4! A$ B # $ : < $ 9 $$4" name="description"> 4! A$ B # $ : < $ 9 $$4">

!! "! # $ %! &# '( ) * # + " & (, & # - "./ $ &!!! " " $ 0! &# '( ) # *& - 1 # 3 ) 45$!! "! $ # " ' "! 1 5 * ! 1 *#- $5 * $ : 5 ; 1<

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "!! "! # $ %! &# '( ) * # + " & (, & # - "./ $ &!!! " " $ 0! &# '( ) # *& - 1 # 3 ) 45$!! "! $ # " ' "! 1 5 * ! 1 *#- $5 * $ : 5 ; 1<"

Transkriptio

1 !"! ##"$

2 !! "! # $ %! &# '( ) * # + " & (, & # - "./ $ &!!! " " $ 0! &# '( ) # *& - 1 # 3 ) 45$!! "! $ # " ' "! 1 5 * ! 1 *#- $5 * $ : 5 ; 1< 5 $ =! %> 4! A$ B # $ : < $ 9 $$4 CDEFG HI

3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $4 & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $6 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $/ & " $ $ $ $ $ 9 $9 1 " ' 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $9 $ 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 $9 $4 : $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 $; " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / $; $ & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9 $; $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ; $; $6 ( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $. 4 $! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 46 4 $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4/ 4 $6! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 49 4 $/ " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4; 4 $/ $ 1!5! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4. 4 $/ $4 &# %! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 4 $/ $6! # 1=!5 $ $ $ $ $ 64 4 $/ $/ =! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6/

4 4 $9 0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6. 4 $9 $ 0! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6. 4 $9 $4 0! " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 4 $9 $6 0 1# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 6 4 $; " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 4 $; $ " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 4 $. < $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ /6 4 $.$ )!A"! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ /; 6 $ =# 1+ #!A '# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / 6 $$ =# $ $ $ $ $ $ $ 96 6 $4 < # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9; 6 $4 $ = < # " $ $ $ $ $ $ $ 9. 6 $6 : 1# '# 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9 / $ & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ;6 / $4 & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ; / $6 % 7 :! $ $ $ $ $ $ $ $ $.4 9 $ : $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $.9 9 $4 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $.. 9 $6 0 # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $. 9 $/ % # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 9 $9 # 1" 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ / ; $ 0 #!!:! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 4 ; $4 "!!! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9

5 ! $ "#$%& 1"! :'5 $'( 1)*+,,-.5/ 4 $ ( 6 $ &617/ / / $ : 8 ; ( 5 < &687 ( 9 $ 4 &68 = +7 3 &687/ ; $ $ (/ $ &68 = $( $ :# & " B-C1C8D E FG 6 7 B-C1D E FJ = B1 9 +DFG 6 K

6 4 " " " B-C1D E F = FJ = B1 9 +DFG 6F 6 " 7 B-D E FH = BF = FJ = B1 9 +DFGD J FH = B- 9 +DBF = FJD = FG B1 9 +D J E F- = + - B- 9 +D B- J D, = # $ 3 $! 3 1" 5 3 1B 5 3 : $ =! " $ B"G#"J#,,,#"$D > B"GD =,,, = > B"$D B%&'(> B"GDC,,,C> B"$D)D 10 : "G "J 5 > * B+ D = > B"GD : 3 > B+ D = > B"JD : 3 ( 1: ( 5 3 K, 1 1: 5K 1=55 = " " " # 1 $5 "! $ -. % $ "#$%& & '( 1)*+,,-.5/ 1-5 # $

7 " " " 6 4 *+,,, -. *+,,, -. 3 )*+,,, -. # )* - = +,,,-.# ( $ 1 5/ D 1 5/ > B - D 1 " 5/ 1 5 '( 1 # " 5/ " " #" $ & " %! $ &# > B-D E FG C - + > - = FJ-!! $ " & ' '##' - > B-D E > ( J = FJ- B> ( ) H = FJ, J D = FJ- *> ( H =FJ- E,,, ) ) E > = ( 1, FJ- J+ ),,, E,-./, > B+D = 01J -, FJ- FG- = FJ - 01J - B- 01J -D 3 4 C - "B $ - $ C # $ % D B5D* > B+D FG > B-D 6> B 7 D = 8B -DC - 9$ C 9 +C C,,C : - 9$ C # " + :

8 / " " " > B-D > B 9$ D 6> B D = 8B 9$ D 6B 6 > B D = 8B DD = 8B 9$ D 6J > D = 6 8B D = 8B 9$ D 6J B6 > B D = 6 8B DD = 6 8B D = 8B 9$ D 6 > D = J 6 8B D = 6 8B D = 8B 9$ D,,, 6 D = 8B 6 D,,, 6$ > B+D = FG 6$ = # $ 3 FG-,-. 6 8B D! # $ 6 8B D 8B D " > B-D FG 6$ = 8B 6 D FG 6$ = 6, F 9 FG 6$ = F9 B D FG 6$ $ = F9, B FG 6$ = F,6$ $ 9 9,-. FG 6,-. = F,6 FG- $ D # 9 9, ,-. = F, B B-, D * > B+D FG $ % > B-D 6> B D = F - C - 9$ 7 C # +C C,,

9 " "" $ > B-D B-,-. D C8 1 6 $ 9 61 F%# 4 $ > B-D B- DC F %# 6 $ > B-D B- -DC F %# % &$ " " 9 0#" 4 $ 0#" 6 " > B-D FG 6$ $ = F9, # $ $ FG 9 = F 9, # FG- = F , : " 1 5 > B-D B5D, > B5D C B5D > #"! " 1 " 5 1! 5 # B5DC> B5D > B # " > B-D $ + B # B5D #D, > B # DC $ $ % '( 1&6$$75/ ( 4 3 &67/ 3 / : ; ( < &67 ( 4 &6 7 3 &67/ 3

10 ; " " " ( $ (/ &6 7 3 " '# && ' ' )*+,,-. " 1 5 # $ : !;5 $ 1 FGCFJCFD > B-D FG = J BFJ B1C $ + #D, #FD FG = B- 9 +DFJ = J B1C $ + #D, # )*1.5 )*+.$$$ )* $ : )*+,, : B1C #D + 1 C # %C,,C1 9 +, 0

11 " "" " ". > B-D FG = B- 9 +DFJ = # J 1 $ FG = B- 9 +DFJ = F J 1 $ FG = B- 9 +DFJ = F + J 1, + F FG = B- 9 +DFJ G 1 F FG = B- 9 +DFJ = -B- 9 +D B- J D, * # 1B1 9 +D % 1 $ : 1 '5 1 5 & & #% &6 7 $ ' :" ' 1 5 &6 7 $ # &6 7 4 $ &6 7 $ $! &6 7! # &6 7 6 $ 0 ' 1 5 ' 1 5 #"! $ # #" $ #" $ = $ 4 $ $ = $ = 4 $ "#$%&&

12 " " " 0' 1 5/ &6 7 < &6 7 " &6 7$ : $ 4 #3/ 3 / : # E ( 4 : &6#7 < ( #3# / : &67 " ( 3 / 0 # < 4 &3&6#7/&6#73&67/&673& ( (/ # (/ '( ' 1 5/ 0 < / 3 1 5/ ' 1 5/ ' 1 5 ( $ " '# 15 & $ &# 1 5 $! : # E ( $$$ #! $ # 1 # 8 # 9 + #! #! # $ & " &67 E $ 0 # &6#7 1 5 $ 1!5 & 1 5 " 1 5$ &# $

13 " "" " " 1 5 &6 7 &! # $ 1 % &67 &6 7 $5 1'5 & 1 5 ' #%$ 5$ % $ & # B- J D 1 " $ $5 &# : # " " > B-D > B-D E FGC - + > B-D E $ J + B #D, B> B # 9 +D = > B- 9 # = +DD = FJ-C - " + B # D + B)*+. # )*. )*+.D - +, # = - +, # B # 9 +D -B- 9 +D =+ B)*. # )*+. )*. D " 4 "

14 " " " > B-D E $ J B # 9 +D -B- 9 +D B> B # 9 +D = > B- 9 # = +DD = FJ- -B- 9 -B- 9 +D -B- 9 +D -B- 9 B- 9 $G # > B $G # # D $G # > B $G # # D $G - > B # D = FJ- $ G > B #D = FJ- B> B # D = > B- 9 # DD = FJ- > B- 9 # D = FJ- $G B - 9 # D> B # DD = FJ- ( > > B-D - 9 $G > B #D = -C - " 1 5 E > FGCFJ $ # B- 9 +D > $G > B #D = -B- 9 +D B- 9D > B- 9 B- 9 +D > B-D 9 B- 9D $G > B #D = B- 9 +DB- 9D > B- 9 +D > B- 9 +D =B- 9 +D > B-D > B - 9 +D =, % " "

15 " " "" " > B-D > B - 9 +D = B > B- 9D =D = > B- 9D =B = +D B- - 9 > B - 9 D =D =B = - - D > B - 9 D = - B = = + - D,,, - > B+D = -B + = + =,,, = - + D - = - B 9 +D C # += J G = G =,,, $ = > B-D B- 01 -D, > B-D = B-DC " " " $ : 1 $! 5 # $! # $ " $ & 6 7! 1&6 7 #! 5 '( ' 1&6 75 4! /

16 4 " " " ( : ( &673 ( 4 &67!! (/ 0 &673 &673 # < % '! " ) % - E$ $ 7! # B # D$ = $ #" $9 $ $9 $4 $ #" "$" $! # " $ ) " "! " $ 1 #5!! &6 7! $ 3! $ 0,= '! 3 $$, &< 1 5 3! &6 7 3 $$ >> ) B-D G "> B8D $ ) B1D, 36 3

17 " " "" " 1 & 6 4,= 1 5! /, &< / + '!! &6 7 #! &67 # - $ $! &6 7 # - $ 6 1 #" $5 = >> ) B-D $ - E -, + -, $$## $! % + ( B D # $ 1 F F = B D 9 1 GC,,,C 1 F " B D! $ & " "! / " "!

18 / " " " $ G F G BF = B D 9 G F = B D 9 B DC G F G F 9 B D = B D,! B)D $ '! F F = 9 = + = B+ 9 D, = G F G F 9 B) D = B) D = 5. <" " $ =! $ & 4 $ &! " 6 $ (

19 " " 9 " "#$$ # 1 * > B+D E F > B-D E B> B+DC,,,C> B- 9 +DC-DC - " C $! #! # ( $ " 1 5 & > B-D E B-C 6D 6! $ " " B+C 6D " F B-C 6D " B B+C 6DC,,,C B - 9 +C 6DC-D, > B-D E B-C 6D " +$ % $ & = > B+D E FG * > B-D E> B- D = FJ-C - " > B-D E 6-01J - = 9 $ 6, + 01J + = 99" FG 9 " FG 6-01J - = 9 "B 6-01J - = 9D = FJ- 6-01J =9 = FJ " FJ FJ " # " 9FGC 6 FG = FJ > B-D E BFG = FJD- 01J - = FG $

20 ; " " " "$##$ & $ B5D* > B %D + > B-D > B- 9 +D J C - " #" B-D 01> B-D 1 5 B % D 01J > B % D 01J + % * B-D 01J > B-D 01JB > B- 9 +D J D 01> : " & B-D B 9 +D01J > B-D B- 9 +D = 01J B- 9 +D = 01J 1 $ #5$ * > BD + > B-D > B -D = +C * - - $, # - $! ( 15 ( B # D> B$ D B+D > BD + * B # D > B$ D > B$ J D = + : " B # D # > B-D 01J - 9 +C * - -, B # D = +, 9 +$ &

21 " ". #$ $#$ " /! $ C GC JC,,, $ $ 1< $ > B-D! 5$ & ( 1! 5 &! ( B D, 1 5 +C +C +C,,, $ ( B D +, 1 5 < 4 / $$$; ( B D 1 5 < 4 6 $$$; ( + + 9, B D + +, 9 B D - B+ 9 D J & ( #! " " $ :! 1 5 C GC,,, $ ( $ B D C " ; " - + B % D "

22 " " " ( #! " $! # / " $ & ( # $ 1 5 " $($/ 6# ( / $ 6 # 7 * C - " +, " C GC JC,,, $ $($ ( B D +, = G + = + = G + = + = B D, B D + + 9, " + + 9,

23 " " 0 1 5, * = + " $( $ B D + = B = +D + = G = G = B D = + + 9, B D + B+ 9 DB+ 9 D 0 " ( # G + ) B+ 9 DB+ 9 D + = C & " $ # & " " B+ 9 DC B+ 9 D! G J C ) =, + 9 ) / + + ), = 9 G 9+

24 4 " " " =" B D ! '' * %C G C - " " $( $ B D % = = J J = G G = = B D = J B D, B G 9 +D!, B D C J B+ 9 DB+ 9 D C * = J G B+ = D J G B+ 9 D * # " B D + J % 6 7 B+ 9 DB+ 9 D ) + 9 = + 9

25 " " 4 ) % % $($ " G + 9 G , B D B 9 D C "! '' + B 9 D C - " %,

26 44 " " "

27 & " 1 5!! " 6 7$ 1 5! " # 6! 7$ )! $! 1' 5 6 " 4 $ 1' 5 " " ' $ 6 $ " 1' 5 " "! ' $ / $ ' 1' ' 5 " 1"! ' 5 ' $ 9 $ 1"C" 5 " " " $ ; $ A" 1'5 6 " 6 "/ $ " " " / $ $ " " 6 / $ $ 1"C 6C" " 5 (9 " 9 E 6) C " (9 " 46 $ 9 6)$

28 4/ " " $ 1"C" " " " 5 1" 5E 1" 5/ $ < " #!! " $ 0! " A" $ ) #" " 1!! 5 # $ < 7 #! " # # 1$ " ' 5 " $ 1$ 5!!! '' " #" $!! 1$! #5! ''! " 1!5! 1 5 1$ ''! $5 &'& # "!!! B-D!! B- J D!! ) B-D 1 $ # 1$ 55 && &%& # # "!: ) ) 7! "!! B1D + 1 ",

29 " 49 7 "!! 15$ B D$ ' ' &&' # & B D ' "!!! "! B-D$ :# B- J D$ " # $ - = 3 # $ = 3 # # $ : 3 $ = 3! $ 1 Solmun 3: 6 syvyys = korkeus = 0 taso = "! 5 9 ' 1 5 " E " & $ 1 5 " E$ G 9 + $ " $ G 9 +$ 1 5!! " 01J- $

30 4; " " "! "! $! #, $! &''& ' % 01 - $ &#! #!! 0B D " $ $ " $ $ 0B D6/ 1 5 0B D 0B D 1 5 0B D $ 0B D $ 4 $$$! # " # "!! +! & 1 5 ' $ " # "!!!! B- 01 -D! # $ 4 8

31 " 4. +! " # $ #! # "! $ :# B- J D$ 7! $ 1= 5 # " B- 01 -D$ &# %! 1!5! "!! 13! #5 $ &# 1!5! 1 5! # ' # " $ 1:! 5! "! 1 45! $ " $! 14 /5! " $ $ #! $ 1 # $5 ' G B G 6 9 +D E E G B G 9 9 +D 6 E # E 9, ' 1!5! # B01 - D, " 14 65! $ #! $ = # 3 6 # ; $

32 4 " " % 14 65!# % " #" $ / # / /! # / $$$ $ 1# " $5 4!6!# (5) (1)

33 " 4 : #" / #" / $$$ $ ' $ 14 65! " #!!! "!! B- 01 -D$ $ &"! # 3 %" ;4 ''& ' %&% #! $ $ } h = h = AVL-puu Binäärinen hakupuu, EI AVL " # K!! $ =! +! # $! # &# %!# 4! # # # # $ # # " & ## #" $

34 6 " " $ u v v C u % B A B C A 0 # $ 0 1 5$ 0 #"! #" $ 0! B01 - D 1! &# %! E +C ** 01J $ 0 1 # 5 $ 1# &!#/ # 5 u v v u C A B A B C

35 " 6 4 $ # 1#,!#/ # 5 u v v u A B C A B C 6 $ #! 1"! "/! # 5 1 u w v w v u A B C D A B C D Insert / $! 1,! "/! # 5 u 1 w A B w v C D u v B A C D Insert : &# %! 1 5$ ( ' $ &# %! " " #!!! +!! B- 01 -D$ &# %! " # " <!! $

36 64 " " $""!!$!!$ #!!#"$ $ $ ' "! " "! 1 5$ = 13 5 $ B 01 - D$ & '!!< (! # '&&% '!:# # $ <7 = 7 <7 & =& :&7 ) =+ <& &# %! < $ # 6 $ = 6 / 9 # $! B, - D$ < $ * * *

37 " 66 :&< : + <& 1= K 5 $ = 5 p x x C A p A B B C 4 $ =! 1 &# %! 5. g 1. p D x A B C 6 $ =! 1! 5 x p g A B C D. 1. g x x p D A p g C B A B C D 1# $ &# %! g x x p C D A p g D A B B C =! " 1 +5 $ 1 " #" $5

38 6/ " " # "# ''&& ' '# # # B 01 - D $ ( B01 - D! #" # " $ 1 $ B-D 5 B> D 01J" B1D " B1D 3 $ = 1 > ' $ B1D, 01J" B1D < $ 3 01J > $ "! $ $! "! # & $ $! ( B> D B1DC B1D01J" B1DC B> D B 11 B> DD 0 FB 1 # D +C FB 1 # 6 # D FB 1 # 1 # D 1 GC,,,C 1 FB1 D FB1 D = B> D 9 ' $ =! # B B> D 9 B5DD = + B01 - D$ % & $ % # $

39 " 69 B DC" B DC B DC" B D $! E B B5D 9 B5DD = +!! E B B5D 9 B5DDC # $ G FB1 D E + = B$ B5D 9 B5DD = B B5D 9 B5DD =,,, = B B5D 9 B5DD + = B$ B5D 9 B5DD + = B B> D 9 B5DD, 0< <7 & =& ) 0 ) = & 7 7)0 =< $ = ' $ = ' FB 1 # D + = B5D = B D 9 B5D 9 B D E + = B5D 9 B5D " B D E " B D E + = B B5D 9 B5DD B5D B5D " FB 1 # 6 # D = B5D = B D = BD 9 B5D 9 B D 9 BD E= B D = BD 9 B5D 9 B D E= B D = BD 9 B5D 0 " B D =" BD E" B5D " " B5D " BD " B D "" B5D 01J" B B D = BD01J" B D = 01J" BD D," BD E 01J*B" B D =" BDD J. E01JB" B5D D 01J" B5D 9 B5D 9, & 6 9 E = 6 9

40 6; " " = FB 1 # 6# D E = B B5D 9D 9 B5D B B5D 9 B5DD E B B5D 9 B5DD " B5D "" B5D 6 $ = 0 1 B5D BD C B5D " B DC B5D E B DC" B5D =" BD E" B5D #" $

41 6. # 1! " 5 # - B- 01 # B B- 01 -DD #! $ &# 0! *1.! #" 1 8 *1. E *8., % " #"! $ & $ 4 $$$ " 6+,,-7 1 # 1 1 = +$ <" 11 v $## $$$$ # 6+,,-7 # 6+,, % E E - $ & '& 3 1 #% 34 % 34K $

42 6 " " '( 1 B1D/ : 1 ; ( *1. < * 6! B1D. ( 4 *1. * 6! B1D./ ( 1 : 6! B1D! *1. $ '( B1D/! *1. $ 4 0 -B1D E : ( * 1 - B1D. E *0 1 - B1D B1D : B1D : B1D E ( *1. $ * ( 4 *1. * 1- -./ 1 : 1- -/ B1D E 1 : 6 5 ( * 1 - B1D. E *0 1 - B1D B1D 1 1- : B1D ( ( '( 1-! B 6 D/ : = +/ * : 6/ 1 B1 6 5D ( '(!61 / : (: ( B1D 0'!0!! 1-/ % 0 4 : : 6 *+./ *+. *1 6 5.# ( : # B+D/ 6

43 6 $## "# -! F I! F I! B01 - D$ -!!!0!! 1-! " B01 - D$ D F! B- -D/ 01 B-D -! " #" E - $ 0 " #" F I!! E FB = +D 1' 5$ 0,-./ -, FB = +D EF-, #$$ "$ = + G *F- B-D, " 1'& 5 1 #& 5$ %&&! '(!6 B)*+,,-.D/ 1!61 B)*+,,-.D/ 0 : # (: ( )*+. )* # = +./ & B)C +C #D % /! # # $ & B-D =! G $ # D! B-D = -, B01 - D B- -D, 01

44 / " " #" 1 " 5 $ &# " $ " G " #"!! $ B n B n : B 0 B 1 B B B 3 n+1 - " # ($ ) - 9 $ %& # ( 9 +)$ ++G + % ++J 01J - = + $! F 11 " - $ "! # %&% 0B D " 0B D E 0B D

45 / " (+C C,,, C ++)! # # $"# $#$ # #" G $ "! # $ I = A F 7 F 6 & B01 1 = 01 8D 6C % 1(6) C 5 B01 D$ -! B- = 01 D$ 1 $! $95 : B01 D$ F 13

46 /4 " " ( C B01 D$ # " #" # % C p 15 &&! 1! 5 B01 D$ #" 1$ ( #5 1$ B #5 1$ #5

47 " /6 1!A"! 5 # $ & 3 '# ;/ & '( 3 ).6.9 $ " # 1! $5 -! B01 - D $! # $ 0 "GC,,, C" / +C,,, C-$ & " (1) 1$ = % 1 & #& 5 1 5" " " C " " # A" 1 5 " $ $ 1 " $ = & " " 1 $! 5$ : 10 5$ $! $ *+,,-. *1. 1 " 115 *1. 8 B+D % 1 C C ( 8 B-D 0 *1. *1. *1. - B- J D$ " " $

48 // " " : # $ 1" 5 $ "G (+C C C C ) "J ( C *C C ) 5 3 S. 1 1 S 3 4 S % & - %! B+D,! B01 B-D - B- J D 1# 5 '' " - D #! : : " " $ %!! $ 1= #5$ ' $ -! "! 01J- $ % & " " " %! "! " # $ > B> D "# &#' > B> D % 01J > $

49 " /9 &%' # #" >G >J T T 1 h(t) >G B>GD E 01J >G B>JD E 01J >J B> D %&'B B>JDC B>GD = +D E >J $ 0 "! E%&'B01J >J C + = 01J >G D %&'B01J >J 01J C >G D E = 01JB >G >J D 01J >, =! B01 - D$ " - %!! B- 01 -D$ '' ''& 115 #" "! 1 $ % $ r T r v p Tp v p-1 Tr r v p v p-1 v1 i T p-1 Tp Tp-1 T 1 T i v 1 T 1 i T i ' " - %!! B- 01 -D$ &##!5 9+ %!5 % +!5 # J / C # " +! 01 - # $ $!5 # " -,

50 /; " " ' $ " - %!! B- 01 -D$ # #$ # "# $ - %!!! %! 5$ 0! $ 0 %! B-D$! " & &! " %! 1 $! 5$! #! / " # # $ $ 1 1 "Charge" "cost(j)" find(6) find(7) find(8) 3 3 ' % " # $! 1# # 5$ = # B D / (!5 B1 9 +D B D E!5 1) C % E 1 E 01 -, % # "!! " # # #! /

51 " /. 1 5 / 1 5! # #! $ 0 " 15 0! + = B01 $ 1!5 0 E B!5 1 9!5 B1 9 #" "! B D $ B D$ % $ = # B!5 1 9!5 B1 9 $,-. & " %! " " # $ = G - E G *+ = + = + * -!5 1, =,-. B!5 1 9!5 B1 9 +DD - -,-. + 9!5 B1 9 +D E ,!5 1!5 1 " =,,,.

52 / " " %! B-D! B 01 -D B- -D 01! # BB- = D01 -D,

53 - $ %! $ # & '' & % &&' ''$ $ : " $ = 1 5 # / 1 5 #! B 5 $ * * * * * etenevä poikittaiskaari puukaari * * * sivuttaiskaari * * takautuva poikittaiskaari * /

54 9 " " "#$%& # $ & = B C D *.C $ #% 0 " $ 0! > > $ &# > : 0 '# ( ' 6 73B/ 0 '# 0 ' 6 ( 73 B ' 1 5/ '( ' 1 5/ 4 ' 6 73"/ 0 '# *. ( 0 ' 6 73 B 4 &1B C D C> 5/ ' 1 5 (/ ( $ ' $ = B C D # B- =!D -! $ % & $ & B-D$ :" ' B C D! # 1 5 # # " $ # " " #"!! & 6 7 $ & %& 6 7 $

55 " " "#$%& # 6! 7$ & = B C D *.C $ #% 0 " $ 0! > > $ &# > : /! - : +/ 1 - : +/ 0 '# ( ' 6 73B/ 0 '# 0 ' 6 ( 73 B ' 1 5/ '( '# 1 5/ 4 & 6 73! - /! - :! - = +/ ' 6 73"/ 0 '# *. ( 0 ' 6 73 B 4 &1B C D C> 5/ ' 1 5 (/ & %& / 1 - : 1 - = +/ ( $ ' $ 1 C 5 #! & 6 7 ; & 6 7 & %& 6 7 ; & %& 6 7$ % &$ $ & 6 7 < & 6 7 ' 1 5 # $! ' C $ 5 %& %#%$ # $ # B D $ $ 1 C 5 B D B D$ '& '! $ B D & %& 9 6 7$ =# # "! $ 9

56 94 " " ' '& & & % & % && = B C D ' '& & % & % && # $ 6 # " $7 # # # #! # $ "#$%& $ 7 # $ 4 $ " $ 6 $ 0 # #!! $ / $ 7 # #! $ G Gr ' $ <" B B- =!D - C! $ 4 Gr C D # # % & $ & 1 # K 5$ & "! # # # $

57 " " $ # # $ #/ $ $ 5 $ 0 5 # " " 1 - *5. $ 1 - *.C $ # '# 1 '# 155$ 0 5 '# 1 5 '# 155 $ = '# 15 5 $$$ '# 1 5 $$$ '# 1 5 $$$ '# $ " " $ $$ "" "" =#! 0 $! $ : " # #" $ 1< # $5

58 9/ " " < $ % ## # $ B C D # 1 5 $ = '& #''&%&& # $ #! & $ 1 $5 & #! '$ B C D # " B C > D 13# 5 $ = " # 4 / " #" # 6 #! $ % & $ # 6! $ # #! $ 1 6 $5 # 1 5 " " 6 " -# -! $ 0 a

59 " " 99 % "! # #" # > #" $ # B! " 1! 5 # $ $ B B6 7 > C 5 $5 "#$%& 0 '# ( 6 73B/ 3 / 0 '# 0 ( 6 73B '#! 1 5/ '( '#! 1 5/ "/ 6 73 / B6 73 / 3K/ 0 '# 0*. ( B 4 '#! 1 5/ 0 B6 7 " 6 7 < ; B6 73 1B6 7B6 75 ( B6 73 1B ( & 4!# $ 1= 4!# " $5

60 9; " " - = # $ # < & %# " 1 $! 5$ ' $ < 1% $ <.695$ < # 1 5 # / 1 5 $ % = $ # " $ " B $ <! #! $ $ $ : B C 9+D,# " C D! #! 1 5$ # GC,,, C $ $ " < # $ 7 " # + < # $ G 1 G 3 G: G = " " P ' < $ = # < 4 $ ' <- $ = # < 3 #" $ $ 3$ $! #" $ $3$ $K $

61 " 9. $ #! "$ # & # # B C D$ #% # < # + $ &# 0 *. #" "! - $ "! < # + $ &! #" + 1 $ " # 5 # " $ " ' ''& 0 #! $ &! B D$ 0' < 1 5/ 4 C D *.C / $ B 1: 5/ $ / : / 0 *. - 4 D / $! B C 1 : 5/ + # $ $! - -/ : ( 4 $! B C D /! - -/ : ( + - -/ + ( $

62 9 " " -- = GC,,, C - -# - GC,,, C $ < " # # ) G J H? G J H? 6 + # $ " # # " " 1$ 5$ # "! " # & ## & ' & 1$ (' '# 5 S1 S S 3 S 4 t 1 t t 3 t 4 S t 5 5 S5 t 5 &# B C D $ # & ' & $ $ # $ : & ## # 1 $ 3 45$ ' &% $# $ $ #" $ : ' ' %' $ & %# & '! $ $ " G JC G J $ $ B G JD$ ' 1:$ 695$ B G JC D G J $ G " B D S 1 S S 3 S 4 t 1 t t 3 t 4

63 " " " " 9 B D ( J C B C D " G B D " $ % &$ = $ G B D ", G J $ $ 1 " " # $5 G G B( $ " G)D ( G) + G G J G " " B GC GD$ J G G $ B( GC J)D " J G ( GC J) $ J $$$ $ u 1 v 1 u u 3 $ J $ -! - G " " "! + v v 3 v u v u k k k-1 i+1 v i u 1 # # " $ $ # + B GC,,, C $DC # $ +

64 ; " " & & %# G $ '& '&' $ # # &# 0 & B D B D, ' $ = +$ % & $ + +G +JC+G C +J, P: v v v v v v k-1 k P 1 + B +J! D +G! 0 +G +J = + + = +, " $ & : $ 4 $ < " + $6 7 6 $ & : + $

65 " " " " ; / $ 4 $ & " ' $! B C " $ % & $ B C D " $ 0 # 4 $ = # 15 / 1!5 / 1'5 / " " C " C B "D B "D, 0 " $ " $ =! 1'5! $ "! $ # # $ 0! " $ #! B G JC D $ = J G G J " # G # J $ # B = D$ 0 # 4 " " B, B = DD B, DC ",

66 ;4 " " V V 1 V 1 V V V 1 0 " # # " #" # "! B, D, 6 '( 3 B, 6 ' 3 # 7$ D!

67 + + 7:! " # " $ # ## # # - 1 $! $ # $ + 5 : < $")> + = " +! " $ # " +! " -! $ & +! "! # # # # #B 5 # # ( $ D &&% &% $# ' B C" C FDC ;6

68 ;/ " " " 1 5 # 5 " B5D " F ( F : " $ $ 5, " B5D 1 5 FB5C D E FB5C D " B5D, * 6 5 : FB5C D " FB5C D " B5D., F B5D FB5C D $ " B5D # $ # # B5C D FB5 C D 9 F B5D F B5D, * 6 5 : F B5D 9 FB5C FB5C D D. B5C D " % B5C D % $ # ) )B5D " B5D 5, & )! " % = B C" C FD B5C)B5DD E 5, " BD 3 " / 3 / FB C D < 0 ' #,! 1 5/ 4 C D/ $ B : / : (

69 " " ; C 53 / 3 ( )/ ( $ 3 # # (/ &! " BD$ ( 15 $ # 8 8 $ 1 $ $5 = " + B C D 9 E +C $! $ 1 #5$ :# #,! E ( ),

70 ;; " " =: >"+ >"+! # B C C FD FB C D E FB C D = FB C D C >"+! 7:! " $ 1="" E =: "! < B C C FD 15 " > / 145 " > - > #" -/ # $ T C T C > $ = FB D FB> D FB D E FB D " $ # 8! 8 " $ 0 > FB> D E FB D " FB D EFB> D EFB DC $ # 1! 5$

71 " " ;. " " # 1 5 $ &% '#$%&! B C C FD/ 15 " > / > / 145 " 6 " #" 7/ 165 " < # B C > D 1/5 " - -! Virittävä puu (V ympyröity) Eräs pariutus E = FB D E FB Oikaistu reitti C D FB> D = FB D, "! " E G JFB D, 0 FB D E G JFB " FBD E FB> D = FB D E FB D = + FB D FB D D $ 9 # 1 G J! 5$

72 ; " " =: =: ' + + =:! #! # " % $ % & =:! ) FB C )BDD E #, F BDC + D # " % #! B + " B C D =:! C 8 $ 8B C D * + C B C D B # = +D, C 3 # $ #, $ & ) # FB)B C 8DD E #,, # " $ =:! $ = =:! "! "! $! " " " =: " + =!! ' $ + # " F $ % & $ = 6& $ <<<,= 47$ " $

73 " " ; B C" C!D 1& %# % 5 '&&% % & ' )B5C D $ % )B5C D " B5D B5C)B5C DD E / 1 5 1! B5C D E 10 B 5 D$ # 1 5 # " B11 D 1! B5C D E 10 B 5 C G D, & & & %# % $! # $ %! # # $ & $ " ) B5D )B5C D $ 10 7 &:=&,0 5 " $ " -- '& ' GC,,,C GC,,,C $ # %##& '& ' & " (+C,,,C-) $ $ E", '& ' &' 1 5 B D, 7 :! " 1# $ :& 7! 5 " 1 5! # " $

74 . " " "#$%& 0' ' 1 *+,,-.C *+,,-.C" 5/ * %,, C- 10 C,,,7/ 4 * : %. # 6 5 : %/ 0 # : + - ( 0 : 65 (: ( ( $ 0 *. 4 : *./ 0 *1. = * #. E" 4 : = * #.# : (#)/ 0 *. 3 *. : 4 : *. / 0 *1. *8. *. : (/ 0 $ : ( (/ B 6 5C * 65.D & * %,,. G " $ 1 $ # #! $5 & " 1B- D $ &! 1! 5 # # &%& %# % $ & "!! $ 1= " # " # $5 "! '

75 " ". G C,,, C C GC,,, C $ B D G C,,, C C G F C,,, C F C $ " 6 $ $ 7 " F F " F F " F 6! 7 B F 9 +D 9 F " B D 9 -F, 6! 7 6 $ 7 = B D " B D " B D 9 -FC " # # -F E - F C B D 65( 1 +C,,,C-), " " B- FD B- J FD, # $ % F, - " B- D!! $

76 .4 " " - ' 1 $%".95$ ) + + ) + ) ) 1 $ ) E )C) ) $5$ ' : : 7 :! " $ + $ # # % %##&' -7 :! " - #! " + 7 : " " : 7:! " # A G B GC GD J B JC JD$ # " "! : G J B C D G B B DC B DD J C G #" 13!5 & - $! # 0 + #C # #"! #" " 1# $! 7 :$ " # "! 7 :! " $ 1 $$!! : $5, 1 $,37 : 5$ '!,3( ) ) ), # " " '!:3:$ = '! 7 :37 :$ 1 7 : #5$ % 7: '!7 : 7 : 1 5 " 7 : 1 $ 5$ 0 )#& ' 0 ) '!7 :! " ) 7 :! " $ '!7 :! " $ & $ $!, 0

77 " " " " "" ".6 " +"+ ) () ) " $) C +"+ ) () ) " - " $- $) # : =:&,<3'!: =:&,< + + C F "+ ), < " :3: =:&,< $ #" -:37 :-! ' 1 $ =B '#.65$ +"+ ) +"+ ), : =:&,<! " 0 A " $ & B G5GDB J5JD,,,B 5 D B5G C,,,C5 D 5GC,,,C5 (%C +) C, C 5 B D +> () ) ) C +"+ ) () ) ),! ' " +"+ ) +> +"+ ) # / $! ' " % &' %() &/

78 ! " "! % % & &' % % & ' " # + + +"+ ) +>, ' " # ) &' %() & &' % % & ) + & $ &' %() & C, C 5 C &' % % &! ' " ) / C, C 5 C J! $ $,

79 $ $ $ ( ( $$ / $ $ $ $ -!" - -# $ % & -' ()* +,-./01/33,31 % :5; 4 # 6 78 # 9: # ; <=><"? $ 4C 6 D45 E 7 F D;4 # 9 G D G H I 45 4 JKLJ" 454 # # " MMBBM JKLJ" 454 N # $ OP

80 O!! $ 44 # P P 3 P 0 P 1 P 1 P 454 # 4 # 4C 454 # 4C :5; 4 # 6 78 # 9: # ; 7859:59; 78 # 9: # 9;?"B?BM 45 4 # 6 85 :5 8 # : 6 F4 # # !" $ 45 # %! # # # F4;74 # F4; 6 85 F 8 :5 F : 8 # F 8 : # F : F8;7: # F:;F78 # F8;7:5F:; $ H 454 # 4 # 4C 74 # F 45; 74C F4 # ; $ 454 # 4C4 & & 774 # F45; 74C F45;;774 # F45; 74 F 45;; G F 4C; 745 F4C;;774 F 4C; 74 # F4C;; G

81 ! OO (),,00.//3,,3 7-#; % $ # I & $ & $ 77- E ;!" -; J!B> "5" #M$ % & & ' ( ' ) & & *?$>& B+#,$- L>>B> + #,$- A=> + #,$- A>. +#,$- 7!" -; "5 " # / 8 "5 %0 " # '

82 O # # "5 " * # B$?>?<<M$?$B> / ' 4 4 "?$>& B+#,$- A=> + #,$- A>. +#,$- 4 " A=> + #,$- A>. +#,$- L>>B> + #,$- 7!" ; 7!" ; 7!" ; J!B> "5" #M$ % ( ) 7!"; 77 E ;!" ; * (),0/,-! " 6 #459HHH94 $ <=><$? =>&K % ' & ' 7"; " % 4 (

83 O " P 10 P 1 P 11 P 9 P 7 P P 5 6 P P 8 4 P P 1 P 0 & &!" & & ;!" *!" P 3 n=1 k=5 ) J!B> " 4 4 #M$ ) & ' 7"; & & 5 ) ) & ' 7"; ) & & HHH9

84 # # $ + - " < + - M$K +4, - M$K +45, - M$K +4 #, - >BBB + -, B ( + - M$K 4 (?<=B?=MM$ ( 7!" ; 7; 4 ( " F 1) P 10 ) P 10 P 3 P 3 P 1 P P 1 P 0 P 1 P 0 P P 1 3) P 10 4) P 10 P 3 P 1 P P 1 P 3 P 1 P P 1 P 0 P 0 5) P 10 P 5 6) P 10 P 5 P 1 P 4 P P 3 P 1 P 4 P P 1 P 3 P 1 P 0 P 0

85 ) J!B> 45 4 #M$ ) + - & & 5 ) 5 & & & & # 5 % ( & ' 7"; ( 5 ( % % " " $ 45 4 # # " 4 ' 4 " " #4 $ 6 45 " 4 ' 4 " " #4 $ 6 & ' 7"; * q 4 = p q 5 q 3 q = p 1 1 q

86 $ () 1! 13 /3,,3 # # # % J!B> 454 #M$ : # ; 6 78 # 9: # ; 749 ; F 8 # ;# E 7:5 F : # ;# M$BM$ " 8 : ( % "9 9 $?B G " " " 6 " " 6 " " " ' % "9 9 $ % "9 9 $ " " 6 79;?B$> ) :

87 # # # # &<> K=?B ) 4 O Q l Q r δ δ δ P l Pr δ mahd. kaksoispisteitä δ l l P joukon Q l pist. etäisyys > δ joukon Q r pist. etäisyys > δ?<=b?=mm$ 7!" ; 7; 6 7; E 7; 7; 6 7!" ;

88 ()( # # % 749 ; 4 ' 749 ; 6 # # 749 ; G 7 9 ; $ ( 4 ( &? $M ( ' 749 ; 74; 6 &? $ &? < & <? ( &? <=?! 7; P ( & & 7; ( >M J (

89 # + #- P ( ( M$> 74; ; M$> 74; ( & ' 7; #L?$BM$ 74; 4 & ' 7; 74; 4 I & ' 7; 4 4 I 4 q p S r

90 # # M$>! 7; 7; M$> )! 7; 7; F #L?$BM$ (! 7; 6 7; ) 7; F I % 6 #789:; 8 % 0 $ 9 6 #789:; 8 $ 0 $ #4 # 749 ; ; $ ; 6 # 749 ; $ 6 #749 ;! 7; 4 9! 7; 6 7! 7; $ 7 ;; 7! 7; 7 ;;9 7 ; 6 #789:; # 8 % 8! 78 9:; $ 7 ; 6 #789:; # 8 $ 8! 78 9:; $ P L(P) P R(P)

91 # + #- O & ' J!B> ( #M$! 7; & ' 7; %! 7;9 & ' 7; $ M$BM$ 8?B 6 #4 $! 7; 6 & ' 7; 6 #4 $ )! 9&'! & ' %! 9&' $! & '?B$> ) & ' & ' ( J $??<$? & ' 7; & ' & ' & ' 7;! 7; ( : : # &<> & ' & ' 4 & ' & ' " 4!! * 4 " ( 4 "

92 # # I 4 " " " 4 I 49 ( )! 7;! 7;! 7;! 7; 7!"

93 # + #- * ( 6 % 9 $ 8 % %! 9&' $ * %! 9&' $ * 4 & ' & ' 749 ;# $ '4& ' # $ " >B & ' # $ 4 9 ; "9 ; 4 >B & ' 749 ; # $ " " '"& ' 749 ; " 6 & ' & ' & ' # # % 7 7; 7 ;; 7 7; 7 ;;9 & ' $

94 # #

95 / G G $ F F 7 ; 5 5 ( MBK &&?$ &BB 7 E ;

96 $ )*.3! --/ +- 33,,3, 1 A A A AA AA A A A A $ ) A A A AA AA A A A A & & I A A A AA AA A A A A ) A A $ ) * A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A I A A O O

97 # ## # A A $ O A O A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A A A A AA AA A A A A $ I I I I I $ P O I $ $ I ) I 6 I

98 I I ) 7 E ; I 7 ; ( I I I I G $ $ I I I I I G I I I I $ I I ) I I % I 6 I I ) I I $ 6 I I ( ) I $

99 # P ),- -, -/,,3, 1 ) * % % %% % % % ( I I ' ' I I * G ' %

100

101 7; 7; 6 7 ; E H $ 7; 6 7; G 7 ; E 9 $ 7; F # 9 H ) 7F ;7F; 7; ; HHH 9999HHH / 4 4 7; 7; O

102 P ( 7; / $ O P $ / / &7#; O / 7 ; 59HHH9 5 5 F F P $ $ O P / $ 7 ; % $ O P / ( % $ % &7; 6 7 E ; % 7 ;

103 # 8 : 6 8 % $ $ I( % ) $ ( ) / $ O P $ $ ; F 78;; 78; 8 78; ( P $ P P $ O / O / / 5 / G G O O$ O ( 6 # $ 9 6 9HHH E 9 ; E 9 ; 799;

104 7 9 9 ; 79 9; 6 7 ; &7 ; / ( HHH9 9 ( ( $ % $ 7 9 ; $ $ $$ ( ;

105 # ( $ $ ) 5 # $ 5 6 # / ) $ % $ $ $ $P % ( * $ / / 5 # HHH # / / 6 % / F / / 5 # HHH 5 / # HHH 5 # HHH 5

106 $ $O ( 6 #9HHH9 $ 59HHH9 8( ( 8( * ) $ 7 9 ; ( ( ( ( ) % $ & & $ & & $ $ $ $ O P $$ O PO P$ I % 79; 859HHH98 % % 859HHH98 % 8(

107 # $ ( O P 6 I I I % O P 6 I ( ) % / P % I 4 $ 6 F 4 ( F $ P % 4 $ 6 F 4 6 F $ ) $ O # / ) 7; F *

108 8 F % 6 5 HHH 9 ( ( 6 8(5 HHH 8( H 8( % ) ( ( ( ( $ 6 I 4 $ G % 4 7 4; $$$ ) / # $ 9 ; " 6 #" 7 4; $ / ) G % ; $$P ( ( OP % $$ % / / 0 : 8 / : / # 0 6 #0 0 $ ( $ $ %

109 # $ ( 4 " ( E 4 " H H 4 H H H " H H * I O $ :5; 4 # 6 78 # 9: # ; 45 4 # 6 85 :5 8 # : $ 4 # # 45 P 4594 # 9HHH94 % ( O F 4 % F E 4 6 * P

110 * ( (

-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012

-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 -J w. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 JOS ET NÄE LUKEA ALLAOLEVAA PIILOTETTUA TEKSTIÄ, JUO LISÄÄ SKUMPPAA, SILLÄ STEREOGRAMMIEN NÄKEMINEN ONNISTUU VAIN SILMÄT KILLISSÄ.

Lisätiedot

!""# $%&'( ' )' (*' " '' '( "! ' *'&' "! ' '( "!! )& "! # "! & "! ' "! $''!! &'&' $' '! $ & "!!" #!$ %! & '()%%'!! '!! # '&' &'!! &'&' *('(' &'!*! +& &*%!! $ & #" !!" "!!!" $ " # ' '&& % & #! # ' '&&

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

!"##$%&'(%&)*$%&+(),-*-"%$%.&

!##$%&'(%&)*$%&+(),-*-%$%.& "##$%&'(%&)*$%&+(),-*-"%$%.& "#$%$#&'"(')*"#+,--.-#,//**-%'"#+&$)'*0&)"*+&1*1/*/,')")*-+ + + + "#$%&'#()%*+*,-./010023456/57869:8057;- ;

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Opetettavien aineitten patevyyskoodisto

Opetettavien aineitten patevyyskoodisto Opetettavien aineitten patevyyskoodisto aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao jp jq jr js jt ju jv jw jx jy jz ka kb kc kd as at au av aw ax Suomen kieli, 60 op. Suomen kieli, 120 op. Suomen kieli,

Lisätiedot

ARKISTOLUETTELO A MERKINTÄKIRJAT. Aa Luokkien päiväkirjat. sis. 5 sidosta. 1 kansio. Aa:1 1924-1926. Päiväkirjoja. Päiväkirja. 4 sidosta.

ARKISTOLUETTELO A MERKINTÄKIRJAT. Aa Luokkien päiväkirjat. sis. 5 sidosta. 1 kansio. Aa:1 1924-1926. Päiväkirjoja. Päiväkirja. 4 sidosta. ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-J Arkistonmuodostaja/viranomainen Valkeakosken yhteiskoulu Hyllyn numero 146-153 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden

Lisätiedot

Arocs 3663 L 8X4 B 16

Arocs 3663 L 8X4 B 16 Arocs 3663 L 8X4 B 16 Moottoriteho: 460 KW Sallittu kokonaispaino: 35500 kg Mallisarja: Mercedes-Benz Arocs Ajoneuvotyyppi: 3663L Akseliväli: 4500 mm Rakennemalli: 96404112400 MBKS MBKS MBKS Mercedes-Benz

Lisätiedot

KOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros

KOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros Tilatunnus Tilanumero Käyttötarkoitus Pinta ala '2C94 1,H1 HISSI 1 3,9 '2C9D 1,H2 HISSI 2 3,9 '2CA6 1,H3 HISSI 3 2,0 '2CAF 1,H4 HISSI 4 2,0 '2BC5 101 SÄ 1,8 '2BAA

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET

VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET Sivu 1 Versio: 3.4, 19.12.2014 VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET 1 (18) Sivu 2 Versio: 3.4, 19.12.2014 Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 2. Testiympäristö... 3 2.1 Vetuma-palvelun testiympäristö... 3

Lisätiedot

ARKISTOLUETTELO. Kopio SIVISTYSTOIMI KESKITETYT PALVELUT ORGANISAATIO JA TOIMINTA PÄÄTÖKSENTEKOMENETTELY LAKKAUTETUT TOIMIELIMET URHEILULAUTAKUNTA

ARKISTOLUETTELO. Kopio SIVISTYSTOIMI KESKITETYT PALVELUT ORGANISAATIO JA TOIMINTA PÄÄTÖKSENTEKOMENETTELY LAKKAUTETUT TOIMIELIMET URHEILULAUTAKUNTA Sivu 1(23) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960-1971 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1972-1976 Sivu 2(23) Ab Lähetettyjen kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Lähetettyjen

Lisätiedot

MAHDOLLISUUKSIEN TASA-ARVO, SIVISTYS, KANNUSTAVUUS, SUVAITSEVAISUUS, VÄLITTÄMINEN

MAHDOLLISUUKSIEN TASA-ARVO, SIVISTYS, KANNUSTAVUUS, SUVAITSEVAISUUS, VÄLITTÄMINEN H V: Vr Pr: Mr V: Syrjyy yrjy Nr S K S 3 S 3 S 6 2/2012 UUSISIPOO NYA SIBBO 7500 Hy, MAHDOLLISUUKSIEN TASA-ARVO, SIVISTYS, KANNUSTAVUUS, SUVAITSEVAISUUS, VÄLITTÄMINEN rj, j d rd yö yö S Työ j yr y yd O

Lisätiedot

TEKNISET TIEDOT. Männänvarreton sylinteri Ø 16 mm

TEKNISET TIEDOT. Männänvarreton sylinteri Ø 16 mm Männänvarreton sylinteri Ø 16 mm Männänvarrettomien sylintereiden valikoima tarjoaa ratkaisun jokaiseen automaatio- ja asemointisovellutukseen. Hyödyntämällä edistynyttä muotoilua ja tuotantovaatimuksia

Lisätiedot

Hysteerinen komedia meistä naisista...(ja vähän myös miehistä)! oivatuotanto.fi

Hysteerinen komedia meistä naisista...(ja vähän myös miehistä)! oivatuotanto.fi H d (j v ö )! H: Kj j j: Apö : S: Tjjj: Lv: V: V-p: Ä: M: Kp: Pv: Nö: Gfi : Kv: S Sd Bjö Jbdó N Hg T P Tj V Gd Ö J Tv K K J Tv, K Kj R H, K W K W Gd Ö J H, K Ld Mj H K Kj K 1 30 j 15 v Ap : Sf Ed 3 Sg,

Lisätiedot

Kuvat: Anju Asunta, Tuusulanjärven kamarimusiikki / Maarit Kytöharju, Järvenpään Teatteri / Timo Saarinen

Kuvat: Anju Asunta, Tuusulanjärven kamarimusiikki / Maarit Kytöharju, Järvenpään Teatteri / Timo Saarinen YEÄ & INFONI :, / ö, / ÄENÄÄ, g, ²,, ² 00 Y 000 E g, d ÄENÄÄ EINOIINEN UUUIUUNI g, d: g, d d, g g d ö I b, 0 b öö, dbfd d E f dbfd ö ö E, f UUUUNGI EO U, g ö ö, g b öö g ö, g,, d ö UUNI UUI ÄEEN d E I

Lisätiedot

"#$#%&'()$!*+,#-+,)(!!!./(012&&1-1! -13/,2-1! /)1*1! 4'5'%6#&#,)'*!,'%(&&+0()&+! 7!! &#$#%&'()$!&#$%#-(*-/(*&(1!32/01))1!!!

#$#%&'()$!*+,#-+,)(!!!./(012&&1-1! -13/,2-1! /)1*1! 4'5'%6#&#,)'*!,'%(&&+0()&+! 7!! &#$#%&'()$!&#$%#-(*-/(*&(1!32/01))1!!! "#$#%&'()$*+,#-+,)(./(012&&1-1 -13/,2-1 /)1*1 4'5'%6#&#,)'*,'%(&&+0()&+ 7 &#$#%&'()$&#$%#-(*-/(*&(132/01))1 9/)(113(7:1&'5-'#)131*,'%(&&+0(*'*:1:/%&10(*'* ;10,/4(**+#&'&#$ ?? @15(91-/31(*'* "##$#%&'()*

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tietolan kansakoulun luokkapäiväkirjat. Ab Kirjastonhoidon päiväkirjat. Tietolan koulukirjaston hoidon päiväkirja

Tietolan kansakoulun luokkapäiväkirjat. Ab Kirjastonhoidon päiväkirjat. Tietolan koulukirjaston hoidon päiväkirja ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-H, M, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Tietolan kansakoulu Hyllyn numero 91-93 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden

Lisätiedot

SVUL Lahden Piiri Talletus: Lahden Hiihtomuseo SVUL:n arkiston sisällysluettelo

SVUL Lahden Piiri Talletus: Lahden Hiihtomuseo SVUL:n arkiston sisällysluettelo Ark.yksikön sivu 1(37)18.6.2009 A DIAARIT JA MERKINTÄKIRJAT Aa Postikirjat 1 kansio Aa:1 Postikirjat 1969,1971-1974,1980 1 kansio Aa: 2 Postikirjat 1988-1991, 1985 Ab Vieraskirjat 1 kansio Ab:1 Lahden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

http://www.angelniemenankkuri.com/index.php?page=ilu/nuoret/ajankohtaista&select=3&head=nuori%20...

http://www.angelniemenankkuri.com/index.php?page=ilu/nuoret/ajankohtaista&select=3&head=nuori%20... Sivu 1/28 " #%% ((%% ( * +, " -. / " - ("*0 "# % "# (( # # ( ( * # +,,-. /0,-,,2 3 #4 3 % % 5 5 * 4 % 3 6 4 4 44( ( % #"" #"#"# + 7. 4 %%2%%3 % 4 9#:200; 1 5242%% 1,1200/,/,/ (43%% 1 ("*01,01200/,202200/

Lisätiedot

TALVIKAUDEN LINJASTOSUUNNITELMALUONNOS

TALVIKAUDEN LINJASTOSUUNNITELMALUONNOS 1 () död 10 TIUDE -1 IJTOUUITEUOO öd J - d T g g d 09 - -d 1 %: 18 %: g J % d 09 11, d 0 % ö ö, d d, g d ö T - b ö d, d, ö T d T d d T, d ö J 11 (://f/f///), d, d -, ö d T 8, Fc 2 B, 1 T, 0-11, fx 0- @f,

Lisätiedot

Fax 03-5461666 v.kangasaho@pp.inet.fi

Fax 03-5461666 v.kangasaho@pp.inet.fi Osanumero Kuvaus Kpl Hinta (alv 0%) Hinta (sis.alv) Hyllypaikka Tuote nro Nimi Kpl Hinta (alv 0%) Hinta (sis.alv) Hyllypaikka 204 2 501J9B 0245 2 444D 01078 2 101C 01202 LAAKERI 1 73,36 89,50 401A4B 1402

Lisätiedot

"#$#%&'()*%+,$-#.!&,*$#-/0!1'&),*,,.!23*&343.!'45,,.!#$3#6�#44,!!!!!

#$#%&'()*%+,$-#.!&,*$#-/0!1'&),*,,.!23*&343.!'45,,.!#$3#6�#44,!!!!! "#$%%&'())(*+(,))*%-./))/**01*'/,)&23*4%%&(+'*,5" "#$#%&'()*%+,$-#.&,*$#-/01'&),*,,.23*&343.'45,,.#$3#6�#44, 7&&'--#$%*$,'$%545-5-$#..%.%)#..3/-,-/8 "'69,.0#:5;?@A B,,--'74'$'44''.:''*'+'C'-*#C''*-%

Lisätiedot

Peitelevy ja peitelaippa

Peitelevy ja peitelaippa Peitelevy ja peitelaippa Tuote LVI-numero Pikakoodi PEITELAATTA MERIKA 5688050 JF92 50-75-110/VALKOINEN 510 PEITELEVY ORAS D70/G1/2 167051 PEITELEVY KAULUKSELLA 50 MM-130 MM PEITELEVY KAULUKSELLA 75 MM-150

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

!"#$%&'()$*&$(+,"+ )"##*(($(+ $-".+ #*/*(0"(+ /%.**11*2)&*.!213.'##'+

!#$%&'()$*&$(+,+ )##*(($(+ $-.+ #*/*(0(+ /%.**11*2)&*.!213.'##'+ "#$%&#'()* "#$%&'()$*&$(+,"+ )"##*(($(+ $-".+ #*/*(0"(+ /%.**11*2)&*.213.'##'+ "#$%&'()$*&$(+,"+ )"##*(($(+ $-".+ #*/*(0"(+ /%.**11*2)&*.213.'##'+ "#$%&#'()* +,(##*-'&'-. /&0*'1231 4((5&'6)7$89$)$'$97:;&)

Lisätiedot

Bc Tariffiyksikkökirjoja muuntopiireittäin ja järjestysnumeroittain

Bc Tariffiyksikkökirjoja muuntopiireittäin ja järjestysnumeroittain ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Sääksmäen kunta B-E, G-K, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Sääksmäen Sähkö Oy Hyllyn numero 786-799 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden

Lisätiedot

Ilmalämpöpumput. KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY LVI-numero PIKA VR06

Ilmalämpöpumput. KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY LVI-numero PIKA VR06 Ilmalämpöpumput KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY 1582309 VR06 SEINÄLIITOS ARMACELL SPLIT SD-CA 80X60 3258501 GG64 LIITOSKAPPALE ARMACELL SPLIT SD-CC 80X60 3258503 SW22 SUOJAKOTELO ARMACELL

Lisätiedot

TEKNISET TIEDOT. ISO 6431 / VDMA 24562 sylinterit Ø 32-250 mm

TEKNISET TIEDOT. ISO 6431 / VDMA 24562 sylinterit Ø 32-250 mm ISO 6431 / VDMA 24562 sylinterit Ø 32-25 mm Univerin uuden sylinterisarjan kehitystyöhön on hyödynnetty vuosien tutkimustyö ja tuotekehittelyn saavutukset. Tuloksena on luotettava tuote, joka soveltuu

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

SIRIUS ACT ohjauskalusteet valintaopas. Lyhennelmä luettelosta IC Luettelo sisältää tyypillisimmät. siemens.fi/sirius

SIRIUS ACT ohjauskalusteet valintaopas. Lyhennelmä luettelosta IC Luettelo sisältää tyypillisimmät. siemens.fi/sirius SIRIUS ACT ohjauskalusteet valintaopas Lyhennelmä luettelosta IC10 2017. Luettelo sisältää tyypillisimmät ohjauskalusteet siemens.fi/sirius SIRIUS ACT Ohjauskalusteet SIRIUS ACT nykyaikainen sarja korkealuokkaisia

Lisätiedot

Rakennepoikkileikkaus 1:100

Rakennepoikkileikkaus 1:100 B x ( ) x h ( h) - h x x UYUO x x h x OU gd d - -gd h " -" OU U Yhd - h C - OOD -G Y g x g d B O U b Y d g ) ( G O g C x + O U C - x +- C- x +- d ) ( h h b C d h ( h h ) h» h C h C - b d UOU h b h c hh

Lisätiedot

Mittamerkinnät. Yleistä. BEP-koodit

Mittamerkinnät. Yleistä. BEP-koodit BEP (Bodywork Exchange Parameter) ovat koodeja ajoneuvon eri mittojen tunnistamiseksi, jotta tietojen siirtäminen ajoneuvovalmistajan ja päällirakentajan välillä sujuisi helpommin. t noudattavat kansainvälistä

Lisätiedot

LOIMAAN KAUPUNGIN ELINKEINOPOLIITTINEN OHJELMA (luonnos 17.12.2008)

LOIMAAN KAUPUNGIN ELINKEINOPOLIITTINEN OHJELMA (luonnos 17.12.2008) LOIMAAN KAUPUNGIN ELINKEINOPOLIITTINEN OHJELMA ( 17.12.2008) 1. Jd Ep p. T p pg, L d pp d d. O p L g p. Kpg p : L p g 1 2 p Kp K E g L 3 g d 2 0 0 9 2 0 1 2 g 4 p T. w 5 w w.. f / I f T V 6 p M K 7 Y p

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Stadicup 2011 F8 IKÄLUOKKA FAIR PLAY JOUKKUE (JAETTU PALKINTO) LPS 03-05 JA LPS PINKIT, FAIR PLAY PELAAJA PEPPI PISILÄ NJS ESPANJOL/SININEN.

Stadicup 2011 F8 IKÄLUOKKA FAIR PLAY JOUKKUE (JAETTU PALKINTO) LPS 03-05 JA LPS PINKIT, FAIR PLAY PELAAJA PEPPI PISILÄ NJS ESPANJOL/SININEN. Stadicup 2011 VUODEN 2011 26.STADI CUP TULOKSET JA PALKITUT! F8 IKÄLUOKKA FAIR PLAY JOUKKUE (JAETTU PALKINTO) LPS 03-05 JA LPS PINKIT, FAIR PLAY PELAAJA PEPPI PISILÄ NJS ESPANJOL/SININEN. F9 IKÄLUOKKA

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

suomeksi eduskunta 2013

suomeksi eduskunta 2013 d 213 Ed vd y 4. 213. Ed v d E H (d.) j v P Rv (.). T v j A J (.). Vd 213 vv vj v 5., j v 212 v v d S Nö v vv. Vv v y 12. 213 j. K Jy K (.) jj T S (.) j J S (.) db. Ojj vv v - - j vyv-d,, d d d. K j db,

Lisätiedot

Arocs 3763 8X4/4 B 16

Arocs 3763 8X4/4 B 16 Arocs 3763 8X4/4 B 16 Moottoriteho: 460 KW Sallittu kokonaispaino: 37000 kg Mallisarja: Mercedes-Benz Arocs Akseliväli: 4850 mm Rakennemalli: 96403012400 MBKS MBKS MBKS Mercedes-Benz sind eingetragene

Lisätiedot

05<0!<032.3205+#,8=05+#: ;=0502

05<0!<032.3205+#,8=05+#: ;=0502 "# " $ %&&& '() *+#,-. "# " 455.. %&&& 02053.6300005470..20 5105125031222.63006025 3.6107+#,80139 +#,8015.6 2.6.62.52+#: ;2.62205.630030.622.67311232050320 05

Lisätiedot

HINNASTO ME- ja 2TC- High Efficiency IE2 moottorit

HINNASTO ME- ja 2TC- High Efficiency IE2 moottorit ME- ja 2TC- High Efficiency IE2 moottorit Kotelointiluokka IP55, eristysluokka F, lämpenemä B-luokan mukainen (80 C), hyötysuhdeluokka IE2 (IEC60034-30) ME alumiinimoottorit ME alumiinimoottorit 3000 rpm

Lisätiedot

Viiksikatkaisijat >> IVECO

Viiksikatkaisijat >> IVECO 1 / 17 Viiksikatkaisijat >> IVECO Malli Moottori Vuosimalli Tuote Lisätieto 1 Lisätieto 2 29L11 (8140.43B/C) 01.00-251550 vilkut, t + pyyhkijät, sumu 29L9 (8140.63) 01.00-251550 vilkut, t + pyyhkijät,

Lisätiedot

tutuiks k äy t tö ö n kilpailuvu

tutuiks k äy t tö ö n kilpailuvu SAKU : d h 012 1 / 2 d : SAKU g 4 jj 10 U ö ö 14 K d v S Sg 4 Pj 3 SAKU : g 4 Kv d v 6 SAKU jjj 8 U jj 10 SAKU 11 Kv 6 Hvv h 12 K 14 H 16 T 18 V 20 Jjj 8 Khd 21 T 22 Yhd 23 ACTION! SAKU : dh Jj: S - j

Lisätiedot

TEOLOGIAN YLIOPPILAIDEN TIEDEKUNTAYHDISTYKSEN JULKAISU VUODESTA 1853 4/2012

TEOLOGIAN YLIOPPILAIDEN TIEDEKUNTAYHDISTYKSEN JULKAISU VUODESTA 1853 4/2012 TEOLOGIAN YLIOPPILAIDEN TIEDEKUNTAYHDISTYKSEN JULKAISU VUODESTA 1853 4/2012 P 4 V 5 P 6 L 7 A H g 10 K 12 N ö ( ) 15 T,, 16 A3 - N 20 Dg! 18 R 21 E 19 K: K R 22 R 23 L - Hd R, Sf L, I V A V K - Sf L K

Lisätiedot

!"#$%&&%$"$ #'(#")#'*&*!%"+'+"#$%%#)$ ',),+' -$.'(/))+%'+"#$%%#)$ &)0'()+'(%' 1+)$%"/%2 "&'#** 3445 !"#$" %& #"! $"''()""! *#&('(+ (,''"#(! -')(+' "$"#! )#"'!!.." /01 234 54 6775 081 55 99: ;"#' '#)!"")!

Lisätiedot

MARINE COMMANDER 3000

MARINE COMMANDER 3000 SISÄLLYSLUETTELO MARINE COMMANDER 3000 KÄYTTÖOHJE ESITTELY... 2 ALKUTOIMET... 2 PELIN ALOITTAMINEN... 4 TAISTELU... 5 PELITYYPIT... 7 PELITYYPIN VALITSEMINEN... 9 OMAN ALOITUSASEMAN LUOMINEN... 9 LÄHELTÄ

Lisätiedot

http://www.angelniemenankkuri.com/index.php?page=ilu/nuoret/ajankohtaista&select=...

http://www.angelniemenankkuri.com/index.php?page=ilu/nuoret/ajankohtaista&select=... Sivu /43 # $ % ( ) *+,*$ ##$% # # ()*+)),+)./ 0 0 (,* % 0, 2*+)),(..2 300%../ *+,*$ 300% () 300% 2(/ +** $%3 $$%3$ 3+)), 4)5 $3%3+)), (* /)5 (4)5 6 %0*,(4()+.+2)/ # 8*+)),(4.+ # 949+4:: 3+++,9((+8: Sivu

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Moniulotteista ja moniammatillista yhteistyötä muutosten keskellä

Moniulotteista ja moniammatillista yhteistyötä muutosten keskellä ENJA HYVÖNEN Moniulotteista ja moniammatillista yhteistyötä muutosten keskellä Tutkimus perusterveydenhuollon mielenterveystyöstä AKATEEMINEN VÄITÖKIRJA Esitetään Tampereen yliopiston lääketieteellisen

Lisätiedot

Hoitotyön vaikuttavuus erikoissairaanhoidossa

Hoitotyön vaikuttavuus erikoissairaanhoidossa KUOPION YLIOPISTON JULKAISUJA E. YHTEISKUNTATIETEET 162 KUOPIO UNIVERSITY PUBLICATIONS E. SOCIAL SCIENCES 162 TARJA TERVO-HEIKKINEN Hoitotyön vaikuttavuus erikoissairaanhoidossa Nursing Effectiveness in

Lisätiedot

A DIAARIT, PÄIVÄKIRJAT JA MERKINTÄKIRJAT. Ab Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit

A DIAARIT, PÄIVÄKIRJAT JA MERKINTÄKIRJAT. Ab Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaarit ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Sääksmäen kunta A-G, J Arkistonmuodostaja/viranomainen Sosiaalilautakunta Hyllyn numero 1076-1077, 1079-1091 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Aa lähtevien kirjeiden diaari. Saapuvien ja lähtevien kirjeiden diaari. Ab Saapuneiden kirjeiden diaari. Saapuneiden kirjeiden diaari

Aa lähtevien kirjeiden diaari. Saapuvien ja lähtevien kirjeiden diaari. Ab Saapuneiden kirjeiden diaari. Saapuneiden kirjeiden diaari ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Sääksmäen kunta A-D Arkistonmuodostaja/viranomainen v.1973 lähtien Valkeakosken Terveysltk. - Terveydenhoitolautakunta asiakirjat Hyllyn numero 921-925

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

A DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT. Aa Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit. Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit

A DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT. Aa Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit. Saapuneiden ja lähtevien kirjeiden diaarikortit ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-D, F-G Arkistonmuodostaja/viranomainen Koululautakunta Hyllyn numero 361-368, 391-397, 403-404, 406-407, 409-410, 412, 414 Lukumäärä

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Humanistisen tiedekunnan opiskelijavalintaan liittyvät nimiluettelot

Humanistisen tiedekunnan opiskelijavalintaan liittyvät nimiluettelot ARKISTONMUODOSTAJA HUMANISTINEN TIEDEKUNTA B LUETTELOT Ba Ba:1 Ba:2 Ba:3 Bb Humanistisen tiedekunnan opiskelijavalintaan liittyvät nimiluettelot Humanistisen tiedekunnan opiskelijavalintaan liittyvät nimiluettelot

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

KESKI-UUDENMAAN PELASTUSLAITOS PALOLAUTAKUNTA

KESKI-UUDENMAAN PELASTUSLAITOS PALOLAUTAKUNTA Sivu 1(30) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1974 1979 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1974-1979 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit Sivu 2(30) Ab Lähetettyjen kirjeiden diaarit 1974 1 Lähetettyjen kirjeiden

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Sinusta Kvantin. toimittaja?

Sinusta Kvantin. toimittaja? j? jö j jj j j j IO j j j j yj jj föö j y j j j j j - j ö ö j j H j j 05! A ö j ö @fyyf! jj y j Ey fy j! O j! 3 & Pjj 5 Pj 6 yy 8 JU: & H 5 y 8 Q 0 M y j j J : III/ II - /0 P 50 P C Φ- Mj A O H H J J M

Lisätiedot

18.11.2o13. pohjois. Euroopassa. www.pohjola-norden.fi/eurooppa

18.11.2o13. pohjois. Euroopassa. www.pohjola-norden.fi/eurooppa 18.11.213 p m d p k k Ep www.p-d.f/epp Pmd pkk Ep 18.11. 2O13 13.- 19.3 Scdc M Cg C Ep-, k 6, Hk Pm v v vm v k v, k öd k k p. pm m pm k v mm k p mm. Sm Pmd m kd kk vv mp k. M m k, m mö m? Mk Pmd m Ep vd?

Lisätiedot

!!"#$#%#%#&#&#'###(#'###$#)#*#"#+#+#%#,#-#-#,#!!!

!!#$#%#%#&#&#'###(#'###$#)#*##+#+#%#,#-#-#,#!!! "#$#%#%#&#&#'###(#'###$#)#*#"#+#+#%#,#-#-#,# "#$%&'()*+'&%,,$-..&%(/$,'-'/$*(01+$$2*()*1#342.5--$(%,%6%(++%)7 89&$-+%,%:72'2'(*$-..-0';%+.-6.$-+$$(;*('+?@':*,*$(%(A.#/0123#45332667#6589#:0;

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

!"#$%&!$#'()&#* +"$,$%-.'/#-",()&0120

!#$%&!$#'()&#* +$,$%-.'/#-,()&0120 !"#$%&!$#'()&#* +"$,$%-.'/#-",()&0120! TILINPÄÄTÖS TILIKAUDELTA 1.1. - 31.12.2012 Sivu!"#$#%&'()*&"$+,---------------------. 1-14!+/",/',()/$'----------------------- 15!',)0---------------------------

Lisätiedot

POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG

POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K KIMSET 6405400001 TREVI/VIVA 9159200001 SEVEN D

Lisätiedot

Tuovi 8: Interaktiivinen tekniikka koulutuksessa 2010 -konferenssin tutkijatapaamisen artikkelit

Tuovi 8: Interaktiivinen tekniikka koulutuksessa 2010 -konferenssin tutkijatapaamisen artikkelit DEPARTMENT OF INFORMATION STUDIES AND INTERACTIVE MEDIA UNIVERSITY OF TAMPERE Tuovi 8: Interaktiivinen tekniikka koulutuksessa 2010 -konferenssin tutkijatapaamisen artikkelit Jarmo Viteli & Anneli Östman

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Nokkavipuliittimet NOKKAVIPUL. UROS SK DN25 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN32 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN40 HST NOKKAVIPUL.

Nokkavipuliittimet NOKKAVIPUL. UROS SK DN25 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN32 HST NOKKAVIPUL. UROS SK DN40 HST NOKKAVIPUL. Nokkavipuliittimet NOKKAVIPUL. UROS SK DN25 HST 2977044 A; PF64 NOKKAVIPUL. UROS SK DN32 HST 2977045 A; NX93 NOKKAVIPUL. UROS SK DN40 HST 2977046 A; RU35 NOKKAVIPUL. UROS SK DN50 HST 2977047 A; SL33 NOKKAVIPUL.

Lisätiedot

j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j

j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

KARI, JOHANNA & VIRKKALA, JAANA LUOTTAMUS OPETTAJA-OPPILASSUHTEESSA LUOKANOPETTAJIEN KERTOMANA

KARI, JOHANNA & VIRKKALA, JAANA LUOTTAMUS OPETTAJA-OPPILASSUHTEESSA LUOKANOPETTAJIEN KERTOMANA KARI, JOHANNA & VIRKKALA, JAANA LUOTTAMUS OPETTAJA-OPPILASSUHTEESSA LUOKANOPETTAJIEN KERTOMANA Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma KASVATUSTIETEIDEN TIEDEKUNTA Luokanopettajan koulutus Click here to enter

Lisätiedot

RELEET. - Releenkannat / liittimet - Ajovaloautomatit - Sähköiset päävirtakytkimet - Telinnostajasolenoidit - Apusolenoidit.

RELEET. - Releenkannat / liittimet - Ajovaloautomatit - Sähköiset päävirtakytkimet - Telinnostajasolenoidit - Apusolenoidit. 2003 2004 RELEET - Releenkannat / liittimet - Ajovaloautomatit - Sähköiset päävirtakytkimet - Telinnostajasolenoidit - Apusolenoidit luettelo 2009 Sisällysluettelo kytkentäreleet...1-2 vaihtokärkireleet...2-3

Lisätiedot

Stadi Cup 2013. Mestarit

Stadi Cup 2013. Mestarit Stadi Cup 2013 Mestarit E10 EBK/ Tiikerit E11 EPS/Tulipallot D12 ONS/ONS Ercoma Punainen D13 PK-35 C14 Honka/Akatemia C15 PK-35 B17 Honka/ 1 Ladies RiRa F8 A LPS EPS/ Salamatytöt valkoinen 0-8 HJK-J/Kannelmäki

Lisätiedot

Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö Samapituisten merkkijonojen lukumäärä I Olkoon tehtävänä muodostaa annetuista merkeistä (olioista, alkioista) a 1,a 2,a 3,..., a n jonoja, joissa on p kappaletta merkkejä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

POISTOILMAVENTTIILI HALTON

POISTOILMAVENTTIILI HALTON Venttiilit Tuote LVI-numero Pikakoodi 8707702 AT09 URH/A-100 URH/A-125 URH/A-160 URH/A-200 URH/B-100 URH/B-125 URH/B-160 URH/B-200 PEITELEVY HALTON CS/ULA-160 TULOVENTTIILI HALTON ULA-100 TULOVENTTIILI

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit. saapuneiden kirjeiden. Aa-Ab Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden. Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden diaari

Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit. saapuneiden kirjeiden. Aa-Ab Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden. Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden diaari ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-H, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Terveyslautakunta Hyllyn numero 886, 891-897,900, 905-909, 916-920, 934 Lukumäärä

Lisätiedot

Normit ISO Hiukkaskoko maks. 50 µm. Mäntään kohdistuvan voiman mittapaine 6,3 bar. Materiaalit: Muita materiaalitietoja käy ilmi taulukosta.

Normit ISO Hiukkaskoko maks. 50 µm. Mäntään kohdistuvan voiman mittapaine 6,3 bar. Materiaalit: Muita materiaalitietoja käy ilmi taulukosta. 1 Normit ISO 15524 Paineilmaliitäntä Sisäkierre Ympäristölämpötila min./maks. - C / +80 C Keskilämpötila min./maks. - C / +80 C Keski Paineilma Hiukkaskoko maks. 50 µm Paineilman öljypitoisuus 0 mg/m³

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

ARKISTOLUETTELO SOSIAALI- JA TERVEYDENHUOLTO LASTENVALVOJA

ARKISTOLUETTELO SOSIAALI- JA TERVEYDENHUOLTO LASTENVALVOJA Sivu 1(16) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1968 1977 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1968-1971 21.3.1968-31.12.1971 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1972-1977 1.1.1972-9.3.1977 Sivu 2(16) Ab Lähetettyjen

Lisätiedot

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset Tehtävien ratkaisuja Tehtävä 1.Olkoon A = {a 1,a 2,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa

Lisätiedot