotka pilkonnalla B olivat kauttaaltaan suurempia. Tulosten vertailu on helpointa piirtämällä kuvaaja, jossa tulokset on esitetty koko-entropia -koordinaatistossa. Tämä on tehty kuvassa 3. 7

8 Cross entropy vs. size A B Entropy (bits) Size (n grams) x Kuva 3: Normalisoidut risti-entropiat. Pilkonnan A mittauspisteitä yhdistävä murtoviiva on joka paikassa B:n viivasta katsottuna vasemmalla puolella. Pilkonta A näyttää siis antavan hieman parempia tuloksia kuin B suhteessa kielimallien kokoihin. Katsotaan seuraavaksi tunnistustuloksia. Ne on laskettu suoraan sanoja kohti, joten normalisointeja ei tarvita. Mallin koko vs. sanavirhe -kuvaaja on esitetty kuvassa 4. Siitä nähdään, että tulokset isoilla ja pienillä malleilla menevät ristiin: A on parempi pienillä malleilla, mutta B ohittaa sen kun koot kasvavat yli n-grammin. Word error rate (%) WER vs. size A B Size (n grams) x Kuva 4: Sanavirheet. Näyttää kohtuullisen selvältä, että pilkontaa A käyttävät mallit ovat parempia jos mallin koko on pieni. Suuremmilla malleilla tulokset ovat melko lähellä toisiaan. Lisäksi toiminnasta malleilla joiden koot ovat selvästi alle puoli miljoonaa, tai selvästi yli miljoonan, nämä tulokset eivät kerro mitään. Luotettavammat tulokset vaatisivat lisää mittauspisteitä sekä lukujen tilastollisten merkittävyyksien testaamista (esim. Wilcoxon signed-rank test). 8

jens 1 matti Etäisyydet 1: 1.1 2: 1.4 3: 1.8 4: 2.0 5: 3.0 6: 3.6 7: 4.0 zetor

jens 1 matti Etäisyydet 1: 1.1 2: 1.4 3: 1.8 4: 2.0 5: 3.0 6: 3.6 7: 4.0 zetor T-1.81 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 11, ti 8.4., 1:1-18: Klusterointi, Konekääntäminen. Versio 1. 1. Kuvaan 1 on piirretty klusteroinnit käyttäen annettuja algoritmeja. Sanojen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti , 8:30-10:00 N-grammikielimallit, Versio 1.1

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti , 8:30-10:00 N-grammikielimallit, Versio 1.1 T-6.28 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti 24.2.2004, 8:30-0:00 N-grammikielimallit, Versio.. Alla on erään henkilön ja tilaston estimaatit sille, miten todennäköistä on, että

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti , 16:15-18:00 N-grammikielimallit, Versio 1.0

T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti , 16:15-18:00 N-grammikielimallit, Versio 1.0 T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 5, ti 25.2.2003, 16:15-18:00 N-grammikielimallit, Versio 1.0 1. Alla on erään henkilön ja tilaston estimaatit sille, miten todennäköistä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

TILASTOLLINEN OPPIMINEN

TILASTOLLINEN OPPIMINEN 301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T (3 ov) L. Kevät 2004 Timo Honkela ja Kris- ta Lagus

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T (3 ov) L. Kevät 2004 Timo Honkela ja Kris- ta Lagus Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-61.281 (3 ov) L Kevät 2004 Timo Honkela ja Kris- Luennot: ta Lagus Laskuharjoitukset: Vesa Siivola 1. Markov-mallit........................ 3 1.1 Näkyvät Markov-mallit...............

Lisätiedot

Seuraavassa taulukossa on annettu mittojen määritelmät ja sijoitettu luvut. = 40% = 67% 6 = 0.06% = 99.92% 6+2 = 0.

Seuraavassa taulukossa on annettu mittojen määritelmät ja sijoitettu luvut. = 40% = 67% 6 = 0.06% = 99.92% 6+2 = 0. T-6.28 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset, ti 7.2.200, 8:30-0:00 Tiedon haku, Versio.0. Muutetaan tehtävässä annettu taulukko sellaiseen muotoon, joka paremmin sopii ensimmäisten mittojen

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j

j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Jousen jousivoiman riippuvuus venymästä

Jousen jousivoiman riippuvuus venymästä 1 Jousen jousivoiman riippuvuus venymästä Mikko Vestola Koulun nimi Fysiikka luonnontieteenä FY3-Projektityö 12..2002 Arvosana: K+ (10) 2 1. Tutkittava ilmiö Tehtävänä oli tehdä oppikirjan tutkimustehtävä

Lisätiedot

Mikä ihmeen hakukonemarkkinointi?

Mikä ihmeen hakukonemarkkinointi? Mikä ihmeen hakukonemarkkinointi? Mitä teet ensimmäiseksi, kun etsit tietoa jostain asiasta? Luultavimmin Google- haun, etkä ole ainut: ihmiset ovat siirtyneet yhä enemmän nettiin käyttämään sähköisiä

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Tampereen ammattikorkeakoulu, amk-tutkinto Tietotekniikan koulutusohjelma Sulautetut järjestelmät Patrick Saikkonen

Tampereen ammattikorkeakoulu, amk-tutkinto Tietotekniikan koulutusohjelma Sulautetut järjestelmät Patrick Saikkonen Tampereen ammattikorkeakoulu, amk-tutkinto Tietotekniikan koulutusohjelma Sulautetut järjestelmät Patrick Saikkonen Opinnäytetyö VITERBI-ALGORITMIN KÄYTTÖ KONVOLUUTIOKOODATUN LÄHETTEEN PURUSSA VIRHEENHAVAINNOINTI-

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Systemaattinen apina ja miten se tehdään fmbt:llä

Systemaattinen apina ja miten se tehdään fmbt:llä ja miten se tehdään fmbt:llä Antti Kervinen Intel antti.kervinen@intel.com Testauspäivä, Tampere 6. kesäkuuta 2012 Antti Kervinen (Intel) Systemaattinen apina 1 / 14 Jos apina painelee satunnaisesti kirjoistuskoneen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Antti Penttinen Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Metodifestivaalit Jyväskylän yliopisto 21.5.2013 Suunnitelma

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä

LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:

Lisätiedot

CASE Varma Testauksen haasteet moniuloitteisessa testiympäristössä. 5.11.2015 Tuukka Vähäpassi

CASE Varma Testauksen haasteet moniuloitteisessa testiympäristössä. 5.11.2015 Tuukka Vähäpassi CASE Varma Testauksen haasteet moniuloitteisessa testiympäristössä 5.11.2015 Tuukka Vähäpassi Varman esittely Keskinäinen työeläkevakuutusyhtiö Varma on Suomen suurin työeläkevakuutusyhtiö ja yksityinen

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Suodatus ja näytteistys, kertaus

Suodatus ja näytteistys, kertaus ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Tietotekniikan valintakoe

Tietotekniikan valintakoe Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Jos kaksi eri kappaletta vaikuttavat toisiinsa jollain tavalla, niiden välillä on vuorovaikutus Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus saa aikaan kaksi vastakkaista voimaa,

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen

Lisätiedot

SPSS-pikaohje. Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö

SPSS-pikaohje. Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö SPSS-pikaohje Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö SPSS on ohjelmisto tilastollisten aineistojen analysointiin. Hyvinvointiteknologian ATK-luokassa on asennettuna SPSS versio 13.. Huom! Ainakin joissakin

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A. Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

1. Taustatietoa näppäimistönkuuntelusta

1. Taustatietoa näppäimistönkuuntelusta Muilla kielillä: English Suomi Pong-peli, vaihe 5 Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 5/7. Tämän vaiheen aikana Lisäämme peliin näppäimet Laitetaan mailat liikkumaan pelaajien ohjaamina Näin ohjelmaamme

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Transkribuksen pikaopas

Transkribuksen pikaopas Transkribuksen pikaopas Transkribus on alusta, jolla voi puhtaaksikirjoittaa haluamaansa aineistoa ja automaattisesti tunnistaa käsinkirjoitettua tekstiä. Sitä käyttääkseen täytyy rekisteröityä. Tässä

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot