Signaalin energia- ja tehotiheys

Transkriptio

1 Spektrin energiatiheys Signaalin energia- ja tehotiheys Reaaliarvoisen energiasignaalin g(t) kokonaisenergia E saadaan kaavalla E = g ( t) dt Olkoon signaalin g(t) Fourier-muunnos G(ω). Parsevalin teoreeman mukaan kokonaisenergia E voidaan laskea joko aika- tai taajuustasossa E 1 = g ( t) dt = G( ω) dω = G( f ) df π Käytännössä signaalin kokonaisenergia on usein helpompi laskea taajuustasossa. Fourier-muunnoksen itseisarvon (= amplitudispektri) neliö määrittää signaalin energian taajuusyksikköä kohti (J/Hz) eli spektrin energiatiheyden ψ g (f). ψ g ( f ) = G( f ) Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 1

2 Signaalin energia- ja tehotiheys Kokonaisenergia saadaan siis integroimalla kaikkien taajuuksien yli. E = ψ g ( f ) df Yleisesti voidaan osoittaa, että spektrin energiatiheys on ei-negatiivinen taajuuden funktio. Reaaliarvoisen signaalin spektrin energiatiheys on parillinen taajuuden funktio eli ψ ( f ) = ψ ( f ) g g Jos heräte x(t) on energiasignaali, saadaan LTI-järjestelmän h(t) vasteen y(t) energiatiheys ψ y (f) herätteen energiatiheyden ψ x (f) ja siirtofunktion H(f) itseisarvon neliön tulona ψ ( f ) = y H ( f ) ψ ( f ) x Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4

3 Signaalin energia- ja tehotiheys Energiasignaalien autokorrelaatio Tarkastellaan signaalia g(t), jonka Fourier-muunnos on G(f). Spektrin energiatiheys on nyt siis ψ ( f ) = g G( f ) = G( f ) G ( f ) Tässä G * (f) on G(f):n kompleksikonjugaatti. Yllä kerrotaan siis taajuustasossa signaalit G(f) ja G * (f) keskenään. Aikatasossa taajuustason kertolaskua vastaa Fourier-muunnoksen konvoluutioteoreeman mukaisesti konvoluutio. Kompleksikonjugointia vastaa puolestaan aikatasossa aikaparametrin muuttaminen vastakkaismerkkiseksi. g( τ ) g( τ ) G( f ) G ( f ) Kaavassa esiintyvää konvoluutiota sanotaan signaalin g(t) autokorrelaatiofunktioksi R g (τ) ja se määritellään muodossa R g ( τ ) = g( τ ) g( τ ) = g( τ ) g( t τ ) dt Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 3

4 Signaalin energia- ja tehotiheys Autokorrelaatiofunktio kuvaa signaalin ja sen τ:n verran viivästetyn version samankaltaisuutta. Autokorrelaatio on maksimissaan, kun τ=, jolloin vertailtavana on kaksi samaa signaalia. Jaksolliselle signaalille autokorrelaatiofunktio saa maksimiarvon jaksonpituuden välein. Signaalin jaksollisuuden tutkiminen onkin yksi autokorrelaatiofunktion tärkeimmistä sovelluksista. Esimerkki. Kosinisignaali. Signaali Autokorre la a tio Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 4

5 Signaalin energia- ja tehotiheys Esimerkiksi tutkatekniikassa hyödynnetään autokorrelaatiofunktiota. Tutka lähettää signaalia kohteeseen ja laskee vastaanotossa autokorrelaatiota. Kun autokorrelaatio saa maksimiarvonsa, on tutkan lähettämä signaali heijastunut kohteesta ja palannut takaisin. Signaalin kulkuajasta voidaan määrittää kohteen etäisyys. Autokorrelaatiofunktion ominaisuuksia Reaaliarvoisen signaalin autokorrelaatiofunktio on reaaliarvoinen ja parillinen funktio. R ( τ ) = R ( τ ) g g Energiasignaalin autokorrelaatiofunktion arvo origossa on signaalin kokonaisenergia R g () = E Energiasignaalin autokorrelaatiofunktio ja spektrin energiatiheys muodostavat Fourier-muunnosparin R g ( τ ) ψ ( f ) g Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 5

6 Signaalin energia- ja tehotiheys Energiasignaalien ristikorrelaatio Ristikorrelaatio mittaa kahden signaalin samankaltaisuutta eli koherenssia signaalien välisen viiveen τ funktiona. Kahden reaaliarvoisen energiasignaalin g 1 (t) ja g (t) välinen ristikorrelaatiofunktio R 1 (τ) määritellään kaavalla 1( τ ) g1( τ ) g( t τ R = ) dt Korrelaation laskenta muistuttaa konvoluution laskentaa, ja käytännön toteutuksissa käytetäänkin usein samaa aliohjelmaa kummankin operaation laskentaan. Signaalit ovat keskenään ortogonaalisia eli niissä ei ole samankaltaisuutta koko aikavälillä, jos g1 ( τ ) g( t τ ) dt = Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 6

7 Signaalin energia- ja tehotiheys Jos korreloitavien signaalien järjestystä vaihdetaan, saadaan ristikorrelaatiofunktioksi 1( τ ) g( τ ) g1( t τ R = ) dt Voidaan osoittaa, että R 1 (τ) = R 1 (-τ). Ristikorrelaatiofunktion R 1 (τ) ja signaalien g 1 (t) ja g (t) Fourier-muunnosten G 1 (f) ja G (f) välillä on voimassa ns. korrelaatioteoreema, joka voidaan esittää Fouriermuunnosparina R1( τ ) G1 ( f ) G ( f ) Kahden energiasignaalin ristikorrelaatiofunktio aikatasossa vastaa siis taajuustasossa yhden signaalin Fourier-muunnoksen ja toisen signaalin Fouriermuunnoksen kompleksikonjugaatin kertomista keskenään. Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 7

8 Spektrin tehotiheys Signaalin energia- ja tehotiheys Reaaliarvoisen tehosignaalin g(t) keskimääräinen teho P saadaan kaavalla P 1 = lim T g ( t dt T ) T T Käytännössä Fourier-muunnoksen laskeminen voi olla mahdotonta tehosignaalille, jonka energia on ääretön. Tämän vuoksi tehosignaalin Fourier-muunnos määritetään useimmiten katkaistusta signaalista g T (t), joka määritellään rect-funktion avulla muodossa g T ( t) = g( t) rect( t T g( t), ) =, T t T muulloin Katkaistulle signaalille on olemassa Fourier-muunnos, jos T on äärellinen. Parsevalin teoreeman perusteella saadaan yhteys signaalin g T (t) keskimääräisen tehon P ja Fourier-muunnoksen G T (f) välille. Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 8

9 Signaalin energia- ja tehotiheys P = lim T 1 T T T g T ( t) dt = lim T 1 T T T G T ( f ) df Jälkimmäisessä integraalissa voidaan raja-arvotarkastelu siirtää integroinnin sisälle, koska integraali on suppeneva (energia äärellinen): P = T 1 lim T T T G T ( f ) df Integrandi on tässä spektrin tehotiheys (tehosignaalin tehospektri) S g (f). S g 1 ( f ) = lim GT ( f ) T T 1 T G T ( f ) on signaalin periodogrammi. Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 9

10 Signaalin energia- ja tehotiheys Jaksollisen signaalin spektrin tehotiheys Olkoon g(t) jaksollinen signaali, jonka jaksonpituus on T. Signaali voidaan esittää Fourier-sarjana muodossa = n n jnωot jnπft T g( t) c e = c e = c e n= n= n n= 1 jnπ t, n =, ± 1, ±,K Kaavassa esiintyvät kertoimet c n ovat Fourier-sarjan kertoimia, jotka määritellään kaavalla c n = 1 T T / T g( t) e / jn ω o t dt, n =, ± 1, ±,K Jaksollisen funktion spektrissä on nollasta poikkeavia komponentteja vain perustaajuuden f = 1/T harmonisilla monikertataajuuksilla, ± f, ± f, ± 3f, Spektrin tehotiheys voidaan nyt esittää muodossa Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 1

11 Signaalin energia- ja tehotiheys n S g ( f ) = cn δ ( f ) T n= Signaalin keskimääräinen P teho saadaan summaamalla kaikki tehotiheysarvot P = c n n= Keskimääräinen teho on siis sama kuin Fourier-sarjan kertoimien c n itseisarvojen neliöiden summa. Tässä amplitudi on kertoimen itseisarvo, jolloin vastaava teho saadaan korottamalla amplitudiarvo toiseen potenssiin. Kun kaikki tehoarvot summataan saadaan signaalin keskimääräinen teho. Tämä tunnetaan Parsevalin tehoteoreemana. Jaksollisen signaalin dc-teho (teho nollataajuudella) saadaan ensimmäisen Fouriersarjan kertoimen c itseisarvon neliönä. Kerroin c on signaalin keskiarvo. P dc = c Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 11

12 Signaalin energia- ja tehotiheys Jaksollisen signaalin ac-teho saadaan, kun summataan Fourier-sarjan kertoimet lukuunottamatta dc-kerrointa c. n n = P ac = c n Signaalin keskimääräinen teho saadaan dc- ja ac-tehojen summana. Signaalin rms-arvo (root mean square) on P ac :n neliöjuuri rms = c n n n = Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 1

13 Kohina Satunnaiset signaalit Satunnaiset signaalit muodostavat erikoistapauksen tehosignaaleista. Satunnaisen signaalin käyttäytymistä ei kyetä ennakoimaan tarkasti esimerkiksi ennakolta tunnettua kaavaa hyödyntäen. Deterministisen signaalin käyttäytyminen tunnetaan sen sijaan kaikkina ajanhetkinä tarkasti. Satunnaiset signaalit liittyvät tilastollisiin prosesseihin. Voidaan ajatella, että tiettynä ajanhetkenä satunnainen signaali poimitaan joukosta mahdollisia signaaleja, joita kutsutaan näytefunktioiksi. Kaikkien näytefunktioiden joukkoa kutsutaan puolestaan satunnaisprosessiksi. Kohinasignaalit ovat tyypillisiä satunnaisia signaaleja. Toistettaessa saman mittaus eri ajan hetkinä saadaan tyypillisesti aina hieman erilainen tulos, koska useimmissa reaalimaailman prosesseissa signaaleihin summautuu satunnaisia kohinasignaaleja. Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 13

14 Kohina Signaalikohinasuhde Elektronisissa järjestelmissä kohinaa syntyy ulkoisista ja sisäisistä lähteistä. Ulkoisia lähteitä ovat esimerkiksi ionosfäärin häiriöt (satelliittisiirto) tai säätilan muutokset (radiotaajuinen siirto). Sisäistä kohinaa syntyy mm. elektronisten piirien fluktuaatioista (mm. terminen kohina), jotka asettavat rajoituksen järjestelmän toiminnalle. Tiedonsiirrossa sisäinen kohina havaitaan useimmiten vain vastaanotossa, minkä vuoksi sitä kutsutaan usein vastaanotinkohinaksi (receiver noise) tai kanavakohinaksi (channel noise). Signaalin siirrossa kohinaa mallinnetaan usein additiivisella mallilla, jossa kohinan oletetaan summautuvan siirrettävään signaaliin. Lisäksi kohinan oletetaan, että kohinan ja signaalin välillä ei ole korrelaatiota ja että kohina on nollakeskiarvoista valkoista (laajakaistaista) kohinaa 1. 1 AWGN = additive white gaussian noise Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 14

15 Kohina Kanavakohina n(t) X(t) Lähetin Kanava Y i (t) Vastaanotin Y o (t) S i, N i S o, N o Jos merkitään S o = vastaanotettu signaalin (informaation) keskimääräinen teho ja N o = vastaanotettu kohinan keskimääräinen teho, niin additiivisessa mallissa vastaanotettu kokonaistehoteho Y o = S o + N o. Vastaanotettu signaalikohinasuhde (SNR) puolestaan on S N o = S N o o Yleisemmin signaalikohinasuhde määritellään kohinattoman signaalin tehon P S ja kohinaisen signaalin tehon P N suhteen useimmiten desibeli-yksiköissä: SNR P 1log 1 S = PN [ db] Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 15

16 Kohina Signaali-kohinasuhde asettaa yleensä tiedonsiirron laadulle rajan. Signaalikohinasuhde määrittää pienimmän tehomuutoksen joka signaalissa on havaittavissa. Jos esimerkiksi SNR = 3 db, on kohinan teho tuhannesosa signaalin tehosta. Signaalissa tapahtuvien tehomuutosten on tällöin oltava kohinatehoa suurempia, jotta ne voitaisiin luotettavasti havaita. Normaalijakautunut valkoinen kohina Kohinamalleissa käytetään yleensä normaalijakautunutta valkoista kohinaa, jollaista syntyy usean kohinalähteen summautuessa. Koska käytännössä kohinalähteitä on yleensä useita, niiden yhteisvaikutuksena syntyy normaalijakautunut kohina. Normaalijakautuneessa kohinassa keskiarvo on kaikkein todennäköisin arvo ja keskiarvosta poikkeavat arvot tulevat Gaussin kellokäyrän muotoisesti sitä epätodennäköisemmiksi mitä kauempana ne keskiarvosta ovat. Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 16

17 Kohina Normaalijakautunut kohina Keskihajonta σ Keskiarvo µ σ = varianssi = teho Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 17

18 Kohina Todennäköisyys Normaalijakauma (µ =, σ = 1) σ σ Arvo Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 18

19 Kohina Valkoisessa kohinassa on tasaisesti kaikkia taajuuksia ja sen keskiarvo on nolla. Valkoinen kohina on ideaalista kohinaa ja käytännössä tällaisen kohinan keskimääräinen teho olisi ääretön. Todellisissa järjestelmissä kohina kuitenkin usein muistuttaa valkoista kohinaa siten, että tietyllä taajuuskaistalla kohinassa esiintyy tasaisesti kaikkia taajuuksia. Valkoisen kohinan tehotiheys on S w (f) N S w ( f ) = Kaavassa N on signaalin intensiteetti [W/Hz]. Valkoisen kohinan autokorrelaatiofunktio saadaan spektrin tehotiheyden käänteisenä Fourier-muunnoksena: N R w ( τ ) = δ ( τ ) R w (τ) N δ(τ) / N / f τ Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 19

20 Kohina Valkoinen kohina korreloi itsensä kanssa vain viiveen arvolla eli kaksi eri aikana mitattua kohinasignaalia ovat aina korreloimattomia keskenään. Ekvivalentti kohinakaistanleveys Tarkastellaan ideaalista alipäästösuodatusta. Suodatetaan valkoista kohinaa, jonka keskiarvo on ja tehotiheys N /, ideaalisella alipäästösuotimella, jonka rajataajuus on B ja päästökaistan vahvistus 1. Suodatetun kohinan tehotiheys on N ( f ) =, f B, B < < muulloin S N (f) S N N / -B B f Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4

21 Kohina Suodatetun kohinan autokorrelaatiofunktio on tehotiheyden käänteinen Fouriermuunnos: R B B N ( = B B 1 N jωt N j πft τ ) = e dω e df N B sinc(bτ ) π = R N (τ) N B τ -3/B -1/B -1/B 1/B 1/B 3/B Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 1

22 Kohina Alipäästösuodatetun kohinan keskimääräinen teho on tehotiheyden ja taajuuskaistan tulo N P = B = NB Signaalinkäsittelyjärjestelmille määritetään (alipäästö)suodatuksen kohinamallin perusteella usein tunnusluku ekvivalentti kohinakaistanleveys B N : Järjestelmän ekvivalentti kohinakaistanleveys on sellaisen ideaalisen (alipäästö)suotimen kaistanleveys, jonka suodattaman kohinasignaalin kokonaisteho on sama kuin järjestelmän läpi kulkeneen kohinasignaalin teho. Ekvivalentti kohinakaistanleveys kuvaa järjestelmän herkkyyttä laajakaistaiselle kohinalle. Ideaalisen alipäästösuotimen läpi kulkeneen kohinan tehotiheys ~ H () -B N B N f Tiedonsiirtojärjestelmän läpi kulkeneen kohinan tehotiheys ~ H(f) Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4

23 Jyrki Laitinen TL531 Signaaliteoria S4 3 Kohina Ekvivalentti kohinakaistanleveys voidaan edellä määrittää asettamalla tehotiheyskäyrien alle jäävät pinta-alat (~ keskimääräinen teho) yhtäsuuriksi () ) ( ) ( () ) ( () H df f H B df f H H B df f H H B N N N = = = Vastaavasti voidaan määrittää kaistanpäästösuodattimen (keskitaajuus f c ) ekvivalentti kohinakaistanleveys muodossa ) ( ) ( c N f H df f H B =