Väitöskirja implementaatioteoriasta *
|
|
- Jere Juusonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kansantaloudellinen aikakauskirja 108. vsk. 1/2012 Väitöskirja implementaatioteoriasta * Ville Korpela FM, VTT, Erikoistutkija Julkisen valinnan tutkimuskeskus (PCRC), Turun yliopisto Alun perin, luvulla, peliteoria luotiin tarkoituksena kehittää jonkinlainen yleinen kehikko, jossa strategista vuorovaikutusta voitaisiin analysoida (ks. von Neumann ja Morgenstern 1944). Tarkoituksena oli etsiä menetelmiä, joilla voidaan ennustaa annetun pelin lopputulema, kun pelaajien preferenssit tunnetaan. Hieman myöhemmin kävi kuitenkin selväksi, että monet käytännössä tärkeät ongelmat ovat täysin päinvastaisia tämän alkuperäisen ongelman muotoilun kanssa. Toisin sanottuna monissa käytännön tilanteissa pelaajien preferenssejä ei tunneta ja tarkoituksena on löytää peli, joka tuottaa halutun lopputuleman huolimatta siitä, mitkä ovat pelaajien todelliset preferenssit. Tämä on huomattavasti vaikeampi ongelma kuin alkuperäinen, sillä nyt itse peli * Kirjoitus perustuu Turun yliopistossa tarkastettuun väitöskirjaan Four Essays on Implementation Theory. Väitöskirjan esitarkastajina toimivat professori Juuso Välimäki (Aalto-yliopisto) ja professori Klaus Kultti (Helsingin yliopisto). Vastaväittäjänä toimi professori Tomas Sjöström (Rutgersin yliopisto) ja kustoksena professori Hannu Salonen (Turun yliopisto). Väitöskirjan ohjaaja oli Hannu Vartianen (HECER). on tuntematon muuttuja. Sitä peliteorian osaaluetta, joka kehittää menetelmiä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan mekanismin suunnitteluksi tai implementaatioteoriaksi. 1 Yleisessä muodossa implementaatioteorian perusongelma voidaan ilmaista seuraavalla tavalla. Olkoon I = {1,,n} kaikkien mekanismiin osallistuvien henkilöiden joukko ja A kaikkien mahdollisten lopputulemien joukko (lopputulema voi olla esimerkiksi jokin resurssien allokaatio). Jokaisella henkilöllä on jokin tyyppi t i, joka on peräisin joukosta T i (tyyppi saattaa pitää sisällään hieman eri asioita tilanteesta riippuen, mutta se määrittää minimissään ainakin henkilön preferenssit yli joukon A). Suunnittelija, joka voi olla esimerkiksi jokin kolmas osapuoli, kuten oikeuslaitos, ei tunne henkilön i tyyppiä t i tarkasti, vaan ainoastaan joukon T i, josta tyyppi on peräisin. Suunnittelijan tarkoituksena on toteuttaa jokin päämäärä F: T A, missä T n, 1 Maskin ja Sjöström (2002) sekä Jackson (2001) ovat hyviä yleisesityksiä alan keskeisistä tuloksista. 101
2 KAK 1 / 2012 joka riippuu siitä, mitkä ovat henkilöiden todelliset tyypit. Koska suunnittelija ei oletettavasti voi luottaa siihen, että henkilöt paljastavat todellisen tyyppinsä, hänen täytyy löytää sellainen mekanismi, tai pelimuoto, joka tuottaa halutun lopputuleman olipa henkilöiden todelliset tyypit mitä tahansa. Mekanismilla tarkoitetaan kaksikkoa G = (M,g), missä 1 on viestiavaruus ja funktio määrittää mekanismin lopputuleman. Kun tyypit on annettu, määrittelee mekanismi G pelin. Olkoon S jokin peliteoreettinen ratkaisukäsite ja kaikkien S-ratkaisujen joukko pelissä. Päämäärän F sanotaan olevan S-implementoituva, mikäli on olemassa sellainen mekanismi G, että (1) Toisin sanottuna mekanismin G lopputulema kaikissa S-ratkaisuissa vastaa päämäärää F olivat todelliset tyypit mitä tahansa. Käytännössä implementaatio-ongelmat jakaantuvat eri luokkiin sen perusteella, minkälaista mekanismia (normaalimuodon peli, ekstensiivisen muodon peli, toistettu peli) ja ratkaisukäsitettä (Nash-tasapaino, Bayesin taspaino, vahva tasapaino, dominoivat strategiat) käytetään. Leonid Hurwicz (1960, 1972) formuloi ensimmäisenä mekanismin käsitteen eksaktisti ja häntä pidetäänkin yleisesti mekanisminsuunnittelun isänä. Käsite muotoiltiin alunperin selventämään pitkään jatkunutta kinastelua (joka tunnetaan nykyään Hayek-Mises-Lange-Lerner-debattina) siitä, kumpi markkinatalous vai suunnitelmatalous on parempi resurssien allokaatiomenetelmä. Hurwicz huomautti koko kinastelun olevan ideologisesti värittynyt, koska ei ole mitään syytä olettaa, että kumpikaan allokaatiomenetelmistä olisi paras. Sen sijaan, että tarkastellaan vain kahta allokaatiomenetelmää, meidän tulisi muotoilla yleisesti, mitä tarkoitetaan resurssien allokaatiomenetelmällä, tai allokaatiomekanismilla, ja tämän jälkeen valita paras tiettyjen ominaisuuksien suhteen. Yhtenä mekanisminsuunnittelun merkittävimpänä tuloksena voidaankin pitää todistusta siitä, että markkinamekanismi on informatiivisesti tehokkain kaikkien mahdollisten resurssien allokaatioon käytettävien mekanismien joukossa. Mekanisminsuunnittelusta jaettiin Ruotsin keskuspankin taloustieteen palkinto vuonna 2007 (Erik Maskin, Leonid Hurwicz ja Roger Myerson), ja sen jälkeen on tutkimuksen määrä alalla kasvanut räjähdysmäisesti. Nykyisin alaan perehtyneelläkin on vaikeuksia pysyä mukana siinä, mitä kaikkea on tekeillä, ennen kaikkea sovellutusten puolella. Omassa väitöskirjassani kehitetään mekanisminsuunnittelun teoreettista koneistoa vastaamalla seuraaviin kysymyksiin: (a) kuinka paljon viestejä M tarvitaan (minimissään), jotta annettu päämäärä F voidaan implementoida dominoivissa strategioissa; (b) mikä on yksinkertaisin päämäärää F koskeva ehto, joka takaa että ongelma (1) on ratkeava (niin sanottu karakterisointi) ja (c) missä määrin oletus rationaalisuudesta on tärkeä ongelman (1) yhteydessä. 1. Minimaaliset mekanismit Palataan hetkeksi hieman taaksepäin ja pilkotaan ongelma (1) pienempiin osiin. Oletetaan, että jokainen henkilö seuraa tiettyä protokollaa. Toisin sanottuna, jos henkilön i todellinen tyyppi on t i, niin tällöin hän valitsee viestin huolimatta siitä, tuottaako tämä parhaan mahdollisen lopputuleman. Mikäli 102
3 Ville Korpela (2) sanotaan että protokolla p = (p 1,,p n ) realisoi päämäärän F. Huomaa, että tämän määritelmän mukaan mikä tahansa päämäärä F voidaan realisoida (toisin kuin implementoinnin tapauksessa) ei tarvitse kuin valita g = F sekä. Luonnollinen kysymys tässä yhteydessä on, mikä on pienin mahdollinen viestiavaruuden M koko, jolla annettu päämäärä F voidaan realisoida. Hurwicz ja Reiter (2008) ovat vastanneet tähän kysymykseen kehittämällä algoritmeja, joiden avulla minimaalinen mekanismi voidaan konstruoida. Väitöskirjani ensimmäisessä esseessä ositetaan, että Hurwicz-Reiterkonstruktiota voidaan käyttää myös dominoivissa strategioissa implementoituvien päämäärien (pienellä varauksella) sekä turvallisesti implementoituvien päämäärien yhteydessä. 2 Toisin sanottuna, Hurwicz-Reiter-konstruktio säilyttää myös insentiivit. Tämä on kaikkea muuta kuin selvä asia nythän minimaalisessa realisoivassa mekanismissa on täsmälleen yhtä monta viestiä kuin minimaalisessa implementoivassa mekanismissa. Minimaalisten mekanismien tunnistaminen on tärkeää, koska juuri näitä mekanismeja voi odottaa näkevänsä todellisuudessa. 2. Nash-implementoituvien päämäärien karakterisointi Implementaatioteoriassa karakterisoinnilla tarkoitetaan sellaista tulosta, joka hävittää mekanismin G ongelmasta (1). Yleensä karakterisointi koostuu päämäärää F koskevista ominaisuuksia, jotka yhdessä takaavat, että jokin implementoiva mekanismi G pystytään löytämään. Ensimmäisen karakterisoinnin Nashimplementoituvista päämääristä antoi Erik Maskin (1977). 3 Tämä karakterisointi antoi kuitenkin vain riittävän ehdot Nash-implementoituvuudelle, jolloin kysymys riittävästä ja välttämättömästä ehdosta jäi vielä avoimeksi. Tästä huolimatta Maskinin paperi on ehdottomasti tärkein implementaatiopaperi, joka on koskaan kirjoitettu, mikä johtuu yksinkertaisesti siitä, että lähes kaikki myöhemmin kirjoitetut paperit käyttävät oleellisesti samoja menetelmiä. Ensimmäisen täydellisen karakterisoinnin (välttämätön ja riittävä ehto) Nash-implementoituvista päämääristä antoi Moore ja Repullo (1990). Tämä karakterisointi on melko monimutkainen ja itse asiassa täsmälleen samat päämäärät, jotka tuottavat ongelmia Maskinin karakterisoinnin yhteydessä, tuottavat ongelmia myös Moore-Repullo-karakterisoinnin yhteydessä. Hieman myöhemmin Sjöström (1991) osoitti, että Moore-Repullo-karakterisointi voidaan muuttaa erittäin yksinkertaiseen muotoon (ehto M), joka on käytännössä vain yksi monotonisuutta muistuttava ehto. Sjöströmin karakterisointi ei kuitenkaan ole aivan täydellinen siinä joudutaan olettamaan että T:llä on tulorakenne. Tämä on hieman rajoittavaa, koska kirjallisuus on täynnä esimerkkejä, joissa näin ei ole. Väitöskirjani toisessa esseessä (Korpela 2010) johdetaan hyvin samankaltainen karak- 2 Turvallisella implementoinilla tarkoitetaan sitä, että mekanismi implementoi samanaikaisesti sekä Nash-tasapainossa että dominoivissa strategioissa (ks. Saijo, Sjöström ja Yamato 2007). 3 Tämä työpaperi julkaistiin vasta 1999 (Maskin 1999). Maskin itse on kertonut, ettei paperia kannattanut enää julkaista, koska se oli jo työpaperina niin hyvin tunnettu. 103
4 KAK 1 / 2012 terisointi, joka on täydellinen. Ehto on nimeltään yleistetty monotonisuus Rajoitettu rationaalisuus ja implementaatioteoria Perinteisesti ongelman (1) yhteydessä oletetaan lähes poikkeuksetta, että henkilön tyyppi määrittää täydellisen ja transitiivisen preferenssirelaation yli joukon A. Toisaalta implementaatioteorian perusajatuksessa ei ole mitään, mikä vaatii meitä tekemään tällaisen oletuksen. Tarkoituksenahan on yksinkertaisesti löytää mekanismi, joka tuottaa halutun lopputuleman käyttäytymisen funktiona. Toisin sanottuna aina, kun käyttäytyminen muuttuu, lopputulemakin muuttuu halutulla tavalla. Hurwicz (1986) esitti ensimmäisenä ongelman (1) sellaisessa muodossa, jossa henkilön tyyppi määrittää preferenssirelaation sijaan jonkin valintafunktion, missä C(B) B kaikilla B 2 A. 5 Tällöin voidaan periaatteessa käsitellä minkälaista käyttäytymistä tahansa eikä rationaalisuusoletusta enää tarvita. Täydellisen rationaalisuuden tapaus saadaan tunnetusti erikoistapauksena, kun kaksi ehtoa, ominaisuus ja ominaisuus, ovat kummatkin voimassa (ks. Kreps 1988). Väitöskirjani kolmannessa esseessä (Korpela 2012) osoitetaan, että Hurwiczin (1986) käyttämä taspainokäsite ei ole täysin yhteensopiva valintafunktion perusajatuksen kanssa. Jotta Hurwiczin (1986) esittämää tasapainokäsitettä voidaan soveltaa, täytyy valintafunktion 4 Jälkeenpäin harmittaa, etten käyttänyt nimeä yleistetty ehto M. 5 Normaalisti valintafunktio esitetään muodossa. Implementaatioteorian yhteydessä kuitenkin voidaan käsitellä myös tilanteita, joissa henkilö kieltäytyy tekemästä mitään valintaa. Kyseessä ei siis ole virhe. C olla normaali (ks. Sen 1977). Valintafunktioille voidaan kuitenkin määritellä myös sellainen tasapainokäsite, jossa mitään lisäoletuksia itse valintafunktioista ei tarvitse tehdä (käytän tästä tasapainosta nimeä behavioral Nash equilibrium). Tämän jälkeen voidaan osoittaa, että implementaatioteorian tulokset pätevät sellaisenaan, kunhan kaikki valintafunktiot toteuttavat ominaisuuden. Tämä on huomattavasti vähemmän kuin täydellinen rationaalisuus vaatii. Lopullisena päämääränä on tietenkin karakterisoida kaikki implementoituvat päämäärät riippumatta siitä, miten mekanismiin osallistuvat henkilöt käyttäytyvät. Nyt tiedetään, että olemassa olevat tulokset pätevät, kunhan ominaisuus on voimassa. Tämän jälkeen täytyy keksiä uudenlainen karakterisointi. Sellaiset tilanteet, joissa käyttäytyminen ei toteuta tätä ominaisuutta, ovat vielä tällä hetkellä täysin tutkimatonta aluetta. Viimein neljännessä esseessä osoitetaan, että myös tunnettu revelaatioperiaate on voimassa täsmälleen niin kauan kuin ominaisuus on voimassa. Jos tämä ominaisuus ei päde, joudutaan astumaan aidosti epäsuorien mekanismien maailmaan. Tällöin mekanismin suunnittelu muuttuu huomattavasti vaikeammaksi. Itse asiassa, jokainen joka tuntee mekanismin suunnittelua, ymmärtää, että juuri tämä tulos pohjimmiltaan ajaa kolmannessa esseessä johdettua tulosta. Kirjallisuus Hurwicz, L. ja Reiter, S. (2008), Designing Economic Mechanisms, Cambridge University Press, New York, USA. Hurwicz, L. (1986), On the Implementation of Social Choice Rules in Irrational Societies, teoksessa Heller, W., Starr, R. ja Starrett, D. (toim.), 104
5 Ville Korpela Social Choice and Public Decision Making, Essays in Honor of Kenneth J. Arrow: Volume I, Cambridge University Press, USA. Hurwicz, L. (1972), On Informationally Decentralized Systems, teoksessa McGuire, C.B. ja Radner, R. (toim.) Decision and Organization, North- Holland, Amsterdam. Hurwicz, L. (1960), Optimality and Information Efficiency in Resource Allocation Processes, teoksessa Arrow, K., Karlin, S. ja Suppes, P. (toim.), Mathematical Methods in Social Sciences, Stanford University Press: Jackson, M.O. (2001), A Crash Course in Implementation Theory, Social Choice and Welfare 18: Korpela, V. (2012), Implementation without Rationality Assumptions Theory and Decision 72: Korpela, V. (2010), Nash Implementation Theory A Note on Full Characterizations, Economics Letters 108: Kreps, D. (1988), Notes on the Theory of Choice, Undergroung Classics in Economics, Westview Press, USA. Maskin, E. ja Sjöström, T. (2002), Implementation Theory, teoksessa Arrow, K.J. ja Sen, A.K. (toim.), Handbook of Social Choice and Welfare, Elsevier: luku 5. Maskin, E. (1977), Nash Equilibrium and Welfare Optimality, Department of Economics, MIT, mimeo. Maskin, E. (1999), Nash Equilibrium and Welfare Optimality, Review of Economic Studies 66: Moore, J. ja Repullo, R. (1990), Nash Implementation A Full Characterization, Econometrica 58: Morgenstern, O. ja von Neumann, J. (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, USA. Saijo, T., Sjöström, T. ja Yamato, T. (2007), Secure Implementation, Theoretical Economics 2: Sen, A. (1977), Social Choice Theory: A Re-Examination, Econometrica 45: Sjöström, T. (1991), On the Necessary and Sufficient Conditions for Nash Implementation, Social Choice and Welfare 8:
Taloustieteen vuoden 2007 Nobel-palkinto mekanismien suunnittelun teorian kehittäjille
Kansantaloudellinen aikakauskirja 103. vsk. 4/2007 Taloustieteen vuoden 2007 Nobel-palkinto mekanismien suunnittelun teorian kehittäjille Hannu Vartiainen Ma. professori, turun kauppakorkeakoulu Tutkimusjohtaja,
LisätiedotLuento 8. June 3, 2014
June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotPELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli
LisätiedotJohdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2
Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu
LisätiedotPeliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2
May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky
LisätiedotPeliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3
May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja
LisätiedotLuento 5: Peliteoria
Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotPeliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi
Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö
LisätiedotSekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen
May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
LisätiedotTutkimuksia pelien ja mekanismien suunnittelun teoriasta *
Kansantaloudellinen aikakauskirja 96. vsk. 1/2000 Hannu Vartiainen Tutkimuksia pelien ja mekanismien suunnittelun teoriasta * HANNU VARTIAINEN VTT Helsingin yliopisto Yleistä * Lectio praecursoria Helsingin
LisätiedotLAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS. S ysteemianalyysin. Arno Solin Laboratorio. Aalto-yliopiston Teknillinen korkeakoulu
LAAJENNETUN MUODON RATIONALISOITUVUUS 3.3.2010 Pähkinänkuoressa: Laajennetun muodon rationalisoituvuus Laajennetun muodon peli (Extensive Form Game) Laajennetun muodon pelin tasapainokäsitteitä. Tosimaailman
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jarkko.murtoaro@hut.fi Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Käsitteistö Työkalut Nashin tasapaino Täydellinen tasapaino Optimointiopin seminaari
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotTaloustieteen Nobel peliteorian kehittäjille
Kansantaloudellinen aikakauskirja - 90. vsk. - 4/1994 Katsauksiaja keskustelua Taloustieteen Nobel peliteorian kehittäjille KLAUS KULTTI Vuoden 1994 taloustieteen Nobelin palkinnon saivat professori John
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotSignalointi: autonromujen markkinat
Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotBayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotPaljonko maksat eurosta -peli
Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
LisätiedotPeliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
LisätiedotTasapaino epätäydellisen tiedon peleissä
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä Marja Hassinen Helsinki 9..2006 Peliteoria-seminaarin esitelmä HESINGIN YIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotEvolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen
Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista
LisätiedotSosiaaliset valintamekanismit
Kansantaloudellinen aikakauskirja 99. vsk. 4/2003 Sosiaaliset valintamekanismit KIRJA- ARVOSTELUJA Social Choice Mechanisms Danilov, Vladimir I. Sotskov, Alexander I. Berlin: Springer, 2002, i vi, 191
Lisätiedot11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
LisätiedotPäätösanalyysi Teknologföreningenin kiinteistöuudistuksen tukena (valmiin työn esittely)
Päätösanalyysi Teknologföreningenin kiinteistöuudistuksen tukena (valmiin työn esittely) Sara Melander 1.11.2016 Ohjaaja: DI Malin Östman Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LisätiedotPeliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotPohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset
Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotStrateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
6/9/8 Johdanto Strateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen
LisätiedotStrateginen kanssakäyminen. Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
Strateginen kanssakäyminen Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Johdanto Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotYleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotRationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta
Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Keskeiset termit: Rationalizability rationalisoituvuus ratkaisukonsepti peliteoriassa Rationalizable rationalisoituva Rationality rationaalisuus pelaajat
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotStrategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta
Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta Johdantoa peliteoriaan - ka ytetyt termit Peliteoria tutkii pelaajien toimintaa peleissa. Mika on peli? Mika on pelaaja? Peli tarkasti
LisätiedotESS oppiminen ja sen simulointi
ESS oppiminen ja sen simulointi 8.10.2008 Suhteellinen palkkiosumma, RPS = = = = + + = = n i t i t i t i t i i n i i i i P m r P m r t f r r f 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( (1) τ τ τ τ τ τ Harleyn (1981)
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotExperiment on psychophysiological responses in an economic game (valmiin työn esittely) Juulia Happonen
Experiment on psychophysiological responses in an economic game (valmiin työn esittely) Juulia Happonen 13.01.2014 Ohjaaja: DI Ilkka Leppänen Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotMikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C1 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 17 Mallivastaukset 7. 1. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 5 asukasta. Taidemuseoilla on
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotKäyttäytymistaloustiede ja julkisen sektorin rooli. Kaisa Kotakorpi VATT & Turun yliopisto
Käyttäytymistaloustiede ja julkisen sektorin rooli Kaisa Kotakorpi VATT & Turun yliopisto Käyttäytymistaloustiede osana talousteorian kehityksen jatkumoa Täydellinen kilpailu epätäydellinen kilpailu Täydellinen
LisätiedotLaskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016
Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kahdeksan tehtävää, yksi per luento (5 Saaran, 3 Benin). Katso
LisätiedotStrategiset valinnat. Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki
Strategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Johdanto Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen peliteorian
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotEpätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari
Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista
LisätiedotRationaalisen valinnan teoria
Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisuuden teoriat 1) Mihin meillä on perusteita uskoa? 2) Mitä meidän pitäisi tehdä? 3) Mitä päämääriä meillä tulisi olla? Näitä kysymyksiä vastaavat uskomusten rationaalisuus,
LisätiedotPELITEORIAN PERUSTEITA
PELITEORIAN PERUSTEITA Matti Estola 29. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 2 3 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa 3 4 Pelin ratkaiseminen 4 4.1
LisätiedotOdotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen:
Odotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen: Laumat Rahoitusmarkkinoilla Hannu Salonen Turun yliopisto 2007 Esimerkkejä tapaus Treacy - Wiersema markkinoiden romahdukset osto- tai myyntiryntäykset ovatko
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotKonsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotLuento 7. June 3, 2014
June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 6
Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.
LisätiedotA. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.
HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen
LisätiedotEpätäydellisen preferenssi-informaation huomioon ottavien päätöksenteon tukimenetelmien vertailu (aihe-esittely)
Epätäydellisen preferenssi-informaation huomioon ottavien päätöksenteon tukimenetelmien vertailu (aihe-esittely) Vilma Virasjoki 23.01.2012 Ohjaaja: Jouni Pousi Valvoja: Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotSekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus
Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Petteri Räty 2010-03-14 God does not play dice with the universe Albert Einstein Agenda Intensiiviyhteensopivuuden käsite Yrittää vastata kysymykseen, mitä sekastrategiat
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotPeliteoria ja kalatalous YE4
Peliteoria ja kalatalous YE4 Kansainväliset kalastussopimukset Tarve kansainväliselle yhteistyölle: Vain kestävillä kansainvälisillä sopimuksilla voidaan taata biologinen ja taloudellinen tehokkuus. Neuvottelujen
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotTodistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
LisätiedotTALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT
TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla
LisätiedotToistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Toistetut pelit MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Elmeri Lähevirta The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.
LisätiedotStrategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki. A. Peliteorian alkeet. Johdanto. Johdanto 15/09/19
Johdanto Strategiset valinnat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki Viime viikolla tilanteet joissa valinnat eivät riipu muiden valinnoista Tänään aloitamme valintojen vuorovaikutuksen tutkimisen peliteorian
Lisätiedotmonitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof.
Epätäydellisen preferenssiinformaation hyödyntäminen monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi 15.1.2018 Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Tausta Päätöspuu
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotPalkinnon myöntämisen perusteena oli tällä kertaa kirjoittajien kontribuutiot stabiilien allokaatioiden
Kansantaloudellinen aikakauskirja 109. vsk. 1/2013 Vuoden 2012 taloustieteen nobelistit Alvin E. Roth ja Lloyd S. Shapley Hannu Salonen Professori Turun yliopisto 1 Matchingmarkkinoiden teoriasta ja ensimmäisistä
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotTutkimuksia työmarkkinakitkoista, teknisestä kehityksestä ja makrotaloudellisista vaihteluista*
Kansantaloudellinen aikakauskirja 104. vsk. 1/2008 Tutkimuksia työmarkkinakitkoista, teknisestä kehityksestä ja makrotaloudellisista vaihteluista* Juuso Vanhala VTT, ekonomisti suomen Pankki * Tämä kirjoitus
LisätiedotHarjoitustyön testaus. Juha Taina
Harjoitustyön testaus Juha Taina 1. Johdanto Ohjelman teko on muutakin kuin koodausta. Oleellinen osa on selvittää, että ohjelma toimii oikein. Tätä sanotaan ohjelman validoinniksi. Eräs keino validoida
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Lisätiedot