1. Määritä pienin näytelauseen ehdon mukainen näytetaajuus taajuus seuraaville signaaleille:

Transkriptio

1 1. Määritä pienin näytelauseen ehdon mukainen näytetaajuus taajuus seuraaville signaaleille: a) x 1 (t) = cos(πt) + sin(6πt) + 1cos(1πt) ja b) x (t) = cos(1πt)cos(πt). a) x 1 (t) = cos(πt) + sin(6πt) + 1cos(1πt) = cos(π1t)+sin(πt)+1cos(π6t) f max = 6 Hz,min = f max = 1 Hz = 1 khz b) x (t) = cos(1πt)cos(πt) = {. cos(1πt-πt)+. cos(1πt+πt)} =. cos(-πt)+. cos(πt) =. cos(πt)+. cos(πt) =. cos(π1t)+. cos(πt) f max = Hz,min = f max = Hz = khz 1 *cos(*pi*t)+*sin(6*pi*t)+1*cos(1*pi*t) *cos(1*pi*t)cos(*pi*t) Kuvassa on esitetty signaaleista 1 ms pituinen osa. Ylemmästä signaalista on siis kuvan aikana otettava vähintään 1 näytepistettä ja alemmasta vastaavasti vähintään näytepistettä. Huomaa, että b-kohdan ratkaisussa on hyödynnetty trigonometrian kaavaston kaavoja. Jyrki Laitinen 1

2 . Millainen on näytejonon spektri, kun näytteistetään analogista signaalia, jonka taajuuskaista on... khz? Tarkastele erikseen tapaukset = khz, = khz ja = khz. Millaisella suotimella alkuperäinen signaali voidaan kussakin tapauksessa rekonstruoida (eli suodattaa näytejonosta)? Analogisesta signaalista muodostetun näytejonon spektrin hahmottelemisessa on kaksi perussääntöä, jotka pätevät aina: 1) Alkuperäinen spektri näkyy myös näytejonon spektrissä. ) Alkuperäisen spektrin monikerrat näkyvät näytejonon spektrissä näytetaajuuden välein. Piirretään tämän perusteella spektrit. - = khz: - = khz: - = khz: - Kuvassa ylimpänä alkuperäisen analogisen signaalin spektri sekä näytejonojen spektrit. Kun näytetaajuus = khz, tapahtuu laskostuminen (spektrin minikerrat menevät päällekkäin), eikä alkuperäistä signaalia voida enää suodattaa näytejonosta. Näytetaajuuksilla = khz ja = khz alkuperäinen signaali voidaan suodattaa alipäästösuotimella (LPF), jonka päästökaistan rajataajuus on khz. Näytejonojen spektreihin on hahmoteltu katkoviivalla tällaisen suotimen amplitudispektri. Jyrki Laitinen

3 . Olkoon x(t) = 1 cos(π t + π/). a) Näytteistä signaalista x(t) viisi näytepistettä/jakso. b) Muodosta yksi toinen signaali, josta voit näytteistää täsmälleen samat näytepisteet kuin signaalista x(t). c) Piirrä a- ja b-kohdassa muodostamasi signaalit sekä näytteistämäsi pisteet samaan kuvaan. a) x(t) = 1 cos(π t + π/) = 1 cos(π t + π/). Signaalin taajuus on Hz Jakso =. s Näyteväli t s =. s Näytetaajuus = Hz. Näytepisteet saadaan, kun lasketaan signaalin arvo ajanhetkillä s,. s,.1 s,.1 s ja. s: x(n) {7.7, -., -9., -1.6, 9.1} b) Esim. y(t) = 1 cos[π ( + ) t + π/] = 1 cos[π ( + ) t + π/] c) 1 Hz Hz+Hz Jyrki Laitinen

4 . Analogiasignaali kvantisoidaan ja koodatut näytearvot siirretään vastaanottajalle, jonka on tunnettava näytearvot tarkkuudella ±.% x V fs (kvantisoitava jännitealue). Kuinka monella bitillä näytteet on vähintään koodattava? Kvantisoinnissa syntyvä maksimivirhe on puolet kvantisointivälistä. Jos sallittu maksimivirhe on nyt.% V fs =. V fs, on suurin sallittu kvantisointivälin suuruus. V fs. Kvantisointivälien lukumäärälle L pätee tällöin V fs L. V fs = 1 Toisaalta tiedetään b b L = b = 7 Näytteet on siis koodattava vähintään seitsemän bitin tarkkuudella. Jyrki Laitinen

5 . (Kotitehtävä) Tarkastellaan analogista signaalia, jonka amplitudispektri on seuraava 16 Hahmottele signaalista muodostetun näytejonon spektri, kun 1) = Hz, ) = Hz ja ) = 16 khz. Määritä myös millaisella suodattimella alkuperäinen signaali voidaan kussakin tapauksessa rekonstruoida (eli suodattaa näytejonosta). Esitä tulos erillisellä paperilla, jonka palautat nimelläsi ja ryhmätunnuksellasi varustettuna seuraavan laskuharjoituksen yhteydessä opettajalle. = Hz: 16 LPF = Hz: - = 16 Hz: - 7 BPF = Hz: Näytetaajuus on yli kaksinkertainen signaalin suurimpaan taajuuteen verrattuna. Alkuperäinen signaali voidaan rekonstruoida alipäästösuodattimella (LPF). = Hz: Monikertaspektrit laskostuvat. Alkuperäistä signaalia ei voida rekonstruoida. = 16 Hz: Monikertaspektrit laskostuvat nollataajuuden ympäristöön. Alkuperäinen signaali voidaan kuitenkin rekonstruoida (ideaalisella) kaistanpäästösuodattimella (BPF). Jyrki Laitinen