VALMISTUSTEKNIIKAN JATKOKURSSI 2006 Koneistettavan kappaleen mallintaminen ja työstön ohjelmointi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "VALMISTUSTEKNIIKAN JATKOKURSSI 2006 Koneistettavan kappaleen mallintaminen ja työstön ohjelmointi"

Transkriptio

1 VALMISTUSTEKNIIKAN JATKOKURSSI 2006 Koneistettavan kappaleen mallintaminen ja työstön ohjelmointi 1. Mitä mallinnetaan ja miksi? 2-ulotteisen muotoviivan avulla tehtävät muodot kuten taskujen jyrsinnät ja reikien poraukset eivät vaadi valmiin kappaleen mukaisen mallin muodostamista. Niiden ohjelmointiin riittää tavallisen CAD-geometrian luonti niin että työstävän terän liikerata tasossa voidaan määrittää. Poraustyökiertojen määrittämiseen riittää keskiön paikka ja reiän halkaisija (= työkalun halkaisija) ja syvyys. Avarrettavalle suuremmalle reiälle määritellään vastaava työkierto joka tehdään pienemmällä jyrsinterällä. Huomattava osa tavallisimmilla, pysty- ja vaakakaraisilla kolmiakselisilla koneistuskeskuksilla tehtävää työtä ohjelmoidaan siksi samalla periaatteella kuin sorvausta ohjelmoidaan. Näin muodostettavat ohjelmat toimivat enimmäkseen 2½akselisen työstön tyyppisesti: Kahta akselia ajetaan interpoloiden ja kolmannen asentoa korjataan silloin tällöin. Kun halutaan muodostaa muodoltaan monimutkaisempia pintoja, joita työstettäessä ajetaan samanaikaisesti interpoloiden kolmea tai useampaa akselia, työstörata on edellistä tapaa helpompi luoda kappaleen kolmiulotteisen mallin avulla. Mallintamalla kappaleen ympärille aihio tai rajaamalla työstöalue ohjelma saadaan generoimaan automaattisesti rouhinta- ja viimeistelyradat halutulle kappaleen alueelle halutulla pinnan karheudella. Kolmea useampaa liikeakselia ajetaan yhtäaikaa vain erikoistapauksissa ja siihen pystyviä NC-koneita on vielä harvassa. Määrä on kuitenkin lisääntymässä. Kappaleen mallin käyttö mahdollistaa näissä tapauksissa kappaleen pinnan suunnan tunnistamisen ja työkalun asennon määrittämisen suhteessa kappaleen mallin pintaan tai kappaleen koordinaatistoon nähden. Viimeksimainittu menetelmä mahdollistaa kappaleen työstön perä perää eri suunnista jo käytettäessä indeksipöytää vaakakaraisen koneistuskeskuksen neljäntenä liikeakselina, aitoa neliakselisuutta ei välttämättä tarvita. Kappaleen, aihion ja työkalun mallintaminen tekee mahdolliseksi todellista työstöä mallintavan simuloinnin, jolloin testaamaton ohjelma on luotettavammin suoritettavissa ensimmäisellä yrittämällä.

2 Työkalun itse tekemiä muotoja ei kannata mallintaa. Taskun pohjan reunan pyöristys syntyy helpoimmin tekemällä viimeistelytyökierto sopivalla pallopäisellä terällä. Pientä pyöristystä on turha mallintaa kappaleeseen. Sama pätee puun työstössä käytettäviin erikoismuotoiltuihin teriin, joilla tehdään esimerkiksi levyn reunan pyöristys, koko muoto yhdellä kierrolla, ja teksteihin yms. kuvioihin, jotka piirtyvät kappaleen pintaan, kun työkalu seuraa pinnalle luotua viivamaista työstörataa siten, että työkalun terävä pää ulottuu hieman pinnan sisään. Työstettävän alueen ulkopuolisen aihionosuuden mallintaminen on usein turhaa, samoin mahdollisesti aihion tarkka mallintaminen. Jotta kappaleen paikka koneistuskeskuksessa ja tehtävät koordinaatistonsiirrot tulisivat yksikäsitteisesti määrätyksi, saattaa olla syytä mallintaa koneistuskeskuksen pöydän ja liikeakselien paikka ja tehdä työstön ohjelmointi näin määritettyjen todellisten liikeakselien suuntien ja paikan avulla. Tällä tavalla tehty ohjelmakoodi tosin ei ole kovinkaan siirtokelpoinen koneesta toiseen tai edes samassa koneessa eri paikkaan työalueella. Kun käytössä on enemmän kuin tavalliset kolme suoraviivaista liikeakselia - neljännellä ja mahdollisesti viidennellä liikeakselilla käännellään joko työkalua (robottipää) tai kappaletta (vaakatasossa pyörivä pyörityspöytä, kallistuva puuntyöstökoneen pöytä tai pystytasossa pyörivä pöytä), pyörivien liikeakselien liike muuttaa samalla työkalun kärjen asemaa kappaleen pinnalla suorien liikeakselien suunnassa niin, että mikään pituus- tms. kompensointi tai nollapisteen siirto ei voi sitä korjata. Silloin työstörata on joka tapauksessa sidoksissa kappaleen paikkaan koneessa ja koneen koordinaatistoon ja työstön ohjelmointi koneen omassa koordinaatistossa, oman mallin avulla on järkevää.

3 2. Useasta suunnasta työstettävän kappaleen mallintaminen ja työstön ohjelmointi Prismamaisiksi nimitetään kappaleita, joita työstetään eri koordinaattiakselien suunnasta. Tällaisia ovat esimerkiksi vaakakaraisissa työstökoneissa eri suunnista työstettävät tornit ja suuret kappaleet. Tavanomaisiin koneenosiin ja muotteihin on usein tarve tehdä työstöjä eri suunnista niin, että ne kohdistuvat oikein suhteessa toisiin muotoihin. Työstön koordinaatiston määrittämisessä kappaleeseen nähden pitää olla huolellinen. X-akselin ja Y-akselin suuntien pitää olla niin päin, että kappale voidaan kääntää ja kiinnittää kussakin työvaiheessa näiden liikeakselien suuntaisesti koneeseen. NC-koodiin liikekäskyt kirjoittuvat valitun koordinaatiston mukaisina, joten työtason koordinaattien täytyy olla oikeinpäin, koneen X-akselin olla työtason X-akselin suuntainen. Työtaso voi olla myös muussa kuin 90 asteen jaolla olevassa suorakulmaisessa tahkopinnassa. Kappaleen käännön ja kiinnittämisen pitää kuitenkin mahdollistaa kappaleen kääntäminen työstöä varten sellaiseen asentoon, että koneen X-, Y- ja Z-akseli ovat työtason vastaavan koordinaatiston mukaiset. Origon, nollapisteen suhteen tilanne ei ole niin tarkka kuin koordinaattiakselien suunnan kanssa on. Nollapisteen paikka voidaan työstökoneelle määritellä tarvittaessa aina uudestaan. Tämä helpottaa eri suunnista tapahtuvien työstöjen ohjelmointia etenkin, jos uuden työtason nollapiste on helposti laskettavissa alkuperäisen asennon perusteella. Asettelulle on eduksi, jos ohjelman nollapiste määräytyy kappaleen selvän reunan tms. mukaan. Ohjelmallinen nollapisteensiirto kuuluu NC-ohjaimien perusominaisuuksiin. Vaakakaraista 4-5 -akselista työstökonetta käytettäessä kääntely voidaan ainakin osaksi tehdä automaattisesti työstökoneen pöytää pyörittäen. Silloin uusi nollapisteen paikka lasketaan pyörityskeskiön paikan ja kappaleen kiinnityspaikan avulla. Jos kappale ja kiinnitys mallinnetaan suoraan oikeaan paikkaan koneeseen, eri suunnista tapahtuvien työstöjen paikat voidaan laskea automaattisesti. Tämä helpottaa asetteen tekoa, jos tiedetään, millä koneella kappale valmistetaan, mutta sitoo kappaleen koneesen eikä tue koneriippumatonta työstön ohjelmointia. Pystykaraisilla koneilla joudutaan irrottamaan kappale ja kiinnittämään se uudelleen. Tässä vaiheessa tarvitaan kappaleeseen selvä reuna tms, joka asettuu kiinnittimeen oikein paikalleen, ja joka määrittää uuden nollapisteen paikan.

4 Kuva: kappale kiinnitettynä vaakakaraisen työstökoneen pyörityspöytään 3. Kolmiakseliset liikeradat Vaakakaraisella viisiakselisella työstökeskuksella käytetään tarpeen mukaan kolmea, neljää tai viittä liikeakselia, joista työkalua liikutellaan kolmella suoraviivaisella, X-, Y- ja Z- akselilla ja kahdella viimeisellä, B ja C-akselilla käännellään kappaletta Y- akselin ja kääntyneen Z-akselin ympäri. (X-akselin ympäri pyörittävää A-akselia ei tässä koneessa ole, kallistuvalla kehdolla varustetussa koneessa voi olla) Neliakselisella pystykaraisella työstökoneella työkalua liikutellaan kahdella suoraviivaisella liikeakselilla, pöytää ja samalla pöydällä olevaa kappaletta kolmannella ja työkalua tai pöytää kallistetaan yhdellä pyörivällä liikeakselilla. Työkalu voidaan tarvittaessa kiinnittää kulmakaralaatikkoon, jolloin sille voidaan hakea haluttu asento XY-tasossa pyörittämällä sitä Z-akselin ympäri. Kulmakaralaatikon pyöritystä ei ole kuitenkaan tarkoitettu muiden liikeakseleiden kanssa ajettavaksi interpoloivaksi akseliksi vaan leikkuusirkkelin ja levymäisten kappaleiden pääty- ja sivuporausten tekoon. Varsinaiset ajoliikkeet tehdään tälläkin koneella pääasiassa kolmiakselisina ja työkalua kallistetaan tarvittaessa neljännellä.

5 Jos kappaleen työstö voidaan tehdä yhdestä suunnasta liikutellen työstävää terää kolmen suoraviivaisen X-, Y- ja Z-liikeakselin avulla, yksinkertaiset työstöradat voidaan ohjelmoida kuten tavalliset 2½- ja kolmiakseliset radat kukin työstö kerrallaan omassa paikallisessa koordinaatistossaan. Koordinaatistot määritellään suoraan koneelle sen parametreihin ja valitaan käyttöön haluttu koordinaatisto ohjelman komennolla G54.G59. Näiden paikat suhteessa koneen peruskoordinaatistoon voidaan määrittää myös ohjelmassa G10-komennon avulla. Ohjelmakoodiin kirjoitetaan esim G10 L2 P1 -riville koordinaatiston nollapisteen haluttu paikka koneen liikeakseleihin nähden ja haluttu pyörivien liikeakselien asento ja otetaan koordinaatisto käyttöön komennolla G54. On huomattava, että kunkin paikalliskoordinaatiston X- ja Y- akselin on oltava samansuuntaisia koneen vastaavien akselien kanssa ja työkalu lähestyy kappaletta aina positiivisen Z-akselin suunnasta. Kappaletta pyörittävien liikeakselien B ja C asennot voidaan kirjoittaa halutuiksi oikean asennon saavuttamiseksi. Näiden kiertäminen siirtää kappaletta myös X-, Y- ja Z- suunnassa, mikä on huomioitava. Jos työstöjä halutaan tehdä useammasta suunnasta, työstöradat ja käännöt voidaan tehdä tällä menetelmällä, määritellään kukin työstö erikseen tapahtumaan Z- suunnasta korjataan ohjelmakoodiin työstön haluttu X-, Y-, Z- nollapiste ja B-, C- kiinnitysasento. Kun työstöt koodautuvat suhteessa kappaleen nollapisteeseen, kappaleen paikka koneella on muutettavissa yhtä koodiriviä korjaamalla. Toinen mahdollinen tapa on sijoittaa kappale jo alusta alkaen oikeaan paikkaan koneen koordinaatistoon, jolloin työstöradat voidaan koodata koneen oman koordinaatiston mukaisina. Kappaleen siirto paikasta toiseen on silloin jälkikäteen ongelmallista. Työstöradat siirtyvät, mutta turva- ja pikaliiketasojen määrittelyjen kanssa tulee ongelmia, ne eivät muutu.

6 4. Työstökoneen käyttö indeksoivasti Indeksoiva käyttö tarkoittaa kappaleen kääntelyä pyörivien liikeakseleiden avulla sopivaan asentoon, minkä jälkeen ajetaan kolmiakselisia työstöratoja pöytien ollessa lukittuina asentoonsa. Tätä menettelytapaa käytetään yleisesti vaakakaraisilla työstökeskuksilla, joissa kappaleet on kiinnitetty pyöritettävään palettiin ja sillä mahdollisesti olevaan kiinnitystorniin ja kappaleisiin tehdään työstöjä yhdestä tai useammasta suunnasta. Käyttötapa tunnetaan myös nimellä Prismatic Machining Työstöradat voivat sisältää työkiertoja ja kaikkia sellaisia liikkeitä, missä työkalun suunta pysyy samana. Työstöradat voidaan tehdä tavallisten 2 ½ - ja 3-akselisten ratojen tapaan yksinkertaisen geometrian avulla. Myös pintoja ja 3-ulotteisia käyriä voidaan työstää käyttäen konetta indeksoivasti, mutta työkalun suunta työstöradalla täytyy pitää kiinteänä. Mahdolliselta kooltaan noin vesiämpärin kokoisia työstettäviä kappaleita voidaan kiinnittää paletille ja pyörittää työstössä B-akselilla Y-akselin ympäri. Tällä menettelytavalla voidaan tehdä kuutiomaiseen kappaleeseen työstöjä neljän tahkopinnan suunnasta ja myös näiden tahkopintojen välisistä kulma-asennoista. Jos työstöt voidaan tehdä indeksoivasti, työstöt ajetaan 3 akselin yhtäaikaisna liikkeinä. Työtason paikka määritellään ohjelmassa työstön koordinaatiston siirrolla koneen koordinaatistoon nähden, mihin sopii hyvin ohjelmakoodin G10 määrittely, joka otetaan käyttöön komennoilla G54 G59. (Myös G52 nollapisteensiirto olisi mahdollinen tapa tehdä tämä siirto) G10-rivi voidaan määrittää koodina tai antaa postprosessorin tehdä määrittely ja käyttöönotto. Sopiva tapa valita työtasojen koordinaatisto neliakselista indeksoivaa työstöä varten on esitetty seuraavassa kuvassa. Jos työstettävä kappale kiinnitetään torniin tai leukoihin, se voidaan työstää kolmesta tahkopinnan suunnasta ja näiden väliasennoista. Jos kiinnitetään suoraan paletille, työstöt on mahdollista tehdä kaikkiaan neljän tahkopinnan suunnasta ja näiden väliasennoista.

7 Kuva2. Työtasovalinnat neliakselista indeksoivaa ajoa varten. Mikäli työstettäviä tahkopintoja on enemmän tai kappale on pieni, indeksoivat työstöt neljälle tahkopinnalle voidaan tehdä kääntelemällä kappaletta C-akselilla 90 asteen välein antaen B-akselin olla paikallaan asennossa B0. Viides tahkopinta, yläpinta voidaan työstää asennossa B-90 C0. Kaikki muut työstettävät pinnat ovat käännettävissä kohtisuoraan terää vasten asennossa B0 C0, C90, C180 ja C-90. Kunkin tahkopinnan geometriaa tehtäessä työtaso kannattaa määritellä sellaiseksi, että oikeaa asentoa haettaessa C-akselia pyörittäen paikallinen x akseli asettuu vaakasuoraan, työstökoneen X-akselin suuntaiseksi, ja y-akseli pystyyn. Kuva3. Työtasovalinnat viisiakselista indeksoivaa työstöä varten

8 Kummallakin indeksoivalla työstötavalla työtason x-akseli on siis valittava niin, että kappaletta pyörittämällä se saadaan työstökoneen positiivisen X-akselin suuntaiseksi ja vastaavasti y-akseli on saatava työstökoneen Y-akselin suuntaiseksi. Positiivisen Z-akselin on osoitettava kappaleesta poispäin, jotta terä voi lähestyä kappaletta positiivisen Z-akselin suunnasta. NC-koodiin työstöliikkeet ja pikaliikkeet kirjoitetaan yleisesti kunkin paikallisen koordinaatiston mukaisina X, Y, Z arvoina. Koska kone ajaa ne todellisilla liikeakselillaan, paikallisten koordinaattien on ajohetkellä oltava koneen liikeakselien mukaisessa asennossa.

9 5. Neli- ja viisiakseliset työstöradat Kun työkalun suunnan on voitava kääntyä työstöradalla pisteestä toiseen siirryttäessä, rata on ohjelmoitava neli- tai viisiakselisena. Tämä tarkoittaa sitä, että työstö on mallinnettava pinnan tai pinnalle projisoidun käyrän avulla. Näin ohjelmoiduille työstöradoille tiedetään työkalun paikan lisäksi työkalun asento, suuntavektori. Pintoihin perustuva työstö tunnetaan yleisesti nimellä Surface Machining Kun kappaletta pyöritetään liikeakseleilla uuteen asentoon, eli käännellään työkalun suuntaa kappaleeseen nähden, suorien liikeakseleiden X-, Y- ja Z-koordinaattiarvoja on myös korjattava jatkuvasti vastaavasti. Työkalun haluttu suunta voidaan usein tavoittaa useammalla kuin yhdellä liikeakselien mahdollisella asennolla, mikä vaikeuttaa hyvän postprosessorin laadintaa ja tekee mahdolliseksi yllättävät liikkeet kesken radan etenkin, kun ylitetään kulmissa 90 asteen jaolla olevia ympyräneljänneksien rajoja. Moniakseliset työstöradat kerrotaan työstökoneelle globaaleina X-, Y-, Z-, B-, C- arvoina, suhteessa määriteltyyn tai koneen ja pyörityspöytien mukaiseen origoon. Siksi moniakseliset radat ovat huonosti siirrettäviä koneelta toiselle. Moniakseliset työstöradat sisältävät lähes pelkästään G1-liikkeitä eli usean liikeakselin samanaikaisia lineaarisia interpolaatioita, hyvin pieniä siirtymiä asentoyhdistelmästä toiseen. Kaaren interpoloinnit muutetaan postprosessorissa lyhyiksi suoriksi liikkeiksi. Ohjelmista tulee siksi aina hyvin pitkiä. (Kaariinterpoloinnit G2 ja G3 tapahtuvat työstökoneilla aina jossakin selvässä tasossa, kahdella akselilla kerrallaan, joskus harvoin kolmella, kuin ruuvipintaa työstäen, ei koskaan kolmea useampaa akselia yhtä aikaa liikuttaen) Neli- tai viisiakselisella pystykaraisella koneella, jossa on kallistuva ns. robottipää, tilanne on helpompi. Koska kappaletta ei käännetä, vaan työkalua kallistetaan neljännellä ja viidennellä liikeakselilla, kappaleen paikka ei muutu työkalun suunnan muuttumisen vuoksi eikä työstöradan seuraavan X-, Y-, Z-koordinaatin arvoa tarvitse korjata työkalun käännön vuoksi. Näin tapahtuu etenkin silloin, kun koneen ohjaus osaa käsitellä työstöradan koordinaattiarvoa työkalun kärjen uutena tavoiteltavana paikkana eikä liikeakselin ohjearvona. Kappaleen nollapisteen paikka on myös helposti muutettavissa. Robottipään heikkoutena vaakakaraiseen koneeseen nähden on pienempi karateho, koska kara on liikkuvassa osassa.

Uudet sorvi-postprosessorit

Uudet sorvi-postprosessorit Uudet sorvi-postprosessorit Uudet postprosessorit on tehty uudelle NeoPost järjestelmälle, joten niissä on nykyaikainen Windowskäyttöliittymä helpottamassa tietojen syöttöä. Syötettyjen arvojen sopivuus

Lisätiedot

Kuvantojen, tasojen ja työkoordinaatiston käyttö

Kuvantojen, tasojen ja työkoordinaatiston käyttö Kuvantojen, tasojen ja työkoordinaatiston käyttö mastercam x focus-sarja Kuvantojen, tasojen ja työkoordinaatiston käyttö Elokuu 2012 Varmista, että sinulla on viimeisimmät tiedot! Tiedot ovat saattaneet

Lisätiedot

KESKEISET NC-KOODIT TOIMINNAN MUKAAN RYHMITELLEN

KESKEISET NC-KOODIT TOIMINNAN MUKAAN RYHMITELLEN KESKEISET NC-KOODIT TOIMINNAN MUKAAN RYHMITELLEN Tämän dokumentin lopussa on teollisuudessa hyvin yleisen Fanucohjauksen NC-koodia oppilaitoksen laboratoriossa olevalle kolmiakseliselle Robodrill-työstökoneelle.

Lisätiedot

463059S TIETOKONEAVUSTEINEN VALMISTUS 4 op / 2,5 ov

463059S TIETOKONEAVUSTEINEN VALMISTUS 4 op / 2,5 ov OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto Jussi A. Karjalainen 13.12.2008 463059S TIETOKONEAVUSTEINEN VALMISTUS 4 op / 2,5 ov Tentti 1. Selosta lyhyesti, mitä tarkoittaa (kukin alakohta 1 piste) a) lasersintraus

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Kuva 2. Lankasahauksen periaate.

Kuva 2. Lankasahauksen periaate. Lankasahaus Tampereen teknillinen yliopisto Tuula Höök Lankasahaus perustuu samaan periaatteeseen kuin uppokipinätyöstökin. Kaikissa kipinätyöstömenetelmissä työstötapahtuman peruselementit ovat kipinätyöstöneste,

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti

2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti 2.1 Yksinkertaisen geometrian luonti Kuva 2.1 Tiedon portaat Kuva 2.2 Ohjelman käyttöliittymä suoran luonnissa 1. Valitse Luo, Suora, Luo suora päätepistein. 2. Valitse Pystysuora 3. Valitse Origo Origon

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Moniakseliratojen harjoituskirja 2. Helmikuu 2015

Moniakseliratojen harjoituskirja 2. Helmikuu 2015 Moniakseliratojen harjoituskirja 2 Helmikuu 2015 Mastercam X8 Moniakseliset työstöradat - osa 2 KÄYTTÖEHDOT Päivämäärä: Helmikuu 2015 Copyright 2015 CNC Software, Inc. Zenex Computing Oy. Ohjelmisto: Mastercam

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

A-Tiilikate objektikirjasto

A-Tiilikate objektikirjasto A-Tiilikate objektikirjasto 15.1.2014 A-Tiilikate-objektikirjasto toimii ArchiCAD 14, 15, 16 ja 17 -versioissa. Kirjaston käyttöön tarvitaan Graphisoftin Tarvikkeet-laajennus. Tarvikkeet-laajennuksen käyttöönotto

Lisätiedot

VANNESAHAN VASTE American Woodworker Editors / Suomennos ja CAD-kuvat: PSa

VANNESAHAN VASTE American Woodworker Editors / Suomennos ja CAD-kuvat: PSa VANNESAHAN VASTE American Woodworker Editors 2012-07 / Suomennos ja CAD-kuvat: PSa 5.5.2016 KOKOONPANOKUVA Mitat 490x470 mm (leveys x syvyys) työstöpöydälle. Kansilevyn paksuus 18 mm, reunoihin lisävahvennus

Lisätiedot

Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus. Rautalankamallinnus

Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus. Rautalankamallinnus Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus Rautalankamallinnus Tampereen ammattiopisto - CAD -perusharjoitukset Rautalankamallinnus I: Jana, suorakulmio ja ympyrä Harjoitusten yleisohje Valitse suunnittelutilan

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Mitä Uutta - SURFCAM V5.1 Sisällysluettelo

Mitä Uutta - SURFCAM V5.1 Sisällysluettelo VER CAD/CAM Software with world class precision and control... Mitä uutta Mitä Uutta - SURFCAM V5.1 Sisällysluettelo 1) Parannettu muistinhallinta 32 ja 64 bitin järjestelmissä 3 2) Konesimulointi Optio

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

kannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto

kannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Metallisen kestomuottikappaleen suunnittelua 1, kannet ja kotelot Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae kokoonpano start_assembly_1_x.sldasm. Tehtävänäsi on suunnitella kansi alueille, jotka on

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Turun Aikuiskoulutuskeskus

Turun Aikuiskoulutuskeskus Kone- ja metallialan perustutkinto Turun Aikuiskoulutuskeskus 1/ (9) Turun Aikuiskoulutuskeskus Kone- ja metallialan perustutkinto Läppäventtiilinpesä D40 02032012-1002 Suorittaja: Päiväys: Kone- ja metallialan

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Ulostyöntimet 1. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa

Ulostyöntimet 1. Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa Ulostyöntimet 1 Tuula Höök, Tampereen teknillinen yliopisto Teoriatausta Muotin perusrakenne Muotin standardiosat Ulostyöntimien asettelu Ulostyöntö ja vastapäästöjä muovaavat laitteet CAD työkalut harjoituksessa

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

Palauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi.

Palauta jokainen funktio-tiedosto. Esitä myös funktiot vastauspaperissasi. Tehtävä 1 Kirjoita neljä eri funktiota (1/2 pistettä/funktio): 1. Funktio T tra saa herätteenä 3x1-kokoisen paikkavektorin p. Se palauttaa 4x4 muunnosmatriisin, johon sijoitettu p:n koordinaattien mukainen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Työkoordinaatisto tutustumisopas. Syyskuu 2015

Työkoordinaatisto tutustumisopas. Syyskuu 2015 Työkoordinaatisto tutustumisopas Syyskuu 2015 Mastercam X9 Työkoordinaatistot KÄYTTÖEHDOT Päivämäärä: Syyskuu 2015 Copyright 2015 CNC Software, Inc. Zenex Computing Oy All rights reserved. Ohjelmisto:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Jukka Pelkola. CAM-ohjelmointi. Metropolia Ammattikorkeakoulu. Insinööri (AMK) Kone- ja tuotantotekniikka. Insinöörityö

Jukka Pelkola. CAM-ohjelmointi. Metropolia Ammattikorkeakoulu. Insinööri (AMK) Kone- ja tuotantotekniikka. Insinöörityö Jukka Pelkola CAM-ohjelmointi Metropolia Ammattikorkeakoulu Insinööri (AMK) Kone- ja tuotantotekniikka Insinöörityö 6.5.2015 Tiivistelmä Tekijä(t) Otsikko Sivumäärä Aika Jukka Pelkola CAM-ohjelmointi 34

Lisätiedot

AquaPro IP 54. Laser 635 nm. auto man man DE 02 GB 09 NL 16 DK 23 FR 30 ES 37 IT 44 PL 51 FI 58 PT 65 SE 72 NO 79 TR 86 RU 93 UA 100 CZ 107 EE 114

AquaPro IP 54. Laser 635 nm. auto man man DE 02 GB 09 NL 16 DK 23 FR 30 ES 37 IT 44 PL 51 FI 58 PT 65 SE 72 NO 79 TR 86 RU 93 UA 100 CZ 107 EE 114 Laser 635 nm IP 54 auto man man AquaPro DE 02 GB 09 NL 16 DK 23 FR 30 ES 37 IT 44 PL 51 58 PT 65 SE 72 NO 79 TR 86 RU 93 UA 100 CZ 107 EE 114 LV 121 LT 128 RO 135 BG 142 GR 149 58 Lue käyttöohje kokonaan.

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

PL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898

PL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898 OPS M2-1, Liite 1 21.12.2007 PL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898 www.ilmailuhallinto.fi LENTOKONEEN VALOT Huom. Katso luku 6 1. MÄÄRITELMIÄ Kun tässä luvussa

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

SVINGIN KIINNITYSKOHDAT

SVINGIN KIINNITYSKOHDAT Antti Mäihäniemi opettaa kesäisin Master Golfissa ja talvisin Golfin Vermon House Prona. Hän on tutkinut golfsvingiä omatoimisesti yli kymmenen vuoden ajan. Hän on oppinut, että vain kyseenalaistamalla

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

ERGOLATOR. Henkilökohtainen nostoapulaite. 15 200 kg. ERGOLATOR erilaisten rullien käsittelyyn

ERGOLATOR. Henkilökohtainen nostoapulaite. 15 200 kg. ERGOLATOR erilaisten rullien käsittelyyn Henkilökohtainen nostoapulaite 5 00 kg ERGOLATOR erilaisten rullien käsittelyyn Henkilökohtainen nostoapulaite Jokaiselle oikea työskentelykorkeus ei turhaa kumartelua tai kurottamista. Portaaton nostonopeus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Ohjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta.

Ohjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta. Ohjeissa pyydetään toisinaan katsomaan koodia esimerkkiprojekteista (esim. Liikkuva_Tausta1). Saat esimerkkiprojektit opettajalta. Vastauksia kysymyksiin Miten hahmon saa hyppäämään? Yksinkertaisen hypyn

Lisätiedot

Pintamallintaminen ja maastomallinnus

Pintamallintaminen ja maastomallinnus 1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä ja palloja.

1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä ja palloja. KARAMBOLEN SÄÄNNÖT Kolmen vallin kara Yhden vallin kara Suora kara - Cadre YHTEISET SÄÄNNÖT KAIKILLE PELIMUODOILLE 1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja

Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja Tampereen ammattiopisto - CAD perusharjoitukset - Tuula Höök Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja Harjoitusten yleisohje Tutki mallinnettavan kappaleen mittapiirrosta. Valitse mittapiirroksen alla olevasta

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Perusteet 5, pintamallinnus

Perusteet 5, pintamallinnus Perusteet 5, pintamallinnus Juho Taipale, Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf (Sama piirustus kuin harjoituksessa basic_4). Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

2. Valukappaleiden suunnittelu mallikustannusten kannalta

2. Valukappaleiden suunnittelu mallikustannusten kannalta 2. Valukappaleiden suunnittelu mallikustannusten kannalta Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto 2.1. Valukappaleiden muotoilu Valitse kappaleelle sellaiset muodot, jotka on helppo valmistaa mallipajojen

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Laituripääty 2,5 x 6,0 kokoamisohje

Laituripääty 2,5 x 6,0 kokoamisohje 1/9 Laituripääty 2,5 x 6,0 kokoamisohje Asettele kiinnikkeet oikeaan järjestykseen, niitä on neljänlaisia. Tee puusta ja metallista ensin suora laatikko valmiiksi asti, ja kiinnitä ponttoonit vasta sitten.

Lisätiedot

6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA. 6.1 Pyörivistä kappaleista. Vaasan yliopiston julkaisuja Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa

6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA. 6.1 Pyörivistä kappaleista. Vaasan yliopiston julkaisuja Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa Vaasan yliopiston julkaisuja 93 6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA Ch:DotCross :RotatingBody sec:fmomspace 6.1 Pyörivistä kappaleista 6.1.1 Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa Seuraavassa pohdiskelussa

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi 7Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 7.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen, 5.2.2004 ) Luento 7: Fotogrammetrinen mittausprosessi

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014

ATK tähtitieteessä. Osa 3 - IDL proseduurit ja rakenteet. 18. syyskuuta 2014 18. syyskuuta 2014 IDL - proseduurit Viimeksi käsiteltiin IDL:n interaktiivista käyttöä, mutta tämä on hyvin kömpelöä monimutkaisempia asioita tehtäessä. IDL:llä on mahdollista tehdä ns. proseduuri-tiedostoja,

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

TIEHÖYLÄN TERÄN KALTEVUUDEN SÄÄTÖJÄRJESTELMÄ GRADER WATCHMAN. Käyttöohjeet

TIEHÖYLÄN TERÄN KALTEVUUDEN SÄÄTÖJÄRJESTELMÄ GRADER WATCHMAN. Käyttöohjeet TIEHÖYLÄN TERÄN KALTEVUUDEN SÄÄTÖJÄRJESTELMÄ GRADER WATCHMAN Käyttöohjeet 2 Sisällysluettelo sivu 1. Käyttötarkoitus 3 2. Terän kaltevuuden säätöjärjestelmän rakenne 4 3. Tekniset tiedot 4 4 Tiehöylän

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

r e w o e P m xtre r e o F

r e w o e P m xtre r e o F For extreme Power 1 2 Alkuperäinen Piranhaclamp-system on kehitetty Sveitsissä vuonna 2012. Kiinnitinjärjestelmä on suunniteltu 5-akseli koneistusta varten. Kiinnitinjärjestelmä luotiin 3-vuoden kehitystyön

Lisätiedot

Työkoordinaatistot. Tammikuu 2015

Työkoordinaatistot. Tammikuu 2015 Työkoordinaatistot Tammikuu 2015 Mastercam X8 Työkoordinaatistot KÄYTTÖEHDOT Päivämäärä: Tammikuu 2015 Copyright 2015 CNC Software, Inc. Zenex Computing Oy. Ohjelmisto: Mastercam X8 Tämän dokumentin käytöstä

Lisätiedot

CNC-JYRSINRUNGON KASAUSOHJE

CNC-JYRSINRUNGON KASAUSOHJE CNC-JYRSINRUNGON KASAUSOHJE 2012 Copyright Pairtec avoin yhtiö Ver. 1.0 Tekniset tiedot Syvyys : 607mm Leveys : 60mm Korkeus : 600mm Paino : ~50Kg Työstöala : 0 x 20mm Valmistaja Pairtec avoin yhtiö www.pairtec.com

Lisätiedot

1. Hae zip tiedosto start_sliding_core.zip, tallenna se omalle koneellesi

1. Hae zip tiedosto start_sliding_core.zip, tallenna se omalle koneellesi Vinotapilla liikutettava luisti Juho Taipale, Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Teoriatausta Muotin perusrakenne Muotin standardiosat Ulostyöntö ja vastapäästöjä muovaavat laitteet CAD työkalut

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011

T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Päällirakenteen kiinnitys. Kiinnitys apurungon etuosassa

Päällirakenteen kiinnitys. Kiinnitys apurungon etuosassa Kiinnitys apurungon etuosassa Kiinnitys apurungon etuosassa Lisätietoa kiinnityksen valinnasta on asiakirjassa Apurungon valinta ja kiinnitys. Rungon etuosassa on 4 erityyppistä päällirakenteen kiinnikettä:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

7. Valukappaleiden suunnittelu keernojen käytön kannalta

7. Valukappaleiden suunnittelu keernojen käytön kannalta 7. Valukappaleiden suunnittelu keernojen käytön kannalta Pekka Niemi Tampereen ammattiopisto Keernoja käytetään valukappaleen muotojen aikaansaamiseksi sekä massakeskittymien poistoon. Kuva 23 A D. Ainekeskittymän

Lisätiedot