Pelaisitko seuraavaa peliä?

Transkriptio

1 Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä 2) sekä vastata muutamaan kysymykseen (Tehtävä 1)

2 Pelaisitko seuraavaa peliä? Ystäväsi kertoo keksineensä hauskan pelin, jota voi pelata shakkilaudan, paperinpalan, (jota hän nimittää ansaksi) shakkinappulan, kolikon ja nopan avulla Seuraavaksi hän selittää miten peli etenee ja hän myös kertoo, että pelistä voisi tehdä jännittävämmän liittämällä vedonlyönnin mukaan.

3 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

4 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

5 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

6 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

7 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

8 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

9 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

10 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

11 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

12 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

13 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

14 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

15 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

16 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

17 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

18 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

19 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

20 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

21 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

22 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

23 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

24 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin: Astuttiin ansaan: Heitetään:

25 Ystäväsi peli kuvina Heitettiin:

26 Vedonlyöntipeli Kysymys: Pelaisitko ystäväsi ehdottamaa seuraavanlaista vedonlyöntiä peliin liittyen? Joka päivä ystäväsi siirtää ansalapun eri kohtaan shakkilaudalla Hän lupaa arpoa tietokoneella niin monta havaintoa kuin pyydät (jos hän vain ehtii simuloida ne päivän aikana) Sitten saat arvata kerran päivässä missä ansa on: jos arvaat oikein, ystäväsi maksaa sinulle 10 EUR jos arvaat väärin maksat 10 EUR Mutta: millaisia ovat nämä havainnot, jotka hän kertoo?

27 Vedonlyöntipelin aineisto Aineistona hän kertoo sinulle reunalta kertyneet lukuarvot, jotka kertovat missä kohdissa ja missä järjestyksessä shakkinappula vieraili shakkilaudan reunalla! Tämän lisäksi hän kertoo, milloin ansa laukeaa eikä muuta.

28 Vedonlyöntipelin aineisto Aineistona hän kertoo sinulle reunalta kertyneet lukuarvot, jotka kertovat missä kohdissa ja missä järjestyksessä shakkinappula vieraili shakkilaudan reunalla! Tämän lisäksi hän kertoo, milloin ansa laukeaa eikä muuta. Numeroimalla shakkilaudan reunan ruudut (lähtien vasemmasta alakulmasta ja etenemällä oikeaan yläkulmaan) tämä aineisto voidaan esitettää myös muodossa:

29 Peli parametrisena tilastollisena mallina Tehtävä: Esitetään peli parametrisena tilastollisena mallina, missä parametrina on ansan sijainti (Tehtävät 1-2) Vedonlyöntipäätöstä varten voimme: estimoida parametriä annetun aineiston avulla; tähän käytämme suurimman uskottavuuden menetelmää. (Tehtävä 3) selvittää, kuinka luotettavana saatua estimaattia voidaan pitää eli kannattaako pelata rahasta? (Tehtävät 4-5)

30 Parametrinen tilastollinen malli Tehtävän 1 pohjustus: Selvitä, mikä on parametri(vektori) ja mikä sopisi parametriavaruudeksi eli mahdollisten parametrien arvoiksi. Ratkaisu: Tässä shakkilaudan koko on ruutua (yhteensä 1024 ruutua) Ansalapun suuruus on 4 4 ruutua Havaitsemme, että ansan paikka voidaan esittää kahden luvun θ 1 ja θ 2 avulla ja kumpikin voi saada arvoja 2, 3,..., 28. Parametriavaruudeksi Ω käy siten näiden parien θ = (θ 1, θ 2 ) joukko Ω = {2, 3,..., 28} {2, 3,..., 28} Parametriavaruuden koko on siis = 729.

31 Parametrinen tilastollinen malli Tehtävä 1: Alkuperäisessä mallissa ansan laukeamistn on 2/3 (nopalla tulee 1 4). Kysymys 1a: Jos paramteriavaruus on edellisen mukainen, onko malli säännöllinen ja jos ei, niin miksi? Kysymys 1b: Jos ansan laukeamistn olisikin p (0, 1) ja tätä ei tunnettaisi, niin miten muuttaisit paramteriavaruutta, jotta tämän saisi mallinnettua? Olisiko tämä malli säännöllinen? Kysymys 1c: Jos ansan ei tarvitsikaan olla ihan tarkkaan ruutujen kohdalla siten, että laukeamistn ruudussa olisi pq, missä q on se osuus, minkä ansa ruudusta peittää, minkälaisella parametriavaruudella tätä voisi kuvata? Voisiko tämä malli olla säännöllinen?

32 Parametrinen tilastollinen malli Aineiston jakauma kun ansan sijainti tunnetaan. Tämän avulla voidaan vastata kysymykseen: jos ansan sijainti tunnettaisiin, millä todennäköisyydellä havaitaan aineisto y = (y 0, y 1,..., y n )? Havainto Y i, kun i = 1, 2,..., n: ruutu, missä shakkinappula on i:nnellä reunalla käynti kerralla tai ansa, kun lähtöruutu on y 0. Aineisto Y = (Y 1,..., Y n ). Jos ansa laukesi, merkitään ruuduksi 1 ja pyydetään tarvittaessa lisää aineistoa alkaen sattumanvaraisesta reunaruudusta. Tehtävä 2: saatu satunnaisvektori Y on diskreetti (miksi?), joten määrätään uskottavuusfunktio L(θ) = P θ (Y = y) ja log-uskottavuusfunktio l(θ).

33 Tilastollisen mallin selvittäminen Tehtävä 2 Oletetaan, että ansan kohdan ja ansan laukeamistodennäköisyyden kertoo parametri θ ja pidetään tämä tunnettuna seuraavassa. Tehtävä 2a: (YPTNF, uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktiot) Meidän tulisi selvittää, mitä ovat ehdolliset todennäköisyydet, a(y 0, y 1 ) = P θ (Y 1 = y 1 Y 0 = y 0 ) sillä (erääksi) uskottavuusfunktioksi saadaan L(θ) = a(y 0, y 1 ; θ)a(y 1, y 2 ; θ)... a(y n 1, y n ; θ) Pertustele (ainakin sanallisesti), miten tämä seuraa.

34 Tilastollisen mallin selvittäminen Tehtävä 2 Oletetaan, että ansan kohdan ja ansan laukeamistodennäköisyyden kertoo parametri θ ja pidetään tämä tunnettuna seuraavassa. Meidän tulisi siis selvittää, mitä ovat ehdolliset todennäköisyydet: a(y 0, y 1 ) = P θ (Y 1 = y 1 Y 0 = y 0 ) = P θ,y0 (Y 1 = y 1 ) Pidetään reunallepaluuruutua y 1 kiinteänä ja ajatellaan todennäköisyyksiä (a(1, y 1 ),..., a(124, y 1 )) vektorina a y1 R 124 Vastaavalla tavalla muodostetaan vektori (1{i = y 1 }) i. Ajatellaan tätä sekä vektorina e y1 R 1024 että vektorina b y1 R 124.

35 Tilastollisen mallin selvittäminen Apulause Kun ansan sijainti θ tunnetaan, niin voimme muodostaa kaksi matriisia K θ R ja K 2 R , että a y1 = K 2 v y1 + b y1, ja K θ v y1 = e y1 Lisäksi tiedämme, että K θ on kääntyvä matriisi, joten voimme ratkaista todennäköisyydet a y1 = K 2 K 1 θ e y 1 + b y1 Todistus: Seuraavat tehtävät

36 Apulauseen todistus Tehtävät 2b: Olkoon X n shakkinappulan ruutu n siirron jälkeen. Olkoon N = min{ n > 0 X n on reunaruudussa }, jolloin Y 0 = X 0 ja Y 1 = X N. Olkoon Z n = X min(n,n). a) Kun u on jokin reaaliarvoinen muunnos shakkilaudan ruuduilta, niin laske E θ,y0 ( (u(zn+1 ) u(z n )) Z n ). b) Kun u on jokin reaaliarvoinen muunnos shakkilaudan ruuduilta, niin laske E θ,y0 (u(z n+1 )) E θ,y0 (u(z n )). c) Millaisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu u pitäisi olla, että b)-kohdan erotus olisi aina nolla? d) Jos tiedettäisiin, että lim E θu(z n ) = E θ u(x N ) n niin päättele d)-kohdan avulla, että u(y 0 ) = E θ u(x N ). e) Päättele apulause näistä.

37 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Seuraavissa on hieman numeerisia tuloksia, kun malli on saatu selvitettyä ja tästä on numeerisesti selvitetty su-estimaatteja. Niissä ei ole tehtäviä mukana, silä apulauseen muuttaminen esimerkiksi R:lle laskettavaksi on hieman työlästä.

38 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Tiedämme jo, että todellinen ansan sijainti on (θ 1, θ 2 ) = (15, 20). Oletetaan ensin, että tietäisimme, että θ 2 = 20, mutta yläalasuunnassa sijainti on tuntematon. Seuraavassa on aineiston avulla lasketut log-uskottavuudet: Näemme, että θ 1 = 13, mikä on aika hyvä veikkaus.

39 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Tiedämme jo, että todellinen ansan sijainti on (θ 1, θ 2 ) = (15, 20). Jos taas tietäisimme, että θ 1 = 15, mutta vasen-oikeasuunnassa sijainti on tuntematon, niin aineiston avulla lasketut log-uskottavuudet. Näemme, että θ 2 = 8. Joten ihan ei osunut kohdalleen.

40 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Edelliset log-uskottavuusfunktiot kuvina.

41 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Edelliset log-uskottavuusfunktiot kuvina. Selkeämmin suurimman uskottavuuden kohta näkyy normalisoiduista log-uskottavuusfunktioista l 0.

42 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Edelliset uskottavuusfunktiot kuvina. Selkeämmin suurimman uskottavuuden kohta näkyy normalisoiduista log-uskottavuusfunktioista l 0. Näistä saadaan mukavasti normalisoidut uskottavuusfunktiot L 0.

43 Uskottavuus ja log-uskottavuusfunktiot kuvina Tehtävät 2 3 Edelliset uskottavuusfunktiot kuvina. Selkeämmin suurimman uskottavuuden kohta näkyy normalisoiduista log-uskottavuusfunktioista l 0. Näistä saadaan mukavasti normalisoidut uskottavuusfunktiot L 0.

44 Uskottavuusfunktiot kun lisää aineistoa Tehtävät 2 4 Aluksi tarkaisteltiin yhteensä 45 havaintoa.

45 Uskottavuusfunktiot kun lisää aineistoa Tehtävät 2 4 Pyydettiin lisää = 955 havaintoa.

46 Uskottavuusfunktiot kun lisää aineistoa Tehtävät 2 4 Ja sitten vielä = 4000 havaintoa lisää.